Antologa de ProbabilidadAntologa de Probabilidad

3.6. FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULATIVAPara ejemplificar la distribucin acumulativa en un caso discreto, nos apoyaremos en el experimento del lanzamiento de dos dados, cuya funcin se refiere a la suma de los posibles resultados, y enseguida el lanzamiento de una moneda hasta que salga el resultado esperado

Ejemplo 3.6.1.Tabla 1 Probabilidad de la variable SValores de X : xi

(1,1)2

(1,2) (2,1)3

(1,3) (3,1) (2,2)4

(1,4) (4,1) (2,3) (3,2)5

(1,5) (5,1) (2,4) (4,2) (3,3)6

(1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3)7

(2,6) (6,2) (3,5) (5,3) (4,4)8

(3,6) (6,3) (4,5) (5,4)9

(4,6) (6,4) (5,5)10

(5,6) (6,5)11

(6,6)12

Total:

La grfica de lneas para este ejemplo es:

Fig. 3 Grfica de lneas de la Distribucin de Probabilidad de la variable aleatoria del ejemplo 4.4Otro tipo de grfica empleado para representar una funcin de probabilidad es el histograma, que consiste en representar una funcin las probabilidades como reas.

Fig. 4 Histograma de la Distribucin del ejemplo 4Ejemplo 3.6.2.: Si lanzamos una moneda legal y representamos por X el nmero de ensayos realizados hasta que aparece por primera vez un guila, entonces, el espacio muestra correspondiente es infinito, ya que hay un nmero infinito de numerable de resultados, a saber, 1, 2, 2, 3, De hecho, X=1 significa que aparece un guila en el primer ensayo, X=2, indica que primero se obtiene sol y en el segundo tiro, un guila, etc. Puesto que las guilas y los soles son igualmente probables, y los ensayos son independientes, tenemos que:

De esta manera, obtenemos la funcin de probabilidad

La distribucin de probabilidad de X se puede expresar mediante una tabla como se ve a continuacin:Xf(X)

11/2

21/4

31/8

41/16

51/32

Ejemplo 3.6.3.: Se extraen dos tornillos al azar de un conjunto de 10 tornillos, cuatro de los cuales estn defectuosos. Encontrar y dibujar la funcin de probabilidad de la variable aleatoria X = nmero de tornillos defectuosos extrados.Solucin: Como hay 10 tornillos de los cuales 4 son defectuosos y se extraen 2 tornillos al azar (sin reemplazo); entonces, el cardinal del espacio muestra es y X toma los valores del 0 al 2 ya que al extraer dos tornillos slo puede ocurrir que no salga ningn defectuoso, un defectuoso o dos defectuosos, X = {0, 1, 2}. Las probabilidades respectivas son: , y Distribucin de ProbabilidadGrfica de lneasHistograma

X

f(X)

0

15/45

1

24/45

2

26/45

3

45/45

Distribucin de probabilidad de la variable aleatoria del ejemplo 4.5

Ejemplo 3.6.4: La funcin densidad de probabilidad normal estndar se define por:, donde a continuacin se presenta su grfica y podemos ver que es una curva suave y continua, en lugar de una grfica de lneas

Fig. 5 Funcin densidad normal estndar

FUNCIN DISTRIBUCIN (ACUMULADA)Si X es una variable aleatoria, entonces para cualquier nmero real x0, existe la probabilidad del evento (X toma cualquier valor menor o igual a x0).La probabilidad que depende de la eleccin de x0 es la probabilidad acumulada hasta x0 que es la funcin distribucin o distribucin acumulada y se denota por F(x0).F(x0) =Ejemplo 3.6.5. Encuentre los valores de la funcin distribucin acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3.6.1.Xf(X)F(X)

21/361/36

32/363/36

43/366/36

54/3610/36

65/3615/36

76/3621/36

85/3626/36

94/3630/36

103/3633/36

112/3635/36

121/3636/36

Obsrvese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) = La grfica de la funcin distribucin acumulada de una variable discreta es siempre una grfica escalonada.

Fig. 6 Funcin distribucin para la variable aleatoria del ejemplo 3.6.1.Ejemplo 3.6.6. Halle los valores de la funcin distribucin acumulada, F(X), de la variable aleatoria X del ejemplo 3.6.2..

X f(X) F(X)0 15/45 15/451 24/45 39/452 6/45 45/45

Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en trminos de la funcin distribucin acumulada F(X), donde x1 y x2 son dos de los valores cualesquiera .Obsrvese que y son eventos mutuamente exclusivos, su unin es el evento .Por el axioma 3 de probabilidad, obtenemosP() = P() + P()Despejando P se tiene P = P() - P() = F(x2) - F(x1)En consecuencia, F(x) determina en forma nica la distribucin de probabilidades de la variable aleatoria correspondiente.

Distribucin acumulativa158Unidad 3 Unidad 3 159Distribucin acumulativa