3Fundamentos psicopedagogicos matemáticos 2

8/14/2019 3Fundamentos psicopedagogicos matemticos 2

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Domingo Fernndez Sabido 1


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Psicopedagoga del nmero ( natural, fraccionario y decimal ) yde la numeracin en el Proyecto.Nuestro proyecto se asienta en una serie de principios

didcticos sobre los que desarrolla una serie de actividades quepretenden el desarrollo de la comprensin del sentido numrico ,por parte del alumno y que Sowder (1992:4-6) sintetiza en las

siguientes habilidades o destrezas:Habilidad para componer y descomponer nmeros y sus distintasrepresentaciones. Esta habilidad est ntimamente relacionada conla comprensin del sistema de numeracin decimal ( agrupamiento

y valor de posicin ).Habilidad para comparar y ordenar nmeros por tamao.Habilidad para entender e inventar clculos pensados o mentales.Habilidad para estimar respuestas numricas a los clculos.


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Psicopedagoga del nmero ( natural, fraccionario ydecimal ) y de la numeracin en el Proyecto.

Los principios y actividades que se aplican en el Proyecto consisten,sintticamente, en los siguientes: 1: Respeto a las fases manipulativa, grfica ( figurativa yesquemtica ) y simblica. Para poder comunicar y utilizar las ideas numricasse utilizan representaciones de dichos conceptos. Las representaciones,siguiendo las fases o etapas descritas son: . Objetos concretos: cuando se representa la cantidad 431 con los

bloques multibase de Dienes ( 4 placas, 3 barras y 1 taquito ). El dibujo de esos mismos objetos ( representacin grfica ):

. El lenguaje oral y escrito : cuatrocientos treinta y uno o escrito ( en texto ocon smbolos, 431 , 400 + 30 + 1 ).


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Psicopedagoga del nmero ( natural, fraccionario y decimal ) yde la numeracin en el Proyecto.


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Psicopedagoga del nmero ( natural, fraccionario y decimal )y de la numeracin en el Proyecto.


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Psicopedagoga del nmero ( natural, fraccionario y decimal )y de la numeracin en el Proyecto.


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2: Realizar todas las actividades posibles de composicin descomposicin. Se trata de cultivar tanto el aspecto convergentecomo el divergente en el proceso analtico sinttico de laconstruccin de los nmeros naturales.

Algunas actividades de este tipo se presentan a continuacin:

Psicopedagoga del nmero ( natural, fraccionario ydecimal ) y de la numeracin en el Proyecto.


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3: Actividades de relacin o de relaciones que se establecenentre las cifras que componen un nmero . Las actividades quepueden hacerse son:

. Composicin de todos los nmeros posibles y determinacinde los nmeros mayores y menores que pueden componerse concifras dadas.

Ejemplos de estas actividades son:


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4: Actividades de seriaciones crecientes y decrecientes . Actividades de comparar y ordenar. Actividades de contar ydescontar.


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5. Otras actividades:. Escribir nmeros vecinos (anterior y posterior) a otro dado:


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. Ordenar un conjunto o cardinales de un conjunto demayor a menor, o viceversa.


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. Construir series progresivas o regresivas con distintosintervalos:


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. Completar los objetos que faltan enconjuntos dados sus cardinales:


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Recomendamos eluso de la recta numrica :


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Psicopedagoga de las operaciones con nmeros naturales, fraccionarios y decimales.Principios psicopedaggicos que deben presidir la enseanza aprendizaje de las

operaciones:La operacin, segn Piaget, no es ms que una accin interiorizada , una accin que se

internaliza. La operacin manual, la manipulacin concreta, puede sustituirseeconmicamente,por una operacin simblica , realizada con los correspondientessmbolos matemticos y numricos.

La operacin manual, la accin, debe preceder a la operacin aritmtica , de lamisma manera quela expresin del lenguaje ordinario preceder a la expresin dellenguaje matemtico.

Nuestro proyecto es consciente y coherente con que el problema pedaggico segn Mialaret consiste en llegar a una conexin entre una actividad determinada, real oimaginaria, y su traduccin a un cierto lenguaje, lenguaje que utiliza sus propios signos ( + ,- , x , : ) y sus frmulas propias ( frases utilizadas por los alumnos en la redaccin de lassoluciones ).

Los principios en que se basa el Proyecto para el tratamiento psicopedaggicode las operaciones son los que siguen: 1: Afrontar, desde el comienzo del tratamiento de la numeracin, lascuatro operaciones bsicas de una manera global y simultnea, utilizando,

abundantemente, las actividades de:a) Composicin descomposicin:


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b) Seriaciones crecientes y decrecientes con distintosintervalos:


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c) Centros de clculo:


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2 : Trabajar las cuatro operaciones de manerasistemtica, desde el Primer Curso, ya que el alumno es capazde realizar acciones tales coma las de unir, separar,repartir, repetir grupos iguales, etc.


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3: Respetar las fases manipulativas, grficas ysimblicas. El nivel manipulativo debe ser traducido mediante ellenguaje oral. El alumno debe habituarse a relatar lo que esthaciendo, ya que lenguaje y accin se refuerzan mutuamente.

Antes de iniciar las etapas grficas y simblico numrica,debe relatar lo que ha realizado.


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4: Primero est la situacin problemtica, elproblema y, despus, las estrategias de solucin, entre las quelas operaciones aritmticas ( los algoritmos o cuentas) son lasms econmicas en esfuerzo y tiempo. El Proyecto elude las

propuestas de cuentas aisladas (kilomtricas) as como la accindidctica, desgraciadamente muy extendida, de ensear losalgoritmos ( las cuentas ) y, una vez mecanizadas, resolverproblemas con las mismas.


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5: El Proyecto intenta ser coherente con el principio de primerocomprensin, luego mecanizacin. No plantea, inicialmente, ningunatcnica operatoria de manera mecnica ( sumar llevando, restar

llevando, correr lugares en las multiplicaciones, cero al cociente,etc.) sin una previa comprensin. Se proponen distintas formasposibles de algoritmos y se finaliza con la enseanza aprendizajedel algoritmo habitual o estndar ( la cuenta).


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8: La enseanza aprendizaje de las operaciones algoritmos secontemplan en el Proyecto integrada con un tratamiento ponderado

del clculo mental / clculo pensado, el manejo y utilizacin de lacalculadora y el clculo estimado ( redondeo ).a) Clculo mental: En el apartado Aprendo destrezas

para calcular se desarrollan una serie de estrategias a aplicaren las distintas operaciones ( aditivas, sustractivas,multiplicativas,...) que se caracterizan porque:

. se calcula de cabeza porque no siempre se disponede papel y lpiz,

. se calcula con gran rapidez,

. se apoyan en un conjunto limitado de propiedades /hechos numricos,

. se cultivan distintas habilidades: descomposiciones,compensaciones, redistribuciones, recolocaciones, etc.


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Se enumeran y describen, a continuacin, algunasestrategias que se trabajan a lo largo del Proyecto :

Clculo aditivo: ( sumar y restar)Descomposicin:


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Recolocacin y conservacin:


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Clculo multiplicativo ( multiplicacin y divisin):. Distribucin. Otras


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c) Estimar clculos mediante el redondeo o aproximacin:En el proyecto hay diseadas una serie de estrategias

para trabajar el redondeo tanto en los nmeros naturales comoen los nmeros decimales. Una vez redondeadas las cantidadesse facilita el clculo estimado con los distintos algoritmos.

Entre otras actividades, el proyecto plantea lassiguientes:


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Psicopedagoga de la resolucin deproblemas

El Proyecto intenta evitar que los alumnosaprendan a operar ( realizar algoritmos o cuentas) sinentender lo que estn haciendo, evitar la disociacinentre forma y significado, entre aplicar reglas mecnicasy entenderlas.

El divorcio entre el estudio de los distintosalgoritmos / cuentas que, a veces , se realizan demanera mecnica y sin conocer su significacin y, mstarde, dominando su mecanismo, se intenta evitar desdeel Proyecto .


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La todava frecuente pregunta del alumno o alumna al Maestroo Maestra Qu cuenta tengo que poner eneste problema? es reveladora de un tipo de didctica quehay que superar. En otro apartado se ha sealado que cualquieroperacin o concepto matemtico debe venir introducido por lasituacin problemtica, el problema y, despus, se aprendern lastcnicas ( algoritmos o cuentas) para su resolucin.

En el rea de Matemticas la resolucin de problemas no es

slo un objetivo general; es tambin un instrumento metodolgicoimportante y, por tanto, constituye uno de los ejes vertebradores delrea a lo largo de toda la etapa. Es por ello que en este proyecto sedesea acostumbrar a los alumnos y alumnas a plantearse problemas ya encontrar soluciones. A partir del estudio y anlisis de casosconcretos de la vida diaria se les ensear a organizar los datos, a

asociar los conceptos necesarios para la resolucin de la cuestinplanteada, y a expresar y justificar, oralmente y por escrito, lasoperaciones y los resultados obtenidos.


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Fases y pasos que propone el Proyecto en la resolucinde un problema:

En la iniciacin a la resolucin de problemas delprimer ciclo de Educacin Primaria, en la casi totalidad de losproblemas que se proponen deben respetarse las etapassiguientes:

1. Manipulativa:Hay que presentar a los alumnos los objetos, los

materiales concretos, en la situacin real o simulada que sequiere resolver, para que operen en un contexto significativo.

La manipulacin es precisa para que el alumnadoperciba, a travs de sus acciones concretas, cules son lasoperaciones aritmticas que deben utilizar. Una vez realizadoel problema de manera manipulativa deberan relatar lo quehan realizado.

Por ejemplo, en el siguiente problema planteado en elProyecto :


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3. Simblico numrica ( escrita ):Valindose de los smbolos numricos y del texto escrito.En los primeros niveles se facilita la resolucin de los problemas

con apoyos grficos y / o numricos.


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Los pasos a tener en cuenta en la resolucin de un problemaescrito son los siguientes: a) Lectura atenta del texto : Consiste en hacer prestaratencin a los datos del problema y al texto, para inferir si es o noun problema y si tiene o no solucin. Esta lectura comprensiva delproblema debe establecer cul es la meta y los datos y condicionesdel problema.

Una vez ledo el problema se debe poner a los alumnos encondiciones de que lo relaten con sus propias palabras. Hay quecerciorarse de que los alumnos han memorizado la situacinproblemtica ya que es una forma de comprobar que lo hancomprendido. La dramatizacin o simulacin de la misma situacinsera muy conveniente en este primer paso.

b) Anlisis de los datos: En este paso se les induce aseparar lo que es dato (lo conocido) de lo que es pregunta (lodesconocido).

En el problema siguiente


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se trabajar en este segundopaso de esta manera:

Primer dato:Qu...? :

__________________________ Segundo dato:

Cunto...?: _________________________ Cuestin o pregunta a

resolver:Datos a descubrir:Cunto...? :

__________________________


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c) Eleccin de las tcnicas operatorias ms

adecuadas: En esta fase el alumnado utiliza lastcnicas operatorias (suma, resta, multiplicacin y / odivisin) de acuerdo con el plan concebido.Cada operacin matemtica debe ir acompaada de unaexplicacin de lo que se hace y para qu se hace.d) Dar las soluciones correspondientes y

comprobarlas: En esta fase el alumno debiera dar unaexplicacin comprobatoria de la solucin, explicar porqu la solucin es correcta o incorrecta, es decir, si larespuesta es o no razonable.En el Proyecto se trabajan sistemticamente todosestos pasos como se puede observar en las actividades

siguientes:


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As como la analoga: Resuelve, siguiendo los pasos anteriores,los siguientes problemas:


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Modalidades de problemas que se proponen en el Proyecto:

Para un trabajo comprensivo / significativo en laresolucin de problemas se proponen un a serie de situacionesproblemticas que desarrollan la divergencia y la imaginacin,evitando las resoluciones automticas,...Entre estas modalidades destacaramos:

a) Dadas las operaciones, que los alumnos formulen,verbalmente o por escrito, enunciados de problemas que lespueden corresponder:


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b) Dadas las preguntas o cuestiones, redactar los enunciadosde los problemas.c) Reconocer datos innecesarios o superfluos:


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d) Invencin de problemas que se realicen con las distintasoperaciones y sus combinaciones:


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e) Enunciados de problemas donde falten datos:


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f) Dados los textos de los problemas, los alumnostendrn que formular las cuestiones:


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g) Seguir diferentes rutas para resolver unproblema:


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h) Problemas de ingenio:


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1. Recogida de datos:


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3. Ordenacin y registro de datos para su posterior anlisis:


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4. Contestar a preguntas sobre datos recogidos en tablas:


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5. Expresar datos en diagramas de barras, histogramas,polgonos de frecuencias, pictogramas, ...


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6. Contestar a diversas preguntas sobre grficos realizados:


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7. Lectura, comprensin y expresin de grficos no elaboradospor el alumnado, con interpretacin de stos:


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8. Introduccin de los conceptos de media, moda y probabilidad:


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Orientaciones psicopedaggicas para la enseanza / aprendizaje de la MEDIDA

En el Proyecto se garantiza la comprensin previa a laautomatizacin en la enseanza aprendizaje de la medida.La progresin en el tratamiento de la medida se plantea

de la siguiente manera:. Ir de lo concreto a lo abstracto segn las fases:

manipulativa, verbal, grfica y simblica. La necesidad, pues de

realizar mediciones efectivas, utilizando diferentes unidades einstrumentos de medida.. Utilizar las situaciones cotidianas como fuente de

planteamiento de situaciones problemticas.. Trabajar la estimacin partiendo de situaciones reales

y prximas, que permitirn a los alumnos adquirir el orden demagnitud de los objetos ms comunes.

Medicin de longitudesEn las actividades relativas a las medidas de longitud se sigue la


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En las actividades relativas a las medidas de longitud se sigue laprogresin siguiente:

. Se comienza con las medidas antropomtricas, es decir, conunidades que se pueden tomar del propio cuerpo: palmo, dedo, pie, pasos,...

El i d l id d d did i d l


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. Eleccin de la unidad de medida apropiada a lalongitud que se va a medir, buscando la que puede ser msadecuada y fcil de usar en cada caso.

Crear la necesidad de una unidad de medida invariante


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. Crear la necesidad de una unidad de medida invariante,comn a todos, que permita obtener los mismos resultadosaunque vare la persona que realice la medicin.

R li i i b l di i


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. Realizar estimaciones para observar que las medicionespueden ser ms exactas y trabajar la aproximacin de la medida.


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Medicin de superficies


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Para introducir a los alumnos en este contenido esimprescindible la comprensin / consolidacin de los conceptos:regin, interior, exterior, largo y ancho.

El rea de una superficie es igual al nmero de vecesque la regin unidad se utiliza para cubrir completamente dichasuperficie.

La clase de unidad empleada para medir superficies esuna regin cuadrangular. Un ejemplo particular de esta clase deunidad es el centmetro cuadrado.

La metodologa a seguir para este proceso es similar ala ya presentada para la medicin de longitudes.

Se debe iniciar, antes de realizar las actividadesgrficas propuestas en el Proyecto , con unidades arbitrarias ymanipulativas: una hoja del bloc de dibujo, una hoja delcuaderno, etc. La unidad elegida por cada alumno o grupo dealumnos ser superpuesta sobre las regiones a medir, de talmanera que se cubran al mximo. Despus realizarn lasactividades propuestas


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Los problemas que plantean las unidades arbitrarias deben serd d l l d


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comprendidos por los alumnos. Antes de pasar a construir unaregin o unidad de medida de forma cuadrangular que midan undecmetro o un centmetro de lado, as como sus equivalencias.Entonces debern realizar actividades como las propuestas en elProyecto

En el caso de la obtencin del rea de las distintas figuras planas es


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En el caso de la obtencin del rea de las distintas figuras planas esabsolutamente necesario (psicopedaggicamente) realizarlas demanera manipulativa. Ms tarde y de manera indirecta, setrabajarn las reas de las distintas figuras planas, partiendo delrectngulo

La distincin entre permetro y rea se trabajarn con


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La distincin entre permetro y rea se trabajarn conactividades que distingan entre la longitud de un cordel ocuerda, por ejemplo, y las distintas figuras `planas que sepueden construir. Despus, actividades como las que

siguen, consolidarn este aprendizaje:

Coherentemente, enel apartadocorrespondiente aGeometra se hanabordado y sugeridoactividades conpolicubos, con mallaso retculas, que sonideales para la

adquisicin de laequivalencia y medidade rea desuperficies sencillas.

Medicin de volmenes


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Partimos del concepto de que el volumen de un cuerpo expresa lamedida de la regin del espacio ocupada por el cuerpo y es igual al nmero deveces que una unidad puede ser colocada en la regin del espacio ocupada porel cuerpo, dispuestas las unidades de tal manera que no se penetren y,solamente, se toquen. La unidad general de volumen es la regin contenida enun cubo.

Actividades manipulativas previas a las actividades grfico numricaspropuestas en el Proyecto debieran ser las siguientes:

. Llenar una caja con dados, regletas, cajas ms pequeas, etc.

. Anotar el nmero de unidades que se han utilizado para llenar lacaja, sealando aproximaciones.

. Comparar los resultados obtenidos en mediciones efectuadas sobrela misma caja con distintas y con iguales unidades de medida.

. Llevar a los alumnos a la conclusin sobre los problemas queacarrean las mediciones con unidades arbitrarias.

. Finalmente, pasar a la construccin de un cubo que tenga undecmetro por lado y utilizar esta unidad en la determinacin del volumen de

objetos. Slo cuando los alumnos planteen el problema de necesitar otrasunidades de medida ms pequeas, se debe presentar el centmetro cbico y,en su caso, el metro cbico para las mediciones ms grandes.

Es conveniente que los alumnos traten de rellenar un decmetro cbicocon centmetros cbicos. De esta manera el estudio de las equivalencias entrelas unidades de volumen tendr una base intuitiva.

Medicin de las capacidades


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pEn el desarrollo de estas medidas se tendrn en cuenta los

aspectos generales sealados para las otras medidas. Se abordarnen primer lugar, manipulativamente, las actividades de medicin de

capacidades con unidades arbitrarias. Pueden utilizarse vasos,frascos, botellas, jarras, etc.Es muy importante la actividad de trasvasar lquidos, ya que

hay que asegurar que los alumnos de primer ciclo sean capaces deconservar una cantidad continua, antes de iniciarlos formalmente enel proceso de medicin de capacidades.

Es conveniente utilizar recipientes de distintas formas ytamaos para que los alumnos seleccionen el ms adecuado para cadamedicin, o comparen los resultados de las mediciones con unidadesdistintas. Tambin ha de enfrentarse a los alumnos a la medicinutilizando unidades de distinta capacidad e igual forma y viceversa.

Despus de muchas experiencias con unidades arbitrarias losalumnos estarn en condiciones de trabajar con el litro, medio litro ocuarto de litro como unidades convencionales.Actividades propuestas en el Proyecto :


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Finalmente se trabajan los mltiplos y submltiplos del


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Finalmente se trabajan los mltiplos y submltiplos dellitro como sistema de equivalencia y la tabla de conversin conactividades como:


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Medicin de masas y pesos

En la enseanza primaria no es necesario establecer lasdiferencias entre estas dos magnitudes: la masa de un cuerpoes la cantidad de materia, mientras el peso de un cuerpo es elresultado de la fuerza gravitatoria.Los procedimientos metodolgicos que desde el Proyecto sesugieren son semejantes a los ya planteados en la medicin delongitudes, superficies y volmenes. Actividades manipulativasprevias a las planteadas en el Proyecto pueden ser:

. Utilizar una balanza de platillos para comparar la masa deobjetos.


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. Colocar un objeto en cada platillo de la balanza:estuche, libro, cuaderno,... Observar y relatar lo que sucede: El estuche pesa ms o menos que el cuaderno,...

. Colocar objetos en cada platillo y tratar deequilibrarlo aadiendo bolas de plastilina.

. Establecer relaciones de equivalencia: Cinco bolas deplastilina, por ejemplo, tienen el mismo peso que un estuche

. Continuar con objetos y pesas de un kilo, medio kilo,....


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. Clasificar, despus de medidos, una serie de objetos


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. Clasificar, despus de medidos, una serie de objetosque pesen ms o pesen menos de un kilo.

Fi l t li l ti id d fi i


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. Finalmente, realizar las actividades grfico numricas quese presentan en el Proyecto , el sistema de equivalencias y lastablas de conversin entre mltiplos y submltiplos del gramo.

Medicin del tiempoLa dificultad de esta magnitud consiste en que no puede ser


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La dificultad de esta magnitud consiste en que no puede serobservada directamente como propiedad de los objetos, sino que hayque valerse de los instrumentos de medida, convencionales o no, paraverificarla.

En un primer momento se trata de hacer apreciar al alumnoel paso del tiempo, valindose para ello de los acontecimientos queproporciona la vida familiar, social o escolar y de los ritmos operiodos que imponen estos acontecimientos.

Conviene utilizar, en una primera fase, instrumentos nosofisticados para la medicin, as como este tipo de actividades:relojes de arena y comparar su duracin, graduar una vela y usarlapara medir el tiempo, observar un reloj con segundero para aprendera estimar esa duracin, as como la de un minuto, escribir en elcuaderno la fecha de cada da, reconocer un da determinado de lasemana, distinguir la maana de la tarde, nociones de hoy, ayer,maana, utilizar y manejar el calendario, etc., nombres de los meses,estaciones del ao, etc.

Algunas de las actividades que se proponen en el Proyectoson:


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Finalmente, centrarse en actividades que distingan la relacin


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, q gno decimal que existe entre las unidades de tiempo y, enespecial, en la relacin sexagesimal que existe entre la hora,el minuto y el segundo.

La interpretacin de cuadros o tablas horarias es unili d l


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recurso muy utilizado en el Proyecto :


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Medidas monetarias

En el Proyecto se proponen una serie de actividades ,debidamente graduadas , que conducirn a los alumnos a un

manejo y utilizacin funcional de las monedas y billetes.Actividades de cambio, compra venta, conducirn a los

alumnos y a las alumnas hacia unaprendizaje claramentesignificativo y funcional.


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