3489943 Didactica y Matlab

7/29/2019 3489943 Didactica y Matlab

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SUPERFICIES EN MATLAB COMO RECURSO DIDCTICO DECOMPRENSIN DE CONCEPTOS DEL CLCULO DE VARIAS

VARIABLES

Juan Carlos Molina Garca1

RESUMEN_______________________________________________________________________________________

La didctica como el vehculo que permite consolidar los procesos de enseanza y aprendizaje, es amplia al

momento de considerar los recursos que facilitan la apropiacin del conocimiento como evidencia de un

aprendizaje significativo. Las ayudas visuales a la hora de favorecer las habilidades cognitivas en la comprensin

de las relaciones matemticas en el espacio, son de gran utilidad, ya que permiten de una manera prctica la

activacin de esquemas a partir de conocimientos previos y de la experiencia de interactuar en un mundo

tridimensional. En esta perspectiva, el presente artculo muestra algunos procedimientos que permiten a loslectores hacer una aproximacin comprensiva a distintos conceptos del clculo de varias variables utilizando para

esto algunas de las instrucciones bsicas del Matlab.

PALABRAS CLAVE:

Recurso didctico, entorno computacional, superficies, funciones de varias variables, curvas de nivel, gradiente.

ABSTRACT_______________________________________________________________________________________

The didactic as vehicle that allows to consolidate the processes of education and learning, is wide to the hour to

consider the resources that facilitate the appropriation of the knowledge like evidence of a significant learning.

The visual helps to the hour to favour the cognitive skills in the understanding of the mathematical relations in

the space, are of big utility since they allow of a tangible way the activacin of diagrams from the previous

knowledges and of the experience of interactuar in a three-dimensional world. In this perspective, the present

article pretends to show some procedures that allow to the readers do an approximation comprensiva to distinct

concepts of the calculation of several variables using for this some of the basic instructions of the Matlab.

1Docente TC Facultad de Ciencias, INSTITUTO TECNOLGICO METROPOLITANO. Matemtico, Candidato a Magister enEducacin. E-mail: [email protected]


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1 INTRODUCCIN

En el trabajo asociado a la enseanza del clculo de varias variables, aparecen conceptos y relaciones que

merecen un abordaje desde su configuracin grfica. En atencin a estos requerimientos, surge el MATLABcomo un medio computacional caracterizado por su gran desempeo en el clculo numrico, manejo de

expresiones y ayudas para la visualizacin y graficacin. El presente artculo relaciona la herramienta informtica

Matlab como un recurso didctico a travs del cual se puede contribuir al mejoramiento de la comprensin de

algunos conceptos y procedimientos del clculo de varias variables en los temas relativos a superficies en el

espacio

En esta perspectiva, se asume que el lector tiene unos conocimientos bsicos del entorno computacional de

Matlab, ya que a partir de algunos comandos y funciones predefinidas en el programa se espera realizar algunos

desarrollos sencillos de graficacin y verificacin de conceptos. En este sentido, se pretende mostrar ciertosprocedimientos que permiten a los lectores hacer una aproximacin comprensiva de algunos conceptos del

clculo de varias variables a travs de las visualizaciones grficas que se obtienen con las instrucciones comandos

bsicos prediseadas para el manejo de funciones o superficies en el espacio. La ruta seleccionada para el logro

del objetivo incluye la ilustracin de procedimientos a travs de ejemplos que involucran la Interpretacin de

conceptos a travs del anlisis de soluciones en las que se puede utilizar la herramienta informtica. Los ejemplos

son claves en este proceso, ya que acercan al lector a la forma de acceder a otros procedimientos o situaciones en

los que la mediacin del software se constituye en un recurso didctico importante para el aprendizaje de diversos

conceptos del clculo de varias variables.

2 PLANOS EN EL ESPACIO

Un plano en el espacio se determina a partir del conocimiento de un vector perpendicular a dicho plano y de unpunto cualquiera por donde pasa

El plano en el espacio que pasa por el punto y que tiene por vector normal el vector, es tal que, para un punto cualquiera sobre el plano el vector

est contenido en el plano, por tanto, son ortogonales, de tal manera que .Esto se escribe como

Por tanto la ecuacin del plano toma la forma


3/20

De manera particular, para determinar el plano que pasa por el punto y es perpendicular al vector, obtiene de la relacin , esto es:

Para efectos de graficar el plano con Matlab, se considera la ecuacin del plano bajo la relacin

El conjunto de valores para evaluar pertenecen a de tal manera que se puede obtener un valor de paracualquier pareja de valores . En este sentido se pretende determinar un grfico en el espacio tridimensionalcompuesto de puntos . Para generar una maya de puntos que nos permitan evaluar el valor de ,Matlab dispone de la funcin meshgrid la cual, a partir de dos vectores, genera dos matrices X,Y del mismoorden cuyas componentes correspondientes generan posibles valores para

>>x=[-3 -2 -1 0 1 2 3]

>>y=[-2 -1 0 1 2]

>>[X,Y]=meshgrid(x,y)

X =

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

Y =

-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

De esta manera se dispone del siguientes conjunto de puntos sobre

(-3 ,-2) (-2 ,-2) (-1,-2) (0,-2) (1,-2) (2,-2) (3,-2)

(-3,-1) (-2,-1) (-1,-1) (0,-1) ( 1,-1) (2,-1) ( 3,-1)

(-3,0) (-2,0) ( -1,0 ) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0)

( -3,1) ( -2,1) ( -1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1)

(-3,2) (-2,2) (-1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2 )

Tabla: interpretacin de la salida meshgrid


4/20

La tabla contiene el conjunto de puntos del plano que sern considerados para evaluar la variable .De esta manera

>>Z=(2+2*X-4*Y)/3

Z =

1.3333 2.0000 2.6667 3.3333 4.0000 4.6667 5.3333

0 0.6667 1.3333 2.0000 2.6667 3.3333 4.0000

-1.3333 -0.6667 0 0.6667 1.3333 2.0000 2.6667

-2.6667 -2.0000 -1.3333 -0.6667 0 0.6667 1.3333

-4.0000 -3.3333 -2.6667 -2.0000 -1.3333 -0.6667 0

La maya de graficado sobre el plano XY corresponde a los intersectos en la siguiente maya como se aprecia en lala figura. La maya de graficado en el plano Ver figura 1(a), y en el espacio, Ver figura 1(b)

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Eje X

Eje

Y

Maya de Graficado sobre el plano XY

-3 -2

-1 01 2

3

-2-1

01

2-0.5

0

0.5

Maya de Graficado sobre el plano XY

Eje XEje Y

(a) (b)

Figura 1.

Con el comando mesh obtenemos una aproximacin al plano . Ver figura 2

>>mesh(X,Y,Z)

-3-2

-10

12

3

-2

-1

0

1

2

-4

-2

0

2

4

6


5/20

Figura 2. Plano en el espacio

3 FUNCIONES DE DOS VARIABLES COMO SUPERFICIES

Una funcin de dos variables se define a travs de una ecuacin de la forma , de tal manera que, acada posible le corresponda un nico valor de . De esta manera, para una funcin definida por

la ecuacin , la grfica de se define como

De la definicin se puede observar que la grafica de corresponde al conjunto de puntos en el espaciotales que con un valor del dominio de . Esta grfica se denomina superficie.

Para la grafica de la funcin . Clculos sencillos muestran por ejemplo que y

que . Con esto se puede decir que las triplas respectivamente pertenecen a la

grfica de .

De la relacin se puede establecer que el dominio de la funcin es , esto es, para cada

pareja existe el valor que satisface la ecuacin. Con los procedimientos y comandos ya planteados sepuede obtener una aproximacin a la grfica de la funcin Ver Figura 3(a):

>>x=-3:0.4:3; y=-3:0.4:3;

>>[X,Y]=meshgrid(x,y);

>>Z=1./(9+X.^2+Y.^2);

>>mesh(X,Y,Z)

Una mejor aproximacin de la grfica se logra al refinar la red de puntos sobre el plano XY. Igualmente, alnombrar los ejes y especificar el grfico obtenido. Ver Figura 3(b)

>>x=-3:0.1:3;>>y=-3:0.1:3;


>>Z=1./(9+X.^2+Y.^2);

>>mesh(X,Y,Z)

>>xlabel('Eje X')

>>ylabel('Eje Y')

>>zlabel('Eje Z')

>>title('Grafica de la superficie Z=1/(9+X^2+Y^2)').

Matlab nos muestra la grfica al unir con segmentos en el espacio los puntos evaluados en la funcin y obtenidosa partir de la funcin meshgrid De esta manera, la superficie aparece como una maya sobre la regin del

plano XY


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-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

40.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

40.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Eje X

Grafica de la superficie Z=1/(9+X2

+Y2

)

Eje Y

Ej

eZ

(a) (b)

Figura 3. Superficies en el espacio

El cilindro corresponde igualmente a una superficie en el espacio que se obtiene al recorrer la

parbola con una recta paralela al eje X. Ver la figura 4

>>x=-4:4:4;

>>y=-4:0.2:4;


>>Z=9-Y.^2;

>>mesh(X,Y,Z)

>>xlabel('Eje X')

>>ylabel('Eje Y')

>>zlabel('Eje Z')

>>title('Grafica de la superficie Z = 9-Y^2');

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4-10

-5

0

5

10

Eje X

Grafica del cilindro Z = 9-Y2

Eje Y

EjeZ

Figura 4. Cilindro parablico

3.1 CURVAS DE NIVEL DE UNA SUPERFICIE

Dada la superficie , se llama curva o contorno de nivel a los valores para los cualescorresponde a una constante, esto es, . De esta manera, la curva de nivel se interpreta como la

proyeccin sobre el plano XY de la curva interseccin de la superficie generada por con el plano .


7/20

Consideremos la funcin superficie . Se debe notar que la funcin est definida para cualquiervalor lo que significa que su dominio es . Igualmente, de la relacin

Se puede inferir que la superficie est sobre el plano ya que para cada

al tomar se obtiene la siguiente curva interseccin

Representa una circunferencia de centro en el origen y radio uno. De esta manera, se obtiene la curva de nivelasociada a la interseccin de la superfice con el plano . Se debe notar adems que, para la curva denivel corresponde a un solo punto dado por

De esta manera, los siguientes conjuntos representan algunas curvas de nivel de la funcin dada para valores

MATLAB simplifica el proceso de construir curvas de nivel a travs del comando contour. Para estotengamos en cuenta las siguientes instrucciones ver figura 5(a).

>>r=-6:0.3:6;

>>[X,Y]=meshgrid(r,r);

>>Z=sqrt(X.^2+Y.^2)+4;

>>cs=contour(X,Y,Z);

>>clabel(cs)

>>grid on

Si se desea de manera particular conocer algunas curvas de nivel especficas, se definen tales valores de sobreun vector. As que para obtener las curvas de nivel de la superficie como intersecciones con los planos con

, se detallan los siguientes comandos. Ver figura 5(b)

>>r=-10:0.3:10;>>[X,Y]=meshgrid(r,r);

>>Z=sqrt(X.^2+Y.^2)+4;

>>V=[4 5 8 13];

>>cs=contour(X,Y,Z,V);

>>grid on

>>clabel(cs)


8/20

5

6

7

8

9

10

11

11

11

11

12

12

1

12

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

5

8

13

-10 -5 0 5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

(a) (b)

Figura 5. Curvas de nivel sobre el plano XY.

Igualmente si se desea obtener un nmero de curvas de nivel , en el procedimiento anterior se escribe en vezde y se da el comando . contour(X,Y,Z,n).

Al levantar a una altura las curvas sobre plano XY, las distintas curvas de nivel aproximan la grafica de lasuperficie a travs de curvas interseccin con planos paralelos al plano XY. Esto se logra con la funcincontour3. Para esto se escribe el siguiente conjunto de instrucciones. Ver la siguiente secuencia de figuraslogradas mediante el editor de grficos de Matlab. Ver figura 6

>>r=-6:0.3:6;

>> [X,Y]=meshgrid(r,r);

>>Z=sqrt(X.^2+Y.^2)+4;

>>contour3(Z);

5

10

15

20

25

30

35

40

10

20

30

40

5

10

15

20

25

30

35

40

5

10

15

20

25

30

35

40

68

10

10

20

30

40

10

20

30

40

6

8

10

10

20

30

40

10

20

30

40

4

6

8

10

10

20

30

40

10

20

30

40

5

6

7

8

9

10

10

2030

40

1020

30405

6

7

8

9

10

Figura 6.

Curvas de nivel como intersecciones con planos paralelos al plano XY


9/20

De esta manera, la superficie lograda con los procedimientos de graficado anteriores parase obtiene del siguiente conjunto de instrucciones. Ver figura 7(a)

>>r=-6:0.3:6;

>>[X,Y]=meshgrid(r,r);

>>Z=sqrt(X.^2+Y.^2)+4;

>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('Eje X')

>>ylabel('Eje Y')

>>zlabel('Eje Z')

>>title('Grafica de la superficie Z=sqrt(X.^2+Y.^2)+4')

Si anexamos la instruccinwhitebg, se puede cambiar el fondo de graficacin a color negro, Ver figura 7(b)

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

104

6

8

10

12

14

Eje X

Grafica de la superficie Z=sqrt(X.2

+Y.2

)+4

Eje Y

EjeZ

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

104

6

8

10

12

14

Eje X

Grafica de la superficie Z=sqrt(X.2

+Y.2

)+4

Eje Y

EjeZ

(a) (b)

Figura 7. Superficie cnica en el espacio

3.2 CURVAS DE NIVEL Y EL GRADIENTE

3.2.1 EL GRADIENTE DE UNA FUNCIN DE VARIAS VARIABLES

Sea la funcin con . El vector gradiente de se denota y se define por

De esta manera, el gradiente corresponde al operador

Donde corresponden a las derivadas parciales de respecto a y a

respectivamente.

Geomtricamente se tiene que el vector gradiente corresponde al vector que indica la direccin en lacual crece con mayor rapidez en relacin al punto , de acuerdo a esto, el vector indica la


10/20

direccin de mayor decrecimiento de la funcin en el punto. De esta manera el vector gradientecorresponde a un vector del plano XY perpendicular a la curva de nivel con .

El gradiente es una funcin que, a cada punto de le asocia un vector

Consideremos la superficie La idea es trazar el vector gradiente sobre la curva de nivel que

pasa por el punto , esto es, se quiere graficar el vector sobre la curva

La curva de nivel de la funcin est dada por

El vector gradiente esta dado por

De esta manera

Para obtener la visualizacin grafica del procedimiento, se aplican los siguientes comandos. Ver figura 8

>>y='sin(x)+1';

>>ezplot(y)>>hold on

>>quiver(pi/6,subs(y,pi/6),-sqrt(3),2)

>>axis equal

>>text(-1.7,3.7,'Vector gradiente perpendicular a la curva ')

>>grid

-6 -4 -2 0 2 4 6

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

x

sin(x)+1

Vector gradiente perpendicular a la curva

Figura 8. Vector gradiente perpendicular a una curva de nivel


11/20

3.2.2 CAMPO VECTORIAL GRADIENTE

De manera general un campo vectorial corresponde a una funcin .De esta manera, para se obtienen campos vectoriales asociados al plano y al espaciorespectivamente.De manera particular, un campo vectorial en el plano corresponde a una funcin de valores vectoriales que asociaa cada punto un vector . Para visualizar un campo vectorial sedibujan en el plano o en el espacio un conjunto de vectores con punto inicial en .

En matemticas con frecuencia se estudian los denominados campos gradientes que se caracterizan por sercampos vectoriales tales que

Esto es, campos definidos como

Donde

De esta manera, la funcin se denomina, funcin potencial de .

Consideremos por ejemplo la funcin como una funcin potencial de un campo vctorialgradiente . De esta manera se tiene:

Al considerar la forma

Se tiene que

Para obtener la grfica del campo vectorial digitamos los siguientes comandos. Ver figura 9

>>x=-5:5;

>>y=x;


>>U=-2*X;

>>V=-2*Y;

>>quiver(X,Y,U,V)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 9. Campo vectorial gradiente


12/20

De acuerdo a lo anotado, se sabe que cada vector gradiente es perpendicular a la curva de nivel correspondienteasociada a la funcin potencial . Al considerar los comandos adicionales a la secuencia del ejemploanterior obtenemos. Ver figura 10

>>x=-5:5;

>>y=x;


>>U=-2*X;

>>V=-2*Y;

>>quiver(X,Y,U,V)

>>hold on

>>Z=-X.^2-Y.^2;

>>cs=contour(X,Y,Z);

>>clabel(cs)

-5 0 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-

-

-40

-35-30

-30 -30

-25

-25

-25

-25-20

-15

-10

-5

0

Figura 10. Campo vectorial gradiente perpendicular a las curvas de nivel

3.3 PLANO TANGENTE Y DIFERENCIABILIDAD

Dada una superficie en , , el plano tangente a la superficie en se define como elplano que pasa por y tiene como vector normal el vector , siempre que .

Si es el vector posicin del punto fijo del plano y es el vector posicin de un punto

cualquiera del plano, la ecuacin vectorial del plano viene dada por

Si la superficie corresponde a , se considera la funcin


13/20

Con lo cual, la ecuacin del plano tangente est dado por

De esta manera se puede establecer que la funcin es diferenciable en slo en el caso en que

la superficie admita un plano tangente no vertical en el punto

En la prctica, una forma de comprobar que una funcin es diferenciable en un punto bastacon comprobar que las derivadas parciales existen y son continuas sobre un conjunto abiertoque contiene el punto , lo que implica adems, que la funcin debe ser continua en el punto.

Consideremos por ejemplo la funcin . Se podra afirmar que es diferenciable en elpunto ya que son continuas y existen para cada . Por tanto,la superficie admite un plano tangente en el punto dado por:

En Matlab podemos visualizar la situacin con los siguientes comandos. Ver figura 11

>>[X,Y]=meshgrid(-5:0.6:5);

>>Z=5-4*X.^2-Y.^2;

>>surf(X,Y,Z,ones(size(Z)))

>>mp=[7/10 7/10 7/10;0 0 1]

>>colormap(mp)

>>hold on

>>ZP=-8*X-4*Y+13;>>mesh(X,Y,ZP,2*ones(size(ZP)))

>>xlabel('Eje X')

>>ylabel('Eje Y')

>>zlabel('Eje Z')

>>title('Plano tangente a una superficie')

-5

0

5

-5

0

5-150

-100

-50

0

50

100

Eje X

Plano tangente a una superficie

Eje Y

Eje

Z


14/20

Figura 11. Plano tangente a una superficie

3.4 EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3.4.1 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARCIAL

Si corresponde a una funcin continua sobre una regin rectangular cerrada R, de lados paralelos alos ejes coordenados, entonces, tiene un mximo absoluto y un mnimo absoluto sobre dicha regin. Esto es,existe tales que

Consideremos una funcin continua con primeras derivadas parciales continuas. Se sabe que lospuntos crticos de la funcin corresponden a los valores para los cuales y

, de tal manera que los puntos crticos corresponden a posibles puntos en los que la funcin tiene un

extremo.A partir de los puntos crticos, el criterio de la segunda derivada proporciona elementos para establecer si dicho

punto genera un extremo de la funcin. Sea un punto crtico de la funcin y supongamos que las siguientesderivadas sean continuas y

- CLASIFICACIN

Negativo Punto sillaPositivo Positivo Punto de mnimo localPositivo Negativo Punto de mximo local

Cero El criterio no es concluyente

Consideremos la funcin . Para esta funcin

Por tanto los puntos crticos aparecen al resolver el sistema esto es

Para resolver el sistema con MATLAB escribimos

>>[x,y]=solve('3*x^2-6*x-9','3*y^2-6*y','x,y')

x = 3 -1 3 -1, y= 0 0 2 2

Lo que significa que los puntos crticos estn dados por


15/20

Para aplicar el criterio de la segunda derivada tengamos en cuenta tambin que:

Con lo cual se deduce la siguiente tabla

- CLASIFICACIN

-27 12 Punto silla-31 12 Punto de mnimo local5 -12 Punto de mximo local1 -12 Punto de silla

Con las funciones ya trabajadas podemos establecer la grfica de la funcin as. Ver figura 12

>>x=-4:0.4:4;

>>y=-4:0.4:4;


>>Z=X.^3+Y.^3-3*X.^2-3*Y.^2-9*X;

>>mesh(X,Y,Z)

>>xlabel('Eje X')

>>ylabel('Eje Y')

>>zlabel('Eje Z')

>>title('Grafica de la superficie Z=X^3+Y^3-3X^2-3Y^2-9X')

-4-2

02

4

-4

-2

0

2

4-200

-150

-100

-50

0

50

Eje X

Grafica de la superficie Z=X3+Y3-3X2-3Y2-9X

Eje Y

EjeZ

-4 -3 -2 -1 0 1 23 4-5

05

-200

-150

-100

-50

0

50

Eje X

Grafica de la superficie Z=X3+Y3-3X2-3Y2-9X

Eje Y

Eje

Z

Figura 12. Superficies en el espacio

Si se examina la imagen se puede apreciar que la funcin tiene un mnimo local en y un mximo local en. Igualmente, un conjunto de curvas de nivel pueden arrojar informacin de la grfica sobre sus valores

extremos ver figura 13(a)

>>contour(X,Y,Z)


16/20

Al considerar mas curvas de nivel se puede determinar con mayor certeza la naturaleza de los extremos de lafuncin. Veamos por ejemplo con 20 curvas de nivel ver figura 13(b)

>>contour(X,Y,Z,20)

Eje X

EjeY

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Eje X

Eje

Y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

(a) (b)Figura 13. Curvas de nivel

Una apreciacin ms clara de los puntos crticos como puntos de extremos locales los obtenemos de experimentarcon algunas curvas de nivel en el rango de los valores mximo y mnimo locales de la funcin. Veamos porejemplo el comando ( Ver figura 14(a) )

>>contour(X,Y,Z,-31:5)

Para indicar los valores de las curvas de nivel ( Ver figura 14(b) )

>>cs=contour(X,Y,Z,-35:2:6);

>>clabel(cs)

Eje X

EjeY

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-31

-29

-27

-25

-23

-21

-19

-17

-13

-11

-9

-7-3

13

5

Eje X

EjeY

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

(a) (b)

Figura 14 Aproximacin a valores extremos por curvas de nivel

De la grafica se puede observar que, desplazamientos desde el punto hacia el sur, implican uncrecimiento de las curvas de nivel de la superficie lo que indica que se estara ascendiendo hacia el punto demximo. Igualmente, desplazamientos desde el punto hacia el norte, implican un decrecimiento de lascurvas de nivel de la superficie lo que indica que se estara descendiendo hacia el punto de mnimo


17/20

3.4.2 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

EXTREMO DE UNA FUNCIN SUJETA A UNA RESTRICCIN

Consideremos por ejemplo un valor mximo de una funcin sujeto a una restriccin . Demanera intuitiva se podra afirmar que este valor mximo ocurre en la curva de nivel ms alta quesea tambin tangente a la grafica de la funcin .

De esta manera, si es un punto de mximo se tiene que los vectores , y son perpendiculares en elpunto a las curvas y , respectivamente. Por tanto, si se tiene que ,y son paralelos. De esta forma se cumple la relacin

De acuerdo a lo indicado, para evaluar los extremos de sujeta a la restriccin se deberesolver el sistema

As que, los puntos donde tiene un extremo se encuentran en las soluciones del sistema.Al valor

Por ejemplo, para determinar los extremos de sujetos a se define, a partir de larestriccin, la funcin . de esta manera, se trata de hallar un valor mximo sobre la curvainterseccin de la superficie con el cilindro

Veamos en MATALAB una secuencia de comandos que nos permiten tener una idea grfica de la situacin. Verfigura 15

>>[X,Y]=meshgrid(-6:6);

>>Z=9-X.^2-Y.^2;

>>surf(X,Y,Z,ones(size(Z)))

>>mp=[7/10 7/10 7/10;0 0 1];

>>colormap(mp);

>>hold on

>>[YY,ZZ]=meshgrid(-8:8);

>>XX=2-YY;

>>mesh(XX,YY,ZZ)>>xlabel('Eje X')

>>ylabel('Eje Y')

>>zlabel('Eje Z')

>>title('Plano prependicular a una superficie')


18/20

-10

-5

0

5

10

-10-5

05

10

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Eje X

Plano prependicular a una superficie

E e Y

Eje

Z

Figura 15. Interseccin de superficie con un plano vertical

Para obtener el valor mximo tengamos en cuenta que

De ac se obtiene que lo que significa, que el mximo con restriccin se da en el puntoy corresponde al valor esto es, la curva de nivel que pasa por , correspondiente a

es tal que, es tangente a la relacin restriccin en el puntoVeamos una visualizacin grfica de la situacin con los siguientes comandos. Ver figura 16

>>r=-2*pi:pi/80:2*pi;

>>[X,Y]=meshgrid(r);

>>Z=9-X.^2-Y.^2;

>>V=[-3 -1 1 3 5 7 9 11];

>>cs=contour(X,Y,Z,V);

>>clabel(cs)

>>hold on

>>YR=sym('-x+2');

>>ezplot(YR)

>>grid on

>>axis equal>>xlabel('EJE X');

>>ylabel('EJE Y');

>>title('Restriccin sobre curvas de Nivel')


19/20

-3

-1

1

3

5

7

9

EJE X

Restriccin sobre curvas de Nivel

EJE

Y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-4

-2

0

2

4

6

8

Figura 16.

Extremo de superficie sobre una restriccin proyectada sobre el plano XY

7 CONCLUSIONES

Las herramientas informticas son indispensables, no solo a la hora de ejecutar extensas operaciones

matemticas, sino tambin en el anlisis de las variaciones y aplicaciones de los distintos conceptos y

procedimientos matemticos. Un software para trabajar en matemticas como el Matlab, permite disponer de un

recurso didctico que puede hacer parte del conjunto de actividades que apoyan la elaboracin de un concepto en

el proceso de bsqueda de contextos de aplicacin y verificacin. De esta manera, mediante la activacin deesquemas a partir de la visualizacin de resultados de procedimientos conceptuales, se confrontan las estructuras

cognitivas activando el conocimiento previo, por lo que los nuevos conceptos y teoras resultan ms fciles de

aprender ya que el entorno computacional permite realizar variaciones en los datos y procedimientos lo que

implica finalmente una gran variedad en los resultados para contrastar.


20/20

8 BIBLIOGRAFA:

Alvarez R. Yolanda y DIAZ L. Gloria M. Funciones reales con Matlab. Serie Textos Acadmicos InstitutoTecnolgico Metropolitano. 2007.

Beltran, Jess. Estrategias de aprendizaje. En Revista de Educacin. Nmero 332 (2003)

Arboleda Q. Dairon. ALVAREZ J. Rafael. Matlab Aplicaciones a las matemticas bsicas. Sello EditorialUniversidad de Medelln. 2006.

Dennis G Zill. Clculo con Geometra Analtica. Grupo Editorial Iberoamrica. 2002

James Stewart.Clculo Conceptos y Contextos. International Thompson editors. 2003

Matlab Desktop tools and development environment, Version 7, The mathworks, Inc, 2004

Matlab. Edicin del estudiante, Gua de Usuario. The Math-Works, inc., Prentice Hall

Pratap Rudra. Getting Started With Matlab 7. New York- Oxford University Press. 2006.

Using Matlab Graphics, Version 7, The mathworks, Inc, 2004

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