37 CONCEPTOS BAslCOS VIEDADES DE LA PROBABILIDAD

Para iniciar el estudio matematico de la probabi-lidad, es necesario definir de manera clara una seriede conceptos basicos, a partir de los cuales se avan-zara hacia los que presentan mayor complejidad, en-tre los cuales se cuentan las operaciones que con ellosse pueden llevar a cabo.

Un experimento aleatorio es una experiencia cu-yo resultado no se puede predecir con exactitud. Secaracteriza porque, al repetir la experiencia, se obtie-ne muchas veces un resultado distinto a los anterio-res. Un ejemplo de experimento aleatorio es ellanza-miento de un dado: su resultado s6lo se conoce des-pues de efectuar ellanzamiento, no antes.

Un experimento determinista, al contrario, esaquel cuyo resultado se puede determinar con exac-titud. El calculo previa de la fuerza de gravedad conla que es atraido un cuerpo por la Tierra coincide congran exactitud con el resultado experimental. Medireste valor con un instrumento es, por tanto, un ex-perimento determinista. La probabilidad trata de losexperimentos aleatorios, no de los deterministas.

El espacio muestral de un experimento aleatorioes el conjunto de resultados posibles que puede arro-jar un experimento. Se designa mediante la letra grie-ga Q (omega mayuscula). Cuando se lanza un dado,a pesar de no poder predecir cual sera el resultado,se sabe que tiene que estar comprendido entre 1 y 6,porque son los valores que aparecen en cada una delas caras del dado. Por tanto, su espacio muestral es:

Un suceso es cualquier subconjunto del espaciomuestral. Se acostumbra a representar mediante unaletra mayuscula, como A, B, C. .. Por ejemplo, el su-ceso A que significa {obtener el numero par} en elejemplo del dado esta formado por el conjunto conlos siguientes elementos:

Cada uno de los resultados particulares del experi-mento se conoce tambien como suceso elemental.

Si un suceso se compone por varios sucesos ele-mentales, se denomina suceso compuesto.

Un suceso seguro es aquel que comprende todoslos resultados posibles. Es un conjunto identico al es-pacio muestral, por 10 que tambien se representa me-diante el simbolo Q. Por ejemplo, es un suceso seguroque el numero obtenido al tirar el dado sera inferiora 7, y tambien es un suceso seguro que se extraera uncaramelo de fresa de una bolsa donde s6lo hay cara-melos de dicho sabor.

Un suceso imposible, por el contrario, es aquel queno puede darse en ningun caso. Se representa me-diante 0, que es el simbolo que representa el conjuntovacio. Por ejemplo, sacar un numero mayor que 6 altirar el dado 0 extraer un caramelo de menta de unabolsa en la que s6lo hay caramelos de fresa son suce-sos imposibles.

El suceso contrario u opuesto de un suceso A es elconjunto de elementos que-.Eocumplen A. Se repre-senta mediante el simbolo A. Por ejemplo, el sucesocontrario de A, que es obtener un numero par en ellanzamiento de un dado, es igual a:

Dicho de otra manera, el suceso contrario A es unconjunto formado por todos los elementos del espa-cio muestral, menos aquellos que forman parte delconjunto A. Expresado en forma matematica:

Los sucesos incompatibles son aquellos que nopueden producirse al mismo tiempo. Un caso de su-cesos incompatibles son los sucesos opuestos. Portanto, es incompatible que ocurra el suceso de queel resultado de tirar los dados arroje un numero par y,al mismo tiempo, que el resultado sea impar.

Por el contrario, dos sucesos son compatiblescuando se pueden dar a la vez. Por ejemplo en ellan-zamiento de un dado, los sucesos

A = {obtener un numero impar}

B = {obtener un numero primo}

son compatibles porque 3 y 5 son numeros primos y,al mismo tiempo, impares. El 1 no es primo.

Como suele suceder con muchos juegos populares, un mismo juego tiene distintos nombres y leves cambiosen las reglas segun los paises. EI que se presenta ahora se conoce en algunos paises de habla inglesa comoRoshambo y en Japon como Jan Ken Pon. Suele utilizarse para decidir quien comenzara un proximo juego,aunque a veces se practica por si mismo. Como curiosidad, en octubre de 2004 se celebro en Toronto(Canada), el Campeonato Mundial de este juego, organizado por la Sociedad Mundial de Piedra, Papel yTijera.

Numero de jugadores: Dos.

Elementos: Ninguno.

Caracteristicas del juego: En cada tanda, ambos contrincantes juegan de forma simultanea; no hayturnos.

Acciones: Hay tres posibles acciones:

• Piedra: EI jugador muestra el puno cerrado.

• Papel: Muestra la palma de la mana abierta.

• Tijera: EI jugador extiende los dedos indice y corazon, simulando unas tijeras.

Valores:Existe una valoracion de los tres elementos que muestra quiEmvence al enfrentar dos elementos. Lagradacionde los elementos es circular:

• La piedra Ie gana a la tijera, porque la rompe.• La tijera Ie gana al papel, porque 10 corta.• EI papel Ie gana a la piedra, porque la envuelve.

EIjuego:Con el puno cerrado, ambos jugadores mueven la mana mientras cuentan en voz alta hasta tres. AI lIegara dicha cifra, colocan la mana en alguna de las posiciones posibles, y se evalua quiEm gana el juego. Por 10general un juego 10 componen tres tandas.

Variante de cinco elementos:Existe una variante, con cinco acciones posibles: piedra, papel, tijera, Spock y lagarto, donde los simbolosson cinco y no tres.

Los elementos agregados se forman de las siguientes maneras:

• Spack: Con la palma abierta hacia abajo y los dedos extendidos, se separan los dedos anular y corazon.• Lagarta: Los dedos extendidos y la palma hacia abajo. Se pone en contacto la yema del pulgar con la del de-

do corazon.

Los cinco elementos se organizan en una relacion circular y tam bien cruzada, que cubre todas las combina-

ciones. Su secuencia completa es: EI siguiente diagrama muestra estas relaciones:

• La tijera corta el papel.• EI papel cubre la piedra.• La piedra aplasta al lagarto.• EI lagarto mata a Spock.• Spock tritura la tijera.• La tijera decapita al lagarto.• EI lagarto se come el papel.

• EI papel confunde a Spock.• Spock pulveriza la piedra.• La piedra rompe la tijera.

/

La union de dos sucesos, A y B, se produce cuan-do alguno de los dos sucesos se cumple. La union sesimboliza mediante U. La union es un nuevo conjun-to que esta formado por los elementos del suceso A ypor los elementos del suceso B.

Por ejemplo, si en el experimento aleatoric del lan-zamiento de un dado, el suceso A es {numeros me-nares que 3} Y el suceso B es {numeros pares}, elespacio muestral es:

La interseccion de los sucesos A y B es igual alconjunto formado por aquellos elementos que cum-plen tanto A como B, de forma simultanea. Se repre-senta mediante el simbolo n.

A partir del ejemplo anterior, la interseccion de losdos sucesos A y B es igual a un unico elemento, de-bide a que es el unico que se cumple tanto en A comoenB:

Teniendo en cuenta la operacion de interseccion, sedefine la incompatibilidad de dos sucesos si se cum-pIe la siguiente condicion:

Esta expresion significa que dos sucesos son in-compatibles en caso de que su interseccion sea igualal conjunto vado.

Por el contrario, dos sucesos son compatibles si secumple la condicion contraria:

La diferencia de los sucesos A y B es el conjuntode elementos de A que no se dan en B. Se representamediante el simbolismo A-B.

Supongase un experimento aleatorio de lanzarnien-to de dados en el que A = {numeros pares} y B ={numeros primos}. Estos sucesos estan constituidospar los siguientes conjuntos de numeros:

A = {2, 4, 6}

B = {2,3,5}

La diferencia A - B es igual a los elementos delconjunto de A que no se dan en B. El unico elemen-to que se repite es el 2, por 10 que se suprime. Porconsiguiente, el resultado es:

En las operaciones con sucesos, se cumple siemprela siguiente condicion:

La frecuencia absoluta de un suceso A es el nume-ro q de veces que se ha verificado, despues de hacerun numero p de pruebas. La frecuencia absoluta seexpresa del siguiente modo:

La frecuencia relativa es el cociente entre la fre-cuencia absoluta y el numero p de pruebas realizadas.La formula para calcularlo es:

fr(A) = fa(A) = fJ.p p

La frecuencia relativa es un valor comprendido en-tre 0 y 1. Para un numero muy grande de pruebas, elvalor 0 de la frecuencia relativa significa que se tratade un suceso imposible, rnientras que el valar 1 indi-ca que es un suceso seguro.

Por ejemplo, consideremos el caso de una com-putadora que esta programada para generar, al azar,cualquiera de las tres primeras letras del abecedario,A, Bye, y supongamos que se sabe ademas que losdiez primeros resultados generados par la maquinason los siguientes: la letra A ha salido cuatro veces,la B, tres veces, y la C, otras tres. En este caso la fre-cuencia relativa ifr) se calcula dividiendo cada uno deestos resultados entre el numero total de pruebas rea-lizadas (que en este ejemplo es de diez). Por 10tanto,los resultados que se obtienen son:

III CONCEPTOS BAslCOS Y PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

I Indicar si la extraccion de una carta de unabaraja es un experimento aleatorio.Una baraja tiene diferentes clases de cartas. Al ex-traer una de ellas, solo puede saberse con seguridadcual es despues de verla. Se trata, por tanto, de unexperimento aleatorio.

2 Calcular la orbita de un planeta ;,es un expe-rimento aleatorio?Si se tienen en cuenta todos los factores que intervie-nen en la trayectoria del planeta, se puede predecir deforma muy precisa su orbita. No puede considerarse,pues, un experimento aleatorio, sino un experimentodeterminista.

3 En una bolsa hay tres caramelos: de menta,fresa y limon. Se extrae un caramelo con los ojostapados. Indicar cmil es el espacio muestralde este experimento aleatorio.El espacio muestral es igual al conjunto de re-sultados posibles que pueden darse. En estecaso son tres: que el caramelo sea de menta,de fresa 0 de limon. Por tanto:

Q = {menta, fresa, limon}.

4 Supongamos que se lanza una monedaal aire. Indicar:

a) Si se trata 0 no de un experimentoaleatorio.

b) Su espacio muestral.

c) Los sucesos elementales posibles.

a) Es un experimento aleatorio, porqueno se sabe de antemano cual va a ser elresultado dellanzamiento.

b) Una moneda puede caer de dos maneras: por lacara 0 por la cruz. Si la cara se representa medianteun cfrculo y la cruz mediante una aspa, el espaciomuestral es:

Q ={Q, xlc) Hay dos sucesos elementales. Uno es que salgacara, mientras que el otro es que salga cruz.

5 Supongamos que el espacio muestral de un ex-perimento aleatorio es:

Se tiene un suceso A = {14, IS}. ;,Cmil es el sucesoopuesto a A?

EI suceso opuesto es el conjunto de elementos delespacio muestral que no pertenecen al subconjuntoA. Por tanto, se eliminan los elementos 14 y 18 delespacio muestral y el resto es el opuesto:

6 Se extrae una bola de una bolsa que contiene5 bolas numeradas de I a 5. Indicar:

a) EI espacio muestral.

b) EI suceso A de los mimeros pares.

c) EI suceso opuesto A.

a) EI espacio muestral es el conjunto de resultadosposibles que se pueden obtener al efectuaro la extraccion. Puede ser una bola numerada con

~ el mimero 1,2,3,405. Por tanto, el espacio~Ir muestral es:

b) El suceso A de los llIimeros pares es el sub-conjunto de elementos del espacio muestral quecumplen esta condicion. Hay dos mimeros pares,

2 y 4. Matematicamente, el suceso A se repre-senta de la siguiente manera:

c) EI suceso opuesto A es igual a to-dos los elementos que no son pares, es

decir, que son impares. Por tanto:

7 Se lleva a cabo un experimento aleatorio cuyoespacio muestral es:

EI suceso A es {numeros primos} y el suceso B es{multiplos de 5}. Hallar la union de los sucesos AyB.EI suceso A esta formado por estos numeros:

La uni6n de los sucesos A y B es un conjunto integra-do por todos los elementos que se encuentran tanto enA como en B. Por tanto:

8 En un experimento aleatorio, el espacio mues-tral es el siguiente:

EI suceso A es {multiplos de 3} y el suceso B es{multiplos de 2}. Hallar la interseccion de los su-cesos Ay B.

En este caso, el suceso A esta integrado por los si-guientes mimeros:

La intersecci6n de A y B esta formada tinicamentepor aquellos ntimeros que se encuentran tanto en Acomo en B. El tinico ntimero que en este caso se re-pite es 30. Por tanto:

9 EI espacio muestral de un experimento aleato-rio es el siguiente:

EI suceso A es {numeros iguales 0 inferiores a 8},mientras que el suceso B es {mimeros primos}.Hallar la diferencia de A y B.

El suceso A esta farmado por todos los elementosdel espacio muestral, porque todos ellos son igualeso inferiores a 8. Par tanto:

La diferencia es el conjunto de elementos de A queno se encuentran en B. Es decir:

10 EI espacio muestral de un experimento alea-torio es:

EI suceso A es {multiplos de 3} y el suceso B es{multiplos de 4}. Hallar la interseccion de A y B,su union y su diferencia.El conjunto A esta formado par los dos siguienteselementos:

La intersecci6n de A y B es igual al conjunto de ele-mentos que estan tanto en A como en B. Solo hay unvalor, 60, que cumpla estas caracterfsticas:

La uni6n de los dos conjuntos es un conjunto forma-do por aquellos ntimeros que se encuentren en el su-ceso A 0 en el suceso B:

La diferencia de A y B es el conjunto de elementosde A que no se encuentran en B. El resultado es:

A - B es equivalente a A n B, par 10 que se puedecomprobar el resultado aplicando esta expresi6n.

El suceso contrario de B es igual al conjunto de ele-mentos del espacio muestral que no se encuentran enB. Por tanto:

La intersecci6n de A y el opuesto de B es el conjuntode elementos que se encuentran en ambos conjuntos.El tinico valor que se repite es 30, por 10 que:

11 Se lanza un dado. EI suceso A = {mtiltiplosde 13}, ;,es un suceso seguro 0, por el contrario, esun suceso imposible?Los dados dan valores entre I y 6. Ninguno de estosnumeros es multiplo de 13, por 10 que este suceso esimposible.

12 En una bolsa hay bolas rojas numeradas de 1a 10. EI suceso A es {ntimeros primos} mientrasque B es {bola roja}. Indicar si los sucesos A y Bson compatibles 0 incompatibles.Como todas las bolas son rojas, el suceso {bola roja}y el suceso {numeros primos} son compatibles.

13 Se efecttia 10 veces un experimento aleatoriocuyo espacio muestral es:

EI suceso A = {ntimeros primos} se cum pie en 6ocasiones. Determinar la frecuencia absoluta y re-lativa del suceso A.La frecuencia absoluta es el numero de veces que secumple el suceso. Es 6 por 10 que:

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuen-cia absoluta y el numero de veces que se ha efectuadoel experimento:

f,(A) = fa(A) = ~ = 0 6r 10 10 '

14 Se juega un partido de futbol. Indicar si el resul-tado es un experimento aleatorio.

15 Se compra una caja de bombones iguales. l,Pue-de ser un experimento aleatorio tomar un bomb6ncon los ojos cerrados y determinar de que tipo es?

16 l,Puede constituir un experimento aleatorio el nu-mero que saldn'i premiado en un sorteo de la lotena?

17 Decir si la extracci6n de una bola de un bomboen el juego del bingo es un experimento aleatorio 0

determinista.

18 Indicar si es un experimento determinista 0 alea-torio el calculo del tiempo que tarda una piedra encaer al suelo desde una cierta altura conocida.

19 l,Es un experimento determinista comprobar sison 0 no defectuosas las piezas que se producen enuna fabrica?

20 l,Cual es el espacio muestral del resultado de unpartido de fUtbol?

21 Indicar el espacio muestral en el experimento dela extracci6n de una bola en el bingo.

22 Decir cual es el espacio muestral de un partidode tenis.

23 En un bombo hay 10 bolas numeradas de 0 a 10.EI suceso A es {multiplos de 5}. Indicar que mimerosforman parte de este suceso.

24 En una bolsa hay diferentes cartulinas, en ca-da una de las cuales se ha escrito una letra distintadel abecedario. EI suceso A es {vocales}. Escribirlos elementos que forman parte de este suceso.

25 Se escriben las cinco primeras letras del abece-dario en deferentes cartulinas, de modo que en cadacaItulina se escribe una letra distinta. Se doblan y seintroducen en una bolsa. Escribir los elementos de:

a) El espacio muestral.b) El suceso A = { vocales } del espacio muestral.

Soluci6n: a) n= {a, b, c, ch, d}b) A={a}

26 Supongamos un experimento aleatorio cuyo es-pacio muestral es:

Indicar los numeros del espacio muestral que formanparte del suceso A = {numeros pares}.

27 Se sortea una pelota entre Juan, Sergio, Silvia,Susana y Tamara. Cada uno escribe su nombre en unpapel y 10 introduce en una bolsa. l,Cmiles son loselementos que forman parte del suceso A = {personasde sexo femenino}?

28 Un experimento aleatorio tiene el siguiente es-pacio muestral:

a) Representar los elementos que forman parte delsuceso A = {numeros primos}.

b) l,C6mo se denomina esta clase de sucesos?

Soluci6n: a) A = {0}b) Sucesos imposibles

29 En el experimento aleatorio del ejercicio ante-rior, el suceso B es {numeros pares}.

a) Indicar que elementos forman parte del suceso B.b) l,C6mo se conoce este tipo de sucesos?

Soluci6n: a) B = {4, 6, 8, 10}b) Sucesos seguros

30 El espacio muestral de un experimento aleatorioes el siguiente:

12 = {l,2,3,4,5,6,7,8,9, lO}

Responder alas siguientes cuestiones:

a) Tipo del suceso A = {numeros mayores que 20}.b) Tipo del suceso B = {numeros menores que 20}.

Soluci6n: a) Suceso imposibleb) Suceso seguro

31 Se lanza un dado. El suceso A es {numeros pa-res}, mientras que el suceso B es {multiplos de 3}.Indicar si A y B son sucesos compatibles.

32 En un partido de futbol, el suceso A es {vic-toria}, mientras que el suceso B es {derrota}. l,Soncompatibles los sucesos A y B?

33 Se compran cartulinas con los siguientes colo-res: blanco, azul, amarillo, negro, rojo, verde y purpu-ra. Se colocan en un recipiente y despues se extraeuna cartulina al azar. El suceso A es {colores prima-rios} y el suceso B es {colores secundarios}. El su-ceso C es {colores calidos} y el suceso D es {coloresfrios}. Indicar:

a) Los elementos que forman parte de los sucesos A,B,CyD.

b) Indicar que parejas de sucesos son compatibles ycucilesson incompatibles.

Soluci6n:a) A ={rojo, verde, azul}

B = {blanco, amarillo, negro, purpura}C = {amarillo, rojo, purpura}D = {azul, verde}

b) Son compatibles Aye, A y D, y ByeSon incompatibles: A y B, C YD, YB YD

34 Se lanza un dado. El suceso A es {numeros pri-mos}. Hallar el suceso contrario.

35 En un bombo se incluyen bolas numeradas del1 al 20. El suceso A es {multiplos de 2}. Hallar elsuceso contrario.

36 En el juego del bingo, el suceso A es {mayoresque II}. Hallar el suceso opuesto de A.

37 Se efectua un experimento aleatorio cuyo espa-cio muestral es:

Supongase que el suceso A es {menores que 13} yelsuceso B es {multiplos de 3}. Hallar la union de lossucesos A y B.

38 El espacio muestral de un experimento aleatorioes el siguiente:

El suceso A es {multiplos de 2} Y el suceso B es{mUltiplos de 3}. Escribir cmll es la union de los su-cesos Ay B.

39 En el experimento aleatorio del lanzamiento deun dado, el suceso A es {multiplos de 3} Yel sucesoB es {mayores que 4}. (,Que numeros forman partede la union de los sucesos A y B?

40 En el juego del bingo, el suceso A es {multiplosde 1O}y el suceso B es {multiplos de 25}. Hallar launion de ambos sucesos.

Solucion:{10, 20, 25,30,40, 50,60,70,75, 80,90}

41 Se lanza un dado. El suceso A es {numeros me-nores 0 iguales que 2} y el suceso B es {numerosiguales 0 mayores que 5}. Determinar la interseccionde ambos sucesos.

42 Se efectua un experimento aleatorio cuyo espa-cio muestral es:

El suceso A es {multiplos de 3} y el suceso B es{multiplos de 2}. (,Cual es el conjunto interseccionde ambos conjuntos?

43 El espacio muestral de un experimento aleatorioes el siguiente:

El suceso A es {multiplos de 4} Y el suceso B es{multiplos de 3}.

a) Hallar la union de A y B.b) Calcular la interseccion de A y B.c) Encontrar la diferencia de A y B.

Solucion: a) A U B = {3, 4, 6, 8, 9, 12}b) A (J B={12}c) A - B = {4, 8}

44 En el juego del bingo hay 90 bolas en un bombo,numeradas dell al 90. El suceso A es {mayores que85} y el suceso B es {mUltiplos de 33}.

a) Hallar la union de A y B.b) Determinar la interseccion de A y B.

Soluci6n: a) A U B = {33, 66, 86, 87, 88,89,90}

b) A (J B={0}

45 Se lanzan dos monedas al aire al mismo tiempo.Se representa 1 como cara y 0 como cruz. Indicar:

a) El espacio muestral del experimento.b) El suceso A {obtener mas de 1 cara}.c) El suceso B {no obtener ninguna cruz}.

Solucion: a) !!= {(I, 1), (1, 0), (0, 1), (0, O)}b) A= {(I, I)}c) B={(I,I)}

46 Se lanza un dado. El suceso A es {mimeros im-pares} y el suceso B es {mimeros primos}. Hallar ladiferencia A - B.

47 Un experimento aleatorio tiene el siguiente es-pacio muestral:

El suceso A es {multiplos de 3} Y el suceso B es{multiplos de 4}.

a) Hallar el opuesto de B.b) Calcular la interseccion de A y el opuesto de B.c) Determinar la diferencia de A y B.

Solucion: a) B = {I, 2, 3, 5, 6, 7, 9,10,11}

b) AnB={3,6,9}c) A-B={3,6,9}

48 Un experimento aleatorio tiene el siguiente es-pacio muestral:

El suceso A es {multiplos de 3} y el suceso B es{multiplos de 1O}.

a) Calcular el opuesto de B.

b) Hallar la interseccion de A y el opuesto de B.c) j, Cual es la diferencia de A y B?

Solucion: a) B = {5, 15, 25, 35}

b) AnB={15}c) A-B={15}

49 Se extrae una carta de una baraja. Hallar launion, la interseccion y la diferencia de los sucesosA = {copas menores que 9} y B = {copas mayoresque 5}.

Solucion: A u B = {I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12 de copas}A n B = {6, 7, 8 de copas}A - B = {I,2, 3, 4, 5 de copas}

50 En una baraja se utiliza solo el palo de las copasy se extrae una carta. Hallar el suceso contrario a A{figura}.

51 Se ha lanzado cinco veces un dado y en tres oca-siones se ha obtenido el numero 2. Hallar la frecuen-cia absoluta y relativa de este suceso.

52 En una bolsa se guardan cinco tipos diferentesde minerales: azurita, limonita, talco, blenda y cuar-zoo Una persona extrae un mineral, apunta su nom-bre y vuelve a introducirlo en la bolsa. Despues deefectuar este proceso 20 veces, ha contabilizado lasapariciones de los minerales tal como se aprecia enla siguiente tabla:

Mineral azurita limonita talco blenda cuarzoI I I ,

Frecuenciaabsoluta 3 7 1 4 5

Solucion: azurita: 0,15;talco: 0,05;cuarzo: 0,25

limonita: 0,35blenda: 0,2

53 Se lanza un dado cuarenta veces. Cada una delas caras ha salido el siguiente numero de veces:

Cara 1 2 3 4 5 6-4 ---I

Frecuenciaabsoluta 5 8 11 5 4 7---'

EI suceso A es {mimeros primos}, el suceso B es{numeros pares} y el suceso C es {numeros impa-res}. Calcular la frecuencia relativa de cada uno delos sucesos.

54 En cincuenta ocasiones se extrae al azar una car-ta de una baraja espanola que tiene en total cuarentay ocho cartas. Cada carta se devuelve ala baraja des-pues de anotar su valor numerico en una libreta. EIresultado de los experimentos aleatorios es el que semuestra en la tabla:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12--+-Frecuenciaabsoluta

Calcular la frecuencia relativa con la que aparece ca-da uno de los numeros.

1,(1) = 0,04; 1,(2) = 0,1

1,(3) = 0,04; 1,(4) = 0,06

1,(5) = 0,08; 1,(6) = 0,14

1/7) = 0,04; 1,(8)= 0,04

1/9) = 0,12; 1,(10) = 0,1

1,(11) = 0,14; 1,(12) = 0,1

55 Varios amigos estan sentados en un banco alla-do de la carretera. Para entretenerse, se fijan en elcolor de cada uno de los coches que pasan, durantemedia hora. EI resultado obtenido se encuentra en lasiguiente tabla:

Colorde coche

Frecuenciaabsoluta

Rojo

Gris

Calcular la frecuencia relativa de cada uno de los co-lores de los coches y su porcentaje. Dar la respuestaen forma de tabla.

Color Frecuencia Frecuencia Porcentajede coche absoluta relativa ( %)

Blanco 6 0,272 27,27

Azul 2 0,090 9,09

Rojo 8 0,363 36,36

Gris 5 0,227 22,72

Verde 1 0,045 4,54

56 Una computadora genera al azar en su panta-lla figuras geometricas de triangulos, cuadrados ypentagonos. Cada segundo se genera una figura y en30 segundos han aparecido 12 triangulos, 7 cuadra-dos y 11 pentagonos.

a) Calcular la frecuencia relativa de aparici6n de ca-da uno de los sucesos y sus porcentajes, medianteuna tabla.

b) Hallar la frecuencia absoluta del suceso contrarioa A = {figura con mas de 3 lados}

Figura Frecuencia Frecuencia Porcentajegeometrica absoluta relativa ( %)

Trilingulo 12 0,400 40

Cuadrado 7 0,233 23,33

Pentagono 11 0,366 36,66

57 En una fruterfa se produce un pequeno accidentey se rompen varias cajas de manzanas, peras y man-darinas. Un nino ayuda a recoger la fruta, y reune seismanzanas, ocho peras y cinco mandarinas. Calcularlas frecuencias relativas de cada una de las piezas defruta que ha recogido.

Soluci6n: IT (manzanas) = 0,315

I,(peras) = 0,421

I,(mandarinas) = 0,263