3_Integración+por+sustitucion+o+cambio+de+variables

Lcdo. Eliezer Montoya Integración por sustititución o cambio de variable

1

Métodos y técnicas de integración (1º) Integración por sustitución o cambio de variable En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integración por sustitución o cambio de variable.

Si ∫ dxxf )( ,la Integración por sustitución consta de los siguientes pasos :

1) Elegir o cambiar una nueva variable u : un cambio común es considerar u como la función interna ,en términos de una composición de funciones

2) Calcular dxdx

dudu =

3) Reemplace ( o cambie) todos los términos en el integrando original por las expresiones u y du

4) Evaluar los resultados de la integral en función de u. Si todavía no puede evaluar la integral, es posible que necesite probar o cambiar por una

opción diferente de u.

5) Reemplace cada expresión de u en la antiderivada por la correspondiente expresión de x

Justificación del método de sustitución o cambio de variable: El siguiente teorema puede ser usado para justificar el método de sustitución o cambio de variable.

Teorema 1. Supongamos que: ∫ += CuHduuh )()( Entonces, si g es una

función diferenciable.

[ ] [ ]∫ += CxgHdxxgxgh )()´()(

Demostración: Porque

∫ += CuHduuh )()(

Se deduce que: )()´( uhuH =

Necesitamos mostrar que la derivada de [ ])(xgH con respecto a x es el

integrando [ ] ).´()( xgxgh Por la regla de la cadena

[ ] [ ] [ ] )´(.)()´(.)(´)( xgxghxgxgHxgHDx ==

Y la demostración estará completada.


2

Ahora supongamos que queremos evaluar ∫ dxxf )( por el método de

sustitución. Según el paso 1º de nuestro procedimiento, cambiemos una porción del integrando f(x) y la denominamos )(xgu = ; en el paso 2 , procedes a

calcular el diferencial: dxxgdxdx

dudu ).´(==

En el paso 3º, usamos la ecuación anterior para reescribir f(x) y dx en términos de u y du

(3)

Donde h una función apropiada. Quedándonos la ecuación anterior (3) Es decir:

Luego el paso 4º producimos una ecuación de la forma ∫ += CuHduuh )()(

Y el 5º paso dará el resultado

∫ dxxf )( = [ ] [ ]∫ += CxgHdxxgxgh )()´()( en conformidad con el teorema 1

Teorema 2 Para cualquier función continua f entonces ∫ dxxf

xf

)(

)´( =

cxf +)(ln ,

Siempre que 0)( ≠xf Demostración: Sea u= f (x) . Entonces du = f´(x) dx y

∫ dxxf

xf

)(

)´( = ∫ ��

�� du

u

dxxfxf

)´(.)(

1 = ∫ u

du = cu +ln = cxf +)(ln

Veamos unos ejemplos usando los pasos antes descritos

duuhdxxf )()( =

dx

duuhxf )()( =

[ ] )´(.)()( xgxghxf =


3

Ejemplo Nº 1 7 2x dx+∫

Solución:

3/ 2

1/ 2

3 / 2

3 / 2

Paso 1 :Hacemos 7 2

Paso 2 : 7

Paso 3: Como 7 ; resulta que de aqui :7

17 2

2 27

.7 7

1 1 1Paso 4: 7 2 .

7 7 7 3 / 22

21Paso 5:Como 7 2, tenemos:

2 (7 2) 721 21

:

u x

du dx

dudu dx dx

dux dx u u du

ux

x dx

dx u du u du C

u

x

C

u x

C x+ =

= +

=

= =

+ = =

+ = = = +

= +

= +

+ + = +

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

( )3

2 C+

Ejemplo Nº 2 sin9xdx∫

Solución:

( )

Paso 1: Hacemos 9

Paso 2: 9

Paso 3: Como 9 ; resulta que: de aqui:9

1sin 9 sin . sin .

9 91 1 1

Paso 4: sin 9 sin . sin . cos9 9 9

1cos

9Paso 5: 9 , tene

1sin 9 (cos 9

m :

)

o

9

s

xdx x

u x

du dx

dudu dx dx

duxdx u u du

xdx u du u du u C

u C

Como u x

=

=

= =

=

= =

= = = − +

+

+

−

= −

=

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

C

Ejemplo Nº 3 2

3 5( 4)

x dx

x +∫

Solución:


4

( )

( )

3

2

2 2

25 5

5 53

25 5

53

Paso 1 : Hacemos 4

Paso 2 : 3

Paso 3: Como 3 ; resulta que3

de esta manera será igual a la expresión del numerador,

de aqui:

11 133 34

1 1 1Paso 4:

3 34

:

u x

du x dx

dudu x dx x dx

dux dx

u du u duux

x dxu du u

x

− −

− −

= +

=

= =

= = =+

= = =+

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫4

4

3

23 4

3 5 3 4

3 ( 4)

1

12

Paso 5:Como 4, tenemo

1 1( 4)

( 4) 12 12

s:

( 4)

xdx

uC

u C

x

u

Cx

x

Cx

−

−

−

+

= −

=−

= − +

= +

+ + = − ++ +∫

Ejemplo 4: 2 3 2x xdx−∫

Solución:


5

2

2

Paso 1 : Hacemos 3 2

Paso 2 : 2

Paso 3: Como el integrando contiene tres factores , 3 2

La sustitución de 3 2 quedando 3 2 como , 2 ;

resulta que , solamente queda reescribir en terminos de ,2

como 3 2

:

u x

du dx

x x y dx

u x x u du dx

dudx x u

u x

= −

= −

−

= − − = −

=

= −

−

( )

( ) ( )22 2 2

2 2

2

1 / 2 3 / 2 5 / 2

2 1 / 2 3 / 2

1despejando , nos queda 3 luego

21 1 9 3 1

3 9 64 4 4 2 4

de aqui:

9 3 13 2 .

4 2 4 2

9 3 1

8 4 8

9 3 1

8 4 8

9 3 1Paso 4 : 3 2

8 4

:x x u

u u u u u

dux x dx u u u

u u u u u du

u u u du

x x dx u u

x

= −

= − = − + = − +

− = − + −

= − + −

= − + −

− = − + −

∫ ∫

∫

∫

∫5 / 2

1 / 2 3 / 2 5 / 2

3 / 2 5 / 2 7 / 2

3 / 2 5 / 2 7 /

2 3 / 2 5 / 7 /

2

2 2

8

9 3 1

8 4 8

9 3 1

8 3 / 2 4 5 / 2 8 7 / 23 3 1

4 10 28Paso 5 : Como u 3 2 , ten

3 3 13 2 (3 2 ) (3 2 ) (3 2 )

4 1

o

0 28

em s:

x x d

u d

x x

u

u du u du u du

u u uC

u u u C

x x

x

C− − − +

= − + −

= − + − +

= − + − +

= −

= − − − +

∫

∫ ∫

∫

∫

Ejemplo Nº 5 4

sin 7

(1 cos7 )

xdx

x+∫

Solución :


6

( )

( )

4 4 4

4

Paso 1 :Hacemos 1 cos 7

Paso 2 : 7 sin 7

Paso 3: Como 7 sin 7 ; resulta que sin 77

de esta manera será igual a la expresión del numerador, de aqui:

1sin 7 17

71 cos 7

sin 7Paso 4 :

1 cos 7

:

u x

du x dx

dudu xdx xdx

duxdx du

u ux

xdx

x

= +

= −

= − =

−

= = −+

+

−

∫ ∫ ∫

( )

34

34

4

3

1 1 1

7 7 7 3

1

21Paso 5:

sin 7 1(1 cos 7 )

21

Como 1 cos

1 cos

7 , tene o :

7

m s

du uu du C

u

u C

u

xdxx C

x

x

−

−

−

−

= − = − = − +−

= +

+

+

+ +

=

=

∫ ∫ ∫

∫

Ejemplo Nº 6 .cosx xe e dx∫

Solución:

�

��

Por sustitución ocambio de variable

.cos sin

.cos

cos . cos . sin sin( )

x x x

x x x

x

x x x

u du

e e dx u e

du e dx

e e dx u du u C e

e e dx e C

C

⇒ =

=

= = +

∴ =

=

+

+

∫

∫

∫ ∫

Ejemplo Nº 7 3(ln )xdx

x∫

Solución:

POR SUSTITUCIÓN ÓCAMBIO DE VARIABLE

3

4

3 4

3

3 4ln(

(ln )

ln ) (ln ) (ln )1

(ln

4

4

)

4

u xx x u xdx d

x x

x u du C Cx xdu dx

x

dx Cx

= ⇒ ⇒ = = + = + =

∴ = +

∫

∫

∫ ∫

��

Ejemplo Nº 8 cos(ln )x

dxx∫


7

Solución:

Por Sustitución oCambio de Variable

lncos(ln )

1

cos(ln )cos sin sin(l

cos(ln

n

)i ( n )

)

s n lx

u xxdx

x du dxx

xdx u du

d

u C x C

x x Cx

x

= ⇒

=

= = + = +

∴ = +

∫

∫

∫ ∫

��

Ejemplo Nº 9 3sin 2 .cos 2x xdx∫

Solución

Por sustitución oCambio de Variable

3

43 3 4

3

4

41sin 2 .co

cos 2

sin 2 .cos 2 2sin 2 .

sin 22

1 1 1 1sin 2 .co

s 2 (cos

s 2 (cos 2 )2 2 4

2 )8

8 8

u x

x xdx du x dx

duxdx

ux xd

x xdx x

x u du C C

C

u C x

= ⇒ = − − =

= − = − + = − + = − +

∴ = − +∫

∫

∫ ∫

��

Ejemplo Nº 10 21 ln

dx

x x+∫

Solución:

Por Sustitución

2

2 2

2

ln

1 ln

sin sin(ln )1 ln

sin(ln )

1

1 ln

u xdx

dxdux x

x

dx duArc u C Ar

dxArc x C

c xx

x

x

x

Cu

= ⇒ =+

= = + = ++

∴ ++

+

=∫

∫

∫ ∫

��


8

1Ejercicios propuestos (problem set 4.3)

En los problemas 1 al 50, use el método de sustitución o cambio de variable para evaluar cada antiderivada (integral indefinida). (En algunos casos se sugiere una posible sustitución)

1. 34,)34( 4+=+∫ xudxx 2. 74,)74.( 22

+=+∫ tudttt

3. 154,.154. 22+=+∫ xudxxx 4. dx

x

x∫

−82 )38(

3 , 238 xu −=

5. dss

s∫

+3 2 165

165 2+= su 6. dt

tt

t∫

++

+172 )624(

28

7. 2/33/52/3 1,.)1( xudxxx −=−∫ 8. 3,.)96( 3/112−=+−∫ xudxxx

9. 14,)14(

3

73

2

+=+

∫ xudxx

x 10. dx

xx

x∫

+

+

3

13

2

11. ∫ −++ dtttt .235).15( 4 32 12. dtt

t∫

+2

3 )2/(11

13. ∫+−

−dx

xx

x2/33

2

)196(

12 14. xudx

x

x+=

+∫ 1,.

1

15 )/5(,55

2

221

xxudxx

x

xx +=

−

+∫ 16. ∫ +− dxxx 7/62 )94249(

17. ∫ − dxxx .5. 18. ∫ + dxxx .1.2

*19. 1,1

.+=

+∫ tzt

dtt 20 dy

y

y∫

−

+

3 2

2

21. ∫−3 2)2(

2

x

xdx 22. ∫ ++ dxxx .1.)2( 2

1 Munem M.A. Foulis D.J. (1984) Calculus with Analytic Geometry . II edicion.Edit. Worth Publishers, Inc. USA. Pag 263-264


9

23. ∫ + dxxx 33/12 .)53( 24. ∫ + dxxx 54 3 .1

25. ∫+ 4

.2

t

dtt 26. ∫

− y

dyy

3

.

27. ∫ xdx35sin.2 28. ∫ + dxxx )7cos35sin7(

29. ∫ − dxx )116cos(.8 30. ∫ − dxx)38cos(5

31. ∫ xdx11sec2 32. ∫− xdx5csc2

33. ∫ t

dt

3sin 2 34. ∫ y

dy

5cos2

35. ∫ ++ dyyy )12tan()12sec( 36. ∫ + dtt )73(tan 2

37. ∫− dttt

5tan.

5sec 38. ∫ dzzz .10cot.10csc

39. xudxxx sin,)cos(sin.cos =∫ 40. ∫ dxxxx 443 10tan.10sec

41. 4423 7,7csc xudxxx =∫ 42. ∫+

+dx

x

x

1

1sin

43. ∫+

2)cos2(

.sin

x

dxx 44. ∫

+dx

x

x3

2

)tan3(

sec

45. ∫ + dyyy 2sin52cos 46. ∫ + dtttt 3sec43sec3tan

47. ∫ dxx

xx csccot 48. ∫

− xdxx 2cos.)2(sin 3/1

49. ∫− θ

θθθ

3sec51

.3tan.3sec d 50. ∫

x

dxxx )2/csc()2/cot(

2 Munem M.A. Foulis D.J. (1984) Calculus with Analytic Geometry . II edicion.Edit. Worth Publishers, Inc. USA. Pag 263-264


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