34.- Flujo viscoso. -...

34.- Flujo viscoso.

§34.1. Concepto de capa limite (1015); §34.2. Flujo laminar y flujo turbulento (1019);§34.3. Flujo interno (1021); §34.4. Flujo en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille (1025);§34.5. Ecuación de Bernoulli para el flujo viscoso. Pérdida de carga (1029); §34.6. Calculode las perdidas de carga en tuberías (1031); §34.7. Flujo externo (1037); §34.8. Arrastrey sustentación (1039); §34.9. Arrastre (1039); §34.10. Sustentación. Efecto Magnus (1044);§34.11. Sustentación de un perfil aerodinámico (1046); Problemas (1048)

Como complemento de la lección precedente, que ha estado dedicada al estudio de losfundamentos teóricos del movimiento de los fluidos viscosos, esta lección está dedicada a resolveralgunos casos prácticos interesantes. Los objetivos de esta lección serán la determinación del campode velocidades, de la distribución de esfuerzos cortantes, del caudal y de la caída de presión enconducciones y tuberías y la evaluación del arrastre y de la sustentación sobre cuerpos que semueven en el seno de un fluido. Para ello emplearemos básicamente la formulación generaldesarrollada en la lección anterior e introduciremos algunos conceptos nuevos.

§34.1. Concepto de capa limite.- Todos los fluidos poseen viscosidad; porconsiguiente, el flujo viscoso es de gran importancia en el estudio de la dinámica delos fluidos reales. Sin embargo, existen situaciones en las que los efectos viscososson despreciables y en las que el flujo puede considerarse como no-viscoso.Estudiaremos ahora esta cuestión.

Como se recordará, las leyes de la viscosidad de Newton y Stokes establecen laexistencia de dos factores fundamentales con los que está relacionada la distribuciónde esfuerzos cortantes en el seno de un fluido en movimiento; estos factores son laviscosidad del fluido y el gradiente del campo de velocidades. En consecuencia,incluso para fluidos poco viscosos (como los gases), los esfuerzos cortantes seránimportantes en aquellas regiones del flujo donde exista un gradiente de velocidadelevado.

Como ya sabemos, en cualquier flujo de un fluido real, el fluido en contactodirecto con un contorno sólido posee la misma velocidad que el contorno sólidomismo; i.e., se produce una adherencia del fluido al contorno sólido. Puesto que lavelocidad del fluido en contacto con el contorno sólido es cero, respecto al mismo,en tanto que el fluido en su conjunto se mueve respecto al contorno sólido, apareceun gradiente de velocidad en el flujo, lo que da lugar a la aparición de esfuerzoscortantes que, a su vez, afectan al flujo.

Manuel R. Ortega Girón 1015

1016 Lec. 34.- Flujo viscoso.

Analizaremos la naturaleza del flujo sobre una lámina plana estacionaria, como

Figura 34.1

se ilustra en la Figura 34.1, en el que el fluido que se aproxima a la lámina posee unavelocidad de flujo no perturbado v∞ (velocidad de corriente libre). Estamosinteresados en obtener una descripción cualitativa de la distribución de velocidad deflujo en los puntos de una recta perpendicular a la lámina (perfil de velocidad), endiversas posiciones a lo largo de ésta. Para ello centraremos nuestra atención en dosposiciones, de abscisas x1 y x2, como se muestra en la Figura 34.1.

Comenzaremos considerando la posición x1. La condición de adherencia imponeque la velocidad en el punto A debe ser cero; así tenemos un punto en el perfil develocidad correspondiente. Como la lámina permanece fija, ejerce una fuerzaretardadora sobre el movimiento del fluido, de modo que éste se frena en laproximidad de la superficie de la lámina. Sin embargo, en un punto tal como el Bsituado a una distancia suficientemente grande de la lámina, el flujo no estaráinfluenciado por la presencia de ésta. Entonces, si estipulamos que la presión no varíaen la dirección del flujo (eje x), como ocurre en el caso de una lámina planasemiinfinita, la velocidad en el punto B debe ser v∞. En estas condiciones, parecerazonable aceptar que la velocidad vx aumenta continuamente desde el valor vx=0 eny=0 hasta vx=v∞ en y=yB, de modo que el perfil de velocidad en la posición x1 tendráel aspecto que se muestra en la Figura 34.1. En consecuencia, en la región 0≤y≤yB, enla que existe un gradiente transversal de velocidad, existirán esfuerzos cortantesimportantes en el seno del fluido; fuera de esta región, para y≥yB, el gradientetransversal de velocidad es nulo y no existirán esfuerzos cortantes.

La situación en la posición x2 es análoga, pero no exactamente la misma, a la quehemos descrito para la posición x1. Es razonable esperar que la influencia de lalámina se deje sentir en una mayor región del flujo a medida que éste avanza sobrela lámina. Puesto que en la posición x1 las capas fluidas más lentas ejercen una fuerzatangencial de frenado sobre las capas más rápidas situadas inmediatamente encima,cabe esperar que la distancia yB′, correspondiente al punto B′ donde la velocidad deflujo es v∞, debe incrementarse en la posición x2; esto es, yB′>yB. En consecuencia,también será razonable que vC>vC′, para una misma distancia a la lámina (yC=yC′) enlas posiciones x1 y x2.

§34.1.- Concepto de capa limite. 1017

A partir de esta descripción cualitativa del flujo, vemos que es posible consideraren éste dos regiones bien diferenciadas. En la región adyacente al contorno sólido,donde el gradiente transversal de velocidad es considerable, existen esfuerzoscortantes que deben tenerse en cuenta, incluso en el caso de fluidos poco viscosos,y el flujo es rotacional; esta región recibe el nombre de capa límite1. Fuera de lacapa límite, el gradiente transversal de velocidad es nulo y, por tanto, no existenesfuerzos cortantes. Únicamente en la región de la capa límite son importantes losefectos de la viscosidad y el flujo deberá ser considerado como viscoso; fuera de esaregión, los efectos de la viscosidad son despreciables y puede utilizarse la teoría delflujo no-viscoso (flujo irrotacional).

Naturalmente, no existe ninguna línea divisoria bien definida entre la región deflujo irrotacional, donde la fricción es despreciable, y la capa límite; pero escostumbre definir la capa límite como la región en la que la velocidad del fluido(paralela al contorno) es menor del 99% de la velocidad de corriente libre v∞. Elespesor de la capa límite (δ) crece desde el borde de ataque a lo largo del contornosólido. En el borde de ataque de una lámina plana semiinfinita, el espesor de la capalímite es cero; pero en el borde de ataque de un cuerpo romo (cilindro, ala de unavión, ...), la capa límite tiene un espesor finito, incluso en el punto de estancamien-to. Para una velocidad de corriente libre dada, el espesor de la capa límite dependede la viscosidad del fluido.

Puede demostrarse que incluso en aquellos flujos en los que la presión varía alo largo del contorno sólido, como es el caso de una superficie curva, la variación dela presión en la dirección normal al contorno es despreciable en el interior de la capalímite. Esto nos permite suponer que la distribución de presión en la capa límite estáimpuesta por el gradiente de presión en la región de flujo irrotacional ubicada fuerade la capa límite. En muchos problemas prácticos, el espesor de la capa límite es tanpequeño que el análisis del flujo irrotacional fuera de ella puede llevarse a cabodespreciando la presencia de la capa límite; en una segunda etapa, los resultados deese análisis se emplean para determinar la distribución de presión en la capa límite.Esta aproximación se utiliza en los estudios aerodinámicos destinados a ladeterminación del flujo sobre perfiles tales como el ala de un avión.

La configuración del perfil de velocidad en la capa límite y la velocidad decrecimiento del espesor de ésta depende del gradiente de presión en la dirección delflujo (i.e., ∂p/∂x, en nuestro ejemplo). Si la presión decrece en la dirección del flujo,i.e., si ∂p/∂x<0, tenemos un gradiente de presión favorable, ya que la presión detrásde cada partícula fluida (ayudando a su movimiento) es mayor que la presión delantede la misma (que se opone a su movimiento); en estas condiciones, el espesor de lacapa límite se incrementa gradualmente conforme avanza la corriente y los perfilesde velocidad serán similares a los que se muestran en la Figura 34.1. Por el contrario,si la presión crece en la dirección del flujo, i.e., si ∂p/∂x>0, tenemos un gradiente depresión adverso, ya que la presión detrás de cada partícula fluida es menor que laque existe delante; en estas condiciones, el espesor de la capa límite se incrementa

1 El concepto de capa límite fue introducido en 1904 por el físico e ingeniero alemán LudwigPRANDTL (1875-1953) y ha resultado ser una de las ideas más fructíferas en el desarrollo de laDinámica de los Fluidos Reales.


rápidamente y los perfiles de velocidad son similares a los que se muestran en la

Figura 34.2

Figura 34.2. Si el gradiente de presión adverso es suficientemente grande, se presentaráuna separación del flujo respecto del contorno, apareciendo una región de flujoinvertido. El punto situado sobre el contorno en el cual es (∂vx/∂y)y=0=0 recibe elnombre de punto de separación. A partir del punto de separación, la dirección delflujo en la región separada es opuesta a la del flujo principal; el fluido de bajavelocidad contenido en la región separada es forzado a incorporarse al flujo principalimpelido por el aumento de presión "corriente abajo".

El efecto del gradiente longitudinal de presión es de suma importancia en el

Figura 34.3

establecimiento del flujo en difusores y boquillas y alrededor de objetos. Así, en elcaso de un difusor (Figura 34.3a) está involucrado un gradiente de presión adverso, demodo que la capa límite crece muy rápidamente y hay una fuerte tendencia a laseparación del flujo cuando el ángulo de divergencia del difusor es grande. Por el

§34.1.- Concepto de capa limite. 1019

contrario, en una boquilla (Figura 34.3b) se presenta un gradiente de presión favorable,de modo que la capa límite crece gradualmente y no es posible la separación, por loque el diseño de estos dispositivos es relativamente sencillo. La separación del flujoalrededor de objetos (como el ala de un avión, ...) tiene suficiente interés como paraque le dediquemos un estudio más detenido más adelante.

§34.2. Flujo laminar y flujo turbulento.- En la lección anterior, al referirnosa la ley de viscosidad de Newton, ya hemos utilizado el concepto de flujo laminar,entendiendo por tal un flujo en el que el fluido fluye en láminas o capas que sedeslizan unas respecto a otras sin que haya mezcla macroscópica del fluidoperteneciente a diferentes láminas o capas fluidas. Un fino filamento de tinturainyectado en un flujo laminar aparecerá como un línea simple, sin que ésta sedisperse en el flujo, salvo la pequeña dispersión debida al movimiento molecular. Elflujo laminar, también llamado flujo puramente viscoso, es un flujo bien ordenadoa escala macroscópica.

Por el contrario, cuando se inyecta un filamento de tintura en un flujo turbulento,el tinte se dispersa rápidamente en multitud de hilillos enmarañados que se vanmezclando con el fluido a medida que éste avanza. Este comportamiento se debe alas pequeñas fluctuaciones macroscópicas de velocidad que se superponen a lavelocidad media del flujo en cada punto del mismo, lo que produce una mezclamacroscópica de fluido perteneciente a diferentes capas, dando lugar a la rápidadispersión del tinte en el flujo. El flujo turbulento es un flujo desordenado a escalamacroscópica.

Para examinar estos dos regímenes de flujo

Figura 34.4

viscoso es conveniente recordar la clásicaexperiencia de Reynolds, en la que se hace fluiragua a través de una tubería de vidrio, como semuestra en la Figura 34.4, controlando el caudalpor medio de una válvula de salida. En elinterior de la tubería se inyecta un finofilamento de tintura de la misma densidad queel agua y se investiga su comportamiento paradistintas velocidades de flujo. Se observa que elflujo es laminar para pequeñas velocidades deflujo. Sin embargo, cuando se aumenta progre-sivamente la velocidad de flujo, llega un mo-mento en que se alcanza un estado en el que eltinte, al avanzar con el flujo, adopta un movimiento fluctuante; esto es, tiene lugaruna transición desde el régimen de flujo laminar a un régimen de flujo inestable. Alaumentar aún más la velocidad del flujo, se producen fluctuaciones en el flujo y elfilamento de tinte se dispersa totalmente; este flujo irregular se denomina flujoturbulento.

El experimento de Reynolds pone de manifiesto la dependencia del régimen deflujo laminar o turbulento con la velocidad del mismo. En general, el que el flujo sealaminar o turbulento depende de las características del fluido (ρ y η), de la velocidadde flujo y de la configuración y tamaño del conducto por el que fluye o del objetoalrededor del cual fluye el fluido.


En el caso del fluido en el interior de un tubería, la naturaleza del mismo(laminar o turbulento) está determinada por el valor del número de Reynolds (vide§33.9):

[34.1]ℜ ρ D Vη

donde ρ es la densidad del fluido, η la viscosidad del mismo, D el diámetro de latubería y V la velocidad media del flujo. La experiencia nos demuestra que paraℜ<2300 el flujo es laminar y que para ℜ>2300 el flujo es frecuentemente turbulento;este valor de ℜ recibe el nombre de número de Reynolds crítico para las tuberías.

En realidad no existe un valor bien definido de ℜ para el cual siempre ocurra la transición delrégimen laminar al turbulento, sino que más bien existe un intervalo de valores de ℜ en el cual tiene lugardicha transición. El número de Reynolds crítico sólo indica la inminencia de la transición del régimenlaminar al turbulento. Por otra parte, bajo condiciones experimentales cuidadosamente controladas, esposible mantener el régimen laminar para valores de ℜ muy superiores al de ℜcrít (incluso para ℜ=40000).

Podemos poner de manifiesto la diferencia esencial existente entre el régimen

Figura 34.5

laminar y el turbulento si representamos gráficamente en función del tiempo lacomponente de velocidad vx en un punto fijo en el interior de la tubería. En un flujolaminar estacionario, la representación gráfica será una línea recta horizontal(Figura 34.5a). En cambio, en un flujo turbulento estacionario, la gráfica (Figura 34.5b)indica la existencia de fluctuaciones macroscópicas al azar de la velocidad vx

alrededor del valor medio temporal Vx=<vx> de la misma; cuando dicho valor mediopermanece constante en el transcurso del tiempo, el flujo turbulento es consideradocomo estacionario.

Aunque muchos flujos turbulentos de interés son estacionarios en los valoresmedios, la presencia de las fluctuaciones al azar complica el análisis del flujo. Así,en un flujo laminar unidimensional, el esfuerzo cortante y el gradiente transversal develocidad están relacionados por la ley de Newton

[34.2]σyx η∂vx

∂y

pero esta relación no es válida en el flujo turbulento. En el flujo turbulento no existeuna relación universal entre el campo de esfuerzos y el de velocidades medias

§34.2.- Flujo laminar y flujo turbulento. 1021

temporales, de modo que debemos trabajar basándonos en la experimentación y enteorías semiempíricas.

§34.3. Flujo interno.- El flujo interno es aquél en el que el fluido fluye

Figura 34.6

confinado en el interior de una estructura sólida, como el que se produce en elinterior de tuberías, difusores, boquillas, canales y maquinarias. Al considerar un flujointerno debemos tener en cuenta el comportamiento de la capa límite. En la Figura 34.6

se ilustra un flujo laminar en la región de entrada de una tubería. Inmediatamentedespués de la entrada perfectamente redondeada, el flujo es prácticamente uniforme,con una velocidad v0. La condición de adherencia en las paredes de la tubería imponeque la velocidad del fluido en contacto con éstas debe ser cero a lo largo de toda latubería; en consecuencia, se desarrolla una capa límite a lo largo de las paredes. Alprincipio, esta capa límite es muy delgada; pero es de esperar que vaya aumentandode espesor a medida que se avanza en la tubería, delimitándose una zona central deflujo no viscoso (irrotacional), a veces llamada núcleo, que se va estrechando flujoabajo.

Para un fluido incompresible, la ecuación de continuidad nos indica que el fluidocontenido en el núcleo del flujo debe acelerarse, de modo que la velocidad media deflujo en una tubería, esto es

[34.3]V 1S ⌡⌠

S

v dS

debe ser igual a la velocidad de entrada; es decir, v=v0=cte. En consecuencia, alescribir la ecuación de Bernoulli a lo largo de un línea de corriente en la región deflujo no-viscoso (núcleo) se ve que la presión debe decrecer en la dirección del flujo.

A partir de una distancia suficientemente grande de la entrada de la tubería, lacapa límite ocupa completamente toda la sección de la misma, desapareciendo laregión de flujo no viscoso; esta distancia recibe el nombre de longitud de entrada(Le). Más allá de la longitud de entrada, el perfil de velocidad no cambia a lo largode la tubería y decimos que tenemos un flujo completamente desarrollado.

En un flujo laminar, la longitud de entrada es función del número de Reynolds(ℜ=ρDV/η) y del diámetro de la tubería. Las investigaciones teóricas realizadas porBOUSSINESQ nos llevan a la relación

[34.4]Le 0.03 D ℜ


que concuerda satisfactoriamente con los resultados experimentales. Puesto que elnúmero de Reynolds crítico en una tubería es 2300, tenemos que

[34.5](flujo laminar) Le ≤ 69 D

No existe una relación general semejante a la de Boussinesq para el régimen deflujo turbulento en una tubería. La longitud de entrada en régimen turbulento es unasveces mayor y otras menor, dependiendo de las condiciones locales, que lacorrespondiente al flujo laminar. Se ha podido comprobar experimentalmente que lalongitud de entrada en régimen turbulento en una tubería suele estar comprendida enel siguiente intervalo de valores

[34.6](flujo turbulento) 25 <Le

D< 40

En muchos problemas de interés práctico, la longitud de entrada es pequeña encomparación con la longitud total del conducto o tubería en la que se presenta elflujo completamente desarrollado, de modo que la importancia de aquélla esdespreciable en cuestiones tales como el cálculo de la pérdida de carga.

Estamos ahora en condiciones de abordar el estudio analítico del flujo interno,estacionario, incompresible, laminar y completamente desarrollado. En realidad, sonrelativamente pocos los problemas de este tipo en los que podemos obtenersoluciones analíticas exactas, pero el método para resolverlos es interesante en símismo. Utilizaremos básicamente la ecuación de Navier-Stokes y la de continuidadpara determinar el campo de velocidades; el conocimiento de éste nos permitiráobtener abundante información adicional (esfuerzos, caída de presión, caudal, ...).Como ejemplo, analizaremos el flujo entre dos placas paralelas estacionarias y elflujo de Couette; después, haremos un estudio más detenido del flujo en tuberías.

Ejemplo I.- Analizar el flujo laminar completamente desarrollado entre dos láminas planas yparalelas, ambas estacionarias.

Supondremos que ambas láminas son muy largas en la dirección del eje z, de modo que el

Figura 34.7

flujo sea unidimensional. Suponiendo el flujo incompresible, las ecuaciones del movimiento puedenobtenerse a partir de la ec. de Navier-Stokes para el flujo estacionario; esto es, en la dirección delflujo, tenemos

[34.7]0 ∂p∂x

η d2vdy 2

Integrando una vez se obtiene

[34.8]dvdy

1η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

y C1

y mediante una segunda integración

[34.9]v 12η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

y 2 C1y C2

§34.3.- Flujo interno. 1023

Para evaluar las constantes C1 y C2 debemos servirnos de las condiciones de contorno (oadherencia); esto es, v=0 para y=±h/2, de modo que se obtiene

[34.10]C1 0 C2

h 2

8η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

y por tanto [34.11]v h 2

2η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

yh

2 14

que corresponde a un perfil de velocidades de forma parabólica.

Distribución de esfuerzos cortantes.- Esta distribución viene dada por

[34.12]σyx η dvdy

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

y

Caudal.- El caudal se calcula mediante la expresión

[34.13]⌡⌠

S

v dS

de modo que para un longitud l en la dirección del eje z se tiene

[34.14]

l ⌡⌠

h2

h2

v dy 12η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x ⌡

⌠h2

h2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

y 2 h 2

4dy

o sea [34.15]l

h 3

12η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

Caudal en función de la caída de presión en la dirección del flujo.- Puesto que (∂p/∂x) esconstante en un flujo completamente desarrollado, podemos escribir

[34.16]∂p∂x

p2 p1

LΔpL

Δ′pL

donde hemos designado por Δ′p=p1-p2=-Δp la caída de presión en la dirección del flujo. Sustitu-yendo esta expresión en [34.15] obtenemos

[34.17]l

h 3

12η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

Δ′pL

Velocidad media de flujo.- La velocidad media de flujo viene dada por

[34.18]VS hl

h 2

12η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

h 2

12η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

Δ′pL

Velocidad máxima de flujo.- Para determinar la velocidad máxima y el valor de la ordenada enla cual se presenta, haremos dv/dy=0 y resolveremos para el correspondiente valor de y. El resultadoes

[34.19]y 0 vmáx

h 2

8η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

32

V

Todos los resultados obtenidos son válidos únicamente para el flujo laminar completamentedesarrollado. Se comprueba experimentalmente que la transición del régimen laminar al turbulento


se presenta, en este caso, para ℜcrít=1200. Por consiguiente, antes de utilizar las expresionesanteriores para un problema concreto deberemos asegurarnos de que el régimen de flujo es laminar(ℜ<1200).

Ejemplo II.- Analizar el flujo laminar completamente desarrollado entre dos grandes láminas planasy paralelas, una de las cuales se mantiene fija, en tanto que la otra se mueve paralelamente a laprimera con velocidad constante. Este flujo recibe el nombre de flujo de Couette.

Obviamente, la ecuación del movimiento corres-

Figura 34.8

pondiente a este flujo es la misma que ya hemosestablecido en el ejemplo anterior [34.7], que nos llevarápor integración, al igual que antes, a

[34.20]v 12η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

y 2 C1 y C2

debiéndose evaluar las constantes de integración C1 yC2 a partir de las condiciones de contorno o adherenciaespecíficas para el flujo de Couette; esto es, v=0 paray=0 y v=U para y=h. De este modo se obtiene

[34.21]C1

Uh

h2η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

C2 0

y por tanto [34.22]v U

hy h 2

2η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

yh

2 yh

que corresponde a un perfil de velocidades de forma

Figura 34.9

parabólica. Sin embargo, es conveniente observarque en ausencia de gradiente de presión en ladirección del flujo (i.e., para ∂p/∂x=0) el perfil develocidades es lineal, ya que v=(U/h)y.

La ecuación [34.22] sugiere que el perfil develocidad puede ser considerado como una combi-nación de dos perfiles: uno lineal y otro parabólico.El resultado es un familia de perfiles de velocidadque depende de los valores de U y (1/η)(∂p/∂x), tresde los cuales han sido representados en la Figura34.9 Obsérvese como la presencia de un gradiente

de presión adverso puede provocar la inversión del flujo.

Distribución de esfuerzos cortantes.-

[34.23]σyx η dvdy

η Uh

h ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

yh

12

Caudal.- [34.24]⌡⌠

S

v dS l ⌡⌠

h

0

v dy l ⌡⌠

h

0

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Uh

y 12η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

(y 2 hy) dy

§34.3.- Flujo interno. 1025

o sea [34.25]l

hU2

h 3

12η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

Velocidad media de flujo.- [34.26]VS hl

U2

h 2

12η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

Velocidad máxima de flujo.- Determinaremos la derivada dv/dy, la igualaremos a cero yresolveremos para el valor correspondiente de y. Obtenemos

[34.27]dvdy

Uh

h 2

2η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

2yh 2

1h

0

o sea [34.28]y h2

U/h(1/η) (∂p/∂x)

vmáx

U2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

1 Uh 2 (∂p/∂x)

h 2

8η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

no existiendo una relación sencilla entre vmáx y V.

Los resultados anteriores sólo son válidos para el flujo de Couette en régimen laminarcompletamente desarrollado. Se comprueba experimentalmente que el número de Reynolds críticopara el flujo de Couette es ℜcrít≈1500 para (∂p/∂x=0), estando definido el número de Reynolds porℜ=ρhU/η.

§34.4. Flujo en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille.- Dada la importancia

Figura 34.10

práctica que tiene la conducción de fluidos mediante tuberías cilíndricas, dedicaremosuna atención especial al análisis del flujo en éstas. En realidad, ya hemos prestadouna atención especial al flujo en tuberías al referirnos en el epígrafe anterior a lalongitud de entrada en el flujo interno. Ahora, profundizaremos el análisis del flujoen tuberías para flujo completamente desarrollado. En primer lugar nos referiremosal flujo laminar; luego, al flujo turbulento.

Para comenzar, determinaremos la distribu-ción o perfil de velocidad para el caso de unflujo laminar, incompresible y estacionario enuna tubería de sección transversal circular yconstante. Como el flujo puede considerarseaxilsimétrico respecto al eje de la tubería, todaslas variables que lo caracterizan resultan serfunción exclusivamente de la distancia al eje desimetría, siempre que puedan despreciarse lasvariaciones hidrostáticas. En consecuencia,resultará conveniente utilizar coordenadas cilíndricas.

La componente de la ecuación de Navier-Stokes en la dirección del flujo es

[34.29]ρ dvdt

∂p∂x

η ∇2 v

siendo nula la derivada total dv/dt (=local+convectiva) en este caso, por tratarse deun flujo estacionario y paralelo. Entonces, sustituyendo en la ecuación del movi-


miento [34.29] la expresión de ∇2 en coordenadas cilíndricas y teniendo en cuenta quev es función exclusivamente de r, i.e., v=v(r), tenemos

[34.30]1r

ddr

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r dvdr

1η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

que es la ecuación diferencial del movimiento, en la que (∂p/∂x)=cte representa elgradiente de presión en la dirección del flujo. Mediante una primera integración seobtiene

[34.31]r dvdr

1η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

r 2

2C1 ⇒ dv

dr1

2η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

rC1

r

e integrando de nuevo

[34.32]v 14η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

r 2 C1 ln r C2

Para evaluar la constante C1 tendremos en cuenta que lnr ∞ cuando r 0, demodo que la constante C1 debe ser igual a cero para que la ecuación [34.32] tengasignificado físico. Por otra parte, la constante C2 se determina a partir de la condiciónde contorno o adherencia del fluido en la pared de la tubería; i.e., cuando r=D/2 esv=0, de modo que

[34.33]C2

D 2

16η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

y la distribución o perfil de velocidad vendrá expresado por

[34.34]v 14η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

r 2 D 2

4

que corresponde a un perfil de velocidad de forma parabólica, como se ilustra en laFigura 34.10. Podemos interpretar este flujo como si se tratase de un gran número detubos telescópicos deslizándose cada uno respecto de los dos adyacentes (interno yexterno), manifestándose una cierta fuerza de fricción en estos deslizamientos (laviscosidad); el tubo central es el que avanza más rápidamente y el más externo (encontacto con las paredes de la tubería) permanece en reposo.

La distribución de esfuerzos tangenciales puede determinarse fácilmente a partirde la distribución de velocidades; o más directamente a partir de la expresión [34.31],ya que

[34.35]σrx η dvdr

12⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

r

de modo que crece linealmente con la distancia radial r, presentando un valormáximo justamente sobre la capa fluida en contacto con las paredes de la tubería.

La expresión [34.34] para la distribución de velocidad nos permite determinar elflujo volumétrico o caudal a través de cualquier sección de la tubería. Para ello,consideraremos un elemento de superficie infinitesimal, de forma anular, en la

§34.4.- Flujo en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille. 1027

sección recta de la tubería (zona oscura en la Figura 34.11). cuya área será dS=2πrdr,a través del cual el fluido fluye con una velocidad v(r); tenemos

[34.36]⌡⌠

S

v dS π2η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x ⌡

⌠D2

0

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

r 2 D 2

4r dr

o sea [34.37]πD 4

128η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

En un flujo completamente desarrollado, el gradiente de

Figura 34.11

presión longitudinal (∂p/∂x) es constante; por tanto, podemosescribir

[34.38]∂p∂x

p2 p1

LΔpL

Δ′pL

siendo Δ′p=p1-p2 la caída de presión en la dirección del flujo.Sustituyendo esta expresión en [34.36] se tiene

[34.39]π D 4

128ηΔ′pL

expresión que fue descubierta experimentalmente en 1839 por el fisiólogo francésJean Louis Marie POISEUILLE (1799-1869) y en 1840 por el ingeniero hidráulicoalemán Gotthif Heinrich Ludwig HAGEN (1797-1884), independientemente, y esconocida como ley de Hagen-Poiseuille. Esta ley establece que el flujo volúmico ocaudal a través de una tubería de un fluido viscoso en régimen laminar (ℜ<2300) esinversamente proporcional a la viscosidad del fluido, directamente proporcional a ladiferencia de presiones entre los extremos de la tubería y proporcional a la cuartapotencia del diámetro de la misma Así, por ejemplo, si se duplica el diámetro, elcaudal aumenta en un factor 16; lo que es muy de tener en cuenta cuando se diseñauna instalación.

Ejemplo III.- Viscosímetro de Ostwald.- La ley de Hagen-Poiseuille nos permite diseñar unviscosímetro, relativamente simple pero muy preciso, sin más que medir el caudal a través de untubo de sección constante y la diferencia de presiones entre sus extremos. En el viscosímetro deOstwald2 (Figura 34.12), la diferencia de presiones Δp es de origen hidrostático. Describiremosbrevemente el modo de operar.

Se mide el tiempo t que emplea en pasar entre las marcas A y B un volumen de líquido ∀,bajo la diferencia de presiones Δp=ρgh debida al desnivel del líquido entre las dos ramas delviscosímetro, que se mantiene verticalmente. Englobando en un factor de proporcionalidad k todaslas magnitudes que son constantes en la expresión [34.39], tenemos

2 Wilhelm OSTWALD (1853-1932), físico y químico alemán. Premio Nobel en Química en1909, por el mérito de sus trabajos sobre catálisis, así como por sus fundamentales investigacionesacerca del equilibro químico y de la velocidad de reacción.


Figura 34.12

∀ k ρ tη

El mismo volumen ∀ de otro líquido de densidad ρ′ y viscosidadη′ empleará un tiempo t′ en pasar por el capilar y tendremos unaexpresión análoga a la anterior. Entonces, dividiéndolas miembro amiembro, tendremos

η′η

ρ′ρ

t′t

de modo que puede determinarse la viscosidad del líquido problemasi se conoce la de otro líquido de referencia.

La velocidad media de flujo se determina como elcociente del caudal por el área de la sección recta de la tubería; esto es,

[34.42]VS π R 2

D 2

32η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

Para encontrar el punto en que la velocidad es máxima, igualaremos a cero dv/dry resolveremos para el correspondiente valor de r; así se obtiene

[34.43]dvdr

12η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

r 0

de modo que

[34.44]para r 0 es vmáx

D 2

16η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

2V

Resulta interesante expresar el perfil de velocidad en unidades de la velocidadmáxima; para ello dividiremos miembro a miembro las expresiones [34.34] y [34.44]

y, después de simplificar la expresión resultante, tendremos

[34.45]vvmáx

1 ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

rD/2

2

Todas las expresiones anteriores son válidas para el flujo laminar completamentedesarrollado en tuberías. Sin embargo, excepto en el caso de fluidos muy viscososcirculando por tuberías de pequeño diámetro, el flujo en tuberías tiene lugargeneralmente en régimen turbulento. Como ya hemos indicado anteriormente, lanaturaleza del flujo turbulento es tan poco conocida que todavía no se ha establecidouna teoría adecuada para analizarlo; por eso es necesario recurrir a la experimenta-ción y elaboración de fórmulas semiempíricas sobre los resultados experimentalesobtenidos.

NIKURADSE ha realizado un extenso trabajo experimental acerca de la distribución develocidades en el flujo turbulento completamente desarrollado en una tubería. En la Figura 34.13 mos-tramos varias distribuciones de velocidad, obtenidas en esos experimentos, para el caso de una tube-ría lisa; cada perfil de velocidad corresponde a un valor determinado del número de Reynolds. A

[34.41]

§34.4.- Flujo en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille. 1029

fin de poder comparar, en la Figura 34.13 se muestra

Figura 34.13

también el perfil de velocidad correspondiente aun flujo laminar. Obsérvese que los perfilescorrespondientes al régimen turbulento presentanuna pendiente más fuerte cerca de las paredes queel correspondiente al régimen laminar; esto es,aquéllos son más romos o aplanados.

Es posible representar aproximadamente estosperfiles de velocidad mediante una ley empíricade tipo potencial; esto es,

[34.46]vvmáx

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 rD/2

1/n

en la que el exponente varía lentamente con elnúmero de Reynolds, yendo desde n=6 hastan=10 para números de Reynolds desde 4000 hasta3.2×106. El valor n=7 se utiliza corrientemente; entonces, la fórmula [34.46] toma el nombre deprincipio de la raíz séptima.

§34.5. Ecuación de Bernoulli para el flujo viscoso. Pérdida de carga.-Como ya hemos visto en el epígrafe §32.8, la ecuación de Bernoulli es esencialmenteuna formulación del principio de conservación de la energía aplicado a las corrientesfluidas. Aplicaremos ahora este principio de conservación de la energía (PrimerPrincipio de la Termodinámica) a un tubo de corriente (de sección recta infinitesimaly variable) para cualquier flujo viscoso estacionario en el que no se produzca trabajoútil (w=0); entonces, la ecuación de Bernoulli puede disponerse en la forma

[34.47]⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

p1

ρv 2

1

2gz1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

p2

ρv 2

2

2gz2 (u2 u1) q

donde u representa la energía interna específica (i.e., por unidad de masa) que varíageneralmente de un punto a otro del fluido y -q es el calor transferido por unidad demasa desde el fluido en el interior del volumen de control (zona oscura en la Figu-

ra 34.14) hacia el medio ambiente durante el tránsito de aquél desde la posición 1 ala 2, como se ilustra en la Figura 34.14. Por otra parte, como ya sabemos, el término

Figura 34.14

[34.48]⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

pρ

v 2

2g z

representa el flujo de energía mecánicaespecífica a través de una sección deter-minada del tubo de corriente, de modo queel segundo miembro de la expr. [34.47] esigual a la pérdida de energía mecánicaespecífica al pasar el volumen de controldesde la posición 1 a la 2. Esto es, se pro-duce una conversión irreversible de energíamecánica en energía interna del fluido (u2-u1) y en calor (-q) que es transferido al exterior. Las fuerzas de fricción en el flujo


viscoso son las responsables de esta disipación de energía mecánica, de modo queparte del trabajo realizado por las fuerzas de presión y gravitatorias, y que en el casode un flujo ideal se manifiesta como un aumento de energía cinética, ahora aparececomo energía calorífica. En estas condiciones, la energía mecánica no permanececonstante a lo largo de un tubo de corriente, sino que va disminuyendo conforme seevalúa en puntos más avanzados del flujo.

Naturalmente, la energía total se conserva, pero la energía calorífica que aparecea expensas de la energía mecánica que desaparece es de poca aplicación. Esto es asíen virtud de que, en las situaciones reales de transporte de fluidos mediante tuberías,cualquier aumento de la energía interna suele perderse en el almacenamiento posteriory de que generalmente resulta antieconómico contribuir a calentar el medio ambiente(la atmósfera). Por eso, resulta conveniente agrupar las "pérdidas de energía" en unsolo término, que llamamos pérdida de carga y representamos por H ; esto es,

[34.49]H (u2 u1) q

y la ecuación de Bernoulli para el flujo viscoso se escribe en la forma

[34.50]⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

p1

ρv 2

1

2g z1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

p2

ρv 2

2

2g z2 H

Cuando tratamos de extender la relación anterior a un volumen de control queabarque toda la sección recta de una tubería, nos encontramos con que la velocidadno es uniforme en todos los puntos de una misma sección recta; i.e., varía de unostubos de corriente a otros. El modo correcto de proceder sería utilizar el promedioexacto de energía cinética en cada sección de la tubería; sin embargo, lo que suelehacerse es elegir una velocidad media V= /S que se eleva al cuadrado para formarel término de energía cinética que aparece en la ecuación [34.50]. Puede demostrarseque el error que se comete con esta forma de proceder es despreciable, tanto en elflujo laminar como en el turbulento. Así pues, reescribiremos la ecuación deBernoulli para el flujo viscoso en una tubería como

[34.51]⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

p1 p2

ρ

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

V 21

2

V 22

2g (z1 z2) H

donde V1 y V2 representan las velocidades medias de flujo en las seccionesrespectivas.

Consideremos ahora un flujo viscoso incompresible completamente desarrollado

Figura 34.15

en una tubería recta de sección constante colocada horizontalmente (Figura 34.15). Enestas condiciones es V1=V2 (condición de continui-dad) y z1=z2, de modo que al aplicar la ecuación[34.51] tenemos

[34.52]⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

p1 p2

ρH

§34.5.- Ecuación de Bernoulli para el flujo viscoso. Pérdida de carga. 1031

Si no existiese fricción en este flujo, no habría caída

Figura 34.16

de presión; en consecuencia, podemos interpretar lapérdida de carga (H ) en este flujo como lapérdida de carga de presión (Δ′p/ρ) debida a lafricción.

Consideremos ahora el mismo flujo anterior,pero con la tubería inclinada (Figura 34.16). De nuevoes V1=V2, pero z1≠z2; de modo que tenemos

[34.53]⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

p1 p2

ρg (z2 z1) H

siendo la diferencia z2-z1 la misma para todos los

Figura 34.17

tubos de corriente. Ahora, a la pérdida de carga depresión (Δ′p/ρ) contribuye el incremento de altura(gΔz) además de la pérdida de carga por fricción(H ).

Por último, supongamos que la tubería experi-menta un cambio de dirección y otro de seccióntransversal, como se ilustra en la Figura 34.17. Apli-cando la ec. [34.51] se obtiene

[34.54]⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

p1 p2

ρ

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

V 22

2

V 21

2g (z2 z1) H

de modo que la pérdida de carga de presión incluye ahora el efecto del cambio develocidad, además del cambio de altura y de la pérdida de carga por fricción. En esteejemplo vemos que la pérdida de carga (H ) tiene lugar en tres tramos bien diferen-ciados. Las pérdidas de carga correspondientes a los tramos L1 y L2 son las de mayorcuantía; por eso reciben el nombre de pérdidas mayores y las designaremos por(H )1 y (H )2, respectivamente. La pérdida de carga en el codo de reducción es demenor cuantía; estas pérdidas se llaman pérdidas menores y se designan por H m.

§34.6. Calculo de las perdidas de carga en tuberías.- La pérdida de cargatotal (H t) es la suma de las pérdidas mayores (H ) debidas a los efectos de fricciónen el flujo totalmente desarrollado en una tubería de sección constante y de laspérdidas menores (H m) debidas a las transiciones de régimen, entradas, salidas,curvaturas y accesorios en general. Consideraremos por separado ambos casos.

1) PÉRDIDAS MAYORES.- Las pérdidas mayores de carga para un flujo en unatubería horizontal es igual a la pérdida de carga de presión, como ya hemos visto enel epígrafe anterior [34.52]; esto es,

[34.55]p1 p2

ρΔ′pρ

H

La pérdida de carga para un flujo en una tubería de sección constante dependeexclusivamente del régimen de flujo, ya que representa el montante de energía


mecánica que es convertida en energía térmica. Por consiguiente, la expresión [34.55]

para el cálculo de la pérdida de carga también es válida para el flujo en una tuberíainclinada.

1.a) Régimen laminar.- En un régimen laminar completamente desarrollado, lacaída de presión puede calcularse analíticamente a partir de la expresión [34.39]; estoes,

[34.56]Δ′p 128ηLπD 4

128ηLV(πD 2/4)

πD 432 L

DηVD

que sustituida en [34.55] conduce a

[34.57]H 32 LDηVρD

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

64ℜ

LD

V 2

2

expresión en la que hemos hecho aparecer el número de Reynolds.1.b) Régimen turbulento.- En el régimen de flujo turbulento no podemos

evaluar analíticamente la caída de presión y, por tanto, debemos recurrir básicamentea los resultados experimentales. En el régimen turbulento completamente desarrolladoen una tubería de sección recta constante, la caída de presión Δ′p es función de losseis parámetros siguientes: la densidad ρ del fluido, la viscosidad η del mismo, lavelocidad media V del flujo, la longitud L de la tubería, el diámetro D de la mismay la rugosidad de sus paredes. Esto es,

[34.58]Δ′p F(ρ, η, V, L, D, )

Mediante el análisis dimensional, se encuentra que estos seis parámetros seagrupan en cuatro grupos adimensionales, de modo que

[34.59]Δ′pρV 2

F2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

ρVDη

, LD

,D

donde reconocemos la presencia del número de Reynolds; así, reescribiremos laexpresión anterior en la forma

[34.60]H Δ′pρ

V 2

2F3

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

ℜ , LD

,D

donde hemos dividido por 2 para hacer aparecer el término de energía cinética(ρV2/2) y hemos igualado con la expresión [34.55]. Así, el análisis dimensional nosaproxima a la forma de la relación funcional de H con los parámetros del flujo; apartir de aquí, es necesario recurrir a la experimentación.

La experimentación pone de manifiesto que la pérdida de carga es directamenteproporcional a la longitud L de la tubería, de modo que [34.60] se escribirá como

[34.61]H f ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

ℜ ,D

LD

V 2

2

Finalmente, a la función desconocida f=f(ℜ, /D) se le llama factor de fricción,resultando la forma definitiva

§34.6.- Calculo de las perdidas de carga en tuberías. 1033

Figura 34.18


Tabla 34.1.- Rugosidad de algunas tuberías comerciales.

TIPO DE TUBERÍA (mm) TIPO DE TUBERÍA (mm)

tubería estirada 0.000 15 madera 0.183 - 0.914

acero comercial ohierro forjado

0.045 72 fundición 0.259

fundición asfaltada 0.122 hormigón 0.305 - 3.05

hierro galvanizado 0.152 acero remachado 0.914 - 9.14

Tabla 34.2.- Pérdidas menores en accesorios comerciales.

Tipo deaccesorio

Coeficiente K depérdidas menores

Entrada/salidareentrante

0.78 1.0

Entrada/salidaangular

0.34 1.0

Entrada/salidabien perfilada

0.04 1.0

Contraccióngradual

30.˚45.˚60.˚

0.020.040.07

Expansión súbita

Codos 90˚/45˚ 0.90 0.42


[34.62]H f LD

V 2

2

El factor de fricción es función del número de Reynolds ℜ y de la rugosidadrelativa /D de las paredes de la tubería y ha sido determinado experimentalmentepara distintos valores de ℜ y de /D. Los resultados, publicados por L.F. MOODY en1944, se muestran gráficamente en la Figura 34.18.

Para calcular la pérdida de carga H para un flujo en unas condicionesconocidas, se comenzará evaluando el número de Reynolds ℜ y consultando en lastablas comerciales el valor de la rugosidad relativa /D de la tubería; en la Tabla 34.1

se indican los valores para algunos materiales de uso corriente. Entonces, el factorde fricción f se determina a partir de la curva apropiada en el gráfico de Moody(Figura 34.18). Finalmente, se calculará el valor de H utilizando la expresión [34.62].

Obsérvese que el factor de fricción para el régimen laminar puede obtenersecomparando las expresiones [34.57] y [34.62]; como resulta obvio, tenemos

[34.63]flaminar

64ℜ

de modo que el factor de fricción para el régimen laminar es función únicamente delnúmero de Reynolds e independiente de la rugosidad de la tubería, lo que está deacuerdo con los resultados experimentales.

2) PÉRDIDAS MENORES.- En cuanto se refiere a las pérdidas de carga en lasentradas y salidas de las tuberías, en los ensanchamientos y contracciones en lasmismas, en los codos y en las válvulas, se debe recurrir a la experimentación. Escostumbre expresar tales pérdidas en la forma general

[34.64]H m K V 2

2

en donde K es el coeficiente de

Figura 34.19

pérdidas por fricción para diversostipos de pérdidas menores que seencuentra tabulado en los manualesespecializados. En la Tabla 34.2

indicamos algunos valores aproxi-mados de K.

En algunos casos es preferibleexpresar las pérdidas menores en laforma

[34.65]H m fLeq

DV 2

2

donde Leq es la longitud equivalen-te de una tubería recta. En la Figu-

ra 34.19 se representa gráficamente


la variación de la longitud equivalente para codos (tipo inglete) en función del ángulode deflexión.

Ejemplo IV.- Un depósito de grandes dimensiones desagua por medio de una tubería recta yhorizontal, reentrante en el depósito y situada a 7 m por debajo del nivel del agua en el mismo. Latubería puede considerarse hidrodinámicamente lisa, su diámetro es de 12 mm, su longitud de 15 my descarga directamente a la atmósfera. Con estos datos, determinar el caudal en el desagüe,teniendo en cuenta las pérdidas mayores y menores en la tubería.

Comenzaremos escribiendo la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2. Teniendo encuenta que V1=V2=V, z1=z2 y p2=pa (presión atmosférica), tenemos

[34.66]p1 pa

ρH H m

donde las pérdidas mayores y menores en la tubería vienen dadas por

[34.67]H f LD

V 2

2H m K V 2

2

siendo K=0.78 el coeficiente de pérdidas menores correspondiente a la entrada reentrante (vide Ta-bla 34.2).

A continuación, escribiremos la ec. de Bernoulli (sin pérdidas) entre los puntos 0 y 1, a lolargo de una línea de corriente. Puesto que V0≈0, z0-z1=h y p0=pa, tenemos

Figura 34.20

[34.68]pa p1

ρV 2

2g h 0

Ahora, eliminando pa-p1 entre las ecuaciones [34.66] y[34.68], sustituyendo las expresiones [34.67] de laspérdidas y despejando V2, tenemos finalmente

[34.69]V 2 2gh

f LD

K 1

y sustituyendo los valores numéricos de los datos delproblema

[34.70]V 2 2 × 9.8 × 7

f 150.012

0.78 1

137.21250 f 1.78

El coeficiente de fricción f depende del número de Reynolds ℜ; éste depende de la velocidadmedia V del flujo en la tubería; a su vez, ésta depende del valor del factor de fricción f. Pero resultaque en este problema no conocemos ni f, ni ℜ, ni V. Además, como es posible que el flujo seaturbulento, no existirá una relación analítica entre f y ℜ, de modo que tendremos que acudir a laconsulta de los gráficos de Moody y llevar a cabo un proceso reiterativo de cálculo para resolverel problema por aproximaciones sucesivas. Teniendo en cuenta la densidad y la viscosidad del agua(ρ=1000 kg/m3, η=1.002 cP=1.002×10-3 Pa s), el número de Reynolds viene dado por

[34.71]ℜ ρDVη

1000 × 0.012

1.002 × 10 3V 11 976 V


Comenzaremos suponiendo un valor de V (v.g., ) y calcularemos el valor

Tabla 34.3

V (supuesto) ℜ f V (calculado)

12.00 m/s 1.44 105 0.0167 2.46 m/s

2.46 7.25 104 0.0195 2.29

2.29 2.74 104 0.0238 2.09

2.09 2.50 104 0.0245 2.06

2.06 2.47 104 0.0247 2.05

v 2gh ≈ 12 m/scorrespondiente de ℜ. Con este valor de ℜ determinaremos el valor de f (gráficos de Moody).Entonces, calcularemos el nuevo valor de V hasta que no exista diferencia apreciable entre losvalores de V supuesto y calculado. En la Tabla 34.3 se muestran los resultados. Como vemos, elproceso converge rápidamente y podemos tomar como solución correcta V=2.05 m/s, con todas suscifras exactas. De este modo, el caudal será

V × π D 2

42.32 × 10 4 m 3/s 13.9 l/min

§34.7. Flujo externo.- Flujo externo es el de un fluido sobre o alrededor de unobjeto, como el que tiene lugar cuando un fluido fluye sobre una superficie oalrededor de un cuerpo sumergido en su seno.

Al principio de esta lección, hemos utilizado el flujo incompresible sobre unalámina plana semiinfinita como paradigma para establecer una descripción cualitativade algunas de las características más conspicuas del flujo viscoso sobre un contornosólido; esto es, la presencia de una capa límite y la aparición de una región separadadel flujo. Ahora vamos a considerar una situación algo más compleja, correspondienteal flujo incompresible y estacionario alrededor de un cilindro de longitud infinita.

Comenzaremos imaginando un

Figura 34.21

flujo ideal (i.e., no viscoso) alrede-dor de un cilindro. El mapa delíneas de corriente correspondientea una sección transversal delcilindro se muestra en la Figu-

ra 34.21. Se observará que el flujo essimétrico con respecto a ambosejes x e y.

En los puntos A y E, en losque las líneas de corriente se bifur-can, la velocidad de las partículas fluidas es muy pequeña; estos puntos son llamadospuntos de estancamiento o de remanso. Por el contrario, en el punto D, en donde laslíneas de corriente están muy apretadas, la velocidad del flujo es máxima. Así pues,la velocidad de flujo alrededor del cilindro aumenta a partir del punto A hasta


alcanzar un valor máximo en D y luego disminuye conforme se sobrepasa el cilindro.De acuerdo con el teorema de Bernoulli para el flujo ideal, un incremento develocidad está asociado a una disminución de presión e inversamente. En consecuen-cia, la presión sobre la superficie del cilindro decrece conforme nos movemos desdeel punto A hacia el punto D, alcanza un valor mínimo en D y aumenta a partir delpunto D hacia el E. Puesto que el flujo es simétrico respecto de ambos ejes x e y, ladistribución de presiones también lo es.

Puesto que en un flujo no viscoso no existen esfuerzos tangenciales, las fuerzasdebidas a la presión son las únicas que deberemos considerar para determinar lafuerza neta que actúa sobre la superficie del cilindro. Entonces, en virtud de lasimetría de la distribución de presiones sobre la superficie del cilindro, llegamos ala conclusión de que no existe fuerza neta sobre el cilindro, ni en la dirección del ejex, ni en la del eje y. La fuerza neta en la dirección del eje x recibe el nombre dearrastre. Así, en el caso de un flujo no viscoso alrededor de un cilindro, el arrastrees nulo; esta conclusión es contraria a la experiencia, por la que sabemos que todoslos cuerpos sufren algún arrastre cuando son colocados en un flujo real. La razón deeste desacuerdo, llamado paradoja de D’ALEMBERT, radica evidentemente en elhecho de haber despreciado los efectos viscosos en todo el dominio completo delflujo. Los efectos viscosos en una delgada región adyacente al contorno sólido (capalímite) son de primordial importancia en la evaluación del flujo.

Consideremos ahora un flujo

Figura 34.22

real (i.e., viscoso) alrededor de uncilindro. El correspondiente mapade líneas de corriente se muestra enla Figura 34.22, en la que también seha indicado la presencia de la capalímite.

Puesto que el espesor de lacapa límite es muy pequeño, pode-mos suponer razonablemente quelas distribuciones de velocidad y

presión fuera de la capa límite sean cualitativamente las mismas que en el caso deun flujo no viscoso. Por tanto, entre el punto de estancamiento A y el punto B existeuna caída de presión o gradiente de presión favorable, bajo cuya influencia laspartículas fluidas contenidas en la capa límite resultan aceleradas en su movimientohacia B, de modo que se neutraliza parcialmente el efecto de frenado producido porla adherencia con la superficie del cilindro. Así pues, gracias a dicho gradiente depresión favorable, las líneas de corriente pueden subsistir y el espesor de la capalímite se incrementa lentamente.

Por el contrario, entre el punto B y la parte posterior del cilindro existe ungradiente de presión adverso, que tiende a retrasar el movimiento de las partículasfluidas que se mueven en la capa límite en esta región; a esta acción se suma laadherencia del fluido a la superficie del cilindro. En consecuencia, en algún puntosobre la superficie del cilindro, la cantidad de movimiento del fluido en la capa límiteresulta ser insuficiente para hacer avanzar las partículas fluidas en contra delgradiente de presión adverso. Entonces, la capa fluida adyacente a la superficie delcilindro alcanzará el reposo y se producirá una separación del flujo respecto a la

§34.7.- Flujo externo. 1039

superficie del fluido; el punto C donde ocurre eso es el llamado punto de separación.Como consecuencia de la separación del flujo, se origina una zona de presiónrelativamente baja detrás del cilindro; esta región recibe el nombre de estela, que aligual que la capa límite puede ser laminar o turbulenta. De este modo aparece unafuerza neta, debida a la presión que ejerce el flujo sobre la superficie del cilindro, enla dirección del flujo, que es el arrastre. Cuanto mayor sea la estela detrás del cuerpo,mayor será el arrastre sobre el mismo.

§34.8. Arrastre y sustentación.- Siempre que existe un movimiento relativoentre un cuerpo sólido y un fluido en el que está sumergido, el cuerpo sólido seencuentra sometido a una fuerza neta F debida a la acción del fluido sobre lasuperficie de aquél. En general, la fuerza infinitesimal dF que actúa sobre unelemento de superficie dS del cuerpo sólido no es ni tangencial, ni perpendicular adicho elemento. Esto se comprende fácilmente cuando se considera la naturaleza delos esfuerzos que actúan sobre la superficie del cuerpo:

a) esfuerzos tangenciales de naturaleza puramente viscosa, debidos a laadherencia de la capa límite sobre la superficie del cuerpo;b) esfuerzos normales, debidos a la presión que ejerce el fluido sobre lasuperficie del cuerpo. La fuerza neta resultante vendrá dada por

[34.72]F ⌡⌠dFvisc ⌡

⌠dFpresión

Esta fuerza resultante puede ser descompuesta en dos componentes: unacomponente paralela a la dirección del movimiento relativo entre el cuerpo y elfluido no perturbado (lejos del cuerpo) y otra componente en dirección perpendiculara la anterior; estas dos componentes de la fuerza neta resultante reciben los nombresde arrastre y sustentación, respectivamente.

Puesto que

[34.73]dFvisc (η ∇2v) dV dFpresión p dS

pudiéramos estar inclinados a pensar que siempre sea posible evaluar analíticamentela fuerza neta sobre la superficie de un cuerpo sumergido en movimiento relativo enel seno de un fluido (al menos, en principio, aparte de las complicaciones de cálculoque puedan surgir). Sin embargo, no es así. Como ya hemos visto en el epígrafeanterior, la presencia de un gradiente de presión adverso conduce frecuentemente ala separación del flujo, lo que impide la determinación analítica de la fuerzaresultante sobre el cuerpo. En consecuencia, en la mayor parte de los problemas deinterés, se debe recurrir a la determinación experimental de unos coeficientesadecuados para el cálculo posterior del arrastre y de la sustentación en situacionesconcretas.

§34.9. Arrastre.- Ya hemos definido el arrastre como la componente de lafuerza ejercida sobre la superficie de un cuerpo en movimiento relativo en el senode un fluido en la dirección de la corriente libre. La fuerza de arrastre tiene su origenen los esfuerzos tangenciales y normales que ejerce el flujo sobre la superficie delcuerpo.


El arrastre debido a los esfuerzos tangenciales, de naturaleza puramente viscosa,sobre la superficie de un cuerpo se denomina arrastre de fricción o viscoso. Este tipode arrastre es muy importante en aquellos casos en los que el área superficial paralelaal flujo es grande en comparación con el área proyectada normal al flujo. Así, porejemplo, el arrastre sobre una lámina plana paralela a la dirección del flujo esesencialmente un arrastre de fricción o viscoso.

El arrastre debido a los esfuerzos nor-

Figura 34.23

males recibe el nombre de arrastre depresión. Este tipo de arrastre suele serdominante en aquellos casos en los que elárea proyectada en la dirección normal alflujo es grande en comparación con el áreasuperficial paralela al flujo; i.e., paracuerpos escarpados. En estas condiciones,incluso para cuerpos simétricos, la presencia

de un gradiente de presión adverso posibilita la separación del flujo respecto de lasuperficie del cuerpo, lo que da lugar a la aparición de una estela detrás del cuerpoy, en consecuencia, a una asimetría en la distribución de presiones sobre la superficiedel mismo; esta asimetría es la causa inmediata del arrastre de presión. Así, en elcaso de una lámina plana normal al flujo (i.e., un disco, como se ilustra en laFigura 34.23), el arrastre es esencialmente un arrastre de presión. Para esta geometría,la separación del flujo se origina desde el mismo borde de la lámina y en la estelade baja energía detrás del cuerpo se produce una inversión del flujo.

Para reducir el arrastre de presión es

Figura 34.24

necesario disminuir la magnitud del gra-diente adverso de presión sobre la superficietrasera del cuerpo, a fin de retrasar, eincluso impedir, la separación del flujo y laformación de la estela. Para ello, el cuerpodeberá afilarse gradualmente en su parteposterior, como se ilustra en la Figura 34.24,dotándolo de un perfil fusiforme o perfil

aerodinámico. Sin embargo, si el perfil fusiforme es muy alargado, la disminucióndel arrastre de presión puede ser compensado sobradamente por un aumento delarrastre de fricción. En consecuencia, el diseño de un perfil aerodinámico implica uncompromiso entre los arrastres de fricción y de presión que minimice el arrastre totalsobre el perfil.

El arrastre que experimenta un cuerpo en el seno de un flujo resulta muy difícilde determinar analíticamente, ya que depende de factores tales como la transición delrégimen laminar al turbulento en la capa límite y de la separación de ésta respectode la superficie del cuerpo, por citar solamente dos dificultades. Por eso es necesariorecurrir básicamente a la adquisición de datos experimentales y, con esta finalidad,es costumbre expresar el arrastre en la forma

[34.74]FD CD ( 12ρV 2) A

§34.9.- Arrastre. 1041

donde V es la velocidad relativa del cuerpo en el fluido (o la velocidad de corrientelibre, en el caso de un cuerpo estacionario en un flujo), A es el área característica(que es generalmente el área de la sección transversal máxima que el cuerpo ofreceal flujo), ρ es la densidad del fluido y CD es un parámetro empírico adimensional querecibe el nombre de coeficiente de arrastre, cuyo valor depende de la forma delcuerpo y de la orientación del mismo respecto al flujo, así como del valor del númerode Reynolds asociado al flujo alrededor del cuerpo. En la Tabla 34.4 presentamosalgunos valores característicos del coeficiente de arrastre total para varios cuerpos dediferentes formas.

Para analizar, aunque sólo sea cualitativamente, ciertas característicassobresalientes del coeficiente de arrastre, vamos a considerar el caso de una esferaque se mueve en el seno de un fluido. En este caso, al arrastre total contribuyen elarrastre de fricción y el arrastre de presión. En la Figura 34.25 hemos representadográficamente la dependencia del coeficiente de arrastre CD con el número deReynolds ℜ. Como podemos apreciar, el coeficiente de arrastre varía de una formacomplicada, lo que nos pone sobreaviso de que algo interesante y complicado ocurreen el flujo.

Para valores bajos del número de Reynolds (ℜ<1) no se produce separación delflujo; en estas condiciones, sólo existe arrastre de fricción o viscoso sobre la esfera.La resolución de la ecuación de Navier-Stokes para el flujo incompresible alrededorde la esfera, despreciando las fuerzas inerciales frente a las fuerzas viscosas, conducea la expresión

[34.75]FD 3π ηDV

que fue deducida en 1845 por el físico irlandés Sir George STOKES (1819-1903) yque, en su honor, es conocida como ley de Stokes. Esta ley establece que la fuerzade arrastre que experimenta la esfera, cuando ℜ=ρDV/η<1, es proporcional a laviscosidad del fluido, al diámetro de la esfera y a la velocidad relativa de la mismaen el seno del fluido. La fórmula [34.75] tiene numerosas aplicaciones; por ejemplo,se la utiliza en la experiencia de MILLIKAN3 para la determinación de la cargaeléctrica del electrón y en la medida del coeficiente de viscosidad de líquidos muyviscosos. Teniendo en cuenta la definición [34.74] del coeficiente de arrastre, puedecomprobarse fácilmente que

[34.76]CD

24ℜ

para ℜ < 1

para el caso de una esfera, lo que concuerda excelentemente con los resultadosexperimentales, como puede observarse en la Figura 34.25.

3 Prácticas de Laboratorio de Física General; del mismo autor.Práct. 14.- Viscosidad (método de Stokes).Práct. 24.- Experiencia de Millikan.


Tabla 34.4.- Coeficientes de arrastre (fricción + presión).

OBJETODIAGRAMA CD

ℜ longitud y área

características

placa plana

(tangencial)

1.33/ℜ0.5

0.074/ℜ0.2

laminar

<107

L área su-perficial dela placa

placa plana

(normal)

L/D1

5

10

20

30

∞

1.18

1.20

1.30

1.50

1.60

1.95

> 103 D área su-perficial dela placa

disco

circular

1.17 > 103 D área deldisco

esfera 24/ℜ0.47

0.20

< 1

103 - 3 105

>3 105

D área pro-yectada

hemisferiomacizo

1.17

0.42

104 - 106

104 - 106

D área pro-yectada

hemisferiohueco

1.42

0.38

104 - 106

104 - 106

D área pro-yectada

cilindro

circular

1

5

10

20

30

∞

0.63

0.80

0.83

0.93

1.00

1.20

103 - 105 D área pro-yectada

sección

en C

∞∞

2.30

1.20

>103

>103

D área pro-yectada

§34.9.- Arrastre. 1043

A medida que se aumenta el valor del número de Reynolds, hasta aproximada-

Figura 34.25

mente ℜ≈1000, el coeficiente de arrastre decrece continuamente, pero mucho máslentamente de lo que predice la ley de Stokes. Esto es así como consecuencia de laseparación del flujo respecto de la superficie de la esfera, lo que da lugar a laformación de vórtices o remolinos turbulentos detrás de la esfera; dichos remolinosposeen una energía cinética de rotación que toman de la energía cinética de la esfera,que de este modo se verá disminuida. Esos remolinos originan una estela turbulentadetrás de la esfera al ser arrastrados por la corriente. Así pues, en estas condiciones,el arrastre total sobre la esfera resulta ser la combinación del arrastre de fricción ydel arrastre de presión. La contribución del arrastre de fricción al arrastre totaldisminuye cuando aumenta el número de Reynolds; así, para ℜ≈1000, el arrastre defricción representa aproximadamente el 5% del arrastre total.

En el intervalo 103<ℜ<2×105, el coeficiente de arrastre permanece prácticamente

Figura 34.26

constante. Para un valor deℜ≈2×105, el coeficiente dearrastre experimenta unadisminución brusca, cuyaexplicación cualitativa radicaen la transición que se producedesde el régimen laminar alturbulento en la capa límite. Lacapa límite turbulenta puedepenetrar más en el gradienteadverso de presión en la parteposterior de la esfera, de modoque la separación del flujo seretrasa bruscamente a una


posición más posterior sobre la superficie de la esfera; en consecuencia, el espesorde la estela y el arrastre disminuyen notablemente. Para ℜ>4×105, el valor delcoeficiente de arrastre aumenta en forma irregular con el número de Reynolds.

El gradiente de presión a lo largo de un perfil fusiforme o aerodinámico es me-nos severo que el correspondiente a una esfera o a un cilindro de la misma áreaproyectada. Las contribuciones del arrastre de fricción y del arrastre de presión alarrastre total sobre un perfil fusiforme y para ℜ≈105 se exhiben en la Figura 34.26, enfunción del cociente T/c entre las dimensiones del perfil; el valor mínimo CD≥0.06 sealcanza para T/c≈0.25.

§34.10. Sustentación. Efecto Magnus.- Hemos definido la sustentación comola componente de la fuerza ejercida sobre la superficie de un cuerpo en movimientorelativo en el seno de un fluido en dirección perpendicular a la de la corriente libre.Al igual que la fuerza de arrastre, la fuerza de sustentación tiene su origen en losesfuerzos tangenciales y normales que ejerce el flujo sobre la superficie del cuerpo;sin embargo, en la mayor parte de los problemas de interés práctico, tan sólo losesfuerzos normales contribuyen a la sustentación.

No debemos confundir la sustentación estática o empuje de Arquímedes queactúa sobre todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido, con lasustentación dinámica a la que ahora nos referimos. La sustentación estática resultadel hecho de que la presión estática en el seno de un fluido varía con la profundidad,de forma que es menor sobre la superficie superior de un cuerpo sumergido que sobrela inferior, de modo que el resultado es un empuje neto hacia arriba igual al peso delfluido desalojado por el cuerpo. En cambio, la sustentación dinámica se debe a unacausa completamente diferente, que se explica fácilmente a partir de las leyes de laDinámica de los Fluidos, como veremos a continuación.

Cuando el flujo alrededor de un cuerpo que se mueve a través de un fluido essimétrico respecto de la dirección del flujo, no se ejerce sustentación dinámica sobreel cuerpo. Por el contrario, si el flujo no es simétrico respecto de dicha dirección,entonces aparece una fuerza neta sobre el cuerpo en la dirección perpendicular a lade la corriente libre; esta fuerza es la denominada sustentación dinámica.

Así, por ejemplo, si el flujo alrededor de un cuerpo es tal que la velocidad delfluido que pasa por encima del cuerpo es mayor que la del que pasa por debajo deél, entonces, de acuerdo con el teorema de Bernoulli, la presión sobre la superficiesuperior será menor que la que actúa sobre la superficie inferior, de modo queresultará una fuerza neta hacia arriba actuando sobre el cuerpo.

Resulta un flujo asimétrico alrededor de un cuerpo si al flujo simétrico inicial sele superpone un flujo de circulación. Un flujo de circulación es aquél que rodea alcuerpo y cuyas líneas de corriente son cerradas, estando caracterizado por lacirculación Γ del campo de velocidades a lo largo de una tal línea de corriente. Unflujo de circulación particularmente interesante es el llamado flujo de vórticeirrotacional (vide §31.11c), cuya circulación Γ tiene el mismo valor a lo largo detodas las líneas de corriente.

En la Figura 34.27a hemos representado las líneas de corriente alrededor de uncilindro en reposo en el seno de un fluido que se mueve de izquierda a derecha; lospuntos 1 y 2 son puntos de estancamiento y, por razones de simetría, la circulación

§34.10.- Sustentación. Efecto Magnus. 1045

Γ es nula alrededor del cilindro. En la Figura 34.27b mostramos las líneas de corriente

Figura 34.27

para un flujo de circulación alrededor del mismo cilindro; ahora, la circulación a lolargo de una línea de corriente, alrededor del cilindro, vale Γ=2πrv.

Si los dos flujos anteriores existen simultáneamente, el campo de velocidadesresultante será la suma vectorial de los campos de velocidades correspondientes a losdos flujos superpuestos. De acuerdo con la Figura 34.27, en los puntos situados porencima del eje del cilindro, las velocidades se "suman"; en los situados por debajo,se "restan". El resultado de la superposición de ambos flujos se ilustra en la Figu-

ra 34.27c mediante el correspondiente mapa de líneas de corriente. Debemos observarque los puntos de estancamiento se han desplazado hacia la parte inferior del cilindroy que la velocidad del fluido que pasa por encima del cilindro es mayor que la delque pasa por debajo.

En consecuencia, de acuerdo con el teorema de Bernoulli, la presión sobre lasuperficie superior del cilindro es mayor que la que actúa sobre la superficie inferiordel mismo, dando como resultado una fuerza neta de sustentación dinámica dirigidahacia arriba. Puede demostrarse (aunque escapa de los objetivos de las posibilidadesde este curso) que el valor de esta fuerza de sustentación por unidad de longitud delcilindro viene dada por

[34.77]FL

LρVΓ

que es la fórmula de KUTTA y JOUKOWSKI, en la que ρ es la densidad del fluido, Ves la velocidad de corriente libre y Γ es la circulación alrededor del cilindro.

Podemos crear un flujo de circulación alrededor de un cilindro haciéndolo giraralrededor de su eje. Entonces, como consecuencia de la viscosidad del fluido, seestablece un flujo de circulación alrededor del cilindro, ya que éste arrastra a la capalímite que lo impregna, y ésta a las capas sucesivas de fluido. Si el cilindro gira enel seno de un flujo uniforme, al producirse la superposición de ambos flujos seorigina una forma de flujo similar a la de la Figura 34.27c. La fuerza transversal sobreun cilindro giratorio en el seno de una corriente fluida se conoce con la denomina-ción de efecto Magnus. Como es obvio, la misma fuerza transversal aparece cuandoun cilindro rotatorio se traslada en el seno de un fluido en reposo.


Naturalmente, el efecto Magnus no queda restringido a cuerpos de formacilíndrica. Las pelotas de tenis "cortadas" o los balones de fútbol con "efecto" nodescriben trayectorias contenidas en un plano vertical, como sería de esperar, sinoque se desvían hacia la derecha o hacia la izquierda, porque al lanzarlos se lesimprimió un rápido movimiento de rotación de eje aproximadamente vertical, demodo que están sometidos a una fuerza desviadora perpendicular a la velocidad detraslación y al eje de rotación.

El efecto Magnus tiene importancia práctica en el movimiento de avance de losproyectiles dotados de movimiento de rotación. También se ha intentado aprovecharlopara impulsar embarcaciones en las que se sustituye la vela por un cilindro degrandes dimensiones que se hace girar mediante un pequeño motor (barco deFlettner).

§34.11. Sustentación de un perfil aerodinámico.- Resulta factible establecer

Figura 34.28

un flujo de circulación alrededor de un objeto situado en una corriente fluida, aunqueel objeto no gire, siempre que tenga una forma adecuada. Este es el caso del ala deun avión, de la que nos ocuparemos en este epígrafe.

Si la sección transversal del ala, o plano de sustentación, fuese simétrica respectoa la dirección de avance (Figura 34.28a), la distribución de líneas de corriente tambiénsería simétrica y no habría sustentación. Como ya hemos visto en el epígrafe anterior,la sustentación se origina como consecuencia de una asimetría de las líneas decorriente, lo que puede conseguirse colocando el ala en posición oblicua respecto dela dirección de avance (Figura 34.28b) o dando al perfil del ala una forma asimétrica(Figura 34.28c). En estas condiciones, la velocidad de flujo sobre la superficie superiordel ala resulta aumentada, en tanto que resulta disminuida por debajo del ala, lo queorigina una sustentación dinámica, ya que la presión que actúa sobre la superficiesuperior del ala es menor que la que actúa sobre la superficie inferior de la misma.

Podemos imaginar el flujo alrededor del perfil como la superposición de un flujo potencial yde otro de circulación, siendo la sustentación proporcional a la circulación Γ de este último. Enefecto, a causa de la asimetría del ala (en particular, en el borde de la cola) y de las fuerzasviscosas combinadas con los gradientes adversos de presión en la parte posterior del perfil, se formaun remolino (remolino de arranque) detrás del ala, como se ilustra en la Figura 34.29a. Laconservación del momento angular total exige que en el seno del fluido se origine otro remolinocuyo momento angular sea igual y opuesto al del remolino de arranque, como se indica en laFigura 34.29b. El remolino de arranque, apenas formado, se desprende del borde de cola y esarrastrado por la corriente. De este modo, queda un flujo de circulación alrededor del ala, que sesuperpone al flujo potencial primitivo (como ocurriría en el caso del cilindro giratorio) para originaruna distribución de líneas de corriente como la que se muestra en la Figura 34.28c.

§34.11.- Sustentación de un perfil aerodinámico. 1047

Obsérvese que el flujo alrededor del ala de

Figura 34.29

avión no da lugar a una "tracción" sobre la superfi-cie superior del ala, lo que, por supuesto, no esposible. El fluido presiona sobre toda la superficiedel ala, si bien presiona con mayor intensidad sobrela superficie inferior que sobre la superior, lo queda lugar a la sustentación dinámica del ala.

A efectos prácticos, resulta conveniente expre-sar la fuerza de sustentación dinámica en la forma

[34.78]FL CL ( 12ρV 2) AL

donde V es la velocidad de corriente libre, AL es el área de sustentación (i.e., el áreamáxima proyectada del perfil aerodinámico), ρ es la densidad del fluido y CL es unparámetro empírico adimensional que recibe el nombre de coeficiente de sustentación.

El valor del coeficiente de sustentación

Figura 34.30

CL para un perfil aerodinámico dado esfunción del número de Reynolds ℜ y delángulo de ataque α, definido este últimocomo el ángulo formado por la cuerda delperfil y la dirección de corriente libre,como se indica en la Figura 34.30. Conformeaumenta el ángulo de ataque, el coeficientede sustentación aumenta gradualmente hasta que alcanza un valor máximo; a partirde entonces, un aumento del ángulo de ataque produce una disminución súbita en elvalor del coeficiente de sustentación; en estas condiciones, se dice que el ala pierdevelocidad y se compromete la seguridad del vuelo del avión. La pérdida de velocidades el resultado de la separación del flujo que se produce sobre la mayor parte de lasuperficie superior del ala para grandes ángulos de ataque.

No puede aparecer una fuerza

Figura 34.31

de sustentación FL sobre un ala sinque simultáneamente aparezca unafuerza de resistencia al avance ofuerza de arrastre FD, ya que lascausas de ambas (circulación yremolinos) están estrechamenterelacionadas. En la Figu-

ra 34.31 mostramos la variación delos coeficientes de sustentación yde arrastre para un perfil de alatípico en función del ángulo deataque. El problema técnico que seplantea es el de determinar elperfil del ala de tal forma que elcociente FL/FD sea máximo; puededemostrarse que este cociente es


tanto mayor cuanto mayor es el cociente l/c entre la envergadura y la cuerda del ala(v.g., en los planeadores).

Se utilizan frecuentemente los diagramas

Figura 34.32

polares de LILIENTHAL, en los que se re-presentan CL frente a CD para un perfilaerodinámico dado. Uno de tales diagramaspolares se muestra en la Figura 34.32. Sobreestos diagramas se puede determinar gráfica-mente el ángulo de ataque óptimo queproporciona un valor máximo del cocienteFL/FD para un perfil de ala dado. La tangentea la curva de Lilienthal, trazada desde elorigen, corresponde a un cociente CL/CD

máximo y el punto de contacto permitedeterminar el valor del ángulo de ataqueóptimo.

Como acabamos de ver, el diseño de lasalas de los aviones debe ajustarse para bajoscoeficientes de arrastre a fin de obtener unrendimiento aceptable durante el vuelo a la velocidad de crucero. Sin embargo,puesto que el coeficiente de sustentación es relativamente bajo en esas condiciones,es necesario completar el diseño del ala para proporcionar un mayor coeficiente desustentación durante las operaciones de despegue y de aterrizaje, cuando la velocidaddel avión es relativamente baja. Para ello, se utiliza fundamentalmente la técnica devariar la geometría del ala cuando se requiera una mayor sustentación, haciendo girarla sección posterior del ala, llamada alerón, respecto de un eje transversal.

Problemas

34.1.- Supongamos que un flujo laminar sobreuna placa plana venga representado por el si-guiente campo de velocidades:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

v V∞yδ

para 0 ≤ y ≤ δ

v V∞ para y > δ

donde δ es el espesor de la capa límite, quecrece en función de la distancia al borde de

ataque de acuerdo con la expresiónδ a x

y donde y es la distancia perpendicular a laplaca. Encontrar la expresión de la fuerza dearrastre que el flujo ejerce sobre la placa, enfunción de las dimensiones de ésta.

34.2.- Un sistema hidráulico opera a una pre-sión manométrica de 200 atm y 55 °C detemperatura. El fluido es aceite SAE-10 (ρ=0.88 g/cm3, η=10 cP a 55 °C). Unaválvula de control del sistema consiste en unpistón de 2.54 cm de diámetro y 1.27 cm delargo, ajustado a un cilindro con una holguramedia de 5µm. Determinar la pérdida de aceite(en cm3/min) a través de la válvula si la

Problemas 1049

presión manométrica sobre la cara de bajapresión del pistón es de 12 atm.

34.3.- Consideremos un flujo laminar

Prob. 34.3

completamente desarrollado de un fluidoviscoso entre dos grandes placas planas yparalelas entre sí, ambas móviles, en sentidosopuestos, con velocidades respectivas U y V.a) Determinar el campo de velocidades entrelas dos placas. b) Determinar el esfuerzotangencial sobre cada una de las placas. c) En-contrar la expresión del flujo.

34.4.- Un líquido viscoso e incompresiblefluye en régimen estacionario y laminar sobreuna pared vertical. El espesor δ de la películade fluido sobre la pared es constante. Puestoque la superficie libre del fluido está expuestaa la presión atmosférica, no existe gradiente depresión, de modo que el descenso del fluido sedebe exclusivamente a la gravedad.a) Determinar la distribución de velocidadesen la película fluida. b) Encontrar una expre-sión para el caudal.

34.5.- Repetir el Problema 34.4 para el caso deuna película fluida de espesor constante quedesliza sobre un plano inclinado de ángulo θsobre la horizontal.

34.6.- Una película de glicerina pura a 20 °C,de 1.5 mm de espesor, se desliza por un planoinclinado 30° respecto a la horizontal. a) Cal-cular el caudal por unidad de anchura de lapelícula. b) Calcular la velocidad de la capa deglicerina en contacto con el aire. c) Determinarel valor de la velocidad media del flujo.

34.7.- Determinar la distribución de velocida-des, el caudal y la pérdida de carga por unidadde longitud para un flujo laminarcompletamente desarrollado en el espacioanular comprendido entre dos tubos cilíndricosy concéntricos.

34.8.- El caudal de agua a 20 °C en unatubería horizontal de hierro galvanizado, de2 cm de diámetro, es de 1.5 l/min. a) Deter-minar el régimen de flujo en la tubería.b) Calcular la caída de presión a lo largo de100 m de tubería como consecuencia de laviscosidad.

34.9.- Un líquido viscoso desciende, bajo laacción exclusiva de la gravedad, por el interiorde una tubería cilíndrica y vertical. Expresar elcaudal en la tubería en función de la densidaddel líquido, de su viscosidad y del diámetro dela tubería.

34.10.- Las densidades del agua y del toluenoa 20 °C son 0.9982 y 0.8869 g/cm3, respectiva-mente. La viscosidad del agua a 20 °C es1.002 cP. Si el agua emplea 115 s en pasarentre las marcas de un viscosímetro deOstwald y el tolueno sólo emplea 78 s, ¿cuáles la viscosidad del tolueno a esa temperatura?

34.11.- Una corriente uniforme de aire a20 °C, con una velocidad de 60 cm/s, penetraen un tubo muy largo de 2.5 cm de diámetro.Determinar la caída de presión entre la entradadel tubo y un punto situado en el interior delmismo y a 3 m de la embocadura. (Nota:Téngase en cuenta la longitud de entrada).

34.12.- A través de un tubo horizontal de1.5 cm de diámetro circula glicerina a 20 °C,con una caída de presión de 0.8 kg/cm2 pormetro de tubo. Calcular el caudal y el númerode Reynolds del flujo.

34.13.- Un remolque que transporta tuberías depared delgada, de 80 cm de diámetro y 9 m delongitud, viaja a una velocidad de 90 km/h,con el aire en calma. Determinar la potencia,resultante del arrastre, exigida por un sólo tuboque está situado bastante por encima de lacabina del camión.

34.14.- Repetir el Problema 34.8 para uncaudal de 15 l/min.

34.15.- Una tubería de fundición asfaltada, de30 cm de diámetro interno y en posiciónhorizontal, transporta agua a 20 °C. La pérdidade carga en 1000 m de longitud de tubería esde 40 cm de agua. a) Calcular la magnitud delos esfuerzos tangenciales que actúan sobre lapared interna de la tubería. b) Calcular lafuerza de arrastre que ejerce el flujo de aguasobre esos 1000 m de tubería. c) Calcular elcaudal.

34.16.- Una cinta transportadora pasa a través

Prob. 34.16

de un baño químico con una velocidad cons-


tante U y arrastra una película de líquido deespesor δ, densidad ρ y viscosidad η. Lagravedad hace que el líquido tienda a escurrirhacia abajo, pero el movimiento de la cinta essuficiente para que el líquido subacompletamente. Supóngase que se trata de unflujo laminar completamente desarrollado yque el aire atmosférico no produzca un esfuer-zo tangencial apreciable sobre la superficielibre de la capa líquida. a) Deducir una expre-sión para la distribución de velocidades en lapelícula líquida. b) Poniendo la condición deque la superficie libre de la película se en-cuentre en reposo, encontrar una expresiónpara el espesor de la película. c) En las condi-ciones del apartado anterior, determinar elcaudal transportado por unidad de anchura dela cinta. d) Aplicación numérica de los aparta-dos anteriores para el ácido sulfúrico a 20 °C,θ=45°, U=0.75 m/s y una cinta de 10 cm deanchura.

34.17.- Generalizar la expresión [34.34] para elcaso de un flujo laminar en una tubería rectade sección circular inclinada con un ciertoángulo θ respecto al plano horizontal.

34.18.- a) Determinar la dirección del flujo a

Prob. 34.18

través del tubo representado en la figuraadjunta. b) Calcular el caudal y el número deReynolds del flujo. El fluido es aceite de olivaa 20 °C.

34.19.- Repetir el Problema 34.18 con p2 =1.3 kg/cm2.

34.20.- Un depósito de grandes dimensionesdesagua a través de una tubería de fundiciónasfaltada de 2 cm de diámetro interior y 20 mde longitud, que descarga directamente a laatmósfera. La tubería está colocada horizontal-mente, reentrante en el depósito a 10 m pordebajo del nivel del agua en el mismo. Conestos datos, determinar el caudal en el desa-güe, teniendo en cuenta las pérdidas mayoresy menores en la tubería.

34.21.- Un depósito abierto de grandes dimen-

Prob. 34.21

siones contiene agua a 20 °C hasta una alturade 50 cm por encima de su fondo. El depósito

desagua a laa t m ó s f e r a através de un tubode hierro galva-nizado, de 2 cmde diámetro y2 m de longitud,acoplado a sufondo y en posi-ción vertical,como se ilustraen la figuraadjunta. Calcularel caudal de agua en el desagüe.

34.22.- Repetir el Problema 34.21 para el casoen que el tubo vertical desagüe 60 cm pordebajo de la superficie libre de un segundodepósito de grandes dimensiones.

34.23.- Dos depósitos de grandes dimensiones,abiertos a la atmósfera, contienen aceite deoliva a 20 °C, con un desnivel entre ellos de10 m. Los depósitos están intercomunicadosmediante una tubería de acero comercial, de240 m de longitud y 12 cm de diámetro, conentradas angulosas en ambos depósitos, pordebajo de los niveles de aceite en cada uno deellos. a) Calcular el caudal que circula a travésde la tubería. b) Se desea hacer circular elmismo caudal calculado en el apartado anteriordesde el depósito en el que el nivel del aceitees más bajo hacia el otro. Calcular la potencianominal mínima de la bomba que se necesita,suponiendo un rendimiento de ésta del 70%.

34.24.- Una tubería recta y horizontal de12 cm de diámetro está prolongada por otratubería recta y horizontal de 6 cm de diámetro.Consideremos dos tramos de tubería, de 100 mde longitud cada uno, situados uno a cada ladodel tramo de reducción (que consideraremos delongitud despreciable). Ambas tuberías son dehierro forjado y el caudal de agua a 20 °C esde 120 l/min. Se despreciarán las pérdidasmenores en el tramo de reducción. a) Calcularla pérdida específica de energía en cada unode los tramos y en el conjunto de ambos.b) Ídem las pérdidas de altura piezométrica.c) Ídem las caídas de presión.

34.25.- Con referencia a la Figura 34.17, deesta misma lección, supongamos que l1=10 m,D1=15 cm, y1=2 m, l2=7 m, D2=5 cm, y2=8 m,que ambas tuberías sean de hierro forjado yque el caudal sea de 50 l/s. Despreciaremos laspérdidas menores en el codo de reducción.a) Calcular la pérdida de energía específica encada tramo de la tubería y entre los puntos 1 y2. b) Calcular las caídas de alturas piezo-

Problemas 1051

métricas en cada tramo y entre 1 y 2. c) Ídempara las caídas de presión.

34 .26 . - Trasvase

C

M

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CM

MY

CY

CMY

K

Acr62.pdf 10/11/2006 22:19:34

C

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Acr61.pdf 10/11/2006 22:18:51

Prob. 34.26

sifónico. Se deseatrasvasar aceite deoliva a 20 °C desdeun gran depósitohasta otro situado aun nivel inferior, paralo que se recurre a lautilización de undispositivo de sifónconstituido por untubo de hierro gal-vanizado de 4 cm dediámetro interior. Lasdimensiones del dispositivo se especifican enla figura adjunta. a) Determinar la velocidadde salida del aceite. b) Determinar el caudal.c) Calcular el valor de la presión absoluta enel punto más alto del dispositivo.

34.27.- Calcular el caudal y trazar las líneas de

Prob. 34.27

alturas piezométricas y de alturas totales parael sistema esquematizado en la figura adjunta.El fluido es agua a 20 °C, que desagua a laatmósfera a través de una tubería de hierrogalvanizado de 8 cm de diámetro que terminaen una boquilla cuyo diámetro de salida es de4 cm. Los coeficientes de pérdidas menorescorrespondientes a la entrada de la tubería, a laválvula totalmente abierta y a la salida de laboquilla son 0.34, 10.0 y 0,1, respectivamente.

34.28.- Un aparato estándar para hacer demos-

Prob. 34.28

traciones acerca de la pérdida de carga a lo

largo de un tubo está constituido por un depó-sito de grandes dimensiones que desagua a laatmósfera a través de un tubo horizontal delongitud L y sección constante, de 8 mm dediámetro interno. La entrada al tubo tienebordes bien redondeados, de modo que puedendespreciarse las pérdidas menores en la misma.A lo largo de la tubería se han dispuesto dostubos manométricos verticales, como se ilustraen la figura adjunta. En el instante en que elnivel de agua en el depósito se encuentra a25 cm por encima de la entrada del tubo, losmanómetros indican 15 cm y 11 cm,respectivamente. a) ¿Cuál es la longitud deltubo? b) En el instante mencionado, ¿cuál esel caudal en el desagüe? c) Calcular el factorde fricción y la rugosidad de las paredes deltubo.

34.29.- Determinar el diámetro mínimo quedebe tener una tubería de acero comercial quedebe transportar un caudal de 200 l/s de aceitede oliva a 20 °C con una caída máxima depresión de 0.5 kg/cm2 en 100 m.

34.30.- A través de una tubería horizontal

C

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Prob. 34.30

fluye tetracloruro de carbono en régimenestacionario. La caída de presión entre dospuntos separados por una distancia de 1 m esde 30 cm de CCl4, tal como se ilustra en lafigura adjunta. El calor específico del CCl4 es0.20 cal/(g.°C) y la tubería está térmicamenteaislada del ambiente. Calcular el aumento detemperatura del CCl4 por metro de tubería.

34.31.- Se desea bombear 3600 l/min de petró-leo crudo a 20 °C a través de una tubería hori-zontal de hierro forjado, de 23 cm de diámetrointerior y 400 m de longitud. Determinar: a) lapérdida de carga a lo largo de la tubería, b) lapérdida de presión entre los extremos de latubería y c) la potencia requerida.

34.32.- Un oleoducto está constituido por unatubería de fundición de 30 cm de diámetro ydispone de estaciones de bombeo provistas debombas de 35 CV de potencia y una eficienciadel 70%. Calcular el incremento de presiónque debe suministrar cada bomba y la distancia


entre ellas para mantener un caudal de2400 l/min de petróleo crudo a 20 °C a travésdel oleoducto, en el supuesto de que el oleo-ducto esté a nivel.

34.33.- Un martillo neumático necesita unsuministro de 0.225 kg/s de aire comprimido apresión manométrica de 6.7 kg/cm2. Lamanguera que conduce el aire comprimidodesde el compresor hasta el martillo tiene undiámetro de 4 cm y puede considerárselahidrodinámicamente lisa. La presión mano-métrica del aire a la salida del compresor es7.1 kg/cm2 y su temperatura es 37 °C. Despre-ciando los cambios en la densidad del aire ylos efectos debidos a la curvatura de lamanguera, calcúlese la longitud máxima quepuede tener ésta.

34.34.- Una manguera contraincendios mide80 m de longitud y 8 cm de diámetro interior,su rugosidad relativa vale 0.001 y está provistade una boquilla de salida de 2 cm de diámetro.El chorro de agua lanzado por la mangueradebe alcanzar la parte más alta de un edificiode 25 m de altura, cuando el bombero estásituado en la calle, a una distancia de 10 m delpie del edificio. El agua es suministrada poruna boca de riego, a una presión manométricade 0.40 atm. Una bomba, instalada en elcamión de los bomberos, se encarga deaumentar la presión del agua a la entrada de lamanguera; el rendimiento de dicha bomba esdel 70%. Despreciando las pérdidas menores,calcular la potencia nominal mínima de labomba.

34.35.- H. BLASIUS encontró en 1911 unacorrelación empírica entre el factor de fricciónpara un flujo turbulento en una tubería hidro-dinámicamente lisa y el número de Reynolds.Esta correlación viene expresada por

f 0.316

ℜ1/4para ℜ ≤ 105

a) Demostrar que la caída de presión en unflujo turbulento resulta ser proporcional a V7/4,cuando se utiliza la fórmula de Blasius. a) Pa-ra un caudal dado, ¿cómo depende la caída depresión con el diámetro de la tubería?

34.36.- Una ecuación de correlación entre elcoeficiente de fricción y la rugosidad relativapara un flujo en régimen de turbulencia com-pleta (i.e., cuando el factor de fricción resultaser prácticamente independiente del número deReynolds) es

f 0.25

[ 0.57 log ( /D) ]2

que fue obtenida originalmente por VONKÁRMÁN. Comparar los valores del factor defricción obtenidos a partir de esta ecuación conlos que se obtienen a partir del diagrama deMoody para valores de /D igual a 0.01,0.001 y 0.0001. ¿Existe una buena concordan-cia?

34.37.- Los valores de la rugosidad absolutaque aparecen en la Tabla 34.1 corresponde atuberías nuevas y limpias. Con el uso, lastuberías se hace más rugosas, como conse-cuencia de la corrosión, de las incrustracionesy del depósito de materiales en sus paredes.Naturalmente, la velocidad de aumento de larugosidad depende de la naturaleza del fluidoque se conduce a través de la tubería. COLE-BROOK y WHITE (1937) encontraron que larugosidad absoluta aumenta linealmente con eltiempo de utilización de la tubería; esto es,

= 0+αt, donde 0 es la rugosidad absolutade la tubería nueva y α es un parámetro quedebe ser determinado experimentalmente.

Después de 12 años de servicio, una tubería deacero comercial de 45 cm de diámetro presentauna caída de presión de 0.34 kg/cm2 en1000 m cuando conduce un caudal de 150 l/sde agua a 20 °C. Estimar la caída de presiónpara el mismo caudal de agua al cabo de20 años de servicio.

34.38.- Calcular la fuerza total que ejerce unviento de 90 km/h sobre una valla publicitariade 15 m de ancho por 3 m de largo, cuando elviento sopla perpendicularmente sobre la valla.

34.39.- Un mez-

Prob. 34.39

clador rotatorioestá constituidopor dos discoscirculares de 1 cmde radio, unidosmediante unavarilla de 20 cmde longitud, comose ilustra en la figura. El mezclador gira en elinterior de un recipiente de grandes dimen-siones, que contiene agua a 20 °C, con unavelocidad angular constante de 60 rpm.Calcular la potencia que debe comunicarse aleje del mezclador para mantenerlo en rotación.Nota: Despreciar el arrastre sobre las varillasy el movimiento inducido en el agua.

34.40.- La antena de radio de un automóvilmide 120 cm de longitud y 6 mm de diámetro.

Problemas 1053

Hacer un estimación del momento que tiendea romperla por su base cuando el automóvilcorre a 90 km/h.

34.41.- a) Determinar la velocidad límite deuna esferita de acero (densidad, 7.87 g/cm2) de2 mm de diámetro que cae en un recipienteque contiene glicerina a 20 °C. b) Calcular elvalor del número de Reynolds correspondientea esa velocidad límite para asegurarse de quefue correcto utilizar la ley de Stokes en elapartado anterior. c) Determinar el valormáximo del diámetro de la esferita de aceroque aún permita utilizar la ley de Stokes.

34.42.- Repetir el Problema 34.41 para gotasde agua que caen en un depósito que contieneaceite de oliva a 20 °C.

34.43.- a) ¿Qué diámetro máximo puedentener las partículas de polvo de forma esféricay densidad 2.5 g/cm3 a fin de que se puedaaplicar la ley de Stokes en su caída en el aireatmosférico a 20 °C y 1 atm? b) Consideremosuna partícula de polvo radiactivo, originada enuna explosión nuclear, cuyo diámetro y densi-dad sean 25 µm y 2.5 g/cm3, respectivamente,que se encuentre a una altura de 80 km sobreel suelo. Determinar el tiempo que emplearádicha partícula en depositarse sobre el suelo.

34.44.- Un globo esférico, de 30 cm de diáme-tro, está lleno con un gas ligero y sujetado alsuelo mediante un hilo de masa despreciable.a) Cuando el globo se encuentra en aire encalma, a 20 °C y 1 atm, la tensión del hilo(medida con un dinamómetro sensible) es de7.04 g. ¿Cuál es la masa del globo y de sucontenido b) Cuando se levanta un vientecillo,se observa que el hilo de sujeción forma unángulo de 60° con la vertical. ¿Cuál es lavelocidad de ese vientecillo? c) De nuevo conel aire en calma, se da suelta al globo. ¿Quévelocidad límite alcanzará?

34.45.- Determinar el diámetro mínimo de unparacaídas hemiesférico que permita un des-censo con una velocidad constante de 5 m/s aun paracaidista que pesa 80 kg.

34.46.- Una cometa de juguete, que pesa1.360 kg, puede ser considerada como unlámina plana de 0.93 m2 de área. La cometaestá "volando" en una corriente horizontal deaire (en condiciones normales) de 36 km/h yforma un ángulo de 8° con la horizontal.Supongamos que el coeficiente de sustentaciónde la cometa venga dado por la expresiónCL=2πsenα, siendo α el ángulo de ataque. Siel hilo de sujeción forma un ángulo de 50° conla horizontal, calcular la tensión del mismo.

34.47.- Las alas de los aviones modernos estándiseñadas de forma que puedan proporcionaruna sustentación de unos 100 kg por m2 desuperficie de ala. Supóngase que el aire(ρ=1.3 g/l) fluya en régimen currentilíneoalrededor del ala, con una velocidad de 90 m/ssobre la superficie superior de la misma. ¿Cuáldebería ser la velocidad del aire bajo lasuperficie del ala para tener la sustentacióndeseada?

34.48.- Una avioneta pesa 1300 kg y la super-ficie total de sustentación correspondiente asus alas es de 28 m2. Supongamos que loscoeficientes de sustentación y de resistencia alavance sean los del perfil del ala de la Figu-ra 34.31. La avioneta vuela horizontalmentecon una velocidad de crucero de 140 km/h.a) Calcular el ángulo de ataque correspon-diente a esa velocidad de crucero. b) Calcularel empuje que debe realizar el motor de laavioneta y la potencia desarrollada por elmismo en esas condiciones.

34.49.- Un avión de 4535 kg de peso, en ordende vuelo, está volando describiendo un círculode 915 m de radio, en un plano horizontal, conuna celeridad constante de 242 km/h. Lasuperficie de sustentación efectiva de las alasdel avión es 20.4 m2 y el perfil de las mismases el de la Figura 34.31. Determinar la fuerzade arrastre sobre el avión y la potenciadesarrollada por sus motores.

34.- Flujo viscoso. -...

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