36 CAPÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE … · perior en ambos lados o el signo inferior en ambos...
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Otros polinomios pueden tener tres variables, por ejemplo x, y, z o bien, parael caso, cualquier número de variables. La adición, sustracción y multipli-cación se realizan usando propiedades de números reales, igual que para poli-nomios con una variable.
El siguiente ejemplo ilustra la división de un polinomio entre unmonomio.
E J E M P L O 4 División de un polinomio entre un monomio
Exprese como un polinomio en x y y:
S O L U C I Ó N
divida cada término entre 2xy
simplifique L
Los productos que se listan en la siguiente tabla se presentan con tal fre-cuencia que merecen especial atención. El lector puede comprobar la validezde cada fórmula por multiplicación. En (2) y (3), usamos ya sea el signo su-perior en ambos lados o el signo inferior en ambos lados. Así, (2) es en reali-dad dos fórmulas:
Del mismo modo, (3) representa dos fórmulas
�x � y�2 � x2 � 2xy � y2 y �x � y�2 � x2 � 2xy � y2
� 3xy2 � 2x2y � 5
6x2y3 � 4x3y2 � 10xy
2xy�
6x2y3
2xy�
4x3y2
2xy�
10xy
2xy
6x2y3 � 4x3y2 � 10xy
2xy
36 C A P Í T U L O 1 C O N C E P T O S F U N D A M E N T A L E S D E Á L G E B R A
Otras ilustraciones de las fórmulas del producto se dan en el siguienteejemplo.
E J E M P L O 5 Uso de fórmulas del producto
Encuentre el producto:
(a) (b) (c) �2a � 5b�3�2c �1
2c�2
�2r 2 � 2s��2r 2 � 2s�
Fórmulas de productos
Fórmula Ejemplos
(1)
(2)
(3)� 8a3 � 36a2 � 54a � 27
�2a � 3�3 � �2a�3 � 3�2a�2�3� � 3�2a��3�2 � �3�3�x � y�3 � x3 � 3x2y � 3xy2 � y3
� 4a2 � 12a � 9�2a � 3�2 � �2a�2 � 2�2a��3� � �3�2�x � y�2 � x2 � 2xy � y2
�2a � 3��2a � 3� � �2a�2 � 32 � 4a2 � 9�x � y��x � y� � x2 � y2
PRODUCTOS, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
1
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S O L U C I Ó N
(a) Usamos la fórmula 1 del producto, con y
(b) Usamos la fórmula 2 del producto, con y
Nótese que la última expresión no es un polinomio.
(c) Usamos la fórmula 3 del producto, con y :
L
Si un polinomio es un producto de otros polinomios, entonces cada poli-nomio del producto es un factor del polinomio original. Factorizar es el pro-ceso de expresar una suma de términos como producto. Por ejemplo, co-mo , los polinomios y son factores de
.La factorización es un proceso importante en matemáticas, puesto que se
puede usar para reducir el estudio de una expresión complicada al estudio devarias expresiones más sencillas. Por ejemplo, las propiedades del polinomio
se pueden determinar al examinar los factores y . Como ve-remos en el capítulo 2, otro importante uso de la factorización está en hallarsoluciones de ecuaciones.
Vamos a estar interesados principalmente en factores no triviales depolinomios, es decir, factores que contengan polinomios de grado positivo. Noobstante, si los coeficientes se restringen a enteros, entonces por lo generaleliminaremos un factor común entero de cada término del polinomio. Porejemplo,
Un polinomio con coeficientes en algún conjunto S de números es primoo irreducible sobre S, si no se puede escribir como producto de dos poli-nomios de grado positivo con coeficientes en S. Un polinomio puede ser irre-ducible sobre un conjunto S pero no sobre otro. Por ejemplo, esirreducible sobre los números racionales, puesto que no se puede expresarcomo producto de dos polinomios de grado positivo que tengan coeficientesracionales. Sin embargo, no es irreducible sobre los números reales, yaque podemos escribir
x2 � 2 � �x � 22��x � 22�.
x2 � 2
x2 � 2
4x2y � 8z3 � 4�x2y � 2z3�.
x � 3x � 3x2 � 9
x2 � 9x � 3x � 3�x � 3��x � 3�x2 � 9 �
� 8a3 � 60a2b � 150ab2 � 125b3
�2a � 5b�3 � �2a�3 � 3�2a�2�5b� � 3�2a��5b�2 � �5b�3
y � 5bx � 2a
� c � 2 �1
c
�2c �1
2c�2
� �2c�2� 2 � 2c �
1
2c� � 1
2c�2
y �1
2c:x � 2c
� 4r4 � s
�2r2 � 2s��2r2 � 2s� � �2r2�2 � �2s�2
y � 2s:x � 2r2
1 . 3 E x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s 37
PRODUCTOS, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
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Del mismo modo, es irreducible sobre los números reales, pero, comoveremos en la sección 2.4, no sobre los números complejos.
Todo polinomio de grado 1 es irreducible.Antes que factoricemos un polinomio, debemos especificar el sistema
numérico (o conjunto) del cual se han de escoger los coeficientes de los fac-tores. En este capítulo usaremos la regla de que si un polinomio tiene coefi-cientes enteros, entonces los factores serán polinomios con coeficientesenteros. Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto de poli-nomios irreducibles.
El máximo factor común (mfc) de una expresión es el producto de losfactores que aparecen en cada término, con cada uno de estos factores elevadoal mínimo exponente diferente de cero que aparezca en cualquier término. Alfactorizar polinomios, es aconsejable factorizar primero el mfc, como se ve enla siguiente ilustración.
Polinomios factorizados
Suele ser difícil factorizar polinomios de grado mayor a 2. En casos sen-cillos, pueden ser útiles las siguientes fórmulas para factorizar. Cada fórmulase puede verificar al multiplicar los factores del lado derecho del signo igual.Se puede demostrar que los factores y en la dife-rencia y suma de dos cubos, respectivamente, son irreducibles sobre losnúmeros reales.
x 2 � xy � y2x2 � xy � y2
4x5y � 9x3y3 � x 3y�4x2 � 9y2� � x 3y�2x � 3y��2x � 3y�25x2 � 25x � 150 � 25�x2 � x � 6� � 25�x � 3��x � 2�8x 2 � 4xy � 4x�2x � y�
ax � b
x 2 � 1
38 C A P Í T U L O 1 C O N C E P T O S F U N D A M E N T A L E S D E Á L G E B R A
I L U S T R A C I Ó N
Fórmulas de factorización
Fórmula Ejemplos
(1) Diferencia de dos cuadrados:
(2) Diferencia de dos cubos:
(3) Suma de dos cubos
� �5a � 1��25a2 � 5a � 1� � �5a � 1���5a�2 � �5a��1� � �1�2�
125a3 � 1 � �5a�3 � �1�3x3 � y3 � �x � y��x2 � xy � y2�
� �2a � 3��4a2 � 6a � 9� � �2a � 3���2a�2 � �2a��3� � �3�2�
8a3 � 27 � �2a�3 � �3�3x3 � y3 � �x � y��x2 � xy � y2�
9a2 � 16 � �3a�2 � �4�2 � �3a � 4��3a � 4�x2 � y2 � �x � y��x � y�
Otras ilustraciones del uso de fórmulas de factorización se dan en los dosejemplos siguientes.
PRODUCTOS, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
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E J E M P L O 6 Diferencia de dos cuadrados
Factorice cada polinomio:
(a) (b) (c)
S O L U C I Ó N
(a) Aplicamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados, con y
(b) Escribimos y y aplicamos dos veces la fórmulade la diferencia de dos cuadrados:
(c) Escribimos y aplicamos la fórmula de la diferencia de doscuadrados:
L
E J E M P L O 7 Suma y diferencia de dos cubos
Factorice cada polinomio:
(a) (b)
S O L U C I Ó N
(a) Aplicamos la fórmula de la suma de dos cubos, con y :
(b) Aplicamos la fórmula de la diferencia de dos cubos, con y:
L � �2c2 � 3d 3��4c4 � 6c2d 3 � 9d 6�
� �2c2 � 3d 3���2c2�2 � �2c2��3d 3� � �3d 3�2�
8c6 � 27d 9 � �2c2�3 � �3d 3�3
y � 3d 3
x � 2c2
� �a � 4b��a2 � 4ab � 16b2�
� �a � 4b��a2 � a�4b� � �4b�2�
a3 � 64b3 � a3 � �4b�3
y � 4bx � a
8c6 � 27d 9a3 � 64b3
� �4x2 � y � 2z��4x2 � y � 2z�
� ��4x2� � � y � 2z����4x2� � � y � 2z��
16x 4 � � y � 2z�2 � �4x2�2 � � y � 2z�2
16x 4 � �4x 2�2
� �9x 2 � y 2��3x � y��3x � y�
� �9x 2 � y2���3x�2 � � y�2�
� �9x 2 � y2��9x2 � y2�
81x4 � y4 � �9x2�2 � � y2�2
y4 � � y2�281x 4 � �9x 2�2
25r 2 � 49s2 � �5r�2 � �7s�2 � �5r � 7s��5r � 7s�
y � 7sx � 5r
16x 4 � � y � 2z�281x 4 � y425r 2 � 49s2
1 . 3 E x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s 39
PRODUCTOS, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
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Una factorización de un trinomio , donde p, q y r son ente-ros, debe ser de la forma
donde a, b, c y d son enteros. Se deduce que
Sólo un número limitado de opciones para a, b, c y d satisfacen estas condi-ciones. Si ninguna de las opciones funciona, entonces es irre-ducible. Tratar las diversas posibilidades, como se describe en el ejemplosiguiente, recibe el nombre de método de prueba y error. Este método tam-bién es aplicable a trinomios de la forma , en cuyo caso lafactorización debe ser de la forma .�ax � by��cx � dy�
px2 � qxy � ry2
px2 � qx � r
ac � p, bd � r, y ad � bc � q.
px2 � qx � r � �ax � b��cx � d�,
px2 � qx � r
40 C A P Í T U L O 1 C O N C E P T O S F U N D A M E N T A L E S D E Á L G E B R A
TI-83/4 Plus TI-86Podemos comprobar un resultado de factorización al multiplicar la respuesta propuesta ycompararla con la expresión original. Aquí sustituiremos valores para las variables y evalua-remos la expresión original y la respuesta propuesta.
4 4
7 7
3*
64 64 3
4 4
4 4
16 16
*No hay función especial de cubo para la TI-86.
No escoja valores como son 0, 1, o 2 para A y B es demasiado fácil obtener el mismo valorpara la expresión original y la respuesta propuesta. Por ejemplo, si sustituimos 1 por A y 0por B e incorrectamente factorizamos como , ambas expresiones serían igual a 1 y nos confundiríamos al pensar que correctamente habíamos fac-torizado .A3 � 64B3
�A � 4B��A2 � 16B2�A3 � 64B3
ENTER)x 2BALPHAENTER)x 2BALPHA
�BALPHA�AALPHA�BALPHAAALPHA
�x 2AALPHA(�x 2AALPHA(
)BALPHA�AALPHA()BALPHA�AALPHA(
ENTERBALPHAENTER3MATHBALPHA
�AALPHA�3MATHAALPHA
ENTERBSTOALPHAENTERBALPHASTO
:2ndASTO:ALPHAAALPHASTO
Comprobación de un resultado de factorización
�
�
�
�
PRODUCTOS, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
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E J E M P L O 8 Factorización de un trinomio por prueba y error
Factorice .
S O L U C I Ó N Si escribimos
entonces las siguientes relaciones deben ser verdaderas:
Si suponemos que a y c son ambas positivas, entonces todos los posibles va-lores se dan en la tabla siguiente:
Por tanto, si es factorizable, entonces una de las siguientes igual-dades es verdadera:
A continuación consideramos todos los valores posibles para b y d. Como, éstos son como sigue:
Al intentar varios (posiblemente todos) valores, llegamos a y ;esto es,
Como prueba, el lector debe multiplicar la factorización final para ver si se ob-tuvo el polinomio original. L
El método de prueba y error que se ilustra en el ejemplo 8 puede ser largoy tedioso si los coeficientes de los polinomios son grandes y tienen muchosfactores primos. En la sección 2.3 demostraremos un método de factorizaciónque se puede usar para factorizar cualquier trinomio de la forma parecida a ladel ejemplo 8, cualquiera que sea el tamaño de los coeficientes. Para casossencillos, con frecuencia es posible llegar rápidamente a la selección correcta.
E J E M P L O 9 Factorización de polinomios
Factorice:
(a) (b) 4x 4y � 11x 3y2 � 6x 2y312x2 � 36xy � 27y2
6x 2 � 7x � 3 � �2x � 3��3x � 1�.
d � 1b � �3
bd � �3
6x2 � 7x � 3 � �3x � b��2x � d� 6x2 � 7x � 3 � �2x � b��3x � d� 6x2 � 7x � 3 � �6x � b��x � d� 6x2 � 7x � 3 � �x � b��6x � d�
6x2 � 7x � 3
ac � 6, bd � �3, y ad � bc � �7
6x 2 � 7x � 3 � �ax � b��cx � d�,
6x 2 � 7x � 3
1 . 3 E x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s 41
a 1 6 2 3
c 6 1 3 2
b 1 3
d 3 1�1�3
�3�1
PRODUCTOS, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
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S O L U C I Ó N
(a) Como cada uno de los términos tiene 3 como factor, empezamos por es-cribir
Una factorización de como producto de dos polinomios deprimer grado debe ser de la forma
,
con
Si usamos el método de prueba y error, como en el Ejemplo 8, obtenemos
Entonces,
(b) Como cada uno de los términos tiene x2y como factor, empezamos por es-cribir
Por prueba y error, obtenemos la factorización
L
Si una suma contiene cuatro o más términos, puede ser posible agrupar lostérminos en una forma apropiada y luego hallar una factorización mediante eluso de propiedades distributivas. Esta técnica, llamada factorización poragrupación, se ilustra en el ejemplo siguiente.
E J E M P L O 1 0 Factorización por agrupación
Factorice:
(a) (b)
(c)
S O L U C I Ó N
(a) Agrupamos los primeros dos y los últimos dos términos y luego procede-mos como sigue:
En esta etapa no hemos factorizado la expresión dada porque el lado derechotiene la forma
No obstante, si factorizamos k, entonces
2ck � dk � �2c � d�k � �2c � d��2a � b�.
2ck � dk con k � 2a � b.
� 2c�2a � b� � d�2a � b� 4ac � 2bc � 2ad � bd � �4ac � 2bc� � �2ad � bd�
x 2 � 16y2 � 10x � 25
3x 3 � 2x 2 � 12x � 84ac � 2bc � 2ad � bd
4x 4y � 11x 3y2 � 6x 2y3 � x 2y�4x � 3y��x � 2y�.
4x 4y � 11x 3y2 � 6x 2y3 � x 2y�4x 2 � 11xy � 6y2�.
12x2 � 36xy � 27y2 � 3�4x2 � 12xy � 9y2� � 3�2x � 3y�2.
4x2 � 12xy � 9y2 � �2x � 3y� �2x � 3y� � �2x � 3y�2.
ac � 4, bd � 9, y ad � bc � �12.
4x2 � 12xy � 9y2 � �ax � by��cx � dy�
4x2 � 12xy � 9y2
12x2 � 36xy � 27y2 � 3�4x2 � 12xy � 9y2�.
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PRODUCTOS, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
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Ejer. 1-44: Exprese como polinomio.
1
2
3
4
5 6
7 8
9
10
11 �3x � 5��2x2 � 9x � 5�
�3u � 1��u � 2� � 7u�u � 1�
�2u � 3��u � 4� � 4u�u � 2�
�4x � 3y��x � 5y��5x � 7y��3x � 2y�
�3x � 4��2x � 9��2x � 5��3x � 7�
�6x3 � 2x2 � x � 2� � �8x2 � x � 2�
�4x3 � 5x � 3� � �3x3 � 2x2 � 5x � 7�
�7x3 � 2x2 � 11x� � ��3x3 � 2x2 � 5x � 3�
�3x3 � 4x2 � 7x � 1� � �9x3 � 4x2 � 6x�
12
13
14
15
16
17 18
19 20
21 22 �5x � 4y��5x � 4y��2x � 3y��2x � 3y�
6x2yz3 � xy2z
xyz
3u3v4 � 2u5v2 � �u2v2�2
u3v2
6a3b3 � 9a2b2 � 3ab4
3ab2
8x2y3 � 10x3y
2x2y
�2x � 1��x2 � 5��x3 � 1�
�x � 1��2x2 � 2��x3 � 5�
�r 2 � 8r � 2���r 2 � 3r � 1�
�t 2 � 2t � 5��3t 2 � t � 2�
�7x � 4��x3 � x2 � 6�
1 . 3 E x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s 43
Por lo tanto,
Nótese que si factorizamos como , entonces la última ex-presión es .
(b) Agrupamos los primeros dos y los últimos dos términos y luego procede-mos como sigue:
Por último, usando la fórmula de la diferencia de dos cuadrados para x2 � 4,obtenemos la factorización:
(c) Primero reacomodamos y agrupamos términos, luego aplicamos la fórmu-la de la diferencia de dos cuadrados, como sigue
L � �x � 4y � 5��x � 4y � 5� � ��x � 5� � 4y���x � 5� � 4y� � �x � 5�2 � �4y�2
x2 � 16y2 � 10x � 25 � �x2 � 10x � 25� � 16y2
3x 3 � 2x 2 � 12x � 8 � �x � 2��x � 2��3x � 2�
� �x 2 � 4��3x � 2� � x2�3x � 2� � 4�3x � 2�
3x3 � 2x2 � 12x � 8 � �3x3 � 2x2� � �12x � 8�
�2a � b��2c � d�k�2c � d�2ck � dk
� �2c � d��2a � b�. 4ac � 2bc � 2ad � bd � 2c�2a � b� � d�2a � b�
1.3 E j e r c i c i o s
PRODUCTOS, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
8
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23 24
25 26
27 28
29 30
31 32
33
34
35
36
37 38
39 40
41 42
43 44
Ejer. 45-102: Factorice el polinomio.
45 46
47 48
49 50
51 52
53 54
55 56
57 58
59 60
61 62
63 64
65 66 50x2 � 45xy � 18y245x2 � 38xy � 8y2
16z2 � 56z � 4925z2 � 30z � 9
9x2 � 24x � 164x2 � 20x � 25
21x2 � 41x � 1012x2 � 29x � 15
12x2 � x � 66x2 � 7x � 20
3x2 � 4x � 2x2 � 3x � 4
7x2 � 10x � 88x2 � 53x � 21
121r3s4 � 77r2s4 � 55r4s315x3y5 � 25x4y2 � 10x6y4
16x5y2 � 8x3y33x2y3 � 9x3y2
10xy � 15xy23a2b2 � 6a2b
4u2 � 2uvrs � 4st
�x � 2y � 3z�2�2x � y � 3z�2
�x2 � x � 1�2�a � b � c�2
�3x � 4y�3�2x � 3y�3
�x � 3y�3�x � 2y�3
�x1/3 � y1/3��x2/3 � x1/3y1/3 � y2/3�
�x1/3 � y1/3��x2/3 � x1/3y1/3 � y2/3�
�2x � 2y�2�2x � 2y�2
�2x � 2y��2x � 2y�
�x � y�2�x � y�2�x � 2�2�x � 2�2
�2x2 � 5y2�2�x2 � 3y2�2
�5x � 4y�2�3x � 2y�2
�x2 � 1��x2 � 16��x2 � 9��x2 � 4�
�3x � y3��3x � y3��x2 � 2y��x2 � 2y� 67 68
69 70
71 72
73 74
75 76
77 78
79 80
81 82
83 84
85
86
87
88
89 90
91 92
93 94
95 96
97 98
99 100
101 102
Ejer. 103-104: Los antiguos griegos dieron pruebas geomé-tricas de las fórmulas de factorización para la diferencia dedos cuadrados y la diferencia de dos cubos. Establezca lafórmula para el caso especial descrito.
103 Encuentre las áreas de las regiones I y II de la figura paraestablecer la fórmula de la diferencia de dos cuadradospara el caso especial .x y
4x3 � 4x2 � xx16 � 1
8c6 � 19c3 � 27y6 � 7y3 � 8
y2 � 9 � 6y � 4x2y2 � x 2 � 8y � 16
x2 � 4y2 � 6x � 9x2 � 4x � 4 � 9y2
x 8 � 16a6 � b6
6w8 � 17w4 � 12a3 � a2b � ab2 � b3
x4 � 3x3 � 8x � 24x4 � 2x3 � x � 2
5x3 � 10x2 � 20x � 40
3x3 � 3x2 � 27x � 27
2ay2 � axy � 6xy � 3x2
2ax � 6bx � ay � 3by
x3 � 64125 � 27x3
x6 � 27y3343x3 � y9
216x9 � 125y364x3 � y6
125x3 � 864x3 � 27
64x2 � 36y275x2 � 48y2
4x2 � 9x2 � 25
x3 � 25xx4 � 4x2
9y4 � 121x2z4 � 64w2
81r 2 � 16t 236r 2 � 25t 2
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PRODUCTOS, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
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