32 6 xx+=personales.upv.es/jjibanez/Datos/EjerciciosT3.pdfEjercicios Tema 3 2 2. Resuelve...

• Al determinar el valor máximo de F, nos movemoscon las rectas paralelas a la recta 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 0 en elsentido del vector gradiente

• La última recta de ese haz de rectas queintersecciona con la región factible es la recta 𝑥𝑥1 +𝑥𝑥2 = 2.5 siendo P la intersección de las rectas

• Luego la solución del problema coincide con lascomponentes del punto P conforman la solución delproblema, con un valor óptimo igual a 4

Ejercicios Tema 31

1. Resuelve gráficamente el siguiente problema de programación lineal mediante el método del gradiente:

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

max ( , )3 2 62 4 8

0; 0

F x x x xx xx x

x x

= ++ ≤+ ≤≥ ≥

1 2

1 2

3 2 62 4 8x xx x++ =

=

Solución: 𝑥𝑥1 = 1, 𝑥𝑥2 = 1.5Valor óptimo: 𝐹𝐹 1,1.5 = 2.5

Ejercicios Tema 3 2


1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

min ( , )3 2 62 4 8

0; es libre

F x x x xx xx x

x x

= ++ ≤+ ≤≥

Como la región factible no está acotadaen la parte inferior y como al buscar unmínimo nos movemos con las rectasparalelas a la recta 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 0 en elsentido del opuesto al vector gradiente,resulta que no existe solución delproblema

• Al determinar el valor máximo de F, nosmovemos con las rectas paralelas a la recta𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 = 0 en el sentido del vectorgradiente

• La última recta de ese haz de rectas queintersecciona con la región factible coincidecon la recta 2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 = 8.

• Luego los puntos de la arista A conforman lasolución del problema, con un valor óptimoigual a 4

Ejercicios Tema 3 3


1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

max ( , ) 23 2 62 4 8

0; 0

F x x x xx xx x

x x

= ++ ≤+ ≤≥ ≥

A

• Al determinar el valor máximo de F, nos movemoscon las rectas paralelas a la recta 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = 0 en elsentido del vector gradiente

• La última recta de ese haz de rectas queintersecciona con la región factible es la recta

𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = 6siendo P la intersección de las rectas

• Luego la solución del problema coincide con lascomponentes del punto P con un valor óptimo de Figual a 6

Ejercicios Tema 34


1 2

1 2

34 7 13

14x xx x++ =

=

Solución: 𝑥𝑥1 = 5, 𝑥𝑥2 = −1Valor óptimo: 𝐹𝐹 5,−1 = 6

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max ( , )3 14

2 5 194 7 13

es libre; es libre

F x x x xx x

x xx x

x x

= −+ ≤

− + ≤+ ≥

• Al determinar el valor mínimo de F, nos movemoscon las rectas paralelas a la recta 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = 0 en elsentido del vector opuesto al gradiente

• La última recta de ese haz de rectas queintersecciona con la región factible es la recta

𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = −5siendo P la intersección de las rectas

• Luego la solución del problema coincide con lascomponentes del punto P con un valor óptimo de Figual a 6

Ejercicios Tema 35


1 2

1 2 3192 5

4 7 1x x

x x− +

==

+

Solución: 𝑥𝑥1 = −2, 𝑥𝑥2 = 3Valor óptimo: 𝐹𝐹 −2, 3 = −5

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min ( , )3 14

2 5 194 7 13

es libre; es libre

F x x x xx x

x xx x

x x

= −+ ≤

− + ≤+ ≥

Ejercicios Tema 3 6

6 a) Convertir a la forma estándar el siguiente problema de programación lineal:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 2 2 32 2

40; es libre; 0

F x x xx x xx x xx x x

= + −− + ≥ −− + ≤≤ ≥

𝑥𝑥2 es libre:𝑥𝑥2 = 𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2

1 2 2 3

1 2 2 3

1 2 2 3

1 2 2 3

min 2 2 2 32 2

40; 0; 0; 0

F y y z xy y z x

y y z xy y z x

= − + − −+ − − ≤

− − + + ≤≥ ≥ ≥ ≥

1 2 2 3 1 2

1 2 2 3 1

1 2 2 3 2

1 2 2 3 1 2

min 2 2 2 3 0 02 2

40; 0; 0; 0; 0; 0

F y y z x h hy y z x h

y y z x hy y z x h h

= − + − − + ++ − − + =

− − + + + =≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

v. holgura min F1 2 2 3 1 2

1 2 2 3 1

1 2 2 3 2

1 2 2 3 1 2

max 2 2 2 3 0 02 2

40; 0; 0; 0; 0; 0

G y y z x h hy y z x h


= − + + − −+ − − + =

− − + + + =≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 2 2 32

40; es libre; 0

2F x x x

x x xx x xx x x

= + −− + ≥− +

−≤

≤ ≥

𝑥𝑥1≤0:𝑥𝑥1 = −𝑦𝑦11 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 2 2 32 2

40; es libre; 0

F x x xx x x

x x xx x x

= + −−− + ≤

≤

≤

+

≥

−

Ejercicios Tema 3 7

6. b) Obtener una Solución Factible Básica (SFB) del problema en su forma estándar

1 2 2 3 1 2

1 2 2 3 1

1 2 2 3 2

1 2 2 3 1 2

max 2 2 2 3 0 02 2

40; 0; 0; 0; 0; 0



= − + + − −+ − − + =

− − + + + =≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

• El problema tiene m=2 ecuaciones con n=6 incógnitas.• Para obtener una SFB habrá que igualar a 0 n-m=4 variables (variables no básicas), sustituir dichos valores en el

sistema y encontrar el valor de las m=2 variables restantes (variables básicas), resolviendo el sistema obtenido. • Si los valores encontrados de estas variables son mayores o iguales a cero, entonces se habrá obtenido una SFB.

Ejemplo: tomemos 𝑦𝑦1 = 0,𝑦𝑦2 = 0, 𝑧𝑧2 = 0, ℎ1 = 0Sustituyendo estos valores en el sistema de ecuaciones lineales de la forma estándar, se obtiene el sistema:

� −2𝑥𝑥3 = 2𝑥𝑥3 + ℎ2 = 4

Cuyas soluciones son 𝑥𝑥3=-1 y ℎ2=5. Como uno de los valores es negativo (𝑥𝑥3), entonces

𝑦𝑦1 = 0,𝑦𝑦2 = 0, 𝑧𝑧2 = 0, ℎ1 = 0, 𝑥𝑥3 = −1, ℎ2 = 5

no forman una SFB del problema en su forma estándar

Ejercicios Tema 3 8

6. b) Continuación

1 2 2 3 1 2

1 2 2 3 1

1 2 2 3 2

1 2 2 3 1 2

max 2 2 2 3 0 02 2

40; 0; 0; 0; 0; 0



= − + + − −+ − − + =

− − + + + =≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

Ejemplo: tomemos 𝑦𝑦1 = 0,𝑦𝑦2 = 0, 𝑧𝑧2 = 0, 𝑥𝑥3 = 0Sustituyendo estos valores en el sistema de ecuaciones lineales de la forma estándar, se obtiene el sistema:

�ℎ1 = 2ℎ2 = 4

Como todos los valores de las variables son mayores o iguales a 0, entonces

𝑦𝑦1 = 0,𝑦𝑦2 = 0, 𝑧𝑧2 = 0, 𝑥𝑥3 = 0, ℎ1 = 2, ℎ2 = 4

forman una SFB del problema en su forma estándar, siendo ℎ1, ℎ2 la base.

Ejercicios Tema 3 9

7. a) Convertir a la forma estándar el siguiente problema de programación lineal:

1 2

1 2

1 2

1 2

min 22

4 es libre; 0

F x xx xx xx x

= +− ≥ −+ ≤

≥


1 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

min 22

40; 0; 0

F y z xy z x

y z xy z x

= − +− + + ≤− + ≤≥ ≥ ≥

1 2

1 2

1 2

1 2

min 22

4 es libre; 0

F x xx x

x xx x

= +− ≤++

≤≥

1 1 2 1 2

1 1 2 1

1 1 2 2

1 1 2 1 2

min 2 0 02

40; 0; 0; 0; 0

F y z x h hy z x h

y z x hy z x h h

= − + + +− + + + =− + + =≥ ≥ ≥ ≥ ≥

v. holgura min F1 1 2 1 2

1 1 2 1

1 1 2 2

1 1 2 1 2

max 2 0 02

40; 0; 0; 0; 0

G y z x h hy z x h

y z x hy z x h h

= − + − − −− + + + =− + + =≥ ≥ ≥ ≥ ≥

Ejercicios Tema 3 10

7. b) Obtener una Solución Factible Básica (SFB) del problema en su forma estándar

max𝐺𝐺 = −𝑦𝑦1 + 𝑧𝑧1 − 2𝑥𝑥2 − 0ℎ1 − 0ℎ2

−𝑦𝑦1 + 𝑧𝑧1 + 𝑥𝑥2 + ℎ1 = 2𝑦𝑦1 − 𝑧𝑧1 + 𝑥𝑥2 + ℎ2 = 4

𝑦𝑦1 ≥ 0; 𝑧𝑧1 ≥ 0; 𝑥𝑥2 ≥ 0; ℎ1 ≥ 0; ℎ2 ≥ 0

5 incógnitas con 2 ecuaciones → Hay que dar un valor igual a cero a 3 incógnitas:

• 𝑦𝑦1 = 𝑧𝑧1 = 𝑥𝑥2 = 0Sustituyendo en las ecuaciones, resulta ℎ1 = 2 y ℎ2 = 4

{𝑦𝑦1= 0, 𝑧𝑧1 = 0, 𝑥𝑥2 = 0, ℎ1 = 2, ℎ2 = 4}Forman una SFB

Base de la SFB: {ℎ1, ℎ2}

Formaestándar

Ejercicios Tema 311

max𝐹𝐹 = 𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 2

4𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 12𝑥𝑥1 ≥ 0; 𝑥𝑥2 ≥ 0

max𝐹𝐹 = 𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 − 0ℎ1 − 0ℎ2𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + ℎ1 = 2

4𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + ℎ2 = 12𝑥𝑥1 ≥ 0; 𝑥𝑥2 ≥ 0; ℎ1 ≥ 0; ℎ2 ≥ 0

𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑗𝑗 → 1 4 0 0↓ 𝑥𝑥1 𝒙𝒙𝟐𝟐 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏0 ℎ1 1 𝟐𝟐 1 0 20 ℎ2 4 𝟑𝟑 0 1 12

𝑤𝑤𝑗𝑗 → 1 4 0 0 𝐹𝐹 = 0

𝑧𝑧1 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎11 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎21 = 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 4 = 0𝑧𝑧2 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎12 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎22 = 0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 = 0𝑧𝑧3 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎13 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎23 = 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 = 0𝑧𝑧4 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎14 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎24 = 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 = 0

𝑤𝑤1 = 𝑐𝑐1 − 𝑧𝑧1 = 1 − 0 = 1𝑤𝑤2 = 𝑐𝑐2 − 𝑧𝑧2 = 4 − 0 = 4𝑤𝑤3 = 𝑐𝑐3 − 𝑧𝑧3 = 0 − 0 = 0𝑤𝑤4 = 𝑐𝑐4 − 𝑧𝑧4 = 0 − 0 = 0

⁄2 𝟐𝟐 = 1⁄12 𝟑𝟑 = 4

Sale ℎ1 de la base: menor razón

𝐹𝐹 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑏𝑏1 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑏𝑏2 = 0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 12 = 0

1ª Tabla:

𝑧𝑧𝑗𝑗 = �𝑖𝑖=1

2

𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏𝑖𝑖 ⋅ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑤𝑤𝑗𝑗 = 𝑐𝑐𝑗𝑗 − 𝑧𝑧𝑗𝑗

Entra 𝑥𝑥2 en la nueva base: mayor wj>0

El sistema está en la forma canónica respecto de la base ℎ1, ℎ2

SFB inicial: {𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = 0, ℎ1 = 2, ℎ2 = 12}

𝐴𝐴 =𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏1 2 1 0 24 3 0 1 12

8. Resolver el siguiente problema de programación lineal mediante el método del símplex, buscando una SFB inicial:


𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑗𝑗 → 1 4 0 0↓ 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏4 𝑥𝑥2 0.5 1 0.5 0 10 ℎ2 2.5 0 −1.5 1 9

𝑤𝑤𝑗𝑗 → −1 0 −2 0 𝐹𝐹 = 4

𝑧𝑧1 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎11 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎21 = 4 ⋅ 0.5 + 0 ⋅ 2.5 = 2𝑧𝑧2 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎12 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎22 = 4 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 = 4

𝑧𝑧3 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎13 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎23 = 4 ⋅ 0.5 + 0 ⋅ −1.5 = 2𝑧𝑧4 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎14 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎24 = 4 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 = 0

𝑤𝑤1 = 𝑐𝑐1 − 𝑧𝑧1 = 1 − 2 = −1𝑤𝑤2 = 𝑐𝑐2 − 𝑧𝑧2 = 4 − 4 = 0𝑤𝑤3 = 𝑐𝑐3 − 𝑧𝑧3 = 0 − 2 = −2𝑤𝑤4 = 𝑐𝑐4 − 𝑧𝑧4 = 0 − 0 = 0

Todos los valores wi son menores o iguales a 0 → hay solución del problema estándar

Solución problema estándar: 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = 1, ℎ1 = 0, ℎ2 = 9,𝐹𝐹 = 4

Solución problema original: 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = 1,𝐹𝐹 = 4

𝐵𝐵 = 2 03 1

𝐵𝐵−1 = 0.5 0−1.5 1

2ª Tabla:


2



𝐵𝐵−1𝐴𝐴∗ =𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏0.5 1 0.5 0 12.5 0 −1.5 1 9

𝐴𝐴∗ =𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏1 2 1 0 24 3 0 1 12

𝐹𝐹 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑏𝑏1 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑏𝑏2 = 4 ⋅ 1 + 0 ⋅ 9 = 4

Nueva base 𝑥𝑥2, ℎ2 El sistema está en la forma canónica en la base 𝑥𝑥2, ℎ2


9. Resolver el siguiente problema de programación lineal

v. holgura

max 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2𝑥𝑥1 ≤ 4𝑥𝑥2 ≤ 6

3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 18𝑥𝑥1 ≥ 0, 𝑥𝑥2 ≥ 0

max 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 0 ⋅ ℎ1 + 0 ⋅ ℎ2 + 0 ⋅ ℎ3𝑥𝑥1 + ℎ1 = 4𝑥𝑥2 + ℎ2 = 6

3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + ℎ3 = 18𝑥𝑥1 ≥ 0, 𝑥𝑥2 ≥ 0, ℎ1 ≥ 0, ℎ2 ≥ 0, ℎ3 ≥ 0

Problema en forma estándar

SFB: 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = 0, 𝑥𝑥3 = 0, ℎ1 = 4, ℎ2 = 6, ℎ3 = 18

Base = ℎ1, ℎ2, ℎ3El sistema de ecuaciones lineales está en la forma canónica respecto de la base (ver matriz ampliada A* )

A∗ =1 0 1 0 0 40 1 0 1 0 63 2 0 0 1 18

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝑏𝑏


cj→ c1=1 c2=2 c3=0 c4=0 c5=0

cvb(i) xvb(i) x1 x2 h1 h2 h3 b

c3=0 h1 1 0 1 0 0 4

c4=0 h2 0 1 0 1 0 6c5=0 h3 3 2 0 0 1 18

wj→

6/1=6

18/2=9

4/0

A∗ =1 0 1 0 0 40 1 0 1 0 63 2 0 0 1 18


𝑧𝑧1 = 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 3 = 0 𝑤𝑤1 = 𝑐𝑐1 − 𝑧𝑧1 = 1 − 0 = 1

𝑧𝑧2 = 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 = 0 𝑤𝑤2 = 𝑐𝑐2 − 𝑧𝑧2 = 2 − 0 = 2

𝑧𝑧3 = 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 0 𝑤𝑤3 = 𝑐𝑐3 − 𝑧𝑧3 = 0 − 0 = 0

𝑧𝑧4 = 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 =0 𝑤𝑤4 = 𝑐𝑐4 − 𝑧𝑧4 = 0 − 0 = 0

𝑧𝑧5 = 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 =0 𝑤𝑤5 = 𝑐𝑐5 − 𝑧𝑧5 = 0 − 0 = 0

w1=1 w2=2 w3=0 w4=0 w5=0 F=0

𝐹𝐹 = 0 ⋅ 4 + 0 ⋅ 6 + 0 ⋅ 18 =0

x2 entra en la Base

h2 sale de la Base

Mayor wj

Menor razón



𝑚𝑚

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑗𝑗𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏 𝑖𝑖 𝑗𝑗 = 1,⋯ ,𝑛𝑛

𝐹𝐹 = �𝑖𝑖=1

𝑚𝑚

𝑏𝑏𝑖𝑖𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏(𝑖𝑖)

Nueva base = ℎ1, 𝑥𝑥2, ℎ3

max 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 0 ⋅ ℎ1 + 0 ⋅ ℎ2 + 0 ⋅ ℎ3

15

𝐴𝐴∗≡𝐵𝐵−1𝐴𝐴∗ =1 0 1 0 0 40 1 0 1 0 63 0 0 −2 1 6

ℎ1 ℎ3𝑥𝑥2

𝐴𝐴∗ =1 0 1 0 0 40 1 0 1 0 63 2 0 0 1 18

𝐵𝐵 =1 0 00 1 00 2 1

ℎ1 ℎ3𝑥𝑥2

𝐵𝐵−1 =1 0 00 1 00 −2 1

Nueva base = ℎ1, 𝑥𝑥2, ℎ3

ℎ1 ℎ3𝑥𝑥2

Ejercicios Tema 3

16

cj→ c1=1 c2=2 c3=0 c4=0 c5=0


c3=0 h1 1 0 1 0 0 4

c2=2 x2 0 1 0 1 0 6c5=0 h3 3 0 0 −2 1 6

wj→

6/0

6/3=2

4/1=4

A∗ =1 0 1 0 0 40 1 0 1 0 63 0 0 −2 1 6


𝑧𝑧1 = 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 3 = 0 𝑤𝑤1 = 𝑐𝑐1 − 𝑧𝑧1 = 1 − 0 = 1

𝑧𝑧2 = 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 = 2 𝑤𝑤2 = 𝑐𝑐2 − 𝑧𝑧2 = 2 − 2 = 0

𝑧𝑧3 = 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 0 𝑤𝑤3 = 𝑐𝑐3 − 𝑧𝑧3 = 0 − 0 = 0

𝑧𝑧4 = 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 + 0(−2) = 2 𝑤𝑤4 = 𝑐𝑐4 − 𝑧𝑧4 = 0 − 2 = −2

𝑧𝑧5 = 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 =0 𝑤𝑤5 = 𝑐𝑐5 − 𝑧𝑧5 = 0 − 0 = 0

w1=1 w2=0 w3=0 w4= −2 w5=0 F=12

𝐹𝐹 = 0 ⋅ 4 + 2 ⋅ 6 + 0 ⋅ 18 =12

x1 entra en la Base

h3 sale de la Base

Mayor wj>0

Menor razón



𝑚𝑚



𝑚𝑚


Nueva base = ℎ1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥1

Ejercicios Tema 3

17

𝐴𝐴∗≡𝐵𝐵−1𝐴𝐴∗ =0 0 1 2/3 −1/3 20 1 0 1 0 61 0 0 −2/3 1/3 2

𝐵𝐵 =1 0 10 1 00 0 3

ℎ1 𝑥𝑥1𝑥𝑥2

𝐵𝐵−1 =1 0 −1/30 1 00 0 1/3

ℎ1𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

𝐴𝐴∗ =1 0 1 0 0 40 1 0 1 0 63 0 0 −2 1 6

Nueva base = ℎ1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥1ℎ1𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

Ejercicios Tema 3

18

cj→ c1=1 c2=2 c3=0 c4=0 c5=0


c3=0 h1 0 0 1 2/3 −1/3 2

c2=2 x2 0 1 0 1 0 6c1=1 x1 1 0 0 −2/3 1/3 2

wj→

A∗ =1 0 1 0 0 40 1 0 1 0 63 0 0 −2 1 6


𝑧𝑧1 = 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 = 1 𝑤𝑤1 = 𝑐𝑐1 − 𝑧𝑧1 = 1 − 1 = 0

𝑧𝑧2 = 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 = 2 𝑤𝑤2 = 𝑐𝑐2 − 𝑧𝑧2 = 2 − 2 = 0

𝑧𝑧3 = 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 = 0 𝑤𝑤3 = 𝑐𝑐3 − 𝑧𝑧3 = 0 − 0 = 0

𝑧𝑧4 = 0 ⋅ 2/3 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−2/3) = 4/3 𝑤𝑤4 = 𝑐𝑐4 − 𝑧𝑧4 = 0 − 4/3 = −4/3

𝑧𝑧5 = 0 ⋅ (−1/3) + 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ (1/3) = 1/3 𝑤𝑤5 = 𝑐𝑐5 − 𝑧𝑧5 = 0 − 1/3 = −1/3

w1=0 w2=0 w3=0 w4= −4/3 w5= −1/3 F=14

𝐹𝐹 = 0 ⋅ 4 + 2 ⋅ 6 + 1 ⋅ 2 =14

El método simplex ha finalizado (𝑤𝑤𝑗𝑗 ≤ 0)



𝑚𝑚



𝑚𝑚


Solución problema estándar:h1 = 2, x2 = 6, x1 = 2, h2 = 0,h3 = 0

F = 14

Solución problema original:x2 = 6, x1 = 2

F = 14

Ejercicios Tema 3


10. Resolver el siguiente problema de programación lineal mediante el método del simplex, buscando una SFB inicial:

min𝐹𝐹 = 4𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥22𝑥𝑥1 − 5𝑥𝑥2 ≤ 2𝑥𝑥1−𝑥𝑥2 ≤ −3

𝑥𝑥1 es libre; 𝑥𝑥2 ≤ 0

Paso a la forma estándar:

min𝐹𝐹 = 4𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥22𝑥𝑥1 − 5𝑥𝑥2 ≤ 2−𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 3𝑥𝑥1 es libre; 𝑥𝑥2 ≤ 0


𝑥𝑥2 ≤ 0:𝑥𝑥2 = −𝑦𝑦2

min𝐹𝐹 = 4𝑦𝑦1 − 4𝑧𝑧1 − 2𝑦𝑦22𝑦𝑦1 − 2𝑧𝑧1 + 5𝑦𝑦2 ≤ 2−𝑦𝑦1 + 𝑧𝑧1 − 𝑦𝑦2 ≥ 3𝑦𝑦1 ≥ 0; 𝑧𝑧1 ≥ 0; 𝑦𝑦2 ≥ 0

min𝐹𝐹 = 4𝑦𝑦1 − 4𝑧𝑧1 − 2𝑦𝑦2 + 0ℎ1 + 0ℎ22𝑦𝑦1 − 2𝑧𝑧1 + 5𝑦𝑦2 + ℎ1 = 2−𝑦𝑦1 + 𝑧𝑧1 −𝑦𝑦2 − ℎ2 = 3𝑦𝑦1 ≥ 0; 𝑧𝑧1 ≥ 0; 𝑦𝑦2 ≥ 0; ℎ1 ≥ 0; ℎ2 ≥ 0

v. holgura min Fmax𝐺𝐺 = −4𝑦𝑦1 + 4𝑧𝑧1 + 2𝑦𝑦2 − 0ℎ1 − 0ℎ2

2𝑦𝑦1 − 2𝑧𝑧1 + 5𝑦𝑦2 + ℎ1 = 2−𝑦𝑦1 + 𝑧𝑧1− 𝑦𝑦2− ℎ2 = 3𝑦𝑦1 ≥ 0; 𝑧𝑧1 ≥ 0; 𝑦𝑦2 ≥ 0; ℎ1 ≥ 0; ℎ2 ≥ 0


𝐴𝐴∗ =𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 𝑦𝑦2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏2 −2 5 1 0 2−1 1 −1 0 −1 3

No hay ninguna SFB tal que el sistema esté en la forma canónica

Buscar una SFB

SFB:𝑦𝑦1 = 0, 𝑦𝑦2 = 0, ℎ2 = 0, 𝑧𝑧1 = 3, ℎ1 = 8

Base de la SFB: 𝑧𝑧1, ℎ1

Transformar sistema a la forma canónica

𝐵𝐵 = −2 11 0

𝐵𝐵−1 = 0 11 2

𝐴𝐴∗≡𝐵𝐵−1𝐴𝐴∗ =𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 𝑦𝑦2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏−1 1 −1 0 −1 30 0 3 1 −2 8

𝐴𝐴∗ =𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 𝑦𝑦2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏2 −2 5 1 0 2−1 1 −1 0 −1 3

𝑦𝑦1 = 0, 𝑦𝑦2 = 0, ℎ2 = 0 −2𝑧𝑧1 + ℎ1 = 2𝑧𝑧1 = 3

ℎ1 = 8𝑧𝑧1 = 3

max𝐺𝐺 = −4𝑦𝑦1 + 4𝑧𝑧1 + 2𝑦𝑦2 − 0ℎ1 − 0ℎ22𝑦𝑦1 − 2𝑧𝑧1 + 5𝑦𝑦2 + ℎ1 = 2−𝑦𝑦1 + 𝑧𝑧1− 𝑦𝑦2− ℎ2 = 3𝑦𝑦1 ≥ 0; 𝑧𝑧1 ≥ 0; 𝑦𝑦2 ≥ 0; ℎ1 ≥ 0; ℎ2 ≥ 0


𝐴𝐴∗ =𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 𝑦𝑦2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏−1 1 −1 0 −1 30 0 3 1 −2 8

1ª tabla del Simplex

𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑗𝑗 → −4 4 2 0 0↓ 𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 𝑦𝑦2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏4 𝑧𝑧1 −1 1 −1 0 −1 30 ℎ1 0 0 3 1 −2 8

𝑤𝑤𝑗𝑗 →

𝑤𝑤1 = 𝑐𝑐1 − 𝑡𝑡1 = −4 − −4 = 0𝑤𝑤2 = 𝑐𝑐2 − 𝑡𝑡2 = 4 − 4 = 0

𝑤𝑤3 = 𝑐𝑐3 − 𝑡𝑡3 = 2 − −4 = 6𝑤𝑤4 = 𝑐𝑐4 − 𝑡𝑡4 = 0 − 0 = 0

𝑤𝑤5 = 𝑐𝑐5 − 𝑡𝑡5 = 0 − −4 = 4

ℎ1 sale de la base de la SFB, pues tiene la menor razón

𝑡𝑡𝑗𝑗 = �𝑖𝑖=1

2


𝑤𝑤𝑗𝑗 = 𝑐𝑐𝑗𝑗 − 𝑡𝑡𝑗𝑗

𝐺𝐺 = �𝑖𝑖=1

2

𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏𝑖𝑖 ⋅ 𝑏𝑏𝑖𝑖

3/( − 1)

𝐺𝐺 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑏𝑏1 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑏𝑏2 = 4 ⋅ 3 + 0 ⋅ 8 = 12

𝑦𝑦2 entra en la base de la nueva SFB, pues tiene el mayor 𝑤𝑤𝑗𝑗

𝐺𝐺 = 12

Nueva base: 𝑧𝑧1,𝑦𝑦2

8/30 0 6 0 4

𝑡𝑡1 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎11 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎21 = 4 ⋅ −1 + 0 ⋅ 0 = −4𝑡𝑡2 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎12 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎22 = 4 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 = 4

𝑡𝑡3 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎13 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎23 = 4 ⋅ −1 + 0 ⋅ 3 = −4𝑡𝑡4 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎14 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎24 = 4 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 = 0

𝑡𝑡5 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎15 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎25 = 4 ⋅ −1 + 0 ⋅ −2 = −4


2ª tabla del SimplexForma canónica del sistema en la base 𝑧𝑧1,𝑦𝑦2

𝐵𝐵 = 1 −10 3

𝐵𝐵−1 = 1 1/30 1/3

𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑗𝑗 → −4 4 2 0 0↓ 𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 𝑦𝑦2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏4 𝑧𝑧1 −1 1 0 1/3 −4/3 17/32 𝑦𝑦2 0 0 1 1/3 −1/3 8/3

𝑤𝑤𝑗𝑗 →

𝑡𝑡𝑗𝑗 = �𝑖𝑖=1

2


𝑤𝑤𝑗𝑗 = 𝑐𝑐𝑗𝑗 − 𝑡𝑡𝑗𝑗


2


𝑡𝑡1 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎11 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎21 = 4 ⋅ −1 + 2 ⋅ 0 = −4𝑡𝑡2 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎12 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎22 = 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 = 4𝑡𝑡3 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎13 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎23 = 4 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 = 2

𝑡𝑡4 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎14 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎24 = 4 ⋅ 1/3 + 2 ⋅ 1/3 = 2𝑡𝑡5 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎15 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎25 = 4 ⋅ −4/3 + 2 ⋅ −1/3 = −8

Nueva base 𝑧𝑧1, 𝑦𝑦2

𝐴𝐴∗ =𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 𝑦𝑦2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏−1 1 −1 0 −1 30 0 3 1 −2 8

𝐵𝐵−1𝐴𝐴∗ =𝑦𝑦1 𝑧𝑧1 𝑦𝑦2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏−1 1 0 1/3 −4/3 17/30 0 1 1/3 −1/3 8/3

𝑤𝑤1 = 𝑐𝑐1 − 𝑡𝑡1 = −4 − −4 = 0𝑤𝑤2 = 𝑐𝑐2 − 𝑡𝑡2 = 4 − 4 = 0𝑤𝑤3 = 𝑐𝑐3 − 𝑡𝑡3 = 2 − 2 = 0𝑤𝑤4 = 𝑐𝑐4 − 𝑡𝑡4 = 0 − 2 = −2𝑤𝑤5 = 𝑐𝑐5 − 𝑡𝑡5 = 0 − −8 = 8

ℎ2 entra en la base de la nueva SFB, pues tiene el mayor wj>0

⁄17 3− ⁄4 3

⁄8 3− ⁄1 3

No hay solución del problema, pues no se pueden calcular las razones, al tener el denominador negativo

𝐺𝐺 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑏𝑏1 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑏𝑏2 = 4 ⋅ 17/3 + 2 ⋅ 8/3 = 28

0 0 0 −2 8 𝐺𝐺 = 28

Añadir una variable

artificial


11. Resolver el siguiente problema de programación lineal mediante el método del simplex utilizando variables artificiales para encontrar una solución factible básica inicial:

min𝐹𝐹 = 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2𝑥𝑥1−𝑥𝑥2 ≥ 2𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 ≤ 4

𝑥𝑥1 ≥ 0; 𝑥𝑥2 ≥ 0

Paso a la forma estándar:

min𝐹𝐹 = 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 0ℎ1 + 0ℎ2𝑥𝑥1−𝑥𝑥2 − ℎ1 = 2𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 + ℎ2 = 4

𝑥𝑥1 ≥ 0; 𝑥𝑥2 ≥ 0; ℎ1 ≥ 0; ℎ2 ≥ 0

v. holgura min Fmax𝐺𝐺 = −𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 − 0ℎ1 − 0ℎ2𝑥𝑥1−𝑥𝑥2 − ℎ1 = 2𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 + ℎ2 = 4

𝑥𝑥1 ≥ 0; 𝑥𝑥2 ≥ 0; ℎ1 ≥ 0; ℎ2 ≥ 0

𝐴𝐴∗ =𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ℎ1 ℎ2 𝑏𝑏1 −1 −1 0 21 1 0 1 4

𝐴𝐴∗ =𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ℎ1 ℎ2 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 −1 −1 0 1 21 1 0 1 0 4

Base 𝑎𝑎1,ℎ2


𝐴𝐴∗ =𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ℎ1 ℎ2 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 −1 −1 0 1 21 1 0 1 0 4

max𝐺𝐺 = −𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 − 0ℎ1 − 0ℎ2 − 1000𝑎𝑎1𝑥𝑥1−𝑥𝑥2 − ℎ1 + 𝑎𝑎1 = 2𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 + ℎ2 = 4

𝑥𝑥1 ≥ 0; 𝑥𝑥2 ≥ 0; ℎ1 ≥ 0; ℎ2 ≥ 0; 𝑎𝑎1 ≥ 0

Penalización

𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑗𝑗 → −1 −2 0 0 −1000↓ 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ℎ1 ℎ2 𝑎𝑎1 𝑏𝑏

−1000 𝑎𝑎1 1 −1 −1 0 1 20 ℎ2 1 1 0 1 0 4

𝑤𝑤𝑗𝑗 → −1000 0 0 𝐺𝐺 = −2000

𝑧𝑧1 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎11 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎21 = −1000 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 = −1000𝑧𝑧2 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎12 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎22 = −1000 ⋅ −1 + 0 ⋅ 1 = 1000𝑧𝑧3 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎13 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎23 = −1000 ⋅ −1 + 0 ⋅ 0 = 1000

𝑧𝑧4 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎14 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎24 = −1000 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 = 0𝑧𝑧5 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎15 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎25 = −1000 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 = −1000

𝑤𝑤1 = 𝑐𝑐1 − 𝑧𝑧1 = −1 − −1000 = 999𝑤𝑤2 = 𝑐𝑐2 − 𝑧𝑧2 = −2 − 1000 = −1002𝑤𝑤3 = 𝑐𝑐3 − 𝑧𝑧3 = 0 − 1000 = −1000

𝑤𝑤4 = 𝑐𝑐4 − 𝑧𝑧4 = 0 − 0 = 0𝑤𝑤5 = 𝑐𝑐5 − 𝑧𝑧5 = −1000 − −1000 = 0

𝐺𝐺 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑏𝑏1 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑏𝑏2 = −1000 ⋅ 2 + 0 ⋅ 4 = −2000

𝑎𝑎1: 2/1= 2ℎ2: ⁄4 1 = 4

Sale 𝑎𝑎1: menor razón1ª Tabla:


2




2


Entra 𝑥𝑥1 en la nueva base: mayor wj>0

Base ℎ2, 𝑎𝑎1

999 −1002 −1000 0 0 𝐺𝐺 = −2000Nueva base 𝑥𝑥1,ℎ2


𝐵𝐵 = 1 01 1

𝐵𝐵−1 = 1 0−1 1

𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑗𝑗 → −1 −2 0 0 −1000↓ 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ℎ1 ℎ2 𝑎𝑎1 𝑏𝑏−1 𝑥𝑥1 1 −1 −1 0 1 20 ℎ2 0 2 1 1 −1 2

𝑤𝑤𝑗𝑗 → 0 −3 −1 0 −999 𝐺𝐺 = −2

𝑧𝑧1 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎11 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎21 = −1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 = −1𝑧𝑧2 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎12 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎22 = −1 ⋅ −1 + 0 ⋅ 2 = 1𝑧𝑧3 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎13 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎23 = −1 ⋅ −1 + 0 ⋅ 1 = 1𝑧𝑧4 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎14 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎24 = −1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 = 0

𝑧𝑧5 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑎𝑎15 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑎𝑎25 = −1 ⋅ 1 + 0 ⋅ −1 = −1

𝑤𝑤1 = 𝑐𝑐1 − 𝑧𝑧1 = −1 − −1 = 0𝑤𝑤2 = 𝑐𝑐2 − 𝑧𝑧2 = −2 − 1 = −3𝑤𝑤3 = 𝑐𝑐3 − 𝑧𝑧3 = 0 − 1 = −1𝑤𝑤4 = 𝑐𝑐4 − 𝑧𝑧4 = 0 − 0 = 0

𝑤𝑤5 = 𝑐𝑐5 − 𝑧𝑧5 = −1000 − −1 = −999

𝐺𝐺 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏1 ⋅ 𝑏𝑏1 + 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏2 ⋅ 𝑏𝑏2 = −1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 = −2

Solución problema en forma estándar: 𝑥𝑥1 = 2, 𝑥𝑥2 = 0, ℎ1 = 0, ℎ2 = 2, 𝑎𝑎1 = 0, valor máximo: 𝐺𝐺 = −2

Solución problema original: 𝑥𝑥1 = 2, 𝑥𝑥2 = 0, valor mínimo: 𝐹𝐹 = −G = − −2 = 2

𝐴𝐴∗ =𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ℎ1 ℎ2 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 −1 −1 0 1 21 1 0 1 0 4

Nueva base 𝑥𝑥1,ℎ2

𝐵𝐵−1𝐴𝐴∗ =𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ℎ1 ℎ2 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 −1 −1 0 1 20 2 1 1 −1 2

Forma canónica en la base 𝑥𝑥1, ℎ2


2




2

𝑐𝑐𝑣𝑣𝑏𝑏𝑖𝑖 ⋅ 𝑏𝑏𝑖𝑖 El problema tiene solución en su forma estándar, pues 𝑤𝑤𝑗𝑗 ≤ 0,∀𝑗𝑗

0 −3 −1 0 −999 𝐺𝐺 = −2

Ejercicio 12 (corresponde al ejercicio 13 de teoría) Dado el siguiente problema de optimización:min𝐹𝐹 (𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3

�−𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥3 ≤ −3−𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 42𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 5

𝑥𝑥1 ≥ 0, 𝑥𝑥2 ≡ libre, 𝑥𝑥3 ≤ 0

Obtener una SBF inicial añadiendo variables artificiales y proporcionar los datos de entrada a la función del simplex

min𝐹𝐹 (𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3

�𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥3 ≥ 3−𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 42𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 5

𝑥𝑥1 ≥ 0, 𝑥𝑥2 ≡ libre, 𝑥𝑥3 ≤ 0

min𝐹𝐹 𝑥𝑥 = −3𝑥𝑥1 + 2𝑦𝑦2 − 2𝑧𝑧2 − 4𝑦𝑦3

�𝑥𝑥1 −2𝑦𝑦3 ≥ 3−𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 − 𝑦𝑦3 = 42𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2 ≤ 5

𝑥𝑥1 ≥ 0,𝑦𝑦2 ≥ 0, 𝑧𝑧2 ≥ 0, 𝑦𝑦3 ≥ 0

𝑥𝑥2 = 𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2

𝑥𝑥3 = −𝑦𝑦3

min𝐹𝐹 (𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥1 + 2𝑦𝑦2 − 2𝑧𝑧2 − 4𝑦𝑦3+ 0⋅ℎ1 + 0⋅ ℎ3

�𝑥𝑥1 −2𝑦𝑦3 − ℎ1 = 3−𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 − 𝑦𝑦3 = 42𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2 + ℎ3 = 5

𝑥𝑥1 ≥ 0,𝑦𝑦2 ≥ 0, 𝑧𝑧2 ≥ 0, 𝑦𝑦3 ≥ 0, ℎ1 ≥ 0, ℎ3 ≥ 0

Variablesholgura


max𝐺𝐺 𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥1 − 2𝑦𝑦2 + 2𝑧𝑧2 + 4𝑦𝑦3+ 0⋅ℎ1 + 0⋅ ℎ3 −1000 𝑎𝑎1 −1000 𝑎𝑎2

�𝑥𝑥1 −2𝑦𝑦3 − ℎ1 + 𝑎𝑎1 = 3−𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 − 𝑦𝑦3 + 𝑎𝑎2 = 42𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2 + ℎ3 = 5

𝑥𝑥1 ≥ 0,𝑦𝑦2 ≥ 0, 𝑧𝑧2 ≥ 0, 𝑦𝑦3 ≥ 0, ℎ1 ≥ 0,ℎ3 ≥ 0,𝑎𝑎1 ≥ 0, 𝑎𝑎2 ≥ 0

max𝐺𝐺 𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥1 − 2𝑦𝑦2 + 2𝑧𝑧2 + 4𝑦𝑦3+ 0⋅ℎ1 + 0⋅ ℎ3


𝑥𝑥1 ≥ 0,𝑦𝑦2 ≥ 0, 𝑧𝑧2 ≥ 0, 𝑦𝑦3 ≥ 0, ℎ1 ≥ 0, ℎ3 ≥ 0


min𝐹𝐹 (𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥1 + 2𝑦𝑦2 − 2𝑧𝑧2 − 4𝑦𝑦3+ 0⋅ℎ1 + 0⋅ ℎ3


𝑥𝑥1 ≥ 0,𝑦𝑦2 ≥ 0, 𝑧𝑧2 ≥ 0, 𝑦𝑦3 ≥ 0, ℎ1 ≥ 0, ℎ3 ≥ 0

1 0 0 −2 −1 0 30 −1 1 −1 0 0 42 1 −1 0 0 1 5

𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 𝑦𝑦3 ℎ1 ℎ3 𝑏𝑏

1 0 0 −2 −1 0 1 0 30 −1 1 −1 0 0 0 1 42 1 −1 0 0 1 0 0 5

𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 𝑦𝑦3 ℎ1 ℎ3 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏

Ejercicios Tema 328

Función simplex

Ejercicio 13 a)¿Cómo realizarías una llamada a la función del simplex del ejercicio anterior?


[x,vmax,solucion]=simplex(c,A,b,vb)

c=(3 -2 2 4 0 0 0 -1000 -1000)

b=(3 4 5)

vb=(7 8 6) (índices de las columnas de las variables básicas)

𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 𝑦𝑦3 ℎ1 ℎ3 𝑎𝑎1 𝑎𝑎21 2 3 4 5 6 7 8

max𝐺𝐺 𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥1 − 2𝑦𝑦2 + 2𝑧𝑧2 + 4𝑦𝑦3+ 0⋅ℎ1 + 0⋅ ℎ2 + 0⋅ ℎ3 −1000 𝑎𝑎1 −1000 𝑎𝑎2

�𝑥𝑥1 −2𝑦𝑦3 − ℎ1 + 𝑎𝑎1 = 3−𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 − 𝑦𝑦3 + 𝑎𝑎2 = 42𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2 + ℎ3 = 5

𝑥𝑥1 ≥ 0,𝑦𝑦2 ≥ 0, 𝑧𝑧2 ≥ 0, 𝑦𝑦3 ≥ 0, ℎ1 ≥ 0, ℎ3 ≥ 0

1 0 0 −2 −1 0 1 00 −1 1 −1 0 0 0 12 1 −1 0 0 1 0 0

• La solución del problema en la forma estándar es

Ejercicio 13 b) Supón que los resultados obtenidos al invocar a la función simplex fueran los siguientes:

Indica si el problema tiene solución, y en su caso muestra la solución del problema original

x = 5 0 5 1 0 0 0 0 vmax = 29 solucion = 1

• Puesto que la variable solucion vale 1, el problema en forma estándar tiene solución. Hay que comprobar si el problema original tiene solución: esto sucederá si el valor de las variables artificiales es 0

• Como las dos variables artificiales valen a1=0 y a2=0, el problema tiene solución (no son variables básicas en la solución)

𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 𝑧𝑧2 𝑦𝑦3 ℎ1 ℎ2 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2

Solución problema original𝑥𝑥1 = 5𝑥𝑥2 = 𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2 = 0 − 5 = −5𝑥𝑥3 = −𝑦𝑦3 = −1min𝐹𝐹 (𝑥𝑥) = −max −𝐺𝐺(𝑥𝑥) = −29

𝑥𝑥2 = 𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2𝑥𝑥3 = −𝑦𝑦3

x = 5 0 5 1 0 0 0 0


𝑥𝑥1 = 5 𝑦𝑦2 = 0 𝑧𝑧2 = 5 𝑦𝑦3 = 1 ℎ1 = 0 ℎ2 = 0 𝑎𝑎1 = 0 𝑎𝑎2 = 0G=29

Aplicando los cambios de variables iniciales:

Función solver_pl

Ejercicios Tema 331

32

14. Una empresa posee 3 plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 600, 200 y 350 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a 3 tiendas con demandas diarias de 200, 400 y 500 unidades, respectivamente, con un coste mínimo. Los costes de transporte (en euros/unidad) aparecen en la siguiente tabla:

Origen/Destino 𝑑𝑑1 𝑑𝑑2 𝑑𝑑3𝑜𝑜1 25 30 25𝑜𝑜2 20 22 24𝑜𝑜3 16 12 14

a) Plantear las ecuaciones de este problema de transporte.

Oferta: �𝑖𝑖=1

3

𝑎𝑎𝑖𝑖 = 600 + 200 + 100 = 1150

Demanda:�𝑖𝑖=1

3

𝑏𝑏𝑖𝑖 = 200 + 400 + 500 = 1100 Demanda < Oferta

min𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 25𝑥𝑥11 + 30𝑥𝑥12 + 25𝑥𝑥13 + 20𝑥𝑥21 + 22𝑥𝑥22 + 24𝑥𝑥23 + 16𝑥𝑥31 + 12𝑥𝑥32 + 14𝑥𝑥33𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥13 ≤ 600𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥23 ≤ 200𝑥𝑥31 + 𝑥𝑥32 + 𝑥𝑥33 ≤ 350𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥31 = 200𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥32 = 400𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥33 = 500

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗 ≥ 0

x11x12

x13x21 x22

x23

O1𝑎𝑎1 = 600 D1 𝑏𝑏1 = 200

O3𝑎𝑎3 = 350 D3 𝑏𝑏3 = 500

O2𝑎𝑎2 = 200 D2 𝑏𝑏2 = 400

x31x32

x33

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗 = unidades que se envían desde O𝑖𝑖 a D𝑗𝑗

Ejercicios Tema 3

33

[x,vopt,solucion]=solver_pl(objetivo,c,A,b,signor,signov)

𝑐𝑐 = 25 30 25 20 22 24 16 12 14

𝐴𝐴 =

1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 11 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1

𝑏𝑏 = 600 200 350 200 400 500𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑛𝑛𝑜𝑜𝑠𝑠 = 0 0 0 −1 −1 −1𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑛𝑛𝑜𝑜𝑠𝑠 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1

𝑜𝑜𝑏𝑏𝑗𝑗𝑜𝑜𝑡𝑡𝑖𝑖𝑠𝑠𝑜𝑜 = 0

min𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 25𝑥𝑥11 + 30𝑥𝑥12 + 25𝑥𝑥13 + 20𝑥𝑥21 + 22𝑥𝑥22 + 24𝑥𝑥23 + 16𝑥𝑥31 + 12𝑥𝑥32 + 14𝑥𝑥33𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥13 = 600𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥23 = 200𝑥𝑥31 + 𝑥𝑥32 + 𝑥𝑥33 = 350𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥31 ≤ 200𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥32 ≤ 400𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥33 ≤ 500


Ejercicios Tema 3

𝑥𝑥11 𝑥𝑥12 𝑥𝑥13 𝑥𝑥21 𝑥𝑥22 𝑥𝑥23 𝑥𝑥31 𝑥𝑥32 𝑥𝑥33

34

>> [x,vopt,sol]=solver_pl(objetivo,c,A,b,signor,signov)x =

50 0 500 150 50 0 0 350 0vopt =

22050sol =

1

Solución𝑥𝑥11 = 50 𝑥𝑥12 = 0 𝑥𝑥13 = 500 𝑥𝑥21 = 150 𝑥𝑥22 = 50 𝑥𝑥23 = 0 𝑥𝑥31 = 0 𝑥𝑥32 = 350 𝑥𝑥33 = 0

• Desde el origen o1 se envían 50 unidades al destino d1• Desde el origen o1 se envían 0 unidades al destino d2• Desde el origen o1 se envían 500 unidades al destino d3• Desde el origen o2 se envían 150 unidades al destino d1• Desde el origen o2 se envían 50 unidades al destino d2• Desde el origen o2 se envían 0 unidades al destino d3• Desde el origen o3 se envían 0 unidades al destino d1• Desde el origen o3 se envían 350 unidades al destino d2• Desde el origen o3 se envían 0 unidades al destino d3

El valor mínimo de la función de coste es igual a 22050

𝑥𝑥11 𝑥𝑥12 𝑥𝑥13 𝑥𝑥21 𝑥𝑥22 𝑥𝑥23 𝑥𝑥31 𝑥𝑥32 𝑥𝑥33Valores de

Valor óptimo

Hay solución

Ejercicios Tema 3

15. Una empresa dedicada a la fabricación de las aspas de los aerogeneradores de energía eólica dispone de 3 almacenes en losque hay almacenadas 30, 70 y 40 aspas respectivamente. En estos momentos se están construyendo 3 campos de energía eólica en los que se necesitan 60,70 y 50 aspas. Los costes de transporte son los siguientes (en euros/aspa):



3

𝑏𝑏𝑖𝑖 = 60 + 70 + 50 = 180 Demanda > Oferta

𝑂𝑂𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑜𝑜𝑛𝑛/𝐷𝐷𝑜𝑜𝑠𝑠𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑜𝑜 𝑑𝑑1 𝑑𝑑2 𝑑𝑑3𝑜𝑜1 190 170 190𝑜𝑜2 145 120 155𝑜𝑜3 200 175 205

Oferta: �𝑖𝑖=1

3

𝑎𝑎𝑖𝑖 = 30 + 70 + 40 = 140



x11x12

x13x21 x22

x23

O1𝑎𝑎1 = 30 D1 𝑏𝑏1 = 60

O3𝑎𝑎3 = 40 D3 𝑏𝑏3 = 50

O2𝑎𝑎2 = 70 D2 𝑏𝑏2 = 70

x31x32

x33


Ejercicios Tema 3

36





𝑐𝑐 = 190 170 190 145 120 155 200 175 205

𝐴𝐴 =

1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 11 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1

𝑏𝑏 = 30 70 40 60 70 50𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑛𝑛𝑜𝑜𝑠𝑠 = 0 0 0 −1 −1 −1

𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑛𝑛𝑜𝑜𝑠𝑠 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ejercicios Tema 3

𝑥𝑥11 𝑥𝑥12 𝑥𝑥13 𝑥𝑥21 𝑥𝑥22 𝑥𝑥23 𝑥𝑥31 𝑥𝑥32 𝑥𝑥33

>> [x,vopt,sol]=solver_pl(objetivo,c,A,b,signor,signov)x =20 0 10 40 30 0 0 40 0vopt =22100sol =1

37

𝑥𝑥11 𝑥𝑥12 𝑥𝑥13 𝑥𝑥21 𝑥𝑥22 𝑥𝑥23 𝑥𝑥31 𝑥𝑥32 𝑥𝑥33Valores de

Valor óptimo

Hay solución

Solución𝑥𝑥11 = 20 𝑥𝑥12 = 0 𝑥𝑥13 = 10 𝑥𝑥21 = 40 𝑥𝑥22 = 30 𝑥𝑥23 = 0 𝑥𝑥31 = 0 𝑥𝑥32 = 40 𝑥𝑥33 = 0

• Desde el origen o1 se envían 20 unidades al destino d1• Desde el origen o1 se envían 0 unidades al destino d2• Desde el origen o1 se envían 10 unidades al destino d3• Desde el origen o2 se envían 40 unidades al destino d1• Desde el origen o2 se envían 30 unidades al destino d2• Desde el origen o2 se envían 0 unidades al destino d3• Desde el origen o3 se envían 0 unidades al destino d1• Desde el origen o3 se envían 40 unidades al destino d2• Desde el origen o3 se envían 0 unidades al destino d3


Ejercicios Tema 3

38

16. Una empresa automovilística dispone de 2 factorías en las que se fabrican 460 y 340 coches/día, respectivamente. Se tienen que transportar coches a 3 países con demandas diarias de 300, 400 y 100 unidades. Los costes de transporte son los siguientes(en euros/coche):



3

𝑏𝑏𝑖𝑖 = 300 + 400 + 100 = 800 Demanda = Oferta

Oferta:�𝑖𝑖=1

2

𝑎𝑎𝑖𝑖 = 460 + 340 = 800

Origen/Destino 𝑑𝑑1 𝑑𝑑2 𝑑𝑑3𝑜𝑜1 120 100 110𝑜𝑜2 130 140 120

min𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 120𝑥𝑥11 + 100𝑥𝑥12 + 110𝑥𝑥13 + 130𝑥𝑥21 + 140𝑥𝑥22 + 120𝑥𝑥23𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥13 = 460𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥23 = 340

𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥21 = 300𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = 400𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 = 100


x11x12

x13

x21x22

x23

O1𝑎𝑎1 = 460

D1 𝑏𝑏1 = 300

D3 𝑏𝑏3 = 100

O2𝑎𝑎2 = 340

D2 𝑏𝑏2 = 400


Ejercicios Tema 3

39



min𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 120𝑥𝑥11 + 100𝑥𝑥12 + 110𝑥𝑥13 + 130𝑥𝑥21 + 140𝑥𝑥22 + 120𝑥𝑥23𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥13 = 460𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥23 = 340

𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥21 = 300𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = 400𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 = 100


𝑐𝑐 = 120 100 110 130 140 120

𝐴𝐴 =

1 1 1 0 0 00 0 0 1 1 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1

𝑏𝑏 = 460 340 300 400 100𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑛𝑛𝑜𝑜𝑠𝑠 = 0 0 0 0 0𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑛𝑛𝑜𝑜𝑠𝑠 = 1 1 1 1 1 1 Ejercicios Tema 3

𝑥𝑥11 𝑥𝑥12 𝑥𝑥13 𝑥𝑥21 𝑥𝑥22 𝑥𝑥23

>> [x,vopt,sol]=solver_pl(objetivo,c,A,b,signor,signov)x =60 400 0 240 0 100vopt =90400sol =1

40

𝑥𝑥11 𝑥𝑥12 𝑥𝑥13 𝑥𝑥21 𝑥𝑥22 𝑥𝑥23Valores de

Valor óptimo

Hay solución

Solución𝑥𝑥11 = 60 𝑥𝑥12 = 400 𝑥𝑥13 = 0 𝑥𝑥21 = 240 𝑥𝑥22 = 0 𝑥𝑥23 = 100

• Desde el origen o1 se envían 60 unidades al destino d1• Desde el origen o1 se envían 400 unidades al destino d2• Desde el origen o1 se envían 0 unidades al destino d3• Desde el origen o2 se envían 240 unidades al destino d1• Desde el origen o2 se envían 0 unidades al destino d2• Desde el origen o2 se envían 100 unidades al destino d3


Ejercicios Tema 3

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