3353962.2005.Parte 12

MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente

191

66.. FFLLUUJJOO GGRRAADDUUAALLMMEENNTTEE VVAARRIIAADDOO YY PPEERRFFIILLEESS DDEE FFLLUUJJOO

8.1 OBJETIVOS

Aprender a identificar los diversos perfiles de flujo gradualmente variado que se pueden presentar en canales abiertos.

Verificar el establecimiento de dos o ms perfiles de flujo gradualmente variado, en un canal rectangular de pendiente regulable.

Establecer un perfil de flujo gradualmente variado (por ejemplo, M1, M2, M3, S1, S2, S3), y evaluarlo experimentalmente.

Aplicar un mtodo de clculo de flujo gradualmente variado, al perfil del flujo establecido en el objetivo anterior, y comparar sus resultados con las mediciones que se obtengan experimentalmente.

8.2 FUNDAMENTOS TERICOS

8.2.1 Definicin. El Flujo Gradualmente Variado, denotado por F.G.V., es un flujo permanente cuya profundidad vara suave o gradualmente a lo largo de la longitud del canal, para un caudal dado. Vase la Figura 8.1.

FIGURA 8.1. Variacin del perfil de flujo en un canal abierto.

La variacin de la profundidad, y, de un flujo gradualmente variado, en canales abiertos, respecto de un eje x coincidente con el fondo del canal, y para unas condiciones dadas de caudal, Q, tipo de seccin transversal del canal, pendiente longitudinal, S0, y coeficiente de rugosidad, n, recibe el nombre de perfil hidrulico o perfil de flujo.

8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO


192

8.2.2 Hiptesis

i) Flujo permanente.

ii) La rugosidad del canal es constante (n, C, y k no varan).

iii) La distribucin de velocidades en cada seccin no presenta ninguna variacin importante con respecto a la distribucin de velocidades de una seccin vecina. Esta hiptesis implica que el

coeficiente de Coriolis, , es constante a lo largo del flujo.

iv) La pendiente longitudinal del canal es constante y pequea ( < 7).

v) No hay entrada de aire al flujo.

vi) La resistencia al flujo se debe principalmente a la friccin del agua con las fronteras slidas del canal.

vii) La distribucin de presiones en la seccin transversal del canal sigue la ley hidrosttica de presiones.

viii) Las lneas de corriente del flujo se consideran aproximadamente paralelas entre s (flujo paralelo).

ix) Las prdidas de carga por friccin, hf, se calcularn, sin introducir un error apreciable, con la ecuacin de flujo uniforme que se emplee para tal fin (ecuacin de Manning, ecuacin de Chzy o ecuacin de Darcy & Weisbach), suponiendo flujo uniforme entre dos secciones consecutivas.

8.2.3 Ecuacin general para el F.G.V. Sea el flujo en un canal de seccin transversal definida, como se muestra en la Figura 8.1. Se pretende analizar la variacin del perfil hidrulico, es decir, el cambio de la profundidad del flujo, a lo largo del eje x coincidente con el fondo del canal.

Partiendo de la ecuacin de Bernoulli:

(8.1) g2

vcosyzH

22

que, planteada en trminos del caudal, expresa lo siguiente:

(8.2) Ag2

QcosyzH

2

22

y derivando la ecuacin (8.2) con respecto a x, se tiene:

(8.3) Ag2

Q

dx

d

dx

dycos

dx

dz

dx

dH2

22

A

dx

dAA21A0

g2

Q

dx

dycos

dx

dz

A

1

dx

d

g2

Q

dx

dycos

dx

dz

dx

dH4

22

2

2

22



193

Adems, A = f (x, y), por lo cual, derivando A en cadena, se tiene lo siguiente:

dx

dy

dy

dA

dx

dA

y sabiendo que

Tdy

dA

se obtiene:

dx

dy

Ag

TQ

dx

dycos

dx

dz

dx

dy

dy

dA

Ag

Q

dx

dycos

dx

dz

dx

dH3

22

3

22

22

3

22 Fcos

dx

dy

Ag

TQcos

dx

dy

dx

dz

dx

dH

De donde:

(8.4) Fcos

dx

dz

dx

dH

dx

dy22

Esta es la ecuacin general para la variacin del perfil hidrulico a lo largo del canal.

Adems, se definen los siguientes trminos:

x: Eje coincidente con el fondo del canal, en el sentido del flujo.

z: Cota del fondo del canal, respecto a un plano de referencia.

: ngulo de inclinacin del fondo del canal, respecto de la horizontal (ver Figura 8.1).

: Coeficiente de Coriolis, para correccin de velocidad por energa cintica.

fSdx

dH

(slope of friction) pendiente de la lnea de energa total, y es siempre negativa.

tanSdx

dz0

pendiente longitudinal del fondo del canal; puede ser cero, positiva o negativa.

S0 = 0, en canales de fondo horizontal (Canales tipo H)

S0 < 0, en canales de pendiente favorable, es decir, aquellos canales cuya elevacin del fondo

disminuye en el sentido del flujo.(Canales Tipo M, C y S).



194

S0 > 0, en canales de pendiente desfavorable, es decir, aquellos canales cuyo nivel del fondo se

eleva en el sentido del flujo. En este caso, se dice que el canal es de pendiente adversa o contraria.

(Canales Tipo A).

Ahora, la ecuacin (8.4), para canales de pendiente favorable, se puede expresar de la siguiente manera:

(8.5) F.G.V. de perfiles para ldiferencia Ecuacin Fcos

SS

dx

dy22

f0

Donde F es el nmero de Froude, y se calcula as:

(8.6)

D g

v F

V: Velocidad media del flujo.

D: Profundidad hidrulica del flujo.

(8.7) T

AD

A: rea mojada de la seccin transversal del flujo. T: Ancho superficial del rea mojada.

De otro lado, para un pequeo tramo de canal, entre dos secciones separadas una pequea

distancia x, se puede aplicar, sin introducir mucho error, la frmula de Manning, vlida para flujo uniforme (flujo no variado), la cual expresa:

(8.8) SRAn

Q2/1

0

3/2

H

Haciendo S0 = Sf, como si el flujo fuese uniforme, se tiene:

(8.9) SRAn

Q2/1

f

3/2

H

De donde,

(8.10) RA

QnS

2

3/2

H

f

Por otra parte,

(8.11) h

S f21f

Donde H = hf es la prdida de carga por friccin ocurrida en la longitud x.



195

Reemplazando la ecuacin (8.11) en la ecuacin (8.10), se tiene:

RA

Qn

x

h2

3/2

H

f

De donde,

(8.12) RA

Qnh

2

3/2

H

f

Donde:

RH : Radio hidrulico

(8.13) P

ARH

P : Permetro mojado de la seccin del flujo. A : rea mojada de la seccin del flujo.

: Constante emprica, cuyo valor depende del sistema de unidades empleado.

= 1.486 pie1/3 /s, en el Sistema Ingls

= 1.0 m1/3 /s, en el Sistema Internacional

De otro lado,

Dg

AQ

Dg

vF

222

Luego,

(8.14) ADg

QF

2

22

Sustituyendo las ecuaciones (8.10) y (8.14) en la ecuacin (8.5), se tiene:

(8.15)

ADg

Qcos

RA

QnS

dx

dy

2

22

2

32H

0

En esta ecuacin A, D y RH son funciones de la profundidad del flujo, exclusivamente, para un tipo dado de seccin transversal del canal. Por lo tanto, el miembro derecho de la ecuacin (8.15) es una funcin exclusiva de y, para unas condiciones geomtricas e hidrulicas dadas.

Adems, por tratarse de un flujo espacialmente variado, la profundidad del flujo vara con la direccin x. En consecuencia, la ecuacin (8.15) es una ecuacin diferencial ordinaria, de primer orden, no-lineal en y, de la forma:



196

(8.16) (x,y) dx

dy

cuya solucin analtica, en general, es imposible de obtener, excepto para los casos particulares de canales rectangulares muy anchos de fondo horizontal y canales triangulares de fondo horizontal. Slo, aplicando algn mtodo numrico, es posible hallar la solucin de la ecuacin diferencial (8.15), a partir de unas condiciones iniciales dadas, [x0, y0 = f(x0)].

El autor ha adaptado el algoritmo de Runge-Kutta, de orden 4, a la solucin numrica aproximada de la misma ecuacin (8.15), a la cual se le ha llamado el Mtodo Runge-Kutta1.

Entre los diversos mtodos numricos de integracin de la ecuacin (8.15) existentes, los tres mtodos de mayor aplicacin son: el Mtodo del Paso Directo, el Mtodo del Paso Estndar y el mtodo Runge-Kutta.

Los tres mtodos arriba citados son fcilmente aplicables, con la ayuda de programas de computador o calculadora programable, al clculo de cualquier perfil de flujo. Vanse los listados correspondientes en el Anexo A2.

En el Anexo A4 se plantean y resuelven dos problemas de clculo de perfiles de flujo, aplicando dichos mtodos.

8.2.4 Ecuaciones diferenciales particulares para el clculo de perfiles de flujo

A continuacin, se deducen las formas particulares de la ecuacin general (8.15), correspondientes a los canales tipo M, C, S, A y H. Para ello, se requiere plantear las siguientes convenciones:

1 Carl Runge (1856 1927) y G. Kutta (1867 1944), matemticos aplicados alemanes.



197

TABLA 8.1 Convenciones para el anlisis de perfiles de flujo gradualmente variado.

PARMETRO

TIPO DE FLUJO

F. GRADUALMENTE VARIADO

FLUJO UNIFORME FLUJO CRTICO

PROFUNDIDAD y yn yc

REA MOJADA A An Ac

PERMETRO MOJADO P Pn Pc

RADIO HIDRULICO P

ARH nHR cHR

ANCHO SUPERFICIAL T Tn Tc

PROFUNDIDAD HIDRULICA T

AD Dn Dc

FACTOR DE SECCIN 21

23

T

ADAZ Zn Zc

PENDIENTE Sf So coS

FACTOR DE TRANSPORTE

32

HARn

K 32

Hnn nRA

nK

32

Hcc cRA

nK

CAUDAL

21

f

32

H SRAn

Q

21

fSKQ

21

o

32

Hn SRAn

Qn

21

on SKQ

21

o

32

Hc ccSRA

nQ

21

oc cSKQ

8.2.4.1 Ecuacin diferencial para canales con pendiente favorable (S0 < 0): Canales tipos M, C y S.

0Sdx

dz

22

f0

Fcos

SS

dx

dy

(8.17)

cos

F1

S

S1

cos

S

dx

dy

2

2

0

f

2

0



198

Por otro lado, de la ecuacin de Manning y de la Tabla 8.1 se deduce lo siguiente:

K

QSy

K

QS

2

n

0

2

f

Entonces,

(8.18) K

K

K

Q

K

Q

S

S2

n

2

n

2

0

f

Por otra parte,

(8.19) Z

Z

T

A

T

A

Ag

TQ

Ag

TQ

F

F

cos

F

cos

F

1

cos

F

cos

F2

c

3

c

3

c

3

c

c

2

3

2

2

c

2

2

c

2

2

2

2

2

2

Reemplazando las ecuaciones (8.18) y (8.19) en la ecuacin (8.17), se tiene:

(8.20) favorable pendiente de canales en

F.G.V. el para l diferencia Ecuacin

Z

Z 1

K

K 1

cos

S

dx

dy 2

c

2 n

2 0

8.2.4.2 Ecuacin diferencial para canales con pendiente nula (S0 = 0): Canales tipo H

Este es un caso particular de canales con pendiente favorable, en los cuales:

0dx

dzS0

y 1cos2

Luego, sustituyendo en la ecuacin (8.5), se obtiene:

2

c

2

2

f

22

f0

Z

Z1

K

Q

F1

S

Fcos

SS

dx

dy



199

(8.21) nula pendiente de canales en

F.G.V. el para l diferencia Ecuacin

Z

Z 1

K

Q

dx

dy 2

c

2

8.2.4.3 Ecuacin diferencial para canales con pendiente desfavorable (S0 > 0): Canales tipo A

En este caso 0Sdx

dz, que, reemplazado en la ecuacin general (8.4), produce lo siguiente:

22

f0

22

0f

Fcos

SS

Fcos

SS

dx

dy

Como se dedujo arriba,

2

fK

QS ; luego la ecuacin inmediatamente anterior queda de la

siguiente manera:

(8.22) adversa pendiente de canales en

F.G.V para ldiferencia Ecuacin

Fcos

K

QS

dx

dy22

2

0

8.2.5 Anlisis de puntos singulares

El anlisis de puntos singulares se har con base en la ecuacin diferencial para canales con pendiente favorable: ecuacin (8.20)

(8.20)

Z

Z1

K

K1

cos

S

dx

dy2

c

2

n

2

0

Caso i) y yn

0K

K11

K

KKK,RR,TT,A A,yy Si

2

nnnHHnnn n



200

Luego,

0

Z

Z1

0

cos

S

dx

dy2

c

2

0

(8.23) 0dx

dy

En consecuencia, cuando y yn, 0dx

dy, lo cual significa que y se vuelve constante y el flujo

tiende a ser uniforme.

Conclusin: cuando, en un perfil de flujo, la profundidad tiende o se aproxima a la profundidad normal, el flujo tambin tiende asintticamente al flujo uniforme.

a)

b)

FIGURA 8.2 Singularidades debidas al caso en que y yn

Caso ii) y yc:

0Z

Z11

Z

ZZZ,TT,AA,yy Si

2

cccccc



201

Por lo tanto,

0

K

K1

cos

S

dx

dy

2

n

2

0

dx

dy

Adems, en flujo subcrtico y > yc, es decir,

(8.24) dx

dyyysi c

Lo anterior, matemticamente, significa que el perfil tiende a cortar perpendicularmente el fondo del canal.

Realmente, lo que ocurre es una cada hidrulica, como se muestra en las Figuras 8.2a. y 8.3a.

De igual forma, en flujo supercrtico, y < yc, es decir,

(8.25) dx

dyyysi c

Lo anterior, matemticamente, significa que el perfil tiende a cortar perpendicularmente la lnea de profundidades crticas, L.P.C.

Y lo que realmente sucede es un resalto hidrulico, como se muestra en las Figuras 8.3b y 8.6.

a) b)

FIGURA 8.3. Singularidades debidas al caso en que y yc

Caso iii) y yn = yc: Este caso es similar al caso i), y ocurre en canales tipo C (S0 = S0c), resultando un flujo uniforme y crtico, como se muestra en la Figura 8.4.



202

FIGURA 8.4. Singularidades debidas al caso en que y yn = yc

Caso iv) 0y : Este caso se refiere a flujos gradualmente variados con profundidades muy

pequeas, como, por ejemplo, a la salida de una compuerta.

1K

K1

0

K

K

K, 0K, 0R0, A0,y Si

2

nnnH

Adems,

1Z

Z1

0

Z

Z

Z0Z,0ySi

2

ccc

En consecuencia,

cos

S

dx

dy2

0

Fsicamente el resultado de dy/dx depende de la forma geomtrica y del tipo del canal. Por ejemplo,

para el caso de un canal rectangular muy ancho (B >> y ; RH y), segn que se emplee la ecuacin

de Bresse Manning o la de Bresse Chzy, dx

dy tendr un resultado diferente.

En efecto, empleando la ecuacin de Manning en flujo uniforme y flujo gradualmente variado, respectivamente, se tiene:

(8.26) SKSRAn

Q2/1

0n

2/1

0

3/2

Hn n

(8.27) SKSRAn

Q2/1

f

2/1

f

3/2

H



203

Reemplazando Kn y K en la ecuacin (8.20):

(8.20)

Z

Z1

K

K1

cos

S

dx

dy2

c

2

n

2

0

Resulta

(8.28) anchosmuy resrectangula canales en

F.G.V., para Manning-Breese Ecuacin

y

y1

y

y1

cos

S

dx

dy3

c

310

n

2

0

La ecuacin anterior se puede transformar de la siguiente manera:

yyy

yyy

cos

S

y

yy

y

yy

cos

S

y

y1

y

y1

cos

S

dx

dy3

c

3310

310

n

3103

2

0

3

3

c

3

310

310

n

310

2

0

3

c

310

n

2

0

yy

yy

y

1

cos

S

dx

dy3

c

3

310

n

310

312

0

Ahora, continuando con el caso iv),

(8.29) y

y

0

1

cos

S

dx

dy0ysi

3

c

310

n

2

0

Anlogamente, empleando la ecuacin de Chzy para los flujos uniforme y gradualmente variado, respectivamente, se tiene:

(8.30) SKSRACQ2/1

0n

2/1

0

2/1

Hn n

(8.31) SKSRACQ2/1

f

2/1

f

2/1

H

Despejando Kn y K, y reemplazndolos en la ecuacin (8.20) se llega a la siguiente ecuacin

(8.32) anchosmuy resrectangula canales en

F.G.V., paraChzy -Breese Ecuacin

y

y1

y

y1

cos

S

dx

dy3

c

3

n

2

0



204

La ecuacin (8.32) puede transformarse de la siguiente manera:

yy

yy

cos

S

y

yy

y

yy

cos

S

y

y1

y

y1

cos

S

dx

dy3

c

3

3

n

3

2

0

3

3

c

3

3

3

n

3

2

0

3

c

3

n

2

0

Y, continuando con el caso iv), se tiene:

(8.33) inflexin) de (Punto

y

y

cos

S

y 0

y 0

cos

S

dx

dy , 0 y si

3

c

n 2 0

3 c

3 n

2 0

Evidentemente, los resultados arrojados por las ecuaciones (8.29) y (8.33) son completamente diferentes. El primero ratifica el resultado encontrado inicialmente, y el segundo coincide bastante bien con lo evidenciado experimentalmente, segn lo cual ocurre un cambio de concavidad en el

perfil de flujo, cuando y 0, es decir, cuando la profundidad del flujo es muy pequea. Vase las Figuras 8.5 y 8.6.

FIGURA 8.5. Singularidades debidas al caso en que y 0

FIGURA 8.6. Singularidades debidas al caso en que y yc

Caso v). y : Realmente, lo que ocurre es que y toma un valor relativamente muy grande.

101K

K10

K

K

K , K, R, A,y Si

2

nnnH



205

101Z

Z10

Z

Z

Z,Z,D,T,ysi,Adems

2

ccc

En consecuencia, de la ecuacin (8.20), se tiene:

(8.34) cos

S

1

1

cos

S

dx

dy2

0

2

0

Conclusin: cuando, en un perfil de F.G.V., la profundidad del flujo toma un valor supremamente grande, como a la entrada de un depsito, lago o embalse, la pendiente del perfil de flujo toma el valor:

cos

S

dx

dy2

0

y, si 0 6, 1cos2

; luego:

0Sdx

dy

Esto ltimo significa que la pendiente de la superficie de agua toma el valor de la pendiente del fondo del canal, con signo contrario. Ver Figura 8.7.

FIGURA 8.7. Singularidades debidas al caso en que y



206

8.2.6 Clasificacin de los canales, segn su pendiente longitudinal. Definiendo el concepto de pendiente crtica, S0c , como la pendiente longitudinal de un canal que impone el establecimiento de un flujo uniforme y crtico, simultneamente, es posible clasificar los canales abiertos segn la magnitud de su pendiente longitudinal, comparada con el valor de S0c .

Se dice que un canal tiene pendiente crtica cuando su pendiente longitudinal S0 = S0c; a este canal se le conoce con el nombre de canal Tipo C (del ingls critic). Vase la Figura 8.8b.

FIGURA 8.8. Tipos de canales segn su pendiente longitudinal, y definicin de zonas para el flujo gradualmente variado.

La pendiente crtica, S0c, se puede calcular fcilmente a partir de la ecuacin de Manning, (7.27), as:

(8.35) RA

QnS

2

32

cHc

c0

donde Ac y RHc son, respectivamente, el rea mojada crtica y el radio hidrulico crtico, calculados

en funcin de la profundidad crtica, yc, para un caudal dado, Q.

Un canal Tipo H (horizontal) es aquel cuyo fondo es horizontal, es decir, su pendiente longitudinal es igual a cero (S0 = 0). Ver la Figura 8.8d.



207

Se dice que un canal es Tipo M (del ingls mild = suave o moderada) si su pendiente longitudinal es menor que la pendiente crtica (S0 < S0c). Vase la Figura 8.8a.

Si la pendiente longitudinal del canal es mayor que la pendiente crtica, (S0 > S0c), el canal es llamado Tipo S (del ingls steep = empinada, pronunciada o fuerte). Vase la Figura 8.5c.

Por ltimo, a los canales con pendiente longitudinal positiva, esto es, cuyo fondo se eleva en el sentido de la corriente, se les llama Tipo A (del ingls adverse = adversa). Ver la Figura 8.8e.

8.2.7 Zonas para el establecimiento del flujo gradualmente variado en un canal. Para un caudal dado y unas caractersticas geomtricas del canal establecidas, siempre es posible calcular la profundidad crtica, yc, y, exceptuando los canales tipos H y A, en los cuales el flujo uniforme no puede establecerse, tambin es posible el clculo de la profundidad normal, yn. Vanse los numerales 3.2.4 y 7.3.4, y los programas correspondientes, en el Anexo A2.

Dibujadas las lneas de profundidad crtica, L.P.C., y de profundidad normal, L.P.N., paralelas al fondo del canal, y separadas de ste las distancias yc y yn , respectivamente, se definen las tres zonas siguientes: (Vase la Figura 8.8).

Zona 1 : es el espacio que est por encima de la lnea superior

Zona 2 : es el espacio comprendido entre las lneas L.P.C. y L.P.N.

Zona 3 : es el espacio comprendido entre la lnea inferior y el fondo del canal.

8.2.8 Tipos de perfiles hidrulicos en F.G.V. Los perfiles de flujo gradualmente variado se identifican con una letra, seguida de un nmero. La primera responde al tipo de canal, y el nmero indica la zona del canal (zona 1, 2 3) en que se desarrolla el perfil. Vanse las Figuras 8.9.y 8.10

Por ejemplo, M3 es el nombre que identifica al perfil de F.G.V. desarrollado en la zona 3 de un canal Tipo M, o de pendiente moderada, y H2 es la etiqueta correspondiente a un perfil hidrulico desarrollado en la zona 2, de un canal horizontal o Tipo H.

Una mejor y ms completa ilustracin de los posibles perfiles hidrulicos se presenta en las Figuras 8.9 y 8.10.

Obsrvese en la Figura 8.9 que, en un canal horizontal, la profundidad normal tiende a infinito, es decir, es indeterminada. Tambin, se indica en la misma figura, con una flecha dirigida hacia aguas arriba o hacia aguas abajo, la manera de realizar el clculo de un perfil de flujo determinado.

En la misma figura, y para cada perfil de flujo, se plantea el lgebra de signos correspondiente a la variacin dy/dx.

En la Figura 8.10 se presentan ejemplos correspondientes a cada uno de los posibles perfiles de flujo gradualmente variado, que comnmente ocurren en los canales abiertos. Tambin, en esta figura se plantean las desigualdades entre y, yc y yn, los signos (+) o (-) de la variacin dy/dx, la variacin de la profundidad en el sentido de la corriente, el nombre simblico de los perfiles de flujo, el tipo de flujo y la representacin grfica del correspondiente caso ejemplar.



208

8.2.9 Anlisis de los perfiles de F.G.V.

8.2.9.1 Perfiles tipo M

Los perfiles de F.G.V. en canales tipo M se analizarn con la ecuacin diferencial de F.G.V., para canales de pendiente favorable, la cual es:

(8.20)

Z

Z1

K

K1

cos

S

dx

dy2

c

2

n

2

0

8.2.9.1.1 Perfil M1

El flujo es subcrtico; adems yc < yn < y

0Z

Z11

Z

Z,ZZ,TT,DD,AA,yyserPor

2

ccccccc

0K

K11

K

K,KK,RR,PP,AA,yyserPor

2

nnnHnHnnn

El lgebra de signos aplicado a la ecuacin (8.20) produce:

dx

dy

O, lo que es lo mismo, 0dx

dy

Luego, el perfil de flujo se eleva en el sentido de la corriente, es decir, y crece.

Para conocer la forma y concavidad del perfil de flujo, se deben responder a las dos preguntas siguientes:

i) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas arriba?

0dx

dyyy:spuestaRe n

Luego, hacia aguas arriba, la pendiente del perfil de flujo tiende a cero, y el flujo tiende asintticamente al flujo uniforme.



209

ii) Hacia qu valor tiende la profundidad y, aguas abajo?

2

0

cos

S

dx

dyy:spuestaRe

Luego, hacia aguas abajo, la pendiente del perfil hidrulico toma un valor finito y positivo.

Las dos respuestas anteriores demuestran que el perfil de flujo no puede tener concavidad hacia abajo, ni ser una lnea recta, sino de concavidad hacia arriba. Vanse las Figuras 8.7 y 8.9. A este perfil, por su forma y por su suave variacin de la profundidad, se le conoce con el nombre de Curva de Remanso, y, en ingls, backwater.

8.2.9.1.2 Perfil M2

El flujo es subcrtico. Adems, yc < y < yn

0Z

Z11

Z

Z,ZZ,DD,TT,AA,yyserPor

2

ccccccc

0K

K11

K

K,KK,RR,PP,AA,yyparteotraPor

2

nnnHnHnnn

En consecuencia, dx

dy


dy

El perfil de flujo se abate, es decir, la profundidad, y, disminuye en el sentido de la corriente.


uniformeseratiendeflujoEl0dx

dyyy:spuestaRe n

ii) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas abajo?

Respuesta: dx

dyyy c

Se produce una cada hidrulica. Vanse las Figuras 8.3.a y 8.9.



210

8.2.9.1.3 Perfil M3

El flujo es supercrtico. Adems, y < yc < yn

0Z

Z11

Z


2

ccccccc

0

K

K 1 1

K

K , K K , R R , P P , A A , y y parte, otra Por

2 n n

n H n H n n n

Luego, dx

dy

O, lo que es igual, 0dx

dy

El perfil del flujo se eleva en el sentido de la corriente, es decir, la profundidad aumenta corriente abajo.


Respuesta:

3

c

n

2

0

y

y

cos

S

dx

dyChzy, - Bresse ecuacin la segn,0y

Es decir, se presenta un punto de inflexin, P. de I.


Respuesta: .dx

dyyy c Entonces, realmente ocurre un Resalto Hidrulico

como el que se muestra en las Figuras 8.3b y 8.9.

8.2.9.2 Perfiles tipo C

Los perfiles de F.G.V. en canales tipo C, al igual que los del canal tipo M, se analizarn con la ecuacin diferencial de F.G.V. en canales de pendiente favorable, la cual es:

(8.20)

Z

Z1

K

K1

cos

S

dx

dy2

c

2

n

2

0

8.2.9.2.1 Perfil C1

El flujo es crtico. Adems, y > yc = yn



211

0Z

Z11

Z


2

ccccccc

0K

K11

K

K,KK,RR,PP,AA,yy,Adems

2

nnnHnHnnn

Luego, dx

dy

Es decir, 0dx

dy

El perfil del flujo se eleva corriente abajo, es decir, la profundidad crece en el sentido de la corriente.

i) Hacia qu valor tiende la profundidad y, aguas arriba?

dx

dyyy:spuestaRe c

Realmente, debido a esta singularidad, el perfil C1 sigue al flujo uniforme de aguas arriba. Vanse las Figuras 8.4b y 8.9.

ii) Hacia qu valor tiende la profundidad y, aguas abajo?

Respuesta: Este caso es similar a lo que ocurre con el perfil M1: 2

0

cos

S

dx

dyy

Ver Figura 8.9.

8.2.9.2.2 Perfil C2

Este perfil estara ubicado en la zona 2, pero esta zona es, ms bien, una lnea recta que coincide con las lneas L.P.C. y L.P.N. Por lo tanto, el perfil de flujo C2 no es gradualmente variado, sino, un flujo uniforme y crtico, a la vez. Vase la Figura 8.9.

8.2.9.2.3 Perfil C3

El flujo es supercrtico. Adems, y < yc = yn

0Z

Z11

Z


2

ccccccc



212

0

K

K 1 1

K


2 n n

n H n H n n n

Luego, dx

dy


dy

En efecto, el perfil de flujo se eleva, es decir, la profundidad del flujo aumenta hacia aguas abajo.


Respuesta:

3

c

n

2

0

y

y

cos

S

dx

dyChzy, - Bresse ecuacin la segn ,y,0y

O sea que se presenta un punto de inflexin, P. de I. y un cambio de concavidad asociado.


dx

dyyy:spuestaRe c

El perfil de flujo C3 podra ir seguido de un Resalto Hidrulico, si las condiciones de aguas abajo son de flujo subcrtico. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.

8.2.9.3 Perfiles tipo S

Los perfiles de F.G.V. en canales tipo S, al igual que los perfiles M y C, se analizarn con la ecuacin diferencial de F.G.V., en canales de pendiente favorable, la cual expresa lo siguiente:

(8.20)

Z

Z1

K

K1

cos

S

dx

dy2

c

2

n

2

0

8.2.9.3.1 Perfil S1

El flujo es subcrtico. Adems, yn < yc < y

0Z

Z11

Z

Z,ZZ,TT,AA,DD,yyserPor

2

ccccccc



213

0

K

K 1 1

K

K , K K , R R , P P , A A , y y lado, otro De

2 n n

n H n H n n n

En consecuencia, dx

dy


dy

Por lo anterior, se concluye que el perfil de flujo se eleva y la profundidad aumenta en el sentido de la corriente. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.


dx

dyyy:spuestaRe c

En realidad, el perfil S1 es la continuacin de un Resalto Hidrulico que ocurre aguas arriba.


2

0

cos

S

dx

dyy:spuestaRe

El perfil finaliza con una profundidad grande y con una pendiente finita, tal como lo es la descarga de un canal a un embalse o el rebose de un vertedero. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.

8.2.9.3.2 Perfil S2

El flujo es supercrtico. Adems, yn < y < yc

0Z

Z11

Z


2

ccccccc

0

K

K 1 1

K

K , K K , R R , P P , A A , y y lado, otro De

2 n n

n H n H n n n

Luego, dx

dy


dy



214

En consecuencia, el perfil de flujo se abate en el sentido de la corriente, es decir, la profundidad disminuye corriente abajo.


Respuesta: dx

dyyy c .

Tericamente, lo anterior significa que, aguas arriba, el perfil corta perpendicularmente a la lnea de profundidades crticas, L.P.C. Realmente, esta singularidad representa el cambio de concavidad debido al paso de un perfil de flujo subcrtico a un perfil supercrtico S2, ocasionado por un cambio de pendiente suave a pendiente fuerte. Ver Figura 8.10.


0dx

dyyy:spuestaRe n

El flujo se uniformiza en la seccin en la cual y = yn.

La concavidad del perfil de flujo S2 es hacia arriba. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.

8.2.9.3.3 Perfil S3

Este flujo se presenta en rgimen supercrtico. Adems, y < yn < yc

0Z

Z11

Z


2

ccccccc

0

K

K 1 1

K


2 n n

n H n H n n n

Luego, dx

dy

Es decir, 0dx

dy. El perfil de flujo se eleva, es decir, la profundidad aumenta en el sentido de la

corriente.


Respuesta:

3

c

n

2

0

y

y

cos

S

dx




215


.uniformiza se flujo de perfil El .0dx

dyyy:spuestaRe n

En consecuencia, el perfil de flujo presenta concavidad hacia abajo, y se uniformiza a partir de la seccin en la cual y = yn. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.

8.2.9.4 Perfiles tipo H

Los perfiles de F.G.V. en canales tipo H se analizarn con la ecuacin diferencial de F.G.V. para canales de fondo horizontal, la cual es:

Z

Z1

K

Q

dx

dy2

c

2

(8.21)

8.2.9.4.1 Perfil H1

Este perfil estara ubicado en la zona 1, pero sta no existe, dado que, yn , o sea, es indeterminada y, por lo tanto, no existe. Vase la Figura 8.9.

8.2.9.4.2 Perfil H2

El flujo es subcrtico y, adems, yc < y

0Z

Z11

Z


2

ccccccc

0K

Q,Adems

2

, para cualquier valor de y.

Resultando: dx

dy


dy

En consecuencia, el perfil de flujo se abate en el sentido de la corriente, es decir, la profundidad del flujo decrece.



216


01

0

cos

S

dx

dyy:spuestaRe

2

0

Dado que los canales H son horizontales,

0dx

dy entonces, 0;Sy 1cos 0, 0

2


Respuesta: .dx

dyyy c

Se presenta una cada hidrulica. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.

Adems, la concavidad del perfil H2 es hacia abajo, similar a la de los perfiles M2 y S2. Ver Figura 8.9.

8.2.9.4.3 Perfil H3

Este perfil se da en rgimen supercrtico. Adems, y < yc

0Z

Z11

Z


2

ccccccc

0K

Q,Adems

2

Luego, dx

dy o, lo que es lo mismo, 0

dx

dy

En consecuencia, el perfil de flujo H3 se eleva conforme avanza la corriente, y la profundidad crece en ese sentido.


Respuesta:

0y1

0

y

y

cos

S

dx


3

c

3

c

n

2

0




217

.dx

dyyy:spuestaRe c

El perfil de flujo es sucedido por un Resalto Hidrulico, aguas abajo. Su concavidad es hacia arriba, como se puede ver en las Figuras 8.9 y 8.10.

8.2.9.5 Perfiles tipo A

Los perfiles de F.G.V. en canales tipo A se analizarn con la ecuacin diferencial de F.G.V. para canales de pendiente desfavorable o adversa, la cual es:

Fcos

K

QS

dx

dy22

2

0

(8.22)

8.2.9.5.1 Perfil A1

Este perfil tampoco existe. La razn es que, por ser indeterminada la profundidad normal, yn, la zona 1 no puede existir. Vase la Figura 8.9.

8.2.9.5.2 Perfil A2

Este perfil se encuentra en la zona 2, en donde y > yc, por lo cual el rgimen es subcrtico.

En la ecuacin (8.22), 0S0 , 0K

Q2

; luego, 0K

QS

2

0

Por otra parte, por tratarse de un flujo subcrtico, 0Fcos22

.

Luego, el lgebra de signos conduce a lo siguiente:

dx

dy


dy. En consecuencia, el perfil de flujo A2 se deprime o abate. En otras

palabras, la profundidad del flujo disminuye en el sentido de la corriente. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.



218


Respuesta: 0K

Q,K,y

2

; luego, 0SK

QS 0

2

0

As mismo, si TA,T,A,y3

y 0T Ag

QF

3

22

Finalmente, de acuerdo con la ecuacin (8.22), resulta:

2

0

cos

S

dx

dy


.dx

dyyy:spuestaRe c

El perfil de flujo A2 finaliza con una cada hidrulica. La concavidad del perfil es hacia abajo. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.

8.2.9.5.3 Perfil A3

Este perfil est ubicado en la zona 3, en donde y < yc y el flujo es supercrtico. Ver Figura 8.9.

Anlogamente, en la ecuacin (8.22), 0S0 , 0K

Q2

; luego, 0K

QS

2

0

Adems, por tratarse de un flujo supercrtico, 0Fcos22

.

El lgebra de signos, aplicado a la ecuacin (8.22), produce lo siguiente:

dx

dy


dy

Luego, el perfil de flujo A3 se eleva en el sentido de la corriente; por lo tanto, la profundidad crece hacia aguas abajo.




219

Respuesta:

2

K

Q,0K,0y ; luego,

2

0K

QS

As mismo, si 0TA,0T,0A,0y3

, T Ag

QF

3

22

y

22Fcos

Finalmente, de acuerdo con la ecuacin (8.22), resulta:

dx

dy

En realidad, dx

dy toma un valor relativamente grande (del orden de n x 102; donde 0.1 < n < 1, en

canales de seccin rectangular).

Lo anterior significa que se presenta un punto de inflexin, cerca del fondo del canal, asociado a un cambio de concavidad del perfil de flujo. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.


.dx

dyyy:spuestaRe c

Por lo anterior, el perfil A3 presenta una concavidad hacia arriba y es seguido de un Resalto Hidrulico. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.



220

FIGURA 8.9. Perfiles de flujo gradualmente variado en canales prismticos. Tomado de Ref. [8]



221

FIGURA 8.10. Cuadro resumen y ejemplos grficos de los posibles perfiles de flujo gradualmente variado en canales

prismticos. Tomado de Ref. [8]



222

8.2.10 Mtodos de clculo de perfiles de flujo gradualmente variado.

En los mtodos de clculo que se describen a continuacin, se precisa conocer las caractersticas geomtricas del canal, el caudal, y la profundidad del flujo y la abscisa de la seccin de partida (1), para calcular, de acuerdo a la tcnica del mtodo, la profundidad o la abscisa correspondientes a la seccin siguiente (2).

8.2.10.1 El Mtodo del Paso Directo. Este mtodo es aplicable a canales prismticos.

FIGURA 8.11. Esquema ilustrativo del Mtodo del Paso Directo.

Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre (1) y (2), se tiene:

(8.36) HHH 2211

Donde H1-2 = hf1-2 representa la prdida de carga por friccin en el tramo comprendido entre las secciones (1) y (2).

g2

vcosyzh

g2

vcosyz

2

22

22f

2

12

11 21

g2

vcosyh

g2

vcosyzz

2

22

2f

2

12

121 21



223

Haciendo z = z1 z2, y sabiendo que

g2

vcosyE

2

12

11

se tiene:

EhEz 2f1 21

z hEE21f21

Adems,

xSh ff 21

Luego,

zxSEE f21

Por otra parte, de la figura 8.11, es claro que:

x

zsen

de donde, sen xz

senxxSEE,Luego f21

senSxEE f21

(8.37) senS

EEx

f

21

El tramo x es la diferencia entre la abscisa de la seccin (2) y la correspondiente a la seccin (1).

Entonces,

senS

EExxx

f

2112

(8.38) senS

EExx donde, De

f

2112



224

demediopor,ScomocalculasesiestimadamejorquedaraS),38.8(y)37.8(ecuacioneslasEn ff

una de las dos formas siguientes:

1 Forma:

Calculada fS como un promedio aritmtico de las pendientes de la lnea de energa, 1f

S y 2f

S ,

evaluadas en las secciones (1) y (2), respectivamente:

2121 fffSS

2

1S (8.39)

A su vez, Sf1 y Sf2 se calculan con la siguiente ecuacin ya deducida:

(8.10) RA

QnS

2

3/2

H

f

2 Forma:

Calculando una profundidad media, y , como el promedio aritmtico de las profundidades

correspondientes a las secciones (1) y (2), as:

yy2

1y 21 (8.40)

y con sta se calculan los siguientes elementos geomtricos: P

AR,P,A H

Luego, se calcula fS con la misma ecuacin (8.10), as:

(8.41) RA

QnS

2

32

H

f

Finalmente, las ecuaciones (8.37) y (8.38) quedan transformadas de la siguiente manera:

(8.42) senS

EEx

f

21

(8.43) x xx 12



225

senS

EExx

f

2112 (8.44)

Para mayor ilustracin del presente mtodo, en el Anexo A4 se pueden ver dos ejemplos de aplicacin del mismo.

8.2.10.2 Mtodo del Paso Estndar. Este mtodo se aplica a canales prismticos y no- prismticos.

FIGURA 8.12. Esquema ilustrativo del Mtodo del Paso Estndar.

A igual que con el mtodo anterior, se parte de la ecuacin de Bernoulli, aplicada entre las secciones (1) y (2):

(8.45) hhHH ef21 21

ef

2

22

22

2

12

11 hhg2

vcosyz

g2

vcosyz

21 (8.46)

Donde he representa las prdidas de carga localizadas, y se calculan por medio de la siguiente ecuacin:

(8.47)

g 2

v v K h

2 2

2 1

e



226

Para canales convergentes: 0 K 0.1

Para canales divergentes: 0 K 0.2

Para contracciones y expansiones bruscas: K 0.5

Para canales prismticos y regulares: K 0

Definiendo la cota o altura piezomtrica del flujo como

(8.48) cosyzC 2p

la ecuacin (8.46) queda as:

(8.49) hhg2

vC

g2

vC ef

2

2p

2

1p 2121

Adems,

xSh2121 ff

(8.50)

longitud lay anterior, mtodo el en descritas formas dos las de una de medio por calcula se S Donde2-1f

x del tramo se fija previamente.

Conocidas las caractersticas del flujo en la seccin (1), se puede calcular la energa total en (1), H1. Luego, en la seccin (2) se supone una profundidad y2, y se calculan las dems caractersticas del

flujo, a fin de obtener los correspondientes valores de H2, 21f

h y he.

Finalmente, se debe comprobar que, para el valor supuesto de y2, se satisface la siguiente igualdad.

(8.51) HhhH 1ef2 21

En caso contrario, se ensayar con un nuevo valor supuesto de y2, hasta que se satisfaga la ecuacin (8.51).

Para ver el procedimiento de este mtodo, el lector debe remitirse al Anexo A4.

Como se pudo observar, los mtodos del Paso Directo y del Paso Estndar sirven para calcular perfiles de F.G.V., sin intervenir directamente sobre la Ecuacin Diferencial (8.5) u (8.15). No pasa lo mismo con los mtodos numricos aplicados a la integracin de dicha ecuacin diferencial, como se puede ver a continuacin.



227

8.2.10.3 Mtodos numricos aplicados a la integracin de la ecuacin diferencial de F.G.V.

Estos mtodos, a diferencia de los dos anteriores, s se aplican directamente a la solucin de la ecuacin diferencial (8.5) u (8.15).

ayaty:.I.C;bta;y,tfdx

dy : P.V.I. el Dado (8.52)

Donde:

P.V.I.: problema del valor inicial.

C.I.: condicin inicial

El objetivo es encontrar la funcin desconocida y(t) que satisface la ecuacin diferencial (8.52).

Este problema es similar al de la ecuacin diferencial ordinaria, no lineal y de primer orden que resulta de predecir la variacin de la profundidad, y, del flujo gradualmente variado, en la direccin del flujo, es decir, la direccin x, en un canal abierto.

FIGURA 8.13. Esquema ilustrativo de la aplicacin de Mtodos Numricos al clculo de perfiles de F.G.V.



228

En este problema hidrulico, la ecuacin diferencial a resolver es la siguiente:

(8.53)

cosAg

TQ

SRA

Qn

dx

dy

2

3

2

0

2

2/3

H

En donde S0, n, Q, , 0 cuyo signo depende del tipo del canal, as:

S0 (-) : Para canales tipo M, C y S

S0 (+) : Para canales tipo A

S0 = 0 : Para canales tipo H

Los dems parmetros hidrulicos: A, RH y T, dependen de la profundidad, y, y sta, a su vez, depende de la posicin x. Por lo tanto, la ecuacin (8.53) se puede esquematizar anlogamente a la ecuacin (8.52), de la siguiente manera:

(8.54) yxyxxy:.I.C;xxx;y,xfdx

dy000f0

(8.55)

cosAg

TQ

SRA

Qn

yx,f Siendo2

3

2

0

2

2/3

H

Aqu, el problema hidrulico es encontrar la solucin de la ecuacin diferencial (8.53), es decir, hallar la funcin desconocida y(x). Dicha funcin no ser una expresin algebraica, sino una discretizacin numrica, de buena aproximacin.

Como quiera que la funcin desconocida (la solucin al problema de la ecuacin diferencial (8.53)), y(x), no puede obtenerse analtica o algebricamente, se recurre a un mtodo numrico de solucin. ste puede ser el mtodo de Euler, el mtodo de Heun, o el mtodo de Runge-Kutta llamados mtodos de un paso o de paso simple. Tambin, puede recurrirse a mtodos de pasos mltiples, o multipasos, tales como el mtodo de Adams Bashforth (de 2, 3, 4 5 pasos) y el mtodo de Adams Moulton (de 2, 3 4 pasos), o algn mtodo predictor corrector, como el mtodo de Adams de 4 orden o el de Milne Simpson.



229

Cualquiera sea el mtodo designado, se trata de hallar una solucin aproximada de y(x), para valores especficos de x, as:

n , 3, 2, 1,i;xy,xy,,xy,xy,xy ni210

Siendo n el nmero de puntos o segmentos en los cuales se divide igualmente el intervalo

a x b, as:

(8.56) n

xxx

n

abx 0f

Donde:

x: es el tamao del paso.

n: nmero entero de segmentos iguales en que se divide el intervalo x0 x xf

8.2.10.3.1 Mtodo Runge Kutta de orden 4 (MRK4) aplicado al clculo de perfiles de F.G.V.

Como cualquier otro mtodo de aproximacin, el mtodo MRK4 permite encontrar una aproximacin

iw de la funcin desconocida y( t i ), es decir:

(8.57) n , 3, 2, 1, i para ,ytyw iii

Si iw es una buena aproximacin de y(t i) = yi, la suposicin de que el problema est bien planteado

implica que:

(8.58) ty,tftyw,tf iiiii

Partiendo de la condicin inicial conocida,

000 y)y(x:F.G.V. el con analoga ;w:.I.C

aX:F.G.V. el con analoga ;aten 00



230

el MRK4 calcula la solucin especfica en cada pasespecfica anterior, as:

; (8.59) K K 2 K 2 K

6

1 y y : analoga K K 2 K 2 K

6

1 w w 4 3 2 1 0 1 i 4 3 2 1 i 1 i

Donde:

i,i1i,i1 yxfxK:alogana;wtfhK (8.60)

2

Ky,

2

xxfxK:alogana;

2

Kw,

2

htfhK 1ii2

1ii2 (8.61)

2

Ky,

2

xxfxK:alogana;

2

Kw,

2

htfhK 2ii3

2ii3 (8.62)

3i1i43i1i4 Ky,xfxK:alogana;Kw,tfhK (8.63)

El procedimiento de clculo de un perfil de F.G.V., empleando el Mtodo Runge Kutta de orden 4, se puede ilustrar mejor por medio de un diagrama de flujo, tal como el de la Figura 8.14.



231

DESDE I = 1 HASTA N

TIPO DE CANAL : TC

Q, n, , g , S 0 TIPO DE SECCIN TRANSV. : ST

X 0 , Y 0 , X F , N

INICIO

X = X 0 + I DX

Y = Y 0

K1 = DX F

SIGUIENTE I

FIN

nQ

C 1 g

Q C

2 2

0

1 tan S 2 3 cos C

N

X X DX F 0

X 0 , Y 0

3 3 2

0 2

3 / 2 H

1

C A

T C

S R A C

DYDX F

Y = Y + 0.5 K1

K2 = DX F

Y = Y + 0.5 K2

K3 = DX F

Y = Y + K3

K4 = DX * F

Y = Y 0 + ( K1 + 2 K2 + 2 K3 + K4 ) / 6

3 3 2

0 2

3 / 2 H

1

C A

T C

S R A C

DYDX F

3 3 2

0 2

3 / 2 H

1

C A

T C

S R A C

DYDX F

3 3 2

0 2

3 / 2 H

1

C A

T C

S R A C

DYDX F

X , Y

SUBRUTINA ELEMENTOS

GEOMTRICOS

S

S

S

S

S

RETORNO

FIGURA 8.14. Diagrama de flujo para el algoritmo del Mtodo Runge - Kutta



232

La codificacin del MRK4, en Lenguaje de Programacin BASIC, puede verse en el Anexo A2, (PROGRAMA P8).

Dos aplicaciones concretas del Mtodo MRK4 pueden verse en el Anexo A4.

8.3 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

8.3.1 Descripcin de la instalacin. Previo al establecimiento de un F.G.V., en el canal rectangular de pendiente regulable, se instala una placa vertedora en su extremo de aguas abajo. Vase la Figura 8.15. Con dicha placa se induce la formacin de los perfiles M1 o S1. Cuando se desee formar un perfil de flujo Tipo M2, la placa deber removerse, con el objeto de provocar una cada hidrulica en el extremo de aguas abajo del canal.

Luego, se fijar una inclinacin del fondo del canal, cuya pendiente debe medirse empleando un

flexmetro y un nivel de manguera. Recurdese que S0 = tan = z/L. Vase la Figura 8.15.

Tambin, se instalarn dos limnmetros, uno sobre el canal de pendiente regulable, y otro aguas arriba del vertedero patrn de medida. Este ltimo permitir determinar el caudal de flujo, a partir de su ecuacin de calibracin. Alternativamente, el caudal se puede determinar con el medidor magntico de flujo.

Dispuesto lo anterior, se procede a la alimentacin del canal con un flujo permanente, abriendo la vlvula destinada para tal fin. Una vez establecido un flujo gradualmente variado en el canal, se harn los ajustes necesarios y se proceder a medir profundidades del flujo a lo largo del canal. Para ello, es necesario hacer corresponder una abscisa a cada seccin, en donde se mida la profundidad del flujo. Dichas mediciones podrn hacerse, indistintamente, en el sentido de la corriente o en sentido contrario, partiendo del nivel de agua sobre el vertedero, a cuya seccin se le asignar la abscisa x0 = 0.00 m.

Como se ha hecho en las prcticas precedentes, cualquier profundidad del flujo, yi, se obtendr restando la lectura correspondiente al fondo del canal, de la lectura sobre el nivel superficial del agua. Esto es:

ii fSLiLLy (8.64)



233

FIGURA 8.15. Esquema del montaje para la prctica de flujo gradualmente variado.

3353962.2005.Parte 12

Documents

Transcript of 3353962.2005.Parte 12