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Unidad I Probabilidad Gua del alumno

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PropsitoEl alumno aplicara en forma adecuada los conceptos ms elementales de la Teora de conjuntos en la solucinde ejercicios y estudiar los fenmenos aleatorios, resolviendo problemas utilizando los tres enfoques,subjetivo, frecuencial y clsico, para comprender conceptos fundamentales que le permitan asociar a la

probabilidad y a sus reglas directamente con la inferencia Estadstica.

Temtica:Bosquejo Histrico.

3.1 Teora de conjuntos.

3.1.1 Introduccin: Conjuntos, elementos.

3.1.2 Operaciones con conjuntos.3.2 Tcnicas de conteo.

3.2.1 Principio fundamental del conteo.

3.2.2 Notacin factorial.

3.2.3 Permutaciones.

3.2.4 Combinaciones.

3.3 Fenmenos deterministas y fenmenos aleatorios.

3.4 Enfoques de la Probabilidad.

3.4.1 Frecuencial.

3.4.2 Subjetiva.

3.4.3 Clsica.

3.5 Probabilidad de eventos simples.

3.5.1 Espacio muestra.3.5.2 Eventos.

3.5.3 Clculo de probabilidades.

3.6 Probabilidad de eventos compuestos.

3.6.1 Probabilidad aditiva.

3.6.2 Propiedad de la negacin.

3.6.3 Probabilidad condicional e independencia.

UNIDAD III

PROBABILIDAD

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Los Aprendizajes de este captulo son:

El alumno:

1. Empleara correctamente los conceptos ms elementales de la Teora de conjuntos en la solucin de

ejercicios.

2. Aprender a aplicar las operaciones de unin, interseccin, complemento y diferencia.

3. analizar algunas tcnicas para determinar el nmero de resultados posibles de un experimento o evento

particular

4. Diferencia entre fenmeno aleatorio y fenmeno determinista.

5. Identifica la regularidad estadstica como propiedad de los fenmenos aleatorios.

6. Conoce los enfoques clsico, frecuencial y subjetivo, para determinar la probabilidad de un evento.

7. Relaciona el concepto de frecuencia relativa con la idea intuitiva de probabilidad.

8. Comprende por qu la probabilidad tiene valores entre cero y uno.

9. Construye y describe el espacio muestra.

10. Representa eventos a partir de enunciados.

11. Calcula probabilidades utilizando el enfoque frecuencial.

12. Calcula probabilidades utilizando el enfoque clsico.

13. Identifica y representa eventos en los que se involucren los trminos y, o, no.

14. Identifica y representa eventos condicionados e independientes.

15. Calcula la probabilidad de los eventos descritos.

No permitas que tu trabajo seconvierta en rutina: innova, crea,desarrolla mejores formas deejecutarlo, slo as te ser gratorealizarlo.

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3.1.1 ConjuntosTodos conocemos el significado de las palabras coleccin, montn, grupo, familia, clase, agregado de objetos,etc. En matemticas para referirse a la idea que expresan estas palabras, se usa generalmente el trminoconjunto. Una forma de denotar un conjunto es escribir una lista de todos sus elementos entre llaves.

Ejemplos 3.1Algunos ejemplos de conjuntos son:

a) El conjunto formado por nuestro sistema solar {Tierra, Venus, Mercurio, Marte, Jpiter, Urano,

Plutn, Neptuno, saturno.}

b) El conjunto formado por los nmeros pares entre el 3 y 9 es {4, 6, 8}c) El conjunto formado por las letras que aparecen en la palabra nmero es

{n, u, m, e, r, o }

d) El conjunto formado por los ros que desembocan en el golfo de Mxico.

{Bravo, San Fernando, Soto la Marina, Tames, Panuco, Tuxpan, Tecolutla, Nautla, Papaloapan,

Coatzacoalcos, Grijalva, Usumacinta}

Al escribir un conjunto se acostumbra no repetir los elementos y se usa una letra mayscula para denotarconjuntos. Por ejemplo el conjunto de las letras que figuran en la palabra matemticas esA = {m, a, t, e, i, c, s}.

Ejercicio 3.1

Escribe una lista de elementos de los conjuntos indicados:

I.- El conjunto de consonantes de la palabra televisor.

a) ( ),,,,,,, tsrpolie , b) [ ],,,,,,,, tsrpoliee , c) { },,,,,,, tsrpolie , d) ( ],,,,,,, tsrpolie

II.- El conjunto de los nmeros impares mayores que 2 y menores que 8

a) ( )7,6,5,4,3,2 b) { }7,5,3 c) ]7,5,3[ d) (3,5,7]

III.- El conjunto de pases de Amrica del Norte.

SIMBOLOGA

S, , o U

{x | x }

o {}

BA

BA

BA

BA

BA

Conjunto complemento (Negacin)

Conjuntos iguales

a es mayor que b

a es igual a b

a es menor que b

a es diferente a b

a es mayor o igual que b

a es menor o igual que b

a se aproxima a b

Conjunto universal

Conjunto de x elementos tal que x

Conjunto vaco

A es elemento del conjunto B

A no pertenece al conjunto B

Interseccin de conjuntos

Unin de conjuntos

Diferencia de conjuntos

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

,, AAC

o A

A=B

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a) ( ).,..,,, MxicoASUIlliniosCanadaAlaska , b) [ ].,.., MxicoASUCanada

c) ( MxicoASUCanada .,.., ) d) { MxicoASUCanada .,.., }.

IV.- El conjunto de vocales de la palabra Alemania.

a) },,{ iea , b) [ },, iea , c) ),,( iea , d) ],,,,{ ieaaA

V.- El conjunto de nmeros pares mayores o iguales que 1 y menores que 11.

a) { }10,8,6,4,2,1 , b) }10,8,6,4,2{ , c) }10,8,6,4,2[ , d) (1, 10,8,6,4,2 )

VI.- El conjunto de nmeros parimos entre 21 y 49.

a) {23, 29, 31, 37, 41, 43, 47] b) [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47] c) [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47} ,

d) {23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}

VII.- El conjunto de nmeros romanos entre XXXVII y XLIV sin incluir a estos dos nmeros romanos.

a) {XXXVIII, XXXIX, XL, XLI, XLII, XLIII] b) {XXXVIII, XXXIX, XIL, XLI, XLII, XLIII}

c) {XXXVIII, XXXIX, XL, XLI, XLII, XLIII}, d ) [XXXVIII, XXXIX, XL, XLI, XLII, XLIII}

En el siguiente conjunto A= {1, 2, 3, 4, 5} es claro que el 3 pertenece a A, est en A, o es elemento de Ase pueden utilizar cualquiera de estas expresiones para usar el smbolo . As, para indicar que el 3 pertenece

al conjunto A escribimos. 3A.

Pero en el caso del nmero 7 que no pertenece al conjunto A, esto lo expresamos simblicamente de lasiguiente manera. 7A

Ejercicio 3.2

Dados los conjuntosA={a, b, c, d } B= {c, e, f, g, h } C= {m, n, , o, p} escribe en cada recuadro el smbolo o , segncorresponda.

a A d C h A

b A f B e B

c B n C p A

e)

Un conjunto matemtico es una coleccin de elementos definida por una relacin de pertenencia. Serepresenta con letras maysculas y se expresa por extensin o comprensin y grficamente por unalnea curva.

A= {a, e, i, o, u} Por extensin

A= {x | x es una vocal} Por comprensin

(x es un elemento que hace cierta la proposicin) Diagrama de Venn o de Euler: del conjunto A

Aa, e, i,o, u

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En aritmtica se suma, resta y multiplica, es decir, a cada par de nmeros x ey se le asigna un nmero x + yllamado suma dex ey, un nmerox y llamado diferencia dex ey y un nmeroxy es llamado producto dex ey. Estas asignaciones se llaman operaciones de adicin, sustraccin y multiplicacin de nmeros. En estaintroduccin se van a definir las operaciones de unin interseccin y diferencia de conjuntos, es decir se van aasignar o a hacer corresponder nuevos conjuntos a pares de conjuntos A y B.

Unin de conjuntos

Ejemplo 3.3

S = {Letras del abecedrio} = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, , o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z }A= { x | x es una vocal} = { a, e, i, o, u }B= { x | x es una consonante}= {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, , p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}

S

Fig. 3.3

La unin de dos conjuntos )( BA es el conjunto

de todos los elementos que pertenecen al conjunto A,al conjunto B o a ambos, es decir, los elementos delconjunto unin estn en A o estn en B.En el diagrama de Venn aparece rayado el rea de Ay el rea de B.

En algunos libros la unin deA o B se denota por

A + B y son expresadas por BA

Ejemplo 3.2A partir del conjunto universal

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A= {x | x es un nmero primo} = {2, 3, 5, 7}B= {x | x es un nmero par} = {2, 4, 6, 8, 10}

BA = {x es elemento del conjunto A , de B o deambos}

Diagrama de Venn. Fig.3.2

S

BA = {2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 10}

Unin de un conjunto ysu subconjunto

Unin de dosconjuntos iguales

Unin de dosconjuntosdiferentes

Unin de dosconjuntos

ajenos A B

1, 9

3, 5,7

4, 68, 10

2

B A

AB

A B

AB

A Ba ei o

u

b, c, d, f, g,h, j, k, l, m,n, , p, q, r,s, t, v, w, x,y, z

Fig. 3.1

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BA = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, , o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

Interseccin de conjuntos

Ejemplo 1. 5

Retomando el ejemplo 3.3 encontramos que ninguna letra pertenece a ambos conjuntos.

S

Fig.3.6

BA = { } Conjunto vaco

Interseccin de unconjunto y susubconjunto

Interseccin de dosconjuntos iguales

Interseccin dedos conjuntos

diferentes

Interseccinde dos

conjuntosajenos

(Igual al )

La interseccin de dos conjuntos )( BA es el

conjunto de todos los elementos que pertenecen alconjunto A y al conjunto B, es decir, loselementos del conjunto interseccin estn en A yestn en B a la vez.

La interseccin deA y B, expresada por BA

Ejemplo 3. 4Retomando el ejemplo 3.2, encontramos que sloel nmero dos pertenece a ambos conjuntos.

Diagrama de Venn.

S

Fig. 3.5

BA = { 2 }

A B

1, 9

3, 5,7

4, 6,8, 10

2

B

A

A B

A B

A B

A B

a ei o

u

b, c, d, f, g,h, j, k, l, m,n, , p, q, r,s, t, v, w, x,y, z

Fig. 3.4

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Complemento de conjuntos

Fig. 3.7Ejemplo 3. 7

Retomando el ejemplo 3.3 EncontrarC

A

S

Fig.3.9

Diferencia de conjuntos

Fig.3.10

A B

El complemento del conjunto A est formado porlos elementos del universo que no pertenecen a A,

y se denota como A o CA o

___

A

Ejemplo 3.6

Considerando el ejemplo 1.2, EncontrarC

B

Diagrama de Venn.

S

CB = {1, 3, 5, 7, 9 } Fig. 3.8

A B

1, 9

4, 6,8, 10

3, 57

2

BA

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto deelementos que pertenecen a A, pero no a B. Se denota ladiferencia de A y B por:

BA

Que se lee: A diferencia B o simplemente: A menos B.

Ejemplo 3.8A partir del ejemplo 1.2, Hallar AB

Diagrama de Venn.

S

Fig. 3.11AB = {4, 6,8 ,10}

A B

1, 9

3, 5,7

4, 6,8, 10

2

A Todos los

elementos deluniverso menos losdel conjunto A

A B

a ei o

u

b, c, d, f, g,h, j, k, l, m,

n, , p, q, r,s, t, v, w, x,y, z

CA = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, , p, q, r,s, t, v, w, x, y, z}

A B

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Ejemplo 3.9

Sea A={1, 2,3,4 } B={2, 4, 6, 8} C={3, 4, 5, 6 }

Hallar: 1) )( BA 2) )( CA 3) )( CB 4) )( BB 5) CBA )( 6) )( CBA

7) CB 8)C

C 9) BA

SolucinFig. 3.12 Fig. 3.13 Fig.3.14

A B

C

A B

C

A B

C

1) )( BA = {1, 2, 3, 4, 6, 8} 2) )( CA = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3) )( CB = {2, 3, 4, 5, 6, 8}

Fig. 3.15 Fig.3.16 Fig.3.17

A B

C

A B

C

A B

C

4) )( BB ={2, 4, 6, 8}

Ntese que BB es precisamente B.

Fig.3.18 Fig.3.19 Fig.3.20

A B

C

A B

C

A B

C

7) Se determina que datos seEncuentran en B y C

)( CB = {4, 6}

5) Se determina primero )( BA ,entonces la unin de

)( BA y C es:

CBA = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8

6) Se determina que dato intersecta alos conjuntos:

)( CBA = { 4}

8) Se consideran todos los

elementos del universo conacepcin de los del conjunto C

CC ={1, 2, 8}

9) Al conjunto A se le quintan

los elementos del conjunto BBA = {1, 3}

1 82

3 4 6

5

1 82

3 4 6

5

1 82

3 4 6

5

1 82

3 4 6

5

1 82

3 4 6

5

1 82

3 4 6

5

1 82

3 4 6

5

1 82

3 4 6

5

1 82

3 4 6

5

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Ejemplo 3.10Sean S={a, b, c, d, e}, A={a, b, d} B={b, d, e}

Hallar: a) )( BA , b) )( AB , c) B , d) AB , e) BA , f) BA , g) BA ,

h) AB , i) )( BA , j) )( BA

Solucin

Fig.3.21 Fig.3.22 Fig.3.23

Fig.3.24 Fig.3.25 Fig.3.26

Fig.3.27 Fig.3.28

A B

c

a ebd

A B

c

a ebd

A B

c

a ebd

A B

c

a ebd

A B

c

a ebd

A B

c

a ebd

A B

c

a ebd

A B

c

a ebd

a) La unin de A y B constade los elementos de A y loselementos de B, es decir,

},,,{)( edbaBA =

b) La interseccin de A y B

consta de los elementos queson comunes a A y B, es

decir, },{)( dbBA =

c) El complemento de Bconsta de las letras queestn en S pero no en B; as

ue caB =

d) El conjunto AB estconformado por loselementos de B que no estn

en A, estos es }{eAB =

e) },{ ecA = y },,{ edbB =

As que }{eBA =

Como se observa en el diagrama de Venn Euler, solo en una partedel conjunto B se cruzan ambos sombreados.

f) },,{ dbaA = },{ caB = As que },,,{ dcbaBA =

Como se observa en el diagrama de Venn Euler, se realiza una suma de ambos sombreados.

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Fig.3.29 Fig.3.30

Fig.3.31 Fig.3.32

Fig.3.33 Fig.3.34

A B

c

a eb

d

A B

c

a eb

d

A B

c

a ebd

A B

c

a ebd

i) Segn b) },{)( dbBA = ;

por lo que },,{)( ecaBA =

g) },{ ecA = y },{ caB = ; entonces }{cBA =

Como se observa en el diagrama de Venn Euler, donde cruzan ambos sombreados, es lainterseccin de las negaciones o complementos de los conjuntos A y B.

A B

a ebd

A B

a ebd

h) }{aAB =

A y B

; entonces }{aAB = Como se observa en el diagrama de Venn Euler, el sombreado de A hay que retirarlo, quedando sombreadonicamente una parte de A

j) Segn a) },,,{)( edbaBA = ; luego

cBA =

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Problemas que debern de resolver los alumnos con ayudade su profesor

Ejercicio 3.3

1.- En un diagrama de Venn subraya: a) )( CBA , b) ),()( CABA c) )( CBA ,

d) )()( CABA , e) )()( CABA

a) b)

c) d)

e)

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2.- Demostrar: AB es un subconjunto de A , utiliza diagramas de Venn

AB A

3.- Demostrar: ABAB = , utiliza diagramas de Venn

B - A BA

Problemas que debern de resolver los alumnos

Ejercicio 3.4Sea S={a, b, c, d, e, f, g} y sean A={a, b, c, d, e}, B={a, c, e, g} y C={b, e, f, g}Hallar:

1.- CA 4.- B 7.- )( CA 10.- )( AA

2.- AB 5.- BA 8.- AC 3.- BC 6.- CB 9.- )( BA

Utiliza diagramas de Venn.

1.- CA 2.- AB

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3.- BC 4.- B

5.- A B 6.- CB

7.- )( CA 8.- AC

9.- )( BA 10.- )( AA

i) Probar: ABAB = o sea, que el conjunto de la operacin diferencia puede ser escrito en trminos

de operaciones de interseccin y complemento. Sugerencia utiliza diagramas de Venn

B A B A

ii) En los diagramas de Venn inferiores, sombrea:

1.- )( vw 2.- )( wv 3.- )( wv 4.- )( wv

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1.- )( vw 2.- )( wv

3.- )( wv 4.- )( wv

V WW

V

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