3. CIRCUITO RC CON FUENTE SENOIDAL Y CARGA ALMACENADA EN EL CAPACITOR

Para el circuito serie RC del siguiente esquema, aplíquese una tensión senoidal v=100 sen (1000 t+θ ) voltios, y con una carga inicial en el condensador q0=25 x10

−6C con la polaridad mostrada. Hallar:

a) La intensidad de la corriente i(t) que circula por el circuito si el interruptor se cierra en el instante en que θ=30° .

b) Simule el circuito en Pspice. c) Utilice Matlab para calcular la transformada inversa de la Laplace para I(s) y grafique i(t).

Solución (a)

Aplicando la LVK se tiene:

Ri+ 1C∫ idt=100 sen(1000 t+30

°)

Tomando la transformada inversa de la Laplace:

RI ( s)+ 1C sI (s )+ 1

C s∫ i ( t )dt │0+¿=100[ s sen (30° )+1000cos (30°)

s2+10002 ](A )¿

Considerando que:

i=dqdt

o q¿

Observe que la carga inicial en el capacitor en el sentido elegido, provoca una subida de tensión por lo que la carga es négativa.

Al sustituir parámetros en la ecuación (A) resulta:

500 I ( s )+ 10.5 x10−6 s

I ( s)+−25 x10−6

0.5 x10−6 s=100 [ s sen (30° )+1000cos (30°)

s2+10002 ]

I ( s )(500+ 2x 106s )−50s =50 s+86602.54s2+10002

I ( s )(500+ 2x 106s )=50 s+86602.54s2+10002+ 50s

I ( s )=

50 s+86602.54s2+10002

+ 50s

500 s+2x 106

s

= 50 s2+86602.54 s( s2+10002)500 ( s+4000 )

+ 50500 (s+4000 )

I ( s )= 0.1 s2+173.2 s( s2+10002 ) ( s+4000 )

+ 0.1( s+4000 )

Enseguida aplicamos fracciones parciales al primer término del segundo miembro de la ecuación:

0.1 s2+173.2 s(s2+10002 ) (s+4000 )

= A s+Bs2+10002

+ Cs+4000

0.1 s2+173.2 s=( As+B ) (s+4000 )+C ( s2+10002 )

0.1 s2+173.2 s=As2+4000 A s+Bs+4000 B+c s2+10002C

0.1 s2+173.2 s=( A+C ) s2+(4000 A+B)s+(4000B+10002C)

A+C=0.1 (1)

4000 A+B=173.2(2)

4000 B+10002C=0(3)

En forma matricial:

[ 1 0 14000 1 00 4000 10002][

ABC ]=[ 0.1173.2

0 ] o bien [ABC ]=[ 1 0 14000 1 00 4000 10002]

−1

[ 0.1173.20 ]

Resolviendo el sistema de ecuaciones con Matlab:

>> a=[1 0 1;4000 1 0;0 4000 1000^2];

>> c=[0.1;173.2;0];

>> b=a^-1*c

b =

0.0466

-13.3412

0.0534

A=0.0466

B=−13.3412

C=0.0534

Por lo que I(s) es:

I ( s )= 0.0466 s

s2+10002− 13.3412

s2+10002+ 0.0534s+4000

+ 0.1s+4000

Tomando la transformada inversa de Laplace:

L−1 I (s )=0.0466 L−1[ s

s2+10002 ]−13.34121000L−1[ 1000

s2+10002 ]+0.1534 L−1[ 1s+4000

]

i (t )=0.0466cos (1000 t )−0.0133412 sen (1000 t )+0.1534e−4000 t A

De donde se observa que la corriente transitoria o natural es:

in=0.1534 e−4000t A

También se observa que la corriente permanente o forzada es:

i p=0.0466cos (1000 t )−0.0133412 sen (1000 t ) A

Podemos convertir la respuesta permanente en una sola función para compararla con la fuente de tensión aplicada y determinar la relación de fase. Si el voltaje aplicado es:

v=100 sen (1000 t+30°)

Es de esperarse que la respuesta tendrá la forma:

i p=Im sen (1000 t+Φ)

Con lo que deberá calcularse el valor máximo Im y el ángulo de fase Φ. Aplicando una identidad trigonométrica a esta ecuación resulta:

i p=Im sen (1000 t )cos (Φ )+ Imcos (1000 t ) sen (Φ )

Comparando con la ecuación obtenida por el método de Laplace:

i p=0.0466cos (1000 t )−0.0133412 sen (1000 t )

Se obtienen las siguientes ecuaciones:

Im sen (Φ )=0.0466 (4)

Imcos (Φ )=−0.0133412(5)

De donde se determina que:

tan (Φ )= sen (Φ)cos (Φ)

=

0.0466Im

−0.0133412Im

=−3.4929

Φ=−74.02°

Despejando de la ecuación (5) Im y resolviendo:

Im=−0.0133412cos (−74.02°)

=−0.0484

Con lo que la i p es:

i p=−0.0484 sen (1000 t±74.02°)

Haciendo positiva la corriente:

i p=−0.0484 sen (2000 t±74.02°+180°)

i p=0.0484 sen (1000 t+105.98° ) A

v=100 sen (1000 t+30°)

Al comparar con el voltaje de entrada se aprecia que la corriente i p adelanta a v en 75.98°

Por lo que la corriente total puede escribirse como:

i (t )=0.1534e−4000t+0.0484 sen (1000 t+105.98° ) A

Solución (b)

Realizando el análisis con Pspice se obtiene el circuito y gráficas siguientes:

C 10 . 5 u

C M A X

R 1

5 0 0

0

V 1

F R E Q = 1 5 9 . 1 5 4 9V A M P L = 1 0 0V O F F = 0

A C =

I

Time

0s 2ms 4ms 6ms 8ms 10ms 12ms 14ms 16ms 18ms 20ms 22ms 24ms 26ms 28ms 30msI(R1)

-100mA

0A

100mA

200mA

Grafica de i (t )=0.1534e−4000 t+0.0484 sen (1000 t+105.98° ) A

Time

0s 2ms 4ms 6ms 8ms 10ms 12ms 14ms 16ms 18ms 20ms 22ms 24ms 26ms 28ms 30msV(V1:+)

-100V

-50V

0V

50V

100V

Grafica de v=100 sen (1000 t+30°)

Time

0s 2ms 4ms 6ms 8ms 10ms 12ms 14ms 16ms 18ms 20ms 22ms 24ms 26ms 28ms 30msV(C1:+)

-100V

-50V

0V

50V

100V

Gráfica del voltaje en el capacitor

Solución (c)

Utilizando Matlab para obtener la transformada inversa de Laplace y considerando que:

I ( s )= 0.0466 s

s2+10002− 13.3412

s2+10002+ 0.1534s+4000

Tenemos:

>> syms s;

>> I=0.04660*s/(s^2+1000^2)-13.3412/(s^2+1000^2)+0.1534/(s+4000);

>> ilaplace(I)

ans =

(233*cos(1000*t))/5000 + (767*exp(-4000*t))/5000 - (33353*sin(1000*t))/2500000

Lo cual equivale a la respuesta antes encontrada:

i (t )=0.0466cos (1000 t )−0.0133412 sen (1000 t )+0.1534e−4000 t A

Graficando con Matlab:

i (t )=0.1534e−4000t+0.0484 sen (1000 t+105.98° ) A

>> syms t;

>> t=linspace(0,0.02,1000);

>> i=0.1534*exp(-4000*t)+0.0484*sin(1000*t+105.98*pi/180);

>> plot(t,i);

>> xlabel('Tiempo(segundos)');

>> ylabel('i(amperes)');

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2X: 0Y: 0.1999

Tiempo(segunsos)

i(am

pere

s)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

X: 0.01235Y: 0.0483

Tiempo(segunsos)

i(am

pere

s)