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SOLVER

Ing. Ignacio Velásquez Soza

Departamento de Procesos Industriales

Universidad Autónoma Juan Misael Saracho

E Departamento de Procesos Industriales

Docente: Ing. Ignacio Velásquez Soza

A.6. Solver

Solver es uno de los complementos (add ins) que ofrece la aplicación Excel, permite realizar operaciones de cierta complejidad matemática, que van más allá de las aplicaciones clásicas del gran adelanto que significó la planilla de cálculo para los cómputos de administración y de ingeniería.Para aplicar el Solver se debe visibilizarlo utilizando el Menú: Herramientas– Complementos y en la forma que aparece se debe tildar el Solver. Una vez hecho esto, cada vez que uno utiliza el menú Herramientas aparecerá Solver como alternativa directamente disponible en el menú.Si no se encuentran los complementos se recomienda buscar la ayuda Excel: Programas de complementos o macros automáticas para Microsoft Excel.El Solver determina el valor óptimo para una celda de una hoja de cálculo, que se denomina celda objetivo. El Solver ajusta los valores en las celdas cambiantes que se especifiquen y que se denominan celdas ajustables, para generar el resultado en la fórmula de la celda objetivo.Pueden aplicarse restricciones por separación de los miembros de la inecuaciónen diferentes celdas y por la ventana se asigna el signo de la restricción.A.6.1. Solver en programación linealLa aplicación del complemento Solver en problemas simples de programación lineal es tan fácil que hace pensar si es necesario estudiar los fundamentos de esta técnica. Desde ya, es necesario saber plantear el problema, saber de sus posibilidades y sacar el máximo de conclusiones de sus resultados, lo que no es tarea del Solver.

Programación lineaF.O Máx 3 X1+ 2 X2Variables X1 X2 Restricciones X1 + 2 X2 <= 20

2 X1 + X2 <= 20 X2 <= 8

Se sugiere abrir el libro Programación Lineal 1.xls donde, en la hoja “Solver” se ha planteado el problema enunciado en F.6.1, de sólo 2 variables y 3 restricciones.La planilla de cálculo correspondiente al inicio es mostrada en tabla T.A.6.1



T.A.6.1

A B C D E F G

7F.O Máx 3 X1+ 2 X2 0

Celda Objetivo

8 Variables X1 0 celdas a9 X2 0 cambiar10 Restricciones 11 X1 + 2 X2 <= 20 0 <= 2012 2 X1 + X2 <= 20 0 <= 2013 X2 <= 8 0 <= 8En la celda objetivo se pone la fórmula correspondiente en función de las variables, que se ubican en las celdas a cambiar. Las restricciones se ubicanen dos celdas por cada restricción. El signo de la restricción se coloca por elcuadro de diálogo Parámetros de Solver. Ver Gráfico G.A.6.1

En este cuadro, a través del boton Opciones se pueden fijar una serie de características del problema y precisión que se desea. Ver Gráfico G.A.6.2Las opciones se pueden consultar en la ayuda de Excel: Opciones de Solver (cuadro de diálogo). En este caso marcar Estimación lineal y Asumir no negativos



Al terminar el cálculo aparece un nuevo cuadro de diálogo

A.6.2. Informes de SolverEn el cuadro de diálogo Resultados de Solver se pueden seleccionar tres informes:respuestas, sensibilidad y límites, los que para el ejemplo se reproducen a continuación:



2.4.1. Separación flash. Punto de burbuja y Punto de rocíoLos métodos tradicionales de los procesos de destilación se basan en la existencia de un equilibrio entre la composición de un líquido y la del vapor en contacto con ella.

El caso elemental es un tanque flash como el que se indica en el gráfico G 2.6. Allí, ingresa una corriente líquida F [mol/h] de una mezcla de Nc componentes, con composición, expresada en fracciones molares, zi, i=1... Nc, a una presión PF y temperatura TF.El equipo intercambia una cantidad de calor Q con el medio externo. El interior del tanque se encuentra a una temperatura T y presión P. La corriente F se separa en dos fases: una líquida, de L [mol/h], con fracciones molares xi, y otra vapor, de V [mol/h] y composición yi. Las fases se encuentran en equilibrio, lo que se expresa como:

yi = Ki xi , i = 1,...,Nc E.2.1.El balance de materia global plantea:F = L + V → (L / F)+(V / F) = l + v = 1 E.2.2.El balance para cada componente es:zi = v yi + l xi = ( v Ki + l ) xi = (v + l / Ki ) yi, i = 1,...,Nc E.2.3.Y por último, debe cumplirse que:ΣYi = 1 ; ΣXi = 1; i = 1…. Nc E.2.4.



Nótese que se plantea la disyuntiva de considerar la suma de las fracciones molares en sólo una de las fases, no en ambas. Ello proviene de suponer conocida la composición de la corriente de entrada, con lo cual:

ΣZi = 1; i = 1…. Nc

Si ahora se suman las Nc relaciones E 2.3, considerando E 2.2 y una de las E 2.4, la restante surge inmediatamente.Con esto se tienen 2 Nc + 2 relaciones con 2 Nc + 4 ( xi, y i, v, l, T, P ) variables. El sistema tiene, en consecuencia, dos grados de libertad y el cálculo se puede realizar fijando el valor de dos cualesquiera de las variables.Si HF, HV y HL son los valores de entalpías molares de la corriente de entrada, de vapor y de líquido de salida, respectivamente, el balance de calor se puede poner como:

FHF VHV LHL Q E.2.5.

Por convención, Q es positivo si se retira calor del tanque flash. Esta relación no modifica los grados de libertad calculados anteriormente ya que, al aparecer Q, se incrementan por igual el número de ecuaciones y de variablesEn general, los valores de las entalpías – como los valores de las constantes de equilibrio K – son funciones de la temperatura, presión y composición, por lo cual no se las considera en el análisis de grados de libertad.Para las entalpías de las mezclas se puede poner:

Hf = H (T ,P) zi , Hl = H (T,P) xi , Hv = H (T,P) yi

HLi y HVi, funciones de la presión y la temperatura, son las entalpías del componente puro i en fase líquida y vapor, respectivamente. Como se puede ver, las entalpías de las mezclas se obtiene como simple adición de los aportes de los componentes puros.Para la constante de equilibrio Ki, la funcionalidad más general es:

Ki = Ki(x1,..,xNc,y1,..,yNc,T,P)

Esto convierte el cálculo del equilibrio yi = Ki xi en algo verdaderamente complejo, por el acople que implica la dependencia de la constante con las composiciones de ambas fases.La relación más sencilla para el equilibrio líquido – vapor se obtiene al suponer un comportamiento ideal para la mezcla, donde no existe interacción entre los componentes. En tal caso, se aplica la ley de Raoult:

P yi = Pvi xi yi = (Pvi / P) xi

Ahora la constante de equilibrio es la relación de la presión de vapor Pvi delcomponente puro y la presión total P.Esta Ki sólo depende de la presión y la temperatura. Por ejemplo, si Pvi viene dada por la expresión de Antoine, se tendrá:



ln Pvi = ( A - B/T+C) Antoine

Ai, Bi, Ci Constantes del componente i

Ki = exp (Ai- Bi/T+Ci)/P

Y se facilita el cálculo del equilibrio al haber desaparecido el acople entre la composición y la constante K.Dos cálculos básicos del equilibrio líquido-vapor de una mezcla son los llamados punto de burbuja y punto de rocío. Para una determinada composición el primero es la condición de presión y temperatura a la cual, en la mezcla, en estado líquido, se forma la primera burbuja de vapor, esto es, PB, TB tal que:

Σkizii = 1, i = 1…..Nc,

El punto de rocío es la condición de presión y temperatura para la cual, en la mezcla en estado vapor, se forma la primera gota de líquido; PR, TR tal que:

Σzii/ki = 1, i = 1…..Nc,

Adviértase que ahora el sistema E 2.1 ,..., E 2.5 se ha reducido a una ecuación en dos variables, con lo cual, tanto en el punto de rocío como de burbuja, se fija T ó P y se procede a calcular P ó T, según el caso. Si la mezcla es ideal y se fija la temperatura, el cálculo de la presión es inmediato; en el caso contrario o cuando la mezcla no puede considerarse como ideal, se deberá apelar a un procedimiento iterativo para poder determinar la variable incógnita.Dentro de los límites que imponen las condiciones de rocío y burbuja, el tanque flash requiere, como quedó dicho, de dos condiciones adicionales para su cálculo en forma unívoca.Se puede, por ejemplo, plantear la determinación de la presión dentro del tanque para que, a una cierta temperatura, uno de los compuestos integrantes de la mezcla se distribuya de una manera prefijada en las fases vapor y líquido que abandonan el tanque.En este sentido son clásicas dos situaciones:• flash isotérmico: se conocen la presión y la temperatura dentro del tanque• flash adiabático: la presión dentro del tanque es dato y la cantidad de calor Q es nula.La secuencia de cálculo para el flash isotérmico se puede plantear de acuerdo a la propuesta de Rachford y Rice, suponiendo independencia de Ki con la composición:

1) Proponer un valor de la fracción vaporizada v2) Calcular

Xi = Zi/1 + vKi -1i = 1…..Nc

3) Calcular

Δ = (Yi –Xi) =Σ Zi (Ki -1)/1 + vKi -1i = 1…..Nc

4) Si Δ< cota, terminar. Si no, proponer un nuevo valor de v y volver a 2)



Una vez concluida la iteración se está en condiciones de calcular la fracción líquida l, el calor Q y las composiciones yi.

Para un flash adiabático el proceso es un poco más complicado:1) Proponer sendos valores de la temperatura T y la fracción vaporizada v2) Calcular

Xi = Zi/1 + vKi -1 i = 1…..Nc

3) Calcular

Δ1 = (Yi –Xi) =Σ Zi (Ki -1)/1 + vKi -1i = 1…..Nc

4) Calcular

Δ2 = Σ ( HFi – (v Hvi Ki + (1-v)Hli) / (vKi -1 i = 1…..Nc

5) Si Δ1 < cota1 y Δ2 < cota2, terminar. Si no, modificar los valores de v y T y volver a 2).

En la planilla Caso_BTX1.xls se encuentran los valores de los coeficientes A, B y C de la ecuación de Antoine para benceno, tolueno y o-xileno. Siguiendo las pautas establecidas en loscomentarios, determine, para una mezcla compuesta de 25 % de benceno, 40% de tolueno y 35% de o-xilenoa) la temperatura de burbuja TB a la presión de 2,5 barb) la temperatura de rocío TR a la misma presiónc) la temperatura de un flash que opera a una presión de 2,5 bar y con una fracción vaporizada v = 0,4. Complete la hoja con el cálculo de las composiciones

Bibliografía:

Análisis de Sistemas Industriales y Optimización de Procesos; Miguel de SantiagoUniversidad Virtual de QuilmesOperaciones Básicas de Ingeniería Química Omar Alfredo IglesiasUniversidad Virtual de QuilmesEspecialista en Diseño de Redes e Instalaciones de Gas Natural, Bárbara VillanuevaConvenio UNSa –UAJMS H.L. Mata Uso del Solver en la Asignación de RecursosSpreadsheet Modeling & Decision Analysis; A Practical Introduction to Management Science 4th edition Cliff T. Ragsdale



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