REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL GEOMETRIA ANALITICA

GUA DE EJERCICIOS PROPUESTOS. 1ER CORTE 1.- Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: (-5) y (6); (3) y (-7); (-8) y (12). 2.- La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (-2), hallar el otro punto. 3. Tres vrtices de un rectngulo son los puntos (2, -1); (7, -1) y (7, 3). Hallar el cuarto vrtice y el rea del rectngulo. Sol: (2, 3); 20. 4.- Hallar las coordenadas de un punto (x,y) que divida al segmento determinado por los puntos 2 P (1,7) y P2 (6, ) en la relacin dada r = 3 1 3 Sol: P (3, 3) 5.- Hallar las coordenadas del punto P(x,y) que divida al segmento determinado por A(-2,1) y 8 B(3, -4) en la relacin r = 3 Sol: P (6, -7) 6.- El extremo del dimetro de una circunferencia de centro C (-4, 1) es B (2,6). Hallar las 1 coordenadas A(x,y) del otro extremo. r = 2 Sol: A (-10,-4) 7.- Los puntos extremos de un segmento son los puntos P1 (2, 4) y P2 (8, -4). Hallar el punto P(x, y) que divide a este segmento en dos partes tales que P2P: PP1 = -2. Sol: (1, -2). 8.- Los extremos de un segmento son los puntos P ( 7,4 ) y P2 ( 1,4 ) . Hallar la razn 1 P (1, ) divide al segmento. 2 P P : P 2 en que el punto P 1 Sol: r =3 3.- Los puntos medios de los lados de un triangulo son (2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres vrtices. Sol: (-1, 4), (5, 6), (3, -2) 10.- Hallar la pendiente y el ngulo de inclinacin de la recta que pasa por los puntos (1, 6) y (5, -2). Grafique y seale el ngulo. Sol: m = 2, =116 .6 11- Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa del otro punto es 4. Hallar su ordenada. Sol: 5 12.- Hallar los ngulos internos del triangulo cuyos vrtices son A (-3,-2), B (2, 5) y C(4,2).

Sol: = 24 .7 , = 69 .2 , = 86 .1 13.- Hallar la pendiente de la recta que forma un ngulo de 45 con la recta que pasa por los puntos (2,-1) y (5, 3). Sol: m2 = 7 14.- Aplicando el concepto de pendiente, comprobar cuales de los siguientes puntos son colineales. a) (2, 3), (-4, 7) y (5, 8) b) (4, 1), (5,-2) y (6,-5) c) (-1,-4), (2, 5) y (7,-2) Sol: a) NO, b) SI, c) NO Verificar el resultado por la formula de la distancia. 15.- El tringulo con vrtices A (1,5); B (4,2); C (5,6) Es issceles? Demostrarlo a travs de la ecuacin de distancia entre dos puntos. 16.- El tringulo con vrtices A (-5,6); B (2,3); y C (5,10) Es un tringulo rectngulo? Demostrarlo a travs de la ecuacin de distancia entre dos puntos. 17.- Determinar un punto que equidiste de los puntos A (1,7); B (8,6) y C (7,-1). Sol: P (4,3) 18.- Los puntos medios de los lados de un tringulo son (2,5); (4,2) y (1,1). Determine las coordenadas de sus tres vrtices. Sol: P1 (-1,4); P2 (8,6); P3 (2,-2) 19.- Hallar los puntos de triseccin (divisin del segmento en tres partes iguales) y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos P1 (-7) y P2 (-19). Sol: P3 (-15), P4 (-11); Pm (-13) 20.- Hallar el ngulo ubicado en el vrtice C dentro del paralelogramo cuyos vrtices son A (2,-1); B (1,5); C (10,7) y D (7,3). Sol: 40. 21.- Demostrar que los tres puntos (2, 5), (8, -1) (-2, 1) son los vrtices de un triangulo rectngulo y hallar sus ngulos agudos. Sol: 33,41 y 56,19 22.- Demostrar que los puntos P (2,-2), B (-8,4), C (5,3), son los vrtices de un tringulo rectngulo. Halle su permetro. 23.-Demostrar que los puntos A (3,8); B (-11,3); y C (-8,-2) son los vrtices de un tringulo issceles. 24.- Demostrar que los puntos A (3,3); B (-3,-3); y P ( 3 3 ,3 3 ) son los vrtices de un tringulo equiltero.1 25.- Los vrtices de un triangulo son A( 1,3) , B (3,5) y C (7, ) . Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC. Demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC. Sol: AC =8.94 y D = 4.47 E

6 26.- Una recta l1 pasa por los puntos (3,2 ) y ( 4, ) y la otra recta l 2 pasa por el punto ( 7,1) y por el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto A sabiendo que l1 es perpendicular a l 2 . Sol: x = 1

27.- Demostrar que la recta que pasa por los 2 puntos ( 2,5) y ( 4,1) es perpendicular a la que pasa por los puntos ( 1,1) y (3,7 ) . 28.- Los puntos P (2,-4) y Q (6,0) son vrtices consecutivos de un paralelogramo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla: a) Los otros dos vrtices b) Los ngulos del paralelogramo 29.- Un rombo ABCD tiene un vrtice en el eje de ordenadas; otros dos vrtices opuestos son B (3,1) y D (-5,-3). Halla las coordenadas de los vrtices A y C, y el rea del rombo. 30.- Hallar la ecuacin a la cual debe satisfacer cualquier punto P ( x, y ) que pertenezca a la 1 recta que pasa por el punto (3, ) y que tiene una pendiente igual a 4. Sol: 4 X Y 13 = 0 31.- Hallar la ecuacin a la cual debe satisfacer cualquier punto P ( x, y ) que pertenezca a la 1 recta que pasa por los dos puntos ( 2, ) y ( 7,3) . Sol: 4 X 5Y 13 = 0 32.- En cada uno de los ejercicios disctase la ecuacin estudiando las intercepciones, simetra y extensin. Despus trcese la grafica correspondiente.

a. b. c. d. e.

5x + 4y 20 = 0 3x2 + 3y2 -10 = 0 16y2 x = 0 x3 x y = 0 x2 + y2 2x 2y = 14

33. En cada uno de los casos siguientes construir la curva de la ecuacin dada. a. xy 2y 3 = 0 b. xy 3y x = 0 c. x4 4 x2 y = 0 d. x2 2xy + y2 6x 6y +3 = 0 e. x y2 9x y 1 = 0 34.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A (-6, -3) y tiene un ngulo de inclinacin de 45o 35.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los dos puntos A (4, 2) y B (-5, 7). 36.- Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuacin Ax By + 4 = 0 de una recta, si debe pasar por los puntos C (-3, 1) y D (1, 6). Sol: A= 20/19, B= 16/19 37.- Hallar el ngulo agudo formado por las rectas 4x 9y + 11 = 0, 3x + 2y 7 = 0.

Sol: 80,16o 39.- Hallar la ecuacin de una recta determinando los coeficientes de la forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y Y, es decir sus intersecciones, son 3 y -5, respectivamente. Sol: 5x 3y -15 = 0 40.- Hallar la ecuacin de la recta determinando los coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3x 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (-1, -3). Sol: 4x + 3y + 13 = 0

GUA DE EJERCICIOS DE RECTAS1.- Hallar las ecuaciones de las rectas con las condiciones dadas:

Pendiente 3 y pasa por el punto (-2, 7). Pendiente -4/3 y pasa por el punto (-1, 7). Pasa por los puntos (-2, 6) y (3,-5).

Sol: 3x y +13 = 0 Sol: 4 x + 3 y +17 = 0

Sol: 11 x + 5 y 8 = 0

Pendiente 0 y pasa por el punto (3, 8). Sol: y 8 = 0 Pasa por los puntos (8,-2) y (7,-2).Sol: y + 2 = 0 Sol: y + 5 = 0 Sol: 3 x + y = 0

Pendiente 0 e interseccin con y igual a -5.

Pendiente -3 e interseccin con y igual a cero.

2.- Hallar la pendiente y la interseccin con Y de la recta 2 x + 7 y +1 = 0 . 2 1 Sol: m = b = 7 7 3.- Hallar ambas intersecciones de la recta 2 x + 5 y + 8 = 0 . 8 Sol: con x = 4 con y = 5 4.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1,-4) y es paralela a la recta x + 5 y 3 = 0 . Sol: x + 5 y +19 = 0 5.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la recta 2x +3y + 4 = 0 . Sol: 3 x 2 y 13 = 0 6.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (-1,-3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (3, 2) y (5, 7). Sol: 5 x + 8 y + 29 = 0 7.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por (-5, 3) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (7, 0) y (-8, 1). Sol: 15 x y + 78 = 0 8.- Hallar la ecuacin de la mediatriz del segmento que tiene por extremos (6, 2) y Sol: 14 x 2 y 30 = 0 9.- Hallar la ecuacin de la mediatriz del segmento que tiene por extremos (1, 7) y Sol: 8 x +10 y 37 = 0 (-1, 3). (-3, 2).

10.- Use la forma de ecuacin de la recta adecuada para calcular la pendiente y la ordenada en el origen. Represente su lugar geomtrico. a) 3 x 4 y + 8 = 0 b) x + 2 y = 0 c) 5 x + 4 y = 20

d) Sol: a) m =

x = 3y +7

3 b = 2 4

b) m =

1 b = 0 2

c) m =

5 b =5 4

d) m =

1 7 b = 3 3

Resumen de ecuaciones y y1 = m( x x1 ) Punto pendiente Que pasa por dos puntos Pendiente ordenada en el origen Ecuacin general Rectas paralelas

y y1 =

y 2 y1 ( x x1 ) x 2 x1

y = m.x + b Ax + By + C = 0

m1 = m 2

Rectas perpendiculares Recta horizontal Recta vertical

m1 m 2 = 1 m1 =

1 m2

x =k

y =k

m >0

m