COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoCOLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoAritmtica 1INDICE Asuntos Comerciales .. 03 Inters Simple..13 Descuento ... 21 Mezcla y Aleacin......... 29 Progresin Aritmtica . 42 Progresin Geomtrica 47 Conteo de Nmeros . 54 Estadstica 62 Formulario 74 Miscelnea 78COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoAritmtica 2IMPRESIONES Y FOTOCOPIADOV.L.E.B.DPTO. DE PUBLICACIONES COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoTEMA: ASUNTOS COMERCIALESConceptos Bsicos:Tanto por Cuanto:Ela porb de una cantidad N; es otra cantidad de la misma especie; tal que sea a la primera como a es b.) N (baXbaNx Ejemplos: 1 por 10 significa 1 por cada 10 el cual es: 1/10 3 por 7 significa 3 por cada 7 el cual es: 3/7Luego, si aplicamos el tanto por cuanto a una cantidad seria:) N (baN de por b aTantopor Ciento:Es unaovariascentsimaspartesdeunacantidad cualquiera.Formula General:X % N = PDonde: X = Tanto por ciento.N = Unidad referencial.P = Porcentaje.Ejemplos:1) El 50% de S/. 40 es:20 40 x100502) El 20% de 15m es:3 15 x10020Aritmtica 3COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoObservaciones: Siempre se cumple que:1. N = 100%. N2. a % N tb % N = ( a tb) % N3. a % del b % de N es: N100cx100bx100a4. a % del b % de N es: N %100axbEjemplo: 20% del 40% de N.Es igual a:N % 8 N %10040 x 20Aplicacin Mercantil. Para las transacciones comerciales los trminos que se utiliza son los siguientes:Pv Precio de venta Pc Precio de costoG Ganancia P PerdidaGB Ganancia Bruta GN Ganancia NetaPL = PF = PMPrecio de lista, Precio fijado;Precio de mercado. Si en la transaccin comercial existe ganancia:BG Pc Pv ganancia Pc Pv + + Aritmtica 4COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao Pero en la transaccin comercial se originan gastos entonces consideremos lo siguiente:s Adicionale Gastos G GN B+ Si en la transaccin comercial se origina perdida.Perdida Pc Pv Observaciones:1. Todo % de ganancia o prdida que no refiera unidad se sobrentiende que es sobre el costo.2. Todo descuento se hace sobre el precio de oferta o precio de lista; a no ser que el problema refiera otra unidad.Ejemplo:Sevendeunaartefactoen$660, ganadoel 20%, Cul esla ganancia?Solucin:Sabemos que cuando hay ganancia ocurre lo siguiente con la venta.Pc100120660 Pc % 20 Pc 660G Pc Pv + + Pc : Precio de Costo = 550 Por lo tanto; La ganancia G = 660 550 = S/. 110Aritmtica 5COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoDescuento SucesivoSi tenemos 2 descuentos sucesivos del a % ms el b % se verifica que el descuento nico (DU) equivalente ser:%100b ab a DU1]1

+ Aplicacin: Al descontar sucesivamente el 20% ms el 25% equivale a:% 40 %10025 2025 20 DU 1]1

+ Determinar el descuento nico al descuento sucesivo del 20% ms el 45% ms el 25%.Solucin: D U% 2 51D u% 4 5 % 2 0De donde: % 56 %10045 2045 20 DU11]1

+

% 67 %10025 5625 56 DU 1]1

+ Alineamiento Sucesivo:Para2aumentossucesivosdel a%msel b%el aumentonico(AU) equivalente es:%100b ab a U . A1]1

+ Aritmtica 6COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoPROBLEMAS PARA LA CLASE1) Tena 40 cuadernos. A mi amigo Jean Pierre le di el 20%; a mi primo Pedro el 30% yami hermanajuliael 40%. Cuntos cuadernos me quedan?Rpta:2) Una seora lleva 2000 huevos al mercado y encuentra que el 10% estaba malogrado y solo pudo vender el 60%de los buenos. Cuanto quedaron sin vender?Rpta:3) En una reunin hay 100 personas de los cuales el 70% son mujeres Cuntas parejas deben llegar a la reunin para que el nmero de varones sea el 60% de las mujeres?Rpta:4) Unlibrerohaentregadoaun colegio 150 ejemplares; por lo que hacobradoS/.421,20;a regalado un ejemplar por cada docena y adems ha hecho un descuento del 10%sobre el importe total de la factura. Cunto costaba cada libro originalmente?Rpta:5) Lo que elobrero de A excede al deBequivaleal 20%del dinero de C y el exceso de B a Cequivaleal 10%del dinero de A. Si A tiene S/. 200. Cunto tiene B?Rpta:6) De un conjunto de 400 personas el75% son varones yel restomujeres. Sabiendo que el 80% de los varones y el 15%de las mujeres fuman. Cuntaspersonasnofuman de dicho conjunto de personas?Rpta:Aritmtica 7COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao7) A cuanto equivale los descuentos sucesivos del 20%; 20% y 20% de una misma cantidad?Rpta:8) Cada 2 aos aumenta el alquiler de una casa en10%. Sialcomienzo delquinto ao debe pagarse S/3630. Cul fue el alquiler inicial?Rpta:9) Aun nmero se le hace 3 descuentos sucesivos del 20%; 25%y20%al nmero que resulta se le hace 3 incrementos sucesivos de 20%, 25%y20%resultando unnmeroquesediferencia del original en408unidades. Determinar lasumadecifras del nmero original.Rpta:10) En un supermercado para determinar el precio de lista de los artculos multiplican los precios de compra por un factor Kde tal manera que pueden descontar sucesivamente el 20% mas el 20%yaunganar el 80%del costo. Hallar K.Rpta:11) Sefijael preciodeventade cierto articulo en S/. 200 mas que su precio de compra; pero alvenderlo con un descuento el 20%seperdiS/. 1enla venta. Cul fue finalmente el precio de venta del artculo?Rpta:12) Un comerciante compra 500 casacasaS/. 20cadaunay las vende con un beneficio del 40% de loscuales los gastos por movilidad y viticos representan el 25% del beneficioneto. Determinara cuanto asciende el beneficio neto?Rpta:13) Roco tiene un articulo que vale S/. 1000yselovendeaLiz con una ganancia del 10%. Liz larevendeaRococonuna prdida del 10% de modo que a cunto lo compr Liz?.Rpta:14) Una persona pregunta auna tienda que descuento le puedenhacer sobreel precio Aritmtica 8COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Aode un repuesto; y le respondenqueel 20%; vaa otra tienda y compra el mismo repuesto con un descuento del 25%ahorrndoseas S/. 35. Cuanto costaba el repuesto?Rpta:15) Dos comerciantes han comprado mercancas por el valordeS/.72000cadauno. Al vendedor el primero obtiene un beneficio del 20% sobre el preciodeventayel segundo gana 60 000 ms que el primero. Calcular que porcentaje del precio de venta resulta la ganancia del segundo comerciante.Rpta:16) Si a un nmero x se le suma su 80%; luegoel resultadosele resta el 25% y por lo ultimo al nuevo resultado se le suma su 40% el resultado final con respecto al resultado inicial aumento en:Rpta:17) El 32%del 25%deN; esel 50% del 16 por 50 del 15 por 20 de M. Si el 12,5 % de N es a % del 14 por 35 M. Hallar aRpta:18) Se tiene 3 recipientes A, B y C; cuyas capacidades son entre si como 1; 2; y 3. Contienen vino; el primero 45% de su capacidad; el segundo el 30% y el tercero el 20%; se completan las capacidades con agua y luego sevierten las mezclas aun cierto recipiente D. Determinar el porcentaje de vino que contiene la mezcla en D.Rpta:19) Si W aumenta en un 20% En cuanto aumentara W3?Rpta:20) Para fijar el precio de un artculo un comerciante aumenta elcosto en un 60%; pero al vendedor rebaja el 30%del precio fijado. Qu porcentaje del costo resulto ganado?Aritmtica 9COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoRpta:PROBLEMAS PARA LA CASA1) Si gc es el porcentaje de ganancia con respecto al costo y gv es la misma ganancia pero en porcentaje del precio de venta. Determinar el valor de: 1/ gv 1/ gc.a) 0,1 b) 0,01c) 0,05 d) 0,02e) 0,062) El50% de A es el30% de B. Qu tanto por ciento de5A + 7B es A + B.a) 18% b) 36%c) 30% d) 16%e) 20%3) Si Juan gastara el 30%de dineroquetieneyganaseel 28%de lo que le quedara perdera S/. 156. Cunto tiene?a) 1400 b) 1500c) 1600 d) 1700e) 18004) Si X se incrementa en 15% En que porcentaje se incrementara X2?a) 32,25%b) 33,25%c) 34,25%d) 35,25%e) 40%5) Si un comerciante dice que gana el40% delcosto de los artculos que vende. Qu porcentaje del precio de venta esta ganando?a) 25 b) 60c) 28 (3/8) d) 26 (4/7)e) 306) Un comerciante compra 2 televisoresenS/. 1820cada uno; luego los vendi. Si el primerolosvendiganadoel 30%del preciodeventayel segundolovendiperdiendo el 30%del preciode venta. Cuntoperdioganoenla transaccin?a) Gano 360b) Perdi 360Aritmtica 10COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Aoc) Gana 400d) Perdi 400e) No gana Ni pierde.7) Un mayorista vende un productoganadoel 20%del precio de fbrica. Un distribuidor reparte estos productos a las tiendas de comercio ganando una comisin del 15% del precio al por mayor, la tienda remata el articulo haciendo un descuento del10% delprecio de compra del distribuidor. Enqueporcentajeseeleva el precio de fabrica del producto?a) 21% b) 25%c) 26% d) 27%e) 28%8) Jaimito vende pescado ganado el 30%del costoentrelas5: 00ylas8: 00; el 10%entre las 8: 00 y 10: 00 y perdiendo el 15%apartirdeese lapso. Si en un da gano el 5% de lo invertido y sabiendo que vendi el 10% antes de las 6: 00. Qu porcentaje de lo comprado; lo vendi con perdida?a) 60% b) 52%c) 7,5% d) 8%e) 4%9) El lechero compra originalmente 1000 litros de leche del establoaS/. 0,40 cadalitroy quisoganar con ellosel 15%desuinversin; para esto lo vendi al dulcero el 1 por 8 del total; ganado el 12,5% por cada litro y al heladero los 4 por 7 del resto; con una ganancia del 25% A comodebevender el litrode leche al dueo del restaurante para que gane lo que se propuso?a) S/. 0,38 b) S/. 0,39c) S/. 0,40 d) S/. 0.41e) S/. 0,4210) EnlaMolinacadapropietario pagaba de contribucin el 12,5% de alquiler que le producan sus fincas, se aumentaron las contribuciones lo cual ahora tienen que pagar el 20% de lo que producen sus fincas. Encuantoporciento deben aumentar los alquileres paraobtener unarentadoble que el anterior; libre de contribucin?Aritmtica 11COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Aoa) 118,75% b) 18,75%c) 52,25% d) 112,75%e) 115%11) Una persona compra un cuadro y lo revende despus ganado el 8% pero si lo hubiera comprado en 5% mas barato y lohubieravendidopor S/. 6 ms, lagananciahabrasido del 15%. Cul es el precio de compra?a) 300 b) 350c) 460 d) 450e) 50012) Sielprecio de un objeto se le recargael 210%resultaigual al precio de otro, descontando en un 30%. Si el primero cuesta S/. 17500. Cul es el precio del segundo?a) S/. 20.000 b) S/. 24.000c) S/. 25.000 d) S/. 28.000e) S/. 30.00013) El 10% del agua de mar es sal. Cuntos litros de agua dulce se debe aadir a 60 litros de agua de mar para que la concentracin de la sal sea del 4%?a) 80 litros b) 90 litrosc) 100 litros d) 110 litrose) 120 litros.14) ElX por 80 mas; delX por 90 menos de N es igual N. Cunto por ciento menos de N es el X % menos su X % mas?a) 10% b) 1%c) 2% d) 5%e) 11%15) Determinar cuantas personas han entrado a un cine en total; sabiendo que a mitad de la funcinentraronh personas pagando 9%menos que el precio de entrada; con lo que en la recaudacin se ha visto que se ha perdido elb % del preciodelaentradadecada persona.a) (a b) h/b b) ab/hc) (a + b) h/b d) (ah + b) / be) (ah b) / bAritmtica 12COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoTEMA: INTERES SIMPLEI) INTERES O RENTA Eslagananciaqueproduceunacapital al serprestadoduranteuncierto tiempo y bajo un porcentaje previamente acordado (tasa)Elementos de la regla de Interes: Capital: C Tiempo : t Interes: I Monto: M = C + 1 Tasa : r (% anual de Interes)Clases1. Interes simple: Sea : C = S/. 10 000r = 20% anual.C = S / . 1 0 0 0 0 C = S / . 1 0 0 0 0 C = S / . 1 0 0 0 0 C = S / . 1 0 0 0 0S / . 2 0 0 0S / . 2 0 0 0 S / . 2 0 0 0I1 = S/. 2000 ; I2 = S/. 4000 ;I3 = S/. 6000.Observaciones: El inters no se capitaliza. La ganancia o inters por unidad de tiempo es constante. El Inters es D.P. (directamente proporcional) al tiempo; a la tasa y al capital.Aritmtica 13COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao Teniendo en cuenta que: r es el porcentaje anual del Inters: C O M E R C I A L A Od i a s a o s3 6 0 0 0t r C I;1 0 0t r CI C O M U N A Od i a s m e s e s3 6 5 0 0t r C I;1 2 0 0t r CI Tasas equivalentes:A n u a l e s s i e m p r eT a s a s c o n t r a b a j a s eU s u a l m e n t ea n u a % 2 6 m e n s u a l % 1 3a n u a l % 3 2 m e n s u a l % 8a n u a l % 2 4 m e n s u a l % 4a n u a l % 1 2 0 m e n s u a l % 1 0)< > < > < > < > I) INTERES COMPUESTO SeaC = 10 000 r = 20% anual.Aritmtica 14COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Aoa) capitalizacin Anual:C = S / . 1 0 0 0 0 C = S / . 1 2 0 0 0 C = S / . 1 4 4 0 0 C = S / . 1 7 2 8 0S / . 2 0 0 0S / . 2 4 0 0 S / . 2 8 8 0b) Capitalizacin Semestral:Si la tasa es 20% anual < > 10% semestral.FORMULA PARA INTERES CAPITALIZABLE(Inters Compuesto)n) i 1 ( C M + Donde: M MontoC Capital Inicialn # de periodosi Tanto por 1 en el periodo del capitalEjemplo:Sea C = 10 000 ; tasa = 20% anual;t = 3 aosa) Capitalizacin Anual: (n = 3)20% anual < > 0,20 (tanto por 1)M = 10 000 (1 + 0,20)3 = 17280b) Capitalizacin Semestral. (n = 6)Aritmtica 15COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao20% anual < > 10% semestral4 = 10 000 (1 + 0,10)6 = 17715Aritmtica 16COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoPROBLEMAS PARA LA CLASE1) Hallar el inters cuatrimestral queproduceS/.1200a2,1% semanal.Rpta:2) Durante cuantos das se presto unacapital deS/. 56000; al 15% trimestral para que produzca un monto de S/. 576 80Rpta:3) A que tasa anual se ha prestadouncapital paraque en 45 das produzca un inters que es igual al 6% delcapital prestado?Rpta:4) En cuanto se convierte una capital de S/8800,colocados en un banco durante 250 das; si la base de inters del banco es 6% cada 80 das?Rpta:5) Se impuso un capital por 2 aosyel montofue6000; si se hubiera impuesto por 3 aos ms; el monto hubiera sido9000. Cul fuelatasa de inters?Rpta. 6) Dos capitales de S/. 3000 y S/. 2000; sea impuesto durante el mismotiempo el60% y30%. Determinar estetiemposi se sabequeal trminodeeste; los montos son iguales.Rpta:7) Si la suma de un milln de soles se divide en 2 partes, de modo que al ser impuesta una de las partesal 7%ylaotraal 9% anual producen igual inters. Cules son las partes?Rpta:8) Latercerapartedeuncapital seimponeal 80%anual yel resto al 30% anual; si el inters producido en 5 meses por todo el capital fue S/. 3850. Cul era el capital?Rpta:Aritmtica 17COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao9) La quinta parte de un capital se presta al 60% anual y el resto al 50%anual; al cabode15 mesesproduceunmontode 79200 soles. Hallar el capital.Rpta:10) Siun capitalse duplicase y la tasa de inters se triplicase; el inters en el mismo tiempo seria 20 000 mayor. Cul era el inters preventivo?Rpta:11) Se presto un capital al 21% trianual; si se hubiera impuesto 2 aos mas, a la misma tasa, el Inters hubiera sido el 125% del anterior. Cul fue el tiempo de imposicin?Rpta:12) El Inters obtenido por un capital es equivalente a los 7/31del monto. QueInters se obtiene sise presta S/. 40 000 en un tiempo triple del anterior y a la misma tasa?Rpta:13) Suponiendo queel aotiene 10 meses de 20 das cada uno. Qu Interes simple ganar un capitalde 1000 000 soles? Colocados al 5% mensual durante3meses15 das.Rpta:14) Una persona al recibir su liquidacin opta por depositarloen3instituciones financieras; los 4/9 en un banco; los 2/5 del resto en una mutual y el restante enuna cajamunicipal; demodoque despusde5aosproducen montos iguales. Si las tasas anuales que le paga elbanco y la mutual suman 27,5%. Qu porcentaje anual le paga la caja municipal?Rpta:15) Se deposita en la casa municipal de Lima S/. 150 el 1 de Marzo; S/. 80 el 10 de Julio y S/. 100 el 10 de Agosto. Se retira el 1 de octubre S/. 50 del capital total. Cul ser mi capital el primero de enerosi la tasa es de 8% anual?Rpta:Aritmtica 18COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao16) La diferencia de 2 capitales es de S/.4000; ellos son colocados a la misma tasa; unodurante9meses; el otro durante 7 meses. El Interes del menor capital sobrepasa de S/.176 al Interes del mayor ylesumadeesosintereses es de S/. 2416. Hallar la tasa de imposicin y elvalor de la suma de los 2 capitales.Rpta:17) Dossumas, laprimeradeS/. 12000 y la otra S/. 12800 colocados durante el mismo tiempo: Laprimeraal 6%la segunda al 5%. Han adquirido alrededor de este tiempo el mismo valor; por la adicin del Interes simple al capital. Cul ha sido el tiempo de la imposicin?Rpta:18) La diferencia de 2 capitales es S/. 1500; sise impone una al 8%yel otroal 4%anual; al cabo de 16 meses los montos son iguales. Cul es el capital mayor?Rpta:19) Setieneuncapital Cdel cual 1/n se impone al 1% los 2/n al 2%, los 3/n al 3% y as sucesivamente. Si luego de un ao produce un Interes del 59%del capital. Calcularen cuantas partes se dividi el capital?Rpta:20) Una empresa obtiene un prstamo bancario de S/. 2000 porunperiodode3 mesesy con el inters anual del 5%. El bancocobralos intereses al instante de entregar el dinero. Determine la tasa real de intersal tener quedividir al final del plazo, la cantidad originalmente prestada.Rpta:Aritmtica 19COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoAritmtica 20COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoPROBLEMAS PARA LA CASA1) El inters de un capital al 12% esde60%dedichocapital. Hallar el tiempo.a) 2 aos b) 3 aosc) 4 aos d) 5 aose) 6 aos2) Que inters producir un capital de S/. 5200 prestado al 21%anual en 7 aos y 5 meses.a) 6410 b) 8099c) 6414 d) 8090e) 80893) Aquetantopor cientohabr estado prestado un capitalde S/. 120 000 para haberse convertidoenS/. 144000en 20 meses.a) 10% b) 12%c) 14% d) 16%e) 20%4) Un capital impuesto durante un ao al 3% produce S/. 21 ms que otro impuesto 9 meses al 4%. Cules la diferencia de dichos capitales?a) 800 b) 750c) 900 d) 700e) 10005) Sepresentouncapital porun ao y el monto fue S/. 5500. Si se hubiera prestado por 2 aos seria S/. 6000 Cul seria el monto en 4 aos?a) S/. 12000 b) S/. 9000c) S/. 8000 d) S/. 7000e) S/. 65006) Unatasadel 6%quincenal de inters simple es equivalente a:a) 0,3 diariosb) 0,02 diariosc) 1% cada 3 dasd) 14% anuale) 10% cada 25 das.7) A que porcentaje debe ser colocadouncapital paraque en3aos4 mesesproduzca un inters equivalente a los 2/5 del monto.a) 20% b) 21%c) 22,5% d) 7,5%e) 15%8) Unapersonaahorrasudinero cobrando un inters diario e D.P al # de das transcurridos. Si cuando lo retiro su dinero lo haba triplicado y el ltimo da haba ganado el 1/6 del capital original. Hallar el nmerode das que depsito su capital.a) 64 b) 63c) 2016 d) 1113e) 10139) Si en 3 meses de ahorrar en un banco donde pagan de inters Aritmtica 21COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Aosimple; la ganancia es 20% del monto Cul es la tasa mensual que este ganando?a) 6% b) 8%c) 8,33% d) 6,6%e) 7%10) Un capital se divide en 3 partes igualesqueimponenal 28%, 34 y 38% anual respectivamente.Al cabode cuanto tiempo se habr triplicado el capital?a) 3 aos b) 4 aosc) 5 aos d) 6 aose) 8 aos11) Qu capital es aquel que impuesto al 4%anual en 5 meses produce S/. 1100 menor que ni se impusiera al 9% mensual en el mismo tiempo?a) 1200 b) 1100c) 1300 d) 1150e) 140012) Se impone S/. 4800 al 4% anual durante un ao y medio. Qu capital seria necesario aumentar para que durante un ao y 8 meses al 6% el inters se duplique? a) 8106 b) 8610c) 8160 d) 6108e) 680113) Los 5/7 de un capital colocado al 3%; produce anualmente 560 soles mas que el resto colocadoal 4%Cul es el capital?a) 26000 b) 63000c) 40000 d) 50000e) 6400014) Se impone un capital al 6% durante 4 aos y 3 meses; despus se retira el capital mas los intereses y se impone todo al 8%. Cul era el capital inicialsiahora se recibe como renta anual 180, 72?a) 2000 b) 2500c) 8000 d) 1000e) 180015) Si el m%de un capital se impone al 24%anual; en 5 meses produce un monto igual al inters que produce el 27,27% del resto del capital en 15 meses al 44% anual. Hallar ma) 10 b) 12c) 30 d) 40e) 45Aritmtica 22COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoTEMA: DESCUENTODescuentoEslarebajaquesufreel valornominal deunefectodecomerciocuando cobra o se vende antes de la fecha de vencimiento.El Descuento Comercial.Es el dinero que gana los bancos u otras instituciones de crdito al comprar letras de cambios o pagares antes de su vencimiento; aplicando un Interes siempre a los valores de dichos documentos.Elementos:1) Valor Nominal :Vn2) Tasa de Descuento :r (% anual)3) Tiempo de Descuento :t ( lo que falta para vencer)4) Descuento : D5) Valor Actual Defectivo :Va = Vn DClases de Descuento:1) Descuento Comercial (Externo o Abusivo) Equivale al Interes que ganara el valor nominal en el tiempo de descuentoVeamos la formula:Si la tasa de descuento es: r % anual.1200tmeses r VnDc Ejemplo:Cunto se recibi por una letra de S/. 84000 que fue aceptada el 12 de junio de 1996 y que venca el 12 de diciembre de 1996; si se descont al 40% anual el 12 de julio de 1996?Aritmtica 23COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao1 2 d e j u n i od e 1 9 9 61 2 d e j u l i od e 1 9 9 6T . f a l t a : 5 m1 2 d e d i c i e m b r ed e 1 9 9 6F . D e a c e p t a c i n F . D e d e s c u e n t o1400012005 40 84000Dc Se recobrara: Va = Vn Dc = 84000 14000 = S/. 70 000Ojo: El Descuento se hace con el tiempo que falta para el vencimiento.2) Descuento Racional (Interno o Matemtico) Equivale simple que ganancia el valor actual de la letra en el momento del descuento.) I ( .......... ..........1200meses t r VaDR ) II .........( .......... DR Vn Va ) III ( .......... ..........) meses ( t r 1200) meses ( t r VaDR + Ejemplo:Cunto se recibirpor la letra de S/. 84000 descontada el 40% anual 5 meses antes de su vencimiento si el descuento es racional.5 40 12005 40 84000DR + Aritmtica 24COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao120001400200 84000DR VA = 84000 12000 VA = S/. 72000Ojo: Para los problemas: En das cuando dan fechas dias r 36000dias t r VD ;36000dias t r VDnCRC+ Siempre DC > DRR CR CD DD DVnProblema: Por una letra descontada al 40% anual 6 meses antes de su vencimiento; se recibi S/. 25080 Cul era la Vn?Resolucin: ) Vn (15412008 4 VnDC ) Vn (154Vn 25080 Dc Vn Va Vn = 34200.Tiempo de VencimientoEs un proceso comercial que consta en reemplazar varias letras por una sola; en la cual se cumple que su valor nominal es la suma de los valores nominales de las letras a reemplazar.Vnt Vnt Aritmtica 25COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoPROBLEMAS PARA LA CLASE1) Setieneunaletracuyovalor nominal se desea hallar sabiendo que descontada comercialmente; 4 meses antes de su vencimiento al 9% trimestral se recibi por ella S/. 66 000. Hallar dicho valor nominal.Rpta:2) Por una letra de S/. 350 se ha obtenido S/. 315 de valor actual. Si dicha letra venca en 6meses, hallar el porcentaje anual a la que ha sido descontada.Rpta:3) El valor de una letra es el 50% de su valor nominal; si la tasa es el 10%anual. Hallar el tiempo de descuento en aos.Rpta:4) Faltan 3 meses para que venza una letra y su valoractuales deS/. 45600. Dentrode15 das el descuento valdr S/. 2000. Cul es el valor nominal de la letra?Rpta:5) Si una letra se cancela dos meses antes; se le descuenta 1,5%si se paga 3 meses antes S/. 450 Cul es su valor nominal?Rpta:6) Se ha negociado un pagare de S/. 60 000 obtenindose S/. 58 000 de valor actual. Si el pagare venca dentro de 9 meses Cules elporcentaje anual quesehadescontado comercialmente?Rpta:7) UnapagareS/. 12000seha descontado comercialmente al 9%; obtenindose S/. 11865 de valor actual. dentro de cuanto tiempo venca el pagare?Rpta:Aritmtica 26COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao8) El valor actual comercial de una letra es S/. 3000 y el descuento comercial es el 4% del valor nominal. Cul es el valor nominal de la letra?Rpta:9) Los valores nominales de 3 letras son proporcionales a 2; 3 y 5. La primera vence a los 20das; lasegundaalos30 das y la 3era a los 40 das. Se demuestracomercialmenteal 6% y resulta para valor efecto de la ultima letra S/ 7450; hallarlasumadelosvalores efectivos de las otras 2.Rpta:10) Para pagar una deuda si firmo 2 letras una de S/. 20000 a 6 meses y la otra a S/. 30 000 a 8 meses. Hallar el valor al contado de la deuda; si la tasa de descuento es de 36%Rpta:11) Determinar el valor nominal de una letra sabiendo que el descuentocomercial yqueel valor nominal excede al descuento comercial en S/. 2100.Rpta:12) Si el descuentocomercial de una letra representa el 20% del valor nominal. Cunto se recibirpor dichodescuento; si el descuento fuese racional?Rpta:13) Se ha hecho descontar un pagare deS/. 18000al5%a los 100 das. Si el banco retiene; a dems 0.1% de comisin sobre el valor nominal y 41% de cambio de plaza. Cunto devolver?Rpta:14) El valor nominal de una letra es 4/5 delvalornominal de otra. Se ha descontado comercialmente al 4%; la primera por un mes y 16 das; la segunda por 3 meses; el descuentodeestafuedeS/. 45 Culfue el descuento de la primera?Rpta:Aritmtica 27COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao15) Siel descuentocomercialy el descuento racional de un documento son como 9 es a 7. Qupartedel valor nominal es su descuento comercial?Rpta:16) Si ladiferenciadelosvalores actuales que se obtuvieron por unaletradescontadaal 15% anualdurante 8 meses es S/. 350. Determinar el valor nominal de esa letra considerada.Rpta:17) Unaletraquesedebepagar dentro de 8 meses y es descontada al 10%ha sido remplazadapor otraletrade cuyo tiempo de vencimiento se desea determinar; que es descontada al 8% y que tiene un valor nominal que es 5/3 de la primera letra.Rpta:18) Si ladiferenciadelosvalores actuales que se obtuvieron por unaletradescontadaal 15% anualdurante 8 meses es S/. 350. Determinar el valor nominal de la otra letra considerada.Rpta:19) El 15 de junio de 1997 se firma una letra de S/. 22500 con fecha de vencimiento 6 de setiembre de 1996; si se desea descontar dicha letra el 20dejuliode1996. Cunto se recibir por dicha letra? (considerar la tasa de descuento 11% semestral)Rpta:20) Una persona debe a otro S/ 17980 pagaderos en un ao y convieneensaldar ladeuda; efectuado 4 pagos iguales de 3 en 3 meses. Calcular la cantidad entregada encada pagado considerando una tasa de 2% trimestral.Rpta:Aritmtica 28COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoAritmtica 29COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto AoPROBLEMAS PARA LA CASA1) El valor actual comercial de una letra es S/. 5700 y el descuento comercial es el 5% del valor nominal. Cul es el valor nominal de la letra?a) S/. 33000 b) S/. 6000c) S/.5900 d) S/. 6250e) S/. 63002) Si DC = 210; y: DR = 200 Cul es el valor nominal de la letra?a) S/. 5800 b) S/. 410c) S/. 1800 d) S/. 4200e) S/. 21003) Una letra de S/ 36500 girada el 3 de Julio vence el 2 de Agosto Qu descuento sufrir el 24 de Julio al % anual?a) 40 b) 45c) 50 d) 55e) 604) Calcular el valor nominal de un pagarepor el cual recibeS/. 5174; descontandoal %por 30 das.a) S/. 5100 b) S/. 5180c) S/. 5200 d) S/. 5190e) S/. 52505) Por una letra de S/. 9000 se ha pagado S/ 8635; sabiendo que faltaban 73 das para su vencimiento. Calcular latasa del descuento.a) 20% b) 30%c) 40% d) 25%e) 35%6) El valor nominal de una letra es 8 veces al descuento racional. Cuntasvecesel descuento comercial es el valor nominal?a) 6 b) 8c) 9 d) 7e) 57) El tipo de descuento en un banco es 144% anual. Qu % del valornominal deunaletra se recibir descontndola 75 das antes de su vencimiento?a) 72% b) 70%c) 75% d) 80%e) 76%8) Porunaartefacto; cuyoprecio de contado es S/. 380 se paga S/. 110 de inicial; y se firma un pagare de un mes. Cul es el valor nominal dedichaletra? (tasa 10% mensual)Aritmtica 30COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Aoa) S/. 320 b) S/. 280c) S/. 290 d) S/. 270e) S/. 3009) Si el descuento comercial de una letraes2000ysudescuento racional es 200 Cul es el valor nominal de la letra?a) 2900 b) 4800c) 3000 d) 5400e) 238010) Unapersonadebepagar una letrade5000soles el 6de Abril; paga el 29 de Marzo 4990 soles. Culfue la tasa descontable?a) 10% b) 10,4%c) 15% d) 9%e) 20%11) La diferencia entre el descuento comercial y racional de una letra de 270 dlares es de 3 dlares. Cul es el descuento racional?a) 18 b) 24c) 26 d) 27e) 3012) Se descont una letra el 10/10/96 y recibi 75% de su valor nominal; si se descontaba el 20 10 96 solo recibira el 80% de su valor Cul es la fecha de vencimiento?a) 28/11/96 b) 27/11/96c) 29/11/96 d) 21/11/96e) 30/11/9613) Cul era el tiempo de vencimiento para que una letra descontada comercialmente al 4% trimestral se reciba los 5/6 de su valor nominal?a) 365 das b) 390 dasc) 360 das d) 375 das.e) 380 das14) La diferencia entre el descuento racional y comercial deunaletradescontadapor 200dasal 6%es98. Cul es el valor efectivo comercial?a) 87102 b) 87200c) 88102 d) 87100e) 8820115) Calcular el valor actual racional de una letra que viene dentro de 10 das que ha sido descontada al 40% si su diferencia entre los descuentos es S/. 2,94.a) 27814 b) 26731c) 24325 d) 21814e) 23814Aritmtica 31TEMA: MEZCLA Y ALEACIN Es la unin de 2 o ms componentes o ingredientes; donde cada uno de ellos conserva su propia naturaleza.A. PRECIOMEDIO O PRECIO DE COSTO DE UNA MEZCLA. Es el precio producido (ponderado) por una unidad de mezcla resultante. El precio, es el precio costo; es decir no considera ganancias o perdidas.FORMA GENERAL:n 2 1n n 2 2 1 1C ....... C CC P ........ C P C PP : Medio ecio Pr+ + ++ + + n21PPPMezcclade Unidadpor ecio Pr 12nn n;........; 2 2 1 1C P : .... ..........C P ; C Pe IngredientCon Costo) n21CCCetc , f , Kg , gCantidad Ejemplo:Hallar el precio medio de la mezcla de los siguientes ingredientes:360Kg. de caf de S/. 5400 el Kg.; 450Kg. de caf de S/. 5600 el Kg. 720Kg. de caf de S/. 4800 el Kg.; 270Kg. de caf de S/. 5000 el Kg. Utilizamos el siguiente Mtodo (para nmeros grandes)CancelandoEl factor (a)PreciosUnitarios (b)Restando aTodo 5000Productos(a) . (b)60 Kg. 4 5400 400 1600720 Kg. 8 4800 -200 -1600450 Kg. 5 5600 600 3000270 Kg. 3 5000 0 0 = 20P medio = 3000150203000: Incremento Predio = 150 + 5000 = S/. 5150 el Kg. de mezcla.B. REGLA DEL ASPA PARA HALLAR LA RELACION DE MEZCLA En que relacin es necesaria mezclar arroz de $. 1,80 el Kg. y arroz de $/. 1,70 el Kg.; para obtener un arroz cuyo precio medio sea $/. 1,76.Resolucin: 76 , 1 Pm. y 70 , 1 70 , 1 . / $ . Kg Y. x 80 , 1 80 , 1 . / $ . Kg XTotal Unitarios Precios Pesos2y3xy xy 70 , 1 x 80 , 176 , 1 Pm ++ Forma Prctica:X K g 1 , 8 0y K g 1 , 7 01 , 7 6 - 1 , 7 0 30 , 0 4 21 , 7 60 , 0 61 , 8 0 - 1 , 7 6MEZCLAS ALCOHOLICASSon mezclas de alcohol puro y agua destilada.A. Grado de Una Mezcla Alcohlica(porcentaje de Pureza)Es la relacinexpresada en porcentaje (%) que existe entre el volumen del alcohol puro y el volumen de la mezcla.% 1 0 0 G r a d oVVT o t a la l c o h o l Ejemplo:Se mezclan 18,5 cm3de alcoholy 6,5 cm3de agua destilada. Cules el grado de la mezcla alcohlica?. pureza de % 74 74 % 1005 , 6 5 , 185 , 18Grado > < 1]1

+'VVV t o t a l d e l % 2 6 a g u aV t o t a l d e l % 7 4 a l c o h o lq u e s i g n i f i c a1 0 0 6 0 ( A l c o h o l p u r o )Nota:Los problemas de mezclas alcohlicas se resuelven usando los mismosprocedimientosqueenmezclas; considerandoahoraalosgrados como a los precios.Ahora veamos un ejemplo de mezclas:Ejemplo 1: 100 G 0Se mezclan 280L de alcohol de 85 con 210L de alcohol de 60 pero luego se agregan350Ldealcohol puroy560LdeH2O. Cul serel gradodela mezcla restante?Componentes(a) Cancelando el factor 70(b) GradosMultiplicando (a) .(b)280L 4 85 340210L 3 60 160350L 5 100 500560L 8 0 0 = 206m = 1020Ejemplo 2:A4litrosdealcohol de81seleagrega1Litrodealcohol puroycierta cantidad deH2O. Si se obtuvoalcohol de 53. Qucantidadde H2O contiene el alcohol final?424 53 x 50 0 x100 100 1324 81 4 + Productos Grados s Componente 3 xx 50 100 32453 ++ + De acuerdo con este resultado concluimos que la mezcla final de alcohol contiene 47% de H2O; los mismos que equivalen a 3,76 litros. 51201020GmREGLA DE ALEACION Aleacin Es una raz homognea de metales; obtenida por medio de un proceso de FUSION (fundicin). En aritmtica se trabaja a nivel de joyera'; . . . . . . . . . N i q u e l ; C o b r e : L i g a d e M e t a l e s; . . . . . . P l a t i n o ; P l a t a ; O r o ; F i n o s M e t a l e s: s C o m p o n e n t e Ley de una Aleacin: Es la relacin que existe entre el peso del metal fino y el peso total de la aleacin.Ejemplo: Se funde 14,6g. de plata con 10,4g. de cobre la ley de la aleacin ser:' +PPT O T A LT O T A Ld e 1 0 0 0 / 4 1 6 C o b r ed e 1 0 0 / 5 8 4 P u r a P l a t aS i g n i f i c a) m i l e s i m a s 5 8 4 ( 5 8 4 , 02 52 6 , 1 44 , 1 0 6 , 1 46 , 1 4L e yEscala de la Ley:

PPTOTALFINO LEY Nmero de Kilates de una Aleacin de Oro El nmero de Kilates de una aleacin de oro; indica cuantas partes de la aleacin (Dividida en 24 partes iguales) son de oro puro.Ejemplo:412416: Cobre3 18 : Puro OroKilates de Oro10M e t a l f r i oP u r oM e t a l L i g aP u r o75 , 0432418Ley Ejemplo:'611 83: C o b r e5 1 5 : P u r o O r oK i l a t e s 1 5 d e O r o625 , 0852415Ley Escala del # de Kilates:24Kilates N Ley24 Kilates18 Kilates12 Kilates0 KilatesKilates1,000,750,500,00LeyPROBLEMAS PARA LA CLASE1) Se mezclan 4 ingredientes cuyos precios unitarios sonx 1 ; x 2 ; x 3 y x soles; en cantidades a 8; 4; y 3 respectivamente resultando 28 solesel preciodelamezcla. Cul seria el precio medio de la mezcla si se hubiera considerado los ingredientes de mayor y menor calidad?Rpta:2) Se tiene 2 tipos de vino de S/. 325 y S/. 65 el litro; se obtiene una mezcla de ambos 273 litros que luego; se vende a S/. 222 el litro. Si en esta venta se esta ganado el 20%. Cuntos litros de mala calidad entra en la mezcla?Rpta:3) A 4 litros de alcohol81 se le agrega 1 litro de alcohol puro y cierta cantidad de agua. Si se obtuvoalcohol de53 Qu cantidad de agua tiene el alcohol final?Rpta:4) Setiene2tiposde vinoenel primeroel contenidodevino es al de agua como a 2 a 3; en el segundo como 1 a 4se deseaobtener 60litrosenel cual de vino y agua haya como7a13. Cuntoslitros del primero se debe tomar?Rpta:5) Cuantos litros de alcohol puro se debe agregar a 28 litros de alcohol de 65 para obtener el alcohol de 80?Rpta:6) En que relacin se deben mezclar 2 sustancias cuyas densidades son 1,8 y 1,2 para obtener unasustanciade1,6 de densidad?Rpta:7) Qucantidaddearrozde6 solesel Kg. debemezclarse conarrozde10solesel Kg. para obtener 120 Kg. de mezcla de manera que vendidosa7solesel Kg. no produzca ni pierda ni ganancia?Rpta:8) Se mezcla 3 litros de cido de 30%con9litrosal 70%yal resultado se le agrega una concentracin al 50% Cuntos litros del diluyente se empleo?Rpta:9) Se tienen 2 cantidades de vino deprecios S/. ay S/. b. Si para obtener como precio mediolamediaarmnicade los precios se debe mezclarlos como 9 a 4; para que el precio medio sea M.G se debe mezclar como:Rpta:10) Se mezclan ingredientes de S/. 10 y S/. 20 en la proporcin de x a y. Si se mezclan en proporcin de Y a X elprecio unitario resultante seria 50% mayor. Hallar x/ y.Rpta:11) Calcular elpeso de un litro de mezcla conteniendo 70%de agua y 30% de alcohol; sabiendo que un litro de agua pesaunKilogramoyunlitro de mezcla de 75% de alcohol y 25% de agua pesa 960 gramos.Rpta:12) Unjoyeroposee2barrasde plata cuyas leyes son de 0.400 y0,900siendosuspesosde 20 y 50 gramos respectivamente. Si con la intencin de ganar algo; funden las barras con otra de cobre cuyo peso es de 30 gramos haciendo pesar esta ltima como plata pura obtenindosedeesta manera 12 soles ms; hallar elprecio de la aleacin considerando que es D.P a la ley.Rpta:13) Al fundir 20gr. de oro de 18K y 20gr. de oro de 800 milsimas; 30gal 6%deoroy30gde cobre. De cuantos Kilates es la nueva aleacin?Rpta:14) Setiene3lingotesdeorode 26K; 18Ky 21K. resultando unaaleacinde20K. Si por cada 2g del 1rohay 3g. de 2do Cuntos gramos del 3ero habr en una aleacin 570 gramos?Rpta:15) Unjoyerotiene2lingotesde oro y cobre; el 1erocontiene 270gr de oro y 30gr. de cobre yel 2docontiene200gramos de oro y 50 gramos de cobre. Cuntos gramos de cada uno se debe fundir para fabricar unasortijade21K; quepese 12 gramos?Rpta:16) Al fundir oroycobrehayuna manera de 25% en cada metal. Cuntos gramos de oro se debe utilizar si se quiere 64 gramos de 18 Kilates?Rpta:17) Se tiene 2 barra de oro: En la 1era el 80% es oro puro y en la 2da cuyo peso es el doble de la 1era el 75% es oro puro. Cul es la ley que resulta de la fusin?Rpta:18) A 18 gramos de oro de 17K se eleva su ley hasta 21 K agregando oro puro. Qu peso de cobre ser necesario alear conestenuevolingote para volverlo a su ley original?Rpta:19) Se tiene 2pipas de vino de precios diferentes; conteniendolaprimera,220 litrosylasegunda180litros. Sesacacadapipalamisma cantidad de vino que se pone en la otra. Cul debe ser esta cantidad para quedespus de estaoperacindepreciodel litroseael mismoparacada tipo (pipa)?Rpta:20) 3lingotes; el primeroconley de0,640; el segundoconley de0,760yel terceroconley de 0,850; tienen pesos iguales. Ellos han sido afinados: al primero se le quita 1/6desucobre; al segundo 1/8 y al tercero se le quita 1/10. Despus de la afirmacin se funden los 3 lingotes. Culser laley de la aleacin obtenida?Rpta:PROBLEMAS PARA LA CASA1) Acomosaleel litrodeuna mezcla de 10 litros de vino S/. 0,84 con 8 litros S/. 0,90 y 12 litros de S/. 1,20.a) S/. 1,10 b) S/. 1,20c) S/. 1,15 d) S/. 1,00e) S/. 1,122) Para obtener vino de S/. 0,80 el litro. En que proporcin directa sern necesarias mezclar vinosdeS/. 0,90y S/. 0,50 el litro?a) 3:2 b) 1:3c) 2:3 d) 3:1e) 2:13) Sehanmezclado10Kgr. De una mercanca de S/. 5,00 el Kg; con otra cuyo peso representaal 25%del peso total y sehaobtenidopara precio medio del Kg. S/. 4,75. Cules el precio del Kg. de la segunda mercanca?a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 74) Deseamos obtener 100litros de alcohol de 80 con cantidades convenientes de alcohol puro y agua. Qu cantidades de estos ltimos ingredientes necesitamos?a) 20 y 50 b) 23 y 27c) 27 y 30 d) 30 y 405) Con licores de la misma clase pero a S/. 80 y S/. 60 ellitro sedeseaformarunamezcla de 120 litros cuyo precio medio sea S/. 65 el litro. Cuntos litros de cada precio deben mezclarse?a) 80l y 40l b) 75l y 35lc) 90l y 30l d) 50l y 70l.e) 65l y 55l.6) Se tiene 2 lingotes de plata y cobre de leyes 0,750 y 0,850, el primeropesa60Kg. yel segundo tiene 51 Kg. de plata. Hallar la ley del lingote resultante de la fusin de ambos.a) 0,79 b) 0,78c) 0.82 d) 0,80e) 0,817) Se fundan n Kilogramos de una aleacin de oro de ley L con XKilogramos de cobre puro en la proporcin de 6 a 1 En que porcentaje disminuye la ley de la aleacin de oro?Aritmtica 44a) 14,28% b) 16,6%c) 25% d) 32%e) 83,3%8) Se tiene 3 barras de plata de ley 0,12; 0,15 y 0,20. En que proporcin deben fundirse para obtener una ley de 0,16 sila proporcin del1eroal2do es 2 a 5?a) 8; 20 y 6 b) 6; 15 y 2c) 7; 4 y 21 d) 8;20y 139) Hallar aproximadamente la ley de una aleacin de Au y Cu de densidad 14 sabiendo que la densidad de Au es 19 y la de Cu es 9. (Au = Mercurio, Cu : Cobre)a) 0,57 b) 0,62c) 0,67 d) 0,72e) 0,7710) El latn se compone de 33 partes de zinc y 67 de cobre es 850 Kg. de latn. Qu diferencia hay entre los pesos de cobre y el zinc?a) 240 Kg. b) 169 Kg.c) 289 Kg. d) 340 Kg.e) 310 Kg.11) Los pesos y leyes de 4 lingotes son proporcionales a 1; 2; 3; y 4. Si al mezclar en 4 se obtiene una aleacin de 480milsimas. Hallar laley del segundo.a) 160 milsimob) 320 milsimoc) 480 milsimo d) 140 milsimoe) 800 milsimo12) Se tiene un lingote de plata de ley 0,650; se le adiciona 2,70 Kg. de plata pura y se obtiene un lingote de ley 0,915. Cul fue el peso del primer lingote?a) 3,500Kg.b) 4, 731 Kg.c) 5, 012 Kg.d) 3, 531 Kg.e) 2, 930 Kg.13) Se tiene 2 lingotes de oro; uno de ley 0,950; el otro de 0,800. Se les funde; aumentando 2Kg. deoropuro. El lingote obtenido tiene una ley de 0,906 y pesa 25 Kg. Cul es el peso de cada uno de los 2 primeros lingotes?a) 15 Kg. de aleacin de 0, 950 y 8 Kg. de aleacin de 0, 800.Aritmtica 45b) 17 Kg. de aleacin de 0, 950 y 7 Kg. de aleacin de 0,810.c) 16 Kg. de aleacin de 0,950 y 5 Kg. de aleacin de 0,800d) 20 Kg. de aleacin de 0,950 y 8 Kg. de aleacin de 0,800.e) 15 Kg. de aleacin de 0,950 y 5 Kg. de aleacin de 0,800.14) Sedeseaobtener 1,088Kg. de una aleacin cuya densidad sea igual a 16; fundido; sin contraccin ni dilatacin; unlingotedeoro puro y un lingote de plata puro. Hallar el volumen de aleaciny el pesodecada uno de los dos lingotes de metal fino; sabiendo; quela densidad del oro es 19 y la de plata es 10,5.a) 930 gramos de orob) 820 gramos de oro.c) 836 gramos de oro.d) 795 gramos de oro.e) 890 gramos de oro.15) Dos sustancias tiene sus densidades representadas por 4/7 y 11/12. Cuntos Kg. de cada calidad es necesario tomar paraobtener 116Kg. de una mezcla cuya densidad es 5/6?a) 100 Kg.b) 96,8 Kg.c) 89,1 Kg.d) 95,1 Kg.e) 102,6 Kg.Aritmtica 46TEMA: PROGRESIN ARITMTICA Llamamos as a todo conjunto de nmeros ordenados, de tal manera que, cada uno de ellos (exceptuando al Primero) se obtiene incrementando a su inmediato anterior en una cantidad constante a la cual llamamos; RAZN de la progresin aritmtica.Ejemplos:1 2 ; 1 9 ; 2 6 ; 3 3 ; . . . . . ; 4 2 5+ 7 + 7 + 7*7 ; 1 6 ; 2 5 ; 3 4 ; . . . . . . ; 2 2 3+ 9 + 9 + 9*3 5 ; 3 2 ; 2 9 ; 2 6 ; . . . . . ; 5- 3 - 3 - 3*( P R O G R E S I N A R I T M T I C A D E R A Z N 7 )( P R O G R E S I N A R I T M T I C A D E R A Z N 9 )( P R O G R E S I N A R I T M T I C A D E R A Z N - 3 )En general; dada la siguiente progresin aritmtica de razn r.t1; t2; t3; t4; t5;.....; tk;; tn.Donde : t1: 1er trminotk: Trmino de lugar Ktn: ltimo trminoto: Trmino anterior al 1er trminoTo = t1 r.n: Nmero de trminos.Adems: r = t2 t1 = t3 t2 = t4 t3 =.... = tn tn - 1 .Aritmtica 47r 4 t r t tr 3 t r t tr 2 t r t tr t t : q u e o b s e r v a s e L u e g o1 4 51 3 41 2 31 2+ + + + + + + Generalizando: r ) 1 k ( t t1 k + .Tambin:tn = t1 + (n 1) rEfectuando:tn = t1 + nr rtn t1 + r = nr Ahora se despeja n y le damos la forma apropiada. n = t - t + 1rn 1n = t - ( t - r ) = t - tr rn 1n o . . . . . . . . . . . ( I )n = t - t - r = - t 1 + 1r r rn 1. . . . . . ( I I ) tn1De (I): RAZNo min Tr 1 AL ANTERIOR TRMINO LTIMOos min ter # De II: 1RAZNo min Tr 1 AL ANTERIOR TRMINO LTIMOos min ter # + Ejemplo: calcular el vigsimo noveno trmino y el nmero total de trminos en:5; 13; 21; 29;..; 637Aritmtica 48Resolucin.- Ntese que la progresin aritmtica propuesta es de razn 8 dondeel primer trminoes5; yel ltimoes637yel trminoanterior al primero es:5 8 = -3Ahora si aplicamos la frmula para hallar el trmino 29.. 229 t8 28 5 8 ) 1 29 ( 5 t2929 + + Ahora para hallar el # de trminos usamos:80 os min tr de #86408) 3 ( 637os min tr de # Aritmtica 49PROBLEMAS PARA LA CLASE1) Calcular el trigsimosegundo trmino de la siguiente progresin aritmtica: de 50 trminos: 10;.. ; 304Rpta:2) Una progresin aritmtica empieza en 111; termina en 514 y tiene 3a trminos. Entonces el valor de a es:Rpta:3) Indicar el dcimo quinto trmino de la siguiente progresin aritmtica: 16n; 27n; 40n;..Rpta:4) Cuantos trminos tiene la siguiente progresin aritmtica?12n; 17n; 24n; 31n;..; 620n.Rpta:5) En un sistema de numeracin; los numerales: 479; 698 y 907; estn en progresin aritmtica.Rpta:6) Cuntos trminos tiene la siguiente P.A: cb 1 ;....; ac ; ab ; 84 sabiendo que: b +c 1= a?Rpta:7) determinar el # de trminos de la siguiente P.A. q 3 n1 n n3 ) 2 n ( 1 ;....; 98 ; ba ; ab +++Rpta:8) EnlaP.A: 38;; 87;..; 220; la cantidaddetrminosquehay entre 87 y 220 es el triple de la cantidad de trminos existentes entre 38 y 87. Hallar la cantidad total de trminos.Rpta:9) Cuntos numerales de 3 cifras del sistema de numeracin senario, se escribe con 4 cifras al ser convertidas al sistema cuaternario?Rpta:10) Dada la siguiente serie: ;.....; a a 4 ; a 828; 29 30 ( = diez)Calcular la mxima cantidad de trminos si a < 10Rpta:Aritmtica 50PROBLEMAS PARA LA CASA1) Seaa y b los ltimos trminos de cada serie S1y S2 respectivamente:S1:13; 18; 23; 26;(53 trminos)S2: 2; 11; 20; 29; (48 trminos)Hallar: b aa) 152 b) 153c) 154 d) 151e) 1502) Si la diferencia de los trminos de lugar 73 y 58 de una progresin aritmtica es 90. El dcimo quinto trmino es 104. Calcular el vigsimo trmino.a) 166 b) 194c) 186 d) 144e) 1343) Sealar cuantos trminos tiene la siguiente progresin aritmtica: abc ...; ; ac ; ab ; 78Adems: a + b + c = 19a) 151 b) 152c) 153 d) 154e) 1554) Calcular a + b + n en la siguiente P.A. ;..... b 4 ; 1 ) 1 a ( ; 5 a ; 3 annn n+a) 12 b) 15c) 17 d) 18e) 195) En la siguiente P.A; que consta de33trminosdeterminar la suma del primer y ltimo trmino. ;..... 9 a 3 ; 7 a 3Si la suma de cifras del ltimo trmino es 7.a) 779 b) 778c) 900 d) 850e) 7706) Cuntos trminos tiene la siguiente P.A.? 9 2 n1 n n) 1 n ( 64 ;...; 88 ; bc ; ab +++a) 16 b) 17c) 18 d) 19e) 20Aritmtica 51TEMA: PROGRESINGEOMTRICASedicequeunconjuntode#seencuentranenprogresingeomtrica; cuando cada uno de estos puede obtenerse de la multiplicacin a el anterior por una misma cantidad constante llamada razn o cociente de la progresin. Clases:1) Creciente: (razn >1); Ejem: 2; 6; 8; 54.Razn = 32) Decreciente: ( 0 < razn < 1)Ejem: 64; 32; 16 y 8Razn = 213) Alternada u oscilante:Ejem: 2; -4; 6; -16;Razn = -2TERMINACIONES: t1: 1er Trminotn: Trmino general.n : # trminosr : raznSn: Suma de los n primeros trminos.SL: Suma limitePn: producto de los n primeros trminos.FORMULAS DE P.G.1).........ttttq2312 Aritmtica 522)1 n1q T tn Ejemplo: 41 561 7q t t ; q t t p np nq t t : general En 3)( ).1 q) 1 q tSn1nEjemplo: 2 + 4 + 6 + 16 + + 256Se observa: t1 = 2; n = 8; q = 25101 2) 1 2 ( 2S84)nn 1 nt t P ,_

En el ejemplo anterior:368822 x 2 P

,_

5)q 1tS11 q 1 n < < Aritmtica 53Ejemplo: Calcular:....271698342 S + + + + Nos piden: 32q ; n. . . .2 71 698342 S + + + + 63 / 123 / 2 12S b) Interpolacion: Formar una P.G con los datos siguientes:b ; . .......... ; a" m "1 mabq+Ejemplo: Interpolar 4 medios geomtricos, entre 3 y 729. 729 ; .......... ; 3. medios 4Si:. 729 ; 293 ; 81 ; 27 ; 9 ; 3 ; 31 43729q +Aritmtica 54PROBLEMAS PARA LA CLASE1) Si: (x+2); (x+14); (x+50) estn en P.G. Hallar: 4 xX1 i22X E11]1

Rpta:2) En una P.G de trminos positivos se observa que cada trmino es igual a la suma de los 2 trminos siguientes. Cul es la razn de la progresin?Rpta:3) Si el 2do y el 6to trmino de una P.G. son m y n; respectivamente. Cul esel 4to trmino?Rpta:4) UnaP.Acrecienteestal que los trminos 3ero, 9no, 27avo estn en P.G. calcular las razones de la progresin sabiendo que la suma de dichos 3 nmeros (trminos) en P.G. es 78.Rpta:5) En una P.G. que posee 51 trminos se conoce que el vigsimotrminoes128yel trminodcimo1/8. Hallar el trmino central.Rpta:6) Si se interpolan 4 medios geomtricos entre 160y 5. hallar la suma de los 2 ltimos trminos de la progresin geomtrica formada.Rpta:7) Sea el sistema: 10 z y 340 z y x 2 + +Donde: x; y; z son 3 trminos consecutivos de una Progresin geomtrica creciente; hallar: xy/zRpta:Aritmtica 558) Se tiene una P.G. de 3 trminos cuya suma es 15 y el producto 45.Larazn adopta de forma. ( ) ( )22 1 b 1 br1 k2a a + Hallar el valor de:k b a + +Rpta:9) En una P.G. iguala 486. de 1er trmino 2; trmino de lugar: (n) -3 y ultimo 13122; hallar la razn y el nmero de trminos. Dar como respuesta el trmino que ocupa el 6to lugar.Rpta:10) Una P.G. de razn 2; es tal que admite 5n trminos;siendo la suma de la n primeros (8)40y la suma de los n ltimos (16)40. Calcular el nmerode trminos.Rpta:Aritmtica 56PROBLEMAS PARA LA CASA1) Si el 4toy8avotrminodeuna P.G. son m y n; respectivamente. Cul esel 6to trmino?a) 2 2n m + b)mnc)n m d) 2 2n m +e) N.A2) En una P.G. que posee 51 trminos se conoce el trmino vigsimoes128yel trmino dcimo1/8. Hallar el trmino central.a) 210b) 211c) 212d) 213e) 2143) Enlasiguienteprogresinde razn q: t1; t2; t3;.; se conocen los trminos:t m - n = a t m + n = b. Hallar tma)b b)ac)a d) abe)b a4) Si (x+2); (x+8); (x+26) estn en P.G. Hallar: [ ]1 x3 2x 3 x 2 1++ +a) 36 b) 27c) 81 d) 4e) 2565) En:kdccbba Sabiendo queK y az+Hallar el valor de c; sabiendo que: a+ b + c + d = 16a) 36 b) 72c) 64 d) 26e) 966) Una P.G. de razn 2; es tal que admite 5n trminos;siendo la suma de los n primeros (6)40 y la suma de los n ltimos (16)40.Calcular: el nmerode trminos.a) 80 b) 78c) 60 d) 50e) 40Aritmtica 577)32 y x8 y x : Si22 + +Hallar x3 +y3 + z3 sabiendoque Z es el3er trmino dela P.G: x, y, za) 48 b) 36c) 72 d) 51e) N.A.8) Interpolar 4 medios geomtricos entre 3 y 729. 729 ; .......... ; 3. medios 4y dar el valor del 4to trmino.a) 27 b) 81c) 9 d) 53e) N.A.Aritmtica 58TEMA: CONTEO DE NMEROSI. PAGINACIN: Es el acto de numerar pginas; sabiendo que un tipo de imprenta equivale a una cifra.Calculo del nmero de cifras usadas al escribir en forma consecutiva desde 1 hastaabcnmero de 3 cifras) 99 .....; .......... ; 12 ; 11 ; 10 ; 9 ;.......; 3 ; 2 ; 1cifras 2 cifra 1Cifras 180 de nmeros 90 ; cifras 9 de nmeros 9 cifras 3 de nmeros ) 99 abc (cifras 3 ) 99 abc ( abc .......; ; 102 ; 101 ; 100 o Luego el nmero de cifras ser:111 3 3 abc98 3 abc297 3 abc 189 3 ) 99 abc ( 180 9 + + + +De donde: Nmeros de cifras = . 111 3 ) 1 abc ( + Ahora veamos:Aritmtica 59En General: El nmero de cifras usadas al escribir desde 1 hasta N; donde N es un nmero de K cifras; es: cifras K1 111 K ) 1 N ( +Por ejemplo: Si deseamos averiguar cuantas cifras se utilizanal escribir los nmeros naturales desde n hasta 5296; Solucin: En primer lugar notamos que 5296 tiene 4 cifras; luego aplicando la formula tendremos:200771111 211881111 4 52971111 4 ) 1 5296 ( cifras de Numero + Ejercicio:Cuantos tipos deimprenta se utilizaron al enumerar las 648 paginas de un libro.Resolucin:Para enumerar las 648 paginas dellibro; se debe escribir; en forma consecutiva desde 1 hasta 648; luego; como para cada cifra se usa un tipo de imprenta (es decir un carcter); elnmero de tipos de imprenta es igual al nmero de cifras usadas en la escritura.* Como 648 tiene 3 cifras:1836111 1947111 ) 3 649 (111 3 ) 1 648 ( cifras de Numero + Aritmtica 60PROBLEMAS PARA LA CLASE1) Para enumerar la primera cuarta parte de las pginas de un libro se emplearon 342 cifras. Cuantas cifras se emplearon para enumerar todo el libro?.Rpta:2) Si un libro tiene 960 paginas. Cuntas cifras se emplean para enumerar sus pginas impares?Rpta:3) Al escribir la siguiente sucesin: abc4 3 2 1abc ; ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 se han empleado 522 cifras. Hallar a + b +c.Rpta:4) En la numeracin de lasab 5pginas deunlibroseusan ab 15 cifras. Determinar el valor de a + b.Rpta:5) Enlaescrituradelosnmeros (base y exponente) que forman las siguientes sucesiones: 6x 4 127 126 125x 15 ; ; 451 ; 452 ; 453 Cuntas cifras se utilizaron?Rpta:6) Cuntas pginas tiene un libro si en la numeracin de sus 385 ultimas pginas se utilizaron 1340 tipos de imprenta?Rpta:7) Deunlibrode225paginasse arrancaron cierto nmero de hojas del principio; notndose que las paginas que quedaron sin arrancar se emplearon 452 tipos de imprenta. Cuntas hojas se arrancaron?Rpta:8) Se han arrancado cierto nmero de hojas centrales de 2 cifras a un libro de 120 pginas notndoseque en las pginas que quedaron se emplearonensunumeracin 12 tipos ms de lo que emplearon en las pginas arrancadas. Cuntas hojas se arrancaron?Rpta:9) Cuntascifras6seemplean enlaenumeracindelos700 primeros nmeros naturales?Rpta:10) De un libro se sacan las hojas que terminan en 4; notndose queenellassehanutilizado 674 cifras. Cual de las siguientes no puede ser la ultima pgina del libro?a) 1123 b) 1110c) 1122 d) 1121e) 1119Aritmtica 61PROBLEMAS PARA LA CASA1) Al enumerar laprimeramitad de las pginasdeunlibro se utilizo 702 cifras. Cuntas cifras se empleo en todo el libro?a) 1404 b) 1418c) 1510 d) 1512e) 15162) En la paginacin de las 38 primerashojasdeunlibro se ha usado la sexta parte de la cantidad de cifras que se emplean en la paginacin total. El nmerodehojasdel libro ser:a) 322 b) 135c) 161 d) 228e) 1143) Cuntas pginas tiene un libro si en sus 100 ultimas pginas se han utilizado 283 tiposde imprenta?a) 180 b) 181c) 182 d) 183e) 1844) Deunlibrode500hojas se arrancan 5 hojas seguidas notndose que en las hojas que quedan se haban utilizado; 2866 tipos de numeracin. Determine el nmero de la pgina arrancada por primera vez.a) 95 b) 96c) 97 d) 98e) 995) Deunlibrode321hojas se arrancan cierto nmero de hojas del principio; observndose que en las pginas restantes se usan 1679 tipos de imprenta; Cuntas hojas se arrancaron?a) 26 b) 27c) 36 d) 37e) 386) Cuntaspaginasdeunlibro se podrn enumerar con el doble del nmero de cifras que utilizan para enumerar un libro de 500 paginas.Aritmtica 62a) 962 b) 972c) 964 d) 948e) 9657) Considereuncuadernillocuyo formato sea medio oficio elaborado con papel tamao oficio. Al enumerarlo se observa que una de las hojas tamaooficioestanumerado: 35; 36; 799y800. Cuntas cifras se escribieron al enumerar las pginas del cuadernillo?a) 2192 b) 2394c) 3052 d) 2581e) 30248) Para enumerar un libro se necesitan855cifras. Si sele divide en 3 captulos de tal formaquelaenumeracinde cadacapitulocomienzaen1; siendo la diferencia de paginas entre 2 captulos sucesivos 22paginas. Hallar cuantas cifras; de mas de menos; senecesitanparasu numeracin con respecto a la forma inicial.a)200 msb)200 menosc)202 msd)202 menose)147 menosAritmtica 63II) MTODO COMBINATORIO :Fundamento:Lascantidadesdenmerosocombinacionesquepueden formarse con varias ordenes o variables independientes entre si; es numricamente igual al producto de las cantidades de los valores que pueden formar dichas ordenes o variables.EjemploAplicativo:Cuntosnmerosde2cifrasexistenenel sistema decimaltal que su cifra de mayor orden sea par y su cifra de menor orden sea impar?Resolucin: Considerando que los nmeros son de la formaabdonde por condicin del problema a debe ser par y b impar; es decir:{ } { } 9 ; 7 ; 5 ; 3 ; 1 b 8 ; 6 ; 4 ; 2 a o Sicombinamos los valores de a y b se obtienen los nmeros de la formaab , as:)'; 89 ; 67 ; 85 ; 83 ; 81 ; 69 ; 67 ; 65 ; 63 ; 6149 ; 47 ; 45 ; 43 ; 41 ; 29 ; 27 ; 25 ; 23 ; 21abDonde puede observarse que hay 20 nmeros de la forma ab* Ahora utilizamos el mtodo combinatorio; ser: V A R I A B L E S : a b V A L O R E S 4 3D E L A S 6 5V A R I A B L E S 8 79C A N T I D A D D E V A L O R E SD E L A S V A R I A B L E S2 14 . 5 = 2 0 n m e r o s . Aritmtica 64OJO: El producto de las cantidades de valores de cada variables indica la cantidad de nmeros.PROBLEMAS PARA LA CLASE1) Cuntos nmeros de 5 cifras existen en el sistema heptanario de manera que su cifra inicial sea impar, terminen en 2 o 5; su cifra central no sea impar y las otras dos cifras sean significativas?a) 726 b) 864c) 802 d) 720e) 7502) Cuntos nmeros de la forma: ) 2 b (2a) 1 b ( ) 2 a ( + ,_

+ existen en el sistema de numeracin duodecimal?Rpta:3) Cuntos nmeros de 4 cifras existental quesuscifrasde ordenpar sonmayoresen1 que las cifras de orden precedente?Rpta:4) Cuntosnumeralescapicas de 3 cifras del sistema de base6tienencomo sumade cifras a un nmero par?Rpta:5) Cuntos nmeros mayores que 300 pero menores que 800 se pueden formar utilizando solo las siguientes cifras: 0; 2; 3; 5; 6; 7; y 9?Rpta:6) Cuntos nmerosde 4 cifras, comienzan o terminan en 7?Rpta:7) Cuntos nmeros de la forma b ) b a ( a + existen en el sistema de numeracin senario? Rpta:8) Cuntos nmeros de 4 cifras; todas impares y distintas entre si; existen en el sistema de numeracin undecimal?Rpta:9) DeterminarCuntosnmeros capicasestncomprendidos entre 2000 y 20000?Aritmtica 65Rpta:10) Cuntos nmeros de 3 cifras de la base 8 utilizan la cifra 2 en su escritura?Rpta:Aritmtica 66PROBLEMAS PARA LA CASA1) Cuntos nmeros de 3 cifras existen; que tengan por lo menos una cifra impar; y por lo menos una cifra par?a) 225 b) 900c) 625 d) 675e) 7252) Cuntos nmeros de 4 cifras existen tal que el producto de sus cifras sea par?a) 9000 b) 8375c) 7875 d) 3250e) 12503) Enel sistemadenumeracin cuaternario hay 3072 nmeros de n cifras. Cul es el valor de n?a) 4 b) 5c) 6 d) 7e) 84) En que sistema de numeracin existen 90 nmeros de la forma: ( ) 4 b b ) 4 a ( a + + ?a) Nonariob) Duodecimal.c) Hexadecimald) Base 140.e) Base 15.5) En que sistema de numeracin existen 160 numerales capicas de 5 cifras?a)Quinariob)Senarioc)Notariod)Octanarioe)Decimal.6) Cuntos nmeros de 4 cifras de la base 7; tiene por lo menos 2 cifras iguales?a) 720 b) 1250c) 1344 d) 1338e) 13487) Cuntos nmeros de 4 cifras mayores que 4000; terminan en 0 o en 7?a) 1200 b) 599c) 1199 d) 600e) 160008) En que sistema de numeracin existen 648 nmeros de la forma: ( ) ) 1 c ( ) 1 c ( c ) 2 b ( b 2 a a + +a) Duodecimalb) Undecimalc) Hexadecimald) NonarioAritmtica 67e) DecimalTEMA: ESTADSTICADefiniciones Bsicas.Poblacin:Conjunto de elementos o datos que presenta una caracterstica particular a ser analizada o estudiada de la cual se desea informacin.Muestra: Es un subconjunto de elementos seleccionados convenientemente delaPoblacindetal maneraquepuedehacersededucciones deella respecto a la poblacin completa.Variables:Esunacaractersticaquepuedetomar variosvalores. Esun Dato que sufre variacin dentro de una escala, recorrido o intervalo.Una variable pude ser: Discreta: Sonaquellosquesurgenporel procedimientodeconteo; es decir solo pueden tomar algunos valores del intervalo considerado. Continua: Sonaquellosquepueden tomarcualquier valordel intervalo considerado.TABLAS DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS. Estas tablas deDistribucinseelaboranapartir delos siguientes elementos: Tamao (n): cantidad de datos recogidos.n = 50dato arbitrario Alcance (A): Intervalo cerrado que tiene por lmites a los datos de menor y mayor valor.A = [0; 10]dato arbitrarioAritmtica 68 Rango (R):Llamado tambin amplitud; es la diferencia de los datos de menor y mayor valor de la muestra. Nmero de clases (K): es la cantidad de grupos o intervalos en que se pueden dividir los datos y depende delcriterio aunque es usualutilizar como un primer valor aproximado al obtenido por la regla de Sturges. En cual viene dada por la siguiente relacin: K = 1 + 3,3 Log (n). Si tomamos los datos arbitrarios tendremos:K = 1 + 3,3 . Log (50) K = 6,6.K puede tomar valores enteros: 5; 6 o 7; K = 5 (ASUMIENDO) ANCHO DE CLASE (W): En la longitud de una clase. Si deseamos anchos de clase iguales, utilizamos:KRW En el ejemplo; 510W W = 2FRECUENCIA ABSOLUTA.- Es la cantidad de datos que caen dentro de una clase.[6 ll l l 10 ; 6 [8 lll l l ll 8 ; 6 [12 ll l l ll l l ll 6 ; 4 [15 ll l l ll l l l l ll 4 ; 2 [9 llll l l ll 2 ; 0fAbsoluta Frecuencia Conteo clase de Intervaloi i/ >/ >/ / >/ / / >/ >IAritmtica 69FRECUENCIA RELATIVA. (h).- Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre el tamao de la muestra.1 h o : A d e m a snfniii FRECUENCIA RELATIVA ACUMULDADA. (Hi)Es laacumulacindecadafrecuenciarelativa. Seobtienedemanera anloga a la frecuencia absoluta acumulada. + + + i1 jj i 2 1 ih h ..... h h HPRESENTACION GRAFICAHistograma:Son diagramas de barras o rectngulos cuyas bases representan los intervalos de clases y las alturas son las frecuencias absolutas o relativas.231 21 31 5F iI i2 4 6 8 1 0 1 2 1 3P o l g o n o d eF r e c u e n c i a sH i s t o g r a m a sAritmtica 70Diagrama Escalonado:Son diagramas similares alhistograma con la diferencia de que las alturas son frecuencias absolutas o relativas; acumuladoras.1 22 7F i2 4 6 8 1 0 1 23 43 53 84 0O s i v aD i a g r a m aE s c a l o n a d oI iMedidas de Posicin:Una medida de posicin es un valor que se calcula para un grupo de datos que se utiliza para describirlos de alguna manera.Media Aritmtica( ) x : Para m datos di no clasificados:m) d (Xm1 iiAritmtica 71 Para datos clasificados:m1 ii iX ) h ( Xhi: Frecuencia relativa de clase i.Xi: marcade clase i.m: nmero de clases.Mediana (Xm)Para n datos no clasificados.'+

,_

+ ,_

,_

+p a r n ;2X Xi m p a r n ; XX m12n2x21 nPara datos clasificados: Se define la mediana como la primera cuya frecuencia absoluta acumulada iguala o excede ala mitad del total de datos:Aritmtica 721111]1

+ mmm m mf1 F2nW L XDonde:Lm: Limite de la clase mediana.Wn: Ancho de clase de la clase mediana.Fm 1: Frecuencia absoluta acumulada de la clase que procede a la clase mediana.Moda: (Mo)Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos.

,_

++ 2 11d ddWo Lo MoLo : Limite, inferior de la clase modal.Wo : ancho de la clase modal.d1: diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase precedenteAritmtica 73PROBLEMAS PARA LA CLASEEnunciado:Dada la siguiente distribucin de frecuencias segn el mismo nmero de empleados por empresa.250 TOTAL) (fFrecuenciaEmpleadosde Numeroi15 ] 200 ; 180 [15 180 ; 140 [20 140 ; 100 [20 100 ; 80 [30 80 ; 60 [50 60 ; 40 [40 40 ; 30 [35 30 ; 20 [20 20 ; 10 [5 10 ; 0 [>>>>>>>>>1) Determinar el porcentaje de empresas que tienen un nmero de empleados entre 50 y 90.Rpta:2) Determinar el porcentaje de empresas con nmero de empleados inferior a 35.Rpta:Enunciado:En estafbrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores; con el fin de establecer un plan de seguro grupal. Los resultados fueron los siguientes:52 47 51 31 67 45 44 57 41 5523 51 26 46 48 53 43 46 42 4248 46 49 32 67 55 41 47 34 3038 61 37 47 30 32 33 60 34 223) Cuntos trabajadores tienen por lomenos49aosyque porcentaje representan?Rpta:4) Qu porcentaje de trabajadorestienede39a58 aos?Rpta:Enunciado:Se clasifico la inversin de un grupo de compaas mineras en una tabla de distribucin de frecuencias. Se sabe que la mxima inversin es de 56 millones desoles; quelaamplituddelos intervalos es de 8 millones de soles; que las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos son: 1; 16; 21; 9; 8; 3 y 2. Aritmtica 74Conestainformacinresolver los problemas 5; 6; 7; 8 y 9.5) Qu porcentaje de compaas invierten menos de 40 millones de soles?Rpta:6) Qu porcentaje de compaas invierten 24 millones como mnimo?Rpta:7) Hallar la inversin promedio (en millones de soles)Rpta:8) Hallar la mediana de los datos clasificados. (en millones de soles)Rpta:9) Hallar la moda de los datos agrupados. (en millones de soles)Rpta:Enunciado:Se tiene la siguiente tabla de distribucin de frecuencias relativas de 300 empleados segn su edad.[ ][ ][ ][ ][ ] 10 , 0 33 ; 3110 , 0 30 ; 2840 , 0 27 ; 2525 , 0 24 ; 2215 , 0 21 ; 19in Edades10) Cuntos empleados tienen edades de 22 a 33 aos?Rpta:11) Qu porcentaje de los empleadostienen25aos a ms?Rpta:12) Cuntos empleados tienen 27 aos o menos?Rpta:13) Qu porcentaje de los empleadostienen24aos o menos?Rpta:Enunciado:La siguiente distribucin muestra el peso en gramos de 30 paquetes en un determinado producto. Aritmtica 75[ ][ ][ ][ ][ ] 13 ; 0 35 ; 30K 29 ; 25K 2 24 ; 2017 , 0 19 ; 152 / K 14 ; 10in (g) Peso14) Cuntos paquetes tienen pesos que van desde 15 hasta 29 gramos?Rpta:15) Cuntos paquetes tiene 22 gramosa ms?Rpta:16) Cuntos paquetes tiene 27 gramoso menos?Rpta:Enunciado:A partir de los siguientes datos:10 4 7 2 3 7 5 2 6 99 11 3 9 6 1 5 6 4 99 2 4 8 7 2 12 10 0 33 10 10 0 4 10 1 9 8 54 1 8 5 9 3 3 8 4 217) Calcular la media de los datos agrupados?Rpta:18) Calcularlamedianaparalos datos agrupados?Rpta:19) Calcular la moda para los datos agrupados?Rpta:Enunciado:La siguiente informacin representa la composicin de una dieta alimenticia.Gramos CalorasCarbohidratos 500 2050Protenas 100 410Grasas 100 93020) Qu porcentaje del total de caloras de la dieta se debe a las protenas.Rpta:Aritmtica 76Aritmtica 77PROBLEMAS PARA LA CASAEnunciado:Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Estadstica recogindose los siguientes datos: 3; 4; 8; 2; 7; 11; 10; 12; 16; 15. 7; 11; 13; 10; 6; 9; 9; 10; 13; 14.1) Agrupe los datos en intervalos deanchocomnigual a4y complete la siguiente tabla.[[[[[ >>>>>;;;;; 0f X H h F f Xi i i i i i i i. I Dar como respuesta: F3 + H4 + X2. f2a) 38; 70 b) 43; 40c) 99; 40 d) 38; 95e) 76; 702) Cuntos estudiantes aprobaron elcurso; segn los datos originales y segn los datos agrupados? Dar como respuestaladiferenciadelos valores obtenidos? (Nota aprobatoria igual a 10)a) 1 b) 2c) 3 d) 1,71e) 1,43) Cuntos obtuvieron notas superiores o iguales a 15? Dar comorespuestaladiferencia delos valores obtenidos (en datos originales y en datos agrupados)a) 1,25 b) 0,5c) 0,75 d) 1,75e) 0,254) Calcular lamedia(paradatos sin agrupar)a) 10,5 b) 10,2c) 9,5 d) 10,31e) 12,75) Calcular lamedia(paradatos agrupados)a) 9,8 b) 11,3c) 10,7 d) 10,3e) 9,716) Calcular lamediana(paralos datos sin agrupar)a) 9,5 b) 9,8c) 9 d) 10e) 10,57) Calcular lamediana(paralos datos ya agrupados)Aritmtica 78a) 9,2 b) 9,8c) 10,1 d) 10,0e) 9,838) Calcular la moda (para los datos sin agrupar)a) 7 b) 8c) 9 d) 10e) 119) Calcular la moda (para los datos ya agrupados)a) 10,28 b) 9,83c) 9,87 d) 10,17e) 10,2110) A partir de la siguiente grafica: Calcular el tamao; la mediana y la moda de la muestra.38FI1 62 22 5iia) 10; 4, 125; 5,2b) 25; 4, 125; 5,2c) 25; 4,125; 1,2d) 25; 5, 125; 5,2e) 25; 5, 125; 1,2Enunciado:Dadoel tableroincompletodela distribucin de la frecuencia de las notas de 25 alumnos. Completar el tablero con un ancho de clase constante e igual a 2.25 ; [22 ; [8 ; [14 11 ; [20 6 ; [15 ; [f x F F xi i i i i i>>>>>>I11) Si la nota aprobatoria es 11 Quporcentajedealumnos desaprobados existe?a) 72% b) 74%c) 76% d) 78%e) 80%12) Determinarlaclase en lacual se encuentra el mayor porcentaje de alumnos y hallar dicho porcentaje.a) 1ra; 20% b) 4To; 32%c) 3era; 44% d) 4to; 76%e) 3era; 32%13) Cuntos alumnos obtuvieron notas menores que 8?Aritmtica 79a) 15 b) 15c) 13 d) 12e) 1114) Dada en la siguiente distribucin de frecuencias.100g 80 ; 70 [n 70 ; 50 [4 50 ; 40 [m 40 ; 20 [4 20 ; 10 [fi i>>>>>ISi se sabe adems que: h1 = h5 y h2 = h4. Determinar la sumah5 + h2a) 1/3 b) 1/4c) 1/2 d) 1/5e) 3/415) Dada la siguiente tabla: Calcular el mximo valor de (h2; h3); sabiendo que la media aritmtica es 0,61.10 , 0 40 , 0 ; 20 , 0 [hi i>Ia) 0,30 b) 0,40c) 0,50 d) 0,60e) 0,70 Aritmtica 80FORMULARIOCONTEO DE NMEROSPaginacin: # de cifras usadas al escribir desde a hasta N; (N: # de K cifras)Cifras K1 ...... 111 ) 1 N ( ) K ( +Mtodo Combinatorio: Sean a; b; 2 nmeros: Donde: a {a1; a2;...; an} y b {b1; b2; ; bn} Entonces:La cantidad de Valores de las variables es:Progresin Aritmtica:El K esimo trmino viene dado por:r ) 1 K ( t t1 K + Aritmtica 81M N1 1xb abm anb ab a Progresin Geomtrica:1 n1q t tn nn 1 nt t P ,_

) 1 q () q ( tS1 n1Estadstica) n ( log 3 , 3 1 K ) K ( clases de Nmero + Rango R ;KRW ) W ( clase de Ancho m1 iim) d (x ) x ( Aritmetica Media: ) Xm ( Mediana( )'

,_

+ +

,_

+p a r n ;212nx Xi m p a r n ;21 nXX m2x Moda (Mo):Aritmtica 82

,_

++ 2 11d ddWo Lo MoAritmtica 83Asuntos ComercialesP venta = P costo + Ganancia / Si gananciaG Bruta = G Neto + Gastos Adicionales / Si gastos.Pv = Pc -Perdido/ Si gastos.Descuento Sucesivo. %100b ab a DU1]1

+ Aumento Sucesivo: %100b ab a AU1]1

+ + Regla de Interes3600tdias r CI ;100taos r CI Interes Compuesto (Capitalizable)n) i 1 ( C M + Regla de Descuento:) meses ( t r 1200tmeses r VD / D V V1200tmeses r VcDnR R n CR + Aritmtica 84Mezclan 2 1n n 2 2 1 1C ....... C CC P ........ C P C PP : Medio ecio Pr+ + ++ + + Mezclas Alcohlicas% 1 0 0lG r a d oVVT o t a la l c o h o l Regla de AleacinPPTOTALFI NO LEYAritmtica 85MISC ELANEA 01. Una persona recibe la cantidad de 1750,000 soles al ganarunpremioquehasido descontadoen12,5%. Cul es la suma de dicho premio?Rpta.:02. Cunto de agua debe aadirse a 10 litros de alcohol que es 95% puro; para obtener una solucin que sea 50% puro?Rpta.:03. Qu precio debe fijarse a un artculo que cost 4000 soles; sabiendoquesevaahacer unarebajadel 20%dedicho precio y an as se ganar el 20% del costo?Rpta.:04. En una oficina hay 16 personas de las cuales del total son mujeres y los dems hombres. Si sedeseaqueel 10% del personal sean mujeres. Cuntas se tendran que contratar?Rpta.:05. Sevendeunamercaderaen 10K soles ganando elm% de su costo. Qu tanto por ciento se hubiera ganado si la mercadera se hubiese vendido en 11K soles?.Rpta.:06. Oscar prepara una mezcla en lacual por cada3vasosde licor; hay 2 de gaseosa. Si prepara 2 litros de mezcla. Qu porcentaje ser el licor?Rpta.:07. Hallar el descuento equivalente a 2 descuentos sucesivos de 20% y 30%.Rpta.:08. Si con N soles se pueden comprar 80 artculos ms que con el75% de N.Cuntos artculos se pueden comprar con el 75%del 50%de la mitad del 45% de N?Rpta.:09. Durante cuanto tiempo estuvo depositadouncapital al 12% anual; si los intereses producidos el 60% del capital.Rpta.:10. Un capital impuesto al 15% trimestral deinteresessimple produce anualmente 3,000 soles ms de inters que si se impusiese al 55% anual. Cul es dicho capital?.Rpta.:11. Se presta un capital al 53%. Si se hubiera impuesto 2 aos Aritmtica 86ms, el mismoporcentajeel intershubierasidoel 125% del anterior. Cul fue el tiempo de imposicin?.Rpta.:12. Los 3/5 de un capital han sido impuestos al 30%, 1/3 al 35% yel restoal 40%. El inters total es de S/.1,200 soles anuales. Calcule el capital.Rpta.:13. Cunto tiene que transcurrir paraqueuncapital colocado al 60% se quintuplique?Rpta.:14. A qu porcentaje debe estar impuesto un capital. Para que en un ao produzca un inters igual al 20% del monto?Rpta.:15. Un capitalestuvo impuesto al 90%deinters anual. Si se obtuvounmontodespusde 4 aos de 10,2000 soles. Cul es el valor del capital?.Rpta.:16. Uncapital estuvoimpuestoa inters simple durante 1 ao 4 mesesy6daslasumadel capital conlosinteresesque se obtuvieron estaba con el capital en la relacin de 89 a 80. Aqu tanto por ciento estaba impuesto el capital?.Rpta.:17. Determinar el valor actual de una libra a los 90 das de hacerse efectiva; sabiendo que tiene por valor nominal 73,000 soles y va a ser descontada comercialmente al 16 por ciento anual.Rpta.:18. Una letrade80,000va aser descontada al 15 por ciento anual a 4 meses de su vencimiento.Rpta.19. Una letra de 73,500 soles va a ser descontada al 10 por ciento anual a los 6 meses de su vencimiento, hallar elvalor nominal.Rpta.20. Se quiere saber el valor nominal deunaletraquese venca dentro de 15 das y al descontarla comercialmente al Aritmtica 879 por ciento anual ha recibido 11,865 soles.Rpta.21. Calcular el valor nominal de una letraquedescontadapor 4mesesal 5por ciento; de una diferencia de 2 soles entre el descuento comercial y nacional.Rpta.:22. Un capitalista recibe en prstamo una letra pagadera a los 9meses y la descuenta comercialmente al 4%.Si se hubiera aplicado el descuentoracional, tambinal 4 por ciento; saldra perjudicado en 6,30 soles. Deducir el valor nominal de la letra.Rpta.:23. Una persona debe a otra 1748,000 soles pagaderos en un aoy convienenensaldar la deuda efectuado 4 pagos iguales de3en3meses. Calcular la cantidad entregada en cada pago; considerando una tasa de descuentocomercial del 8por ciento anual.Rpta.24. Se quiere obtener 100 litros de alcoholde 74; mezclando 30 litrosdealcohol de80%; con cantidades convenientes de alcohol puro y agua. Cul es la diferencia de las cantidades a mezclarse de alcohol puro y agua?.Rpta.:25. Se tienen 2 mezclas alcohlicas; una de 40 litros al 80% y otra de 60 litros al 75%. Cuntos litros se deben intercambiar paraqueambas mezclas tengan el mismo porcentaje de alcohol?Rpta.:26. Se tienen 16 gramos de una aleacin de oro deabkilates; si se le agrega 48 gramos de oro puro se convierte en una aleacin debakilates. Hallar (a+b).Rpta.:27. Se tiene una mezcla de 4 ingredientes (cuyos precios unitariosestnenprogresin geomtrica de razn 2) en cantidades inversamente proporcionales a dichos precios. SI el ms caro de los ingredientescuestaS/.12por kilogramo. Cunto costar el kilogramo de dicha mezcla?.Rpta.:Aritmtica 88