3º ESO ACADÉMICAS -...

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3º ESO ACADÉMICAS – UNIDAD 1.- CONJUNTOS NUMÉRICOS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- UTILIZACIÓN DE LOS NÚMEROS

Concepto de número entero Los números +1, +2, + 3,…., se llaman números enteros positivos y se suelen escribir sin el signo + así: 1, 2, 3,…. Es decir, los enteros positivos son los números naturales Los enteros positivos se usan para expresar cantidades por encima de cero. Por ejemplo, si un punto está a 500 m sobre el nivel del mar, la altitud es +500 m, o sea 500 m Los números enteros negativos, – 1, – 2, – 3, – 4, – 5,…, se usan para expresar cantidades por debajo de cero.

Por ejemplo, si la temperatura es 3 ºC bajo cero se dice que es de –3 ºC

El conjunto de los números enteros está formado por los números enteros positivos, negativos y el 0 y se representa con la letra Z

Concepto de fracción

Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros. Por ejemplo, 34

es una fracción.

Se puede introducir una fracción en la calculadora científica CASIO usando la tecla a b/c El proceso es: numerador a b/c denominador.

Por ejemplo, para introducir 34

es: 3 a b/c 4. Aparecerá en la pantalla 3 ┘4 , que significa 34

Las fracciones las podemos usar con distintos significados:

Como partes de un todo: el denominador nos indica las partes iguales en que se divide la unidad y el

numerador las partes que se toman. Por ejemplo, la parte sombreada representa las 34

del

rectángulo

Como una proporción: por ejemplo, si en una clase dos de cada tres alumnos aprueban el curso

decimos que aprueban los 23

de los alumnos o si tengo 20 € y me gasto 3 €, me he gastado 3

20 de

mi dinero.

Como un operador: Una fracción ab

se puede interpretar como un operador que actúa sobre un

número multiplicándolo por el numerador y dividiéndolo entre el denominador.

Por ejemplo, 35

de 20 € se puede calcular de dos formas y da el mismo resultado:

: 5 . 3

. 3 : 5

4 € 12 €20 €

60 € 12 €

También se puede obtener gráficamente usando que 35

de 20 € es tres veces la quinta parte de 20 €

4€ 4€ 4€

1

4€ 4€

2 €��


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Hay veces en que no conocemos la cantidad inicial. Por ejemplo, si los 35

del peso de Juan son 54 kg,

¿cuánto pesa Juan? Llamando P al peso de Juan, el problema lo podemos plantear de varias formas:

1ª) 3

5de P = 54 →

3P 54.554 P 90 kg

5 3 2ª)

: 5 . 354

. 5 : 390 18 54

P

P = 90 kg

3ª) Como 54 : 3 18

54

18 18 18 18 18

kg 18 . 5 90 kg

��

Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad.

Ejemplo: 3

4 =

6

8 porque representan la misma parte de rectángulo.

En las fracciones equivalentes los productos cruzados valen lo mismo, 3 . 8 24

6 . 4 24

En general, a c= a.d=b.cb d

Amplificación de fracciones

Consiste en obtener una fracción equivalente con números más grandes multiplicando el numerador y denominador por un mismo número entero distinto de 0.

La regla es: ..

., 0

.

cc

a a csiendo c

b b c

Por ejemplo, . 5

. 5

2 10

3 15 . Se dice que hemos amplificado la fracción

Puedes observar que la fracción amplificada es equivalente a la fracción inicial

Simplificación de fracciones Simplificar una fracción es obtener una fracción equivalente con números más pequeños dividiendo numerador y denominador por un mismo divisor común. Las fracciones que no se pueden simplificar se llaman fracciones irreducibles.

La regla es: ::

:,

:

dd

a a dsiendo d un divisor de a y de b

b b d

Ejemplos: : 3

: 3

15 5

6 2

132

198:2 66

99:3

22

33:11

2

3

Se puede comprobar que cada fracción simplificada es equivalente a la fracción inicial

Cuando vayas a simplificar una fracción prueba a dividir por 10, 100, etc y, si no se puede, prueba por los números primos 2, 3, 5, 7, 11, etc Recuerda los criterios de divisibilidad más usados: Un número es divisible entre 2, si es un número par; entre 3, si la suma de sus cifras da un múltiplo de 3; entre 5, si acaba en 0 o 5; entre 10, si acaba en cero, entre 100 si acaba en dos ceros.


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Se puede simplificar una fracción directamente con la calculadora científica Antes prepara la calculadora para simplificar fracciones: Pulsa MODE varias veces hasta que aparezca Disp, selecciona esta función pulsando 1. Luego selecciona d/c pulsando 2 Para obtener la fracción irreducible directamente usando la calculadora científica CASIO introduces la fracción original en la calculadora y pulsas la tecla

Ejemplo: 9945

6435: 9945 a b/c 6435 =. Obtendrás 17 ┘11, que significa que

17

11es la fracción irreducible

Reducción de fracciones a común denominador

Reducir varias fracciones a común denominador es calcular otras fracciones equivalentes con denominador común. Para reducir fracciones al mismo denominador se toma como común denominador un múltiplo de todos los denominadores. Se suele tomar el mcm de los denominadores. Luego, se divide el denominador común entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador.

Ejemplo:

3 32

.(24 : 4) .(24 : 8) .(24 : 6) .(24 : 3)

5 1 11 2, , , (4,8,6,3) (2 , 2 , 2.3, 3) 2 .3 24

4 8 6 3

5 30 1 3 11 44 2 16, , ,

4 24 8 24 6 24 3 24

mcm mcm

Recuerda que la regla para calcular el mínimo común múltiplo es factorizar los números y tomar los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

Ordenación de fracciones

Si las fracciones tienen el mismo denominador, es menor la que tiene menor numerador.

Por ejemplo, 1 3

4 4 porque 1 < 3.

Si las fracciones tienen distinto denominador, se pueden comparar reduciéndolas a común denominador.

Por ejemplo, vamos a comparar 3 5

y4 6

→ 9 10

y12 12

. Como 9 10

12 12 , entonces

3 5

4 6

Cuando tienes que comparar dos fracciones con términos positivos, en lugar de reducirlas a común

denominador puedes usar el siguiente criterio: a c

si ad bcb d .

Por ejemplo, 3 4

, 3 . 9 8 . 48 9

porque

ACTIVIDADES

1 Resuelve las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué fracción del hexágono está sombreada?

b) Si tengo 5 € y me gasto 2 €, ¿Qué fracción de dinero me queda? c) ¿Cuánto vale las 3/5 partes de 20 €? d) ¿Cuánto es el 60% de 40 kg?


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e) Cuando Carlos salió con sus amigos se gastó 6 €, que corresponde a la zona sombreada del rectángulo. ¿Cuánto dinero le queda?

f) ¿Qué pareja de fracciones no son equivalentes? 1 5 6 3 5 12 6 2

1 y 2 y 3 y 4 y2 10 8 4 3 7 15

) ) ) )5

g) 4

¿Cuál es la fracción irreducible de ?6

h) ¿Qué denominador obtenemos cuando reducimos a mínimo común denominador 7 5

y6 24

?

i) 2 3

¿Qué fracción es mayor, o ?3 5

2 Después de gastarme los 25

de mi dinero, aún me quedan 360 €. ¿Cuánto dinero tenía al

principio?

3 En una clase suspendieron matemáticas los 27

de los alumnos. Si sabemos que hay 20 aprobados,

¿cuántos alumnos hay en la clase? Actividades del libro: 3, 5, 42, 48, 50, 51 y 93

2.- RELACIÓN ENTRE FRACCIONES Y DECIMALES. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Lectura y escritura de decimales Un número decimal consta de una parte antes de la coma, llamada parte entera y otra parte después

de la coma, llamada parte decimal. Ejemplo:

Expresión decimal de una fracción

Conocemos las fracciones y los decimales. Vamos a ver qué relación hay entre las fracciones y los decimales.

Por ejemplo, si repartimos 25 € entre 4 personas, la fracción 254

representa la división 25 : 4 = 6,25 €

Si en una fracción dividimos el numerador entre el denominador se obtiene un valor que se llama expresión decimal de la fracción. Podemos averiguar si dos fracciones son equivalentes o iguales hallando su expresión decimal.

Ejemplo:

3= 3 : 4 = 0,75

3 64 = porque tienen el mismo valor6 4 8

= 6 : 8 = 0,758

Al calcular la expresión decimal de una fracción se puede obtener:

A) Un número entero. Esto ocurre cuando el numerador es divisible entre el denominador.

Ejemplos: 27

= 27 : 3= 93

28

28 : 7 47

Si el numerador es igual al denominador, la expresión decimal vale 1 y se dice que la fracción es

unitaria. Por ejemplo, 83 83

1 es una fracción unitaria83 83


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B) Un número decimal Esto ocurre cuando la división no es exacta. 1) Si obtenemos un número finito de decimales se dice que es un decimal exacto.

Ejemplos:

7

7 : 8 0,8758

27

27 : 25 1,0825

Si el denominador de una fracción es una potencia de 10 la fracción se llama fracción decimal y

siempre su expresión decimal es un número entero o un decimal exacto. Por ejemplo, 75

1000 es una

fracción decimal.

2) Si la división da lugar a un decimal con cifras que se repiten indefinidamente se dice que es un decimal periódico. En los decimales periódicos, la cifra o grupo de cifras que se repite se llama periodo. Si el periodo empieza a partir de la coma el decimal se llama periódico puro y si no periódico mixto. En los decimales periódicos mixtos la parte comprendida entre la coma y el periodo se llama anteperiodo

Ejemplos:

�11=11 : 3= 3,666... = 3, 6

3 es un decimal periódico puro. La parte entera es 3 y el periodo es 6

�5=5 : 6 = 0,8333... = 0,8 3

6es un decimal periódico mixto.

La parte entera es 0, el periodo es 3 y el anteperiodo es 8

Fracción generatriz de un número Antes hemos visto que una fracción da lugar a un número entero, decimal exacto o periódico. Veamos ahora el proceso contrario: Dado un número entero, decimal exacto o periódico vamos a calcular una fracción que da como resultado (al dividir numerador entre denominador) ese número. Esta fracción se llama fracción generatriz del número. Todos los números enteros, decimales exactos y periódicos tienen fracción generatriz. Sin embargo, hay decimales que no tienen fracción generatriz: los que tienen infinitas cifras no periódicas. Estos números se llaman irracionales y los estudiaremos en próximos cursos.

Fracción generatriz de un número entero Para hallar una fracción generatriz de un número entero basta con partirlo entre 1.

Por ejemplo, 7

7 , pues 7 : 1 71

. En general, si a es un número entero a

a , pues a : 1 a1


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Fracción generatriz de un decimal exacto

Vamos a obtener una regla para hallar una fracción generatriz de un decimal exacto.

Fíjate en los siguientes casos:

�

�

�

�

sin sin

2 4

1, 75 0, 0104 407,

( 100 ( 100 00

2 ) 4 )

100 175 10000 104

175 7 104 13

1 00 4 1 0000 1 250

número coma número coma

ceros ceros

x x x

se multiplica por porque se multiplica por porque

tiene cifras decimales tiene cifras decimales

x x

x x

�

�

sin

1

5

( 10

1 )

10 4075

4075 815

1 0 2

número coma

cero

se multiplica por porque

tiene cifra decimal

x

x

Regla general: �

�

sin

44

,1 0000

�número coma

cifrasceros

abcdefab cdef

Fracción generatriz de un decimal periódico puro Vamos a obtener una regla para hallar una fracción generatriz de un decimal periódico puro. Fíjate en los siguientes casos:

�

� �

�

número sin coma parte entera

tantos 9 como cifrastiene el periodo

x 7, 454545... 7, 45

(se multiplica por 100 porque el periodo tiene 2 cifras)

100x 745, 454545....

x 7, 454545....

100x x 745 7 99x 745 7

745 7 738 82x

99 99 11

�

�número sin coma parte entera

tan tos 9 c

x 28,103103103... 28, 103

(se multiplica por 1000 porque el periodo tiene 3 cifras)

1000x 28103,103103...

x 28,103103...

Al restar : 1000x x 28103 28 999x 28103 28

28103 28x

999

��

�omo cifras

tiene el periodo

28075999

Regla general: ��

�3

3

,999cifras

nueves

abcde abab cde

Fracción generatriz de un decimal periódico mixto Vamos a obtener una regla para hallar una fracción generatriz de un decimal periódico mixto. Fíjate en los siguientes casos:

�

�

�número sin coma parte entera y anteperiodo

x 1,352767676... 1,352 76

(se multiplica por 1000 porque el anteperiodo tiene 3 cifras)

135276 13521000x 1352, 76

99

135276 1352 135276 1352 133 924x : 1000

99 99 000 99000

El denom

��

2 nueves porque el periodo tiene 2 cifrasinador tiene

3 ceros porque el anteperiodo tiene 3 cifras


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�

�

�número sin coma parte entera y anteperiodo

x 0,10325325... 0,10 325

(se multiplica por 100 porque el anteperiodo tiene2 cifras)

10325 10100x 10, 325

999

10325 10 10325 10 10315x : 100

999 99900 99900

3 nueEl denominador tiene

�

ves porque el periodo tiene 3 cifras

2 ceros porque el anteperiodo tiene 2 cifras

Regla general

� ��

��4 33 4

, cdef999 0000cifras cifrasnueves ceros

abcdefghi abcdefab ghi

Clasificación de los números racionales

Se llaman números racionales a todos los números que se pueden expresar en forma de fracción. Sólo son números racionales, los números enteros y los decimales exactos o periódicos. El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q.

N Ejemplo : 2

El número 0

. Ejemplo : 2,75

. Ejemplo : 5,333... 5,

Números enteros (Z)

Decimales exactos

Periódicos puros

Decimales periódicos

Racionales (Q)

Enteros positivos o números naturales ( ).

Enteros negativos. Ejemplo:-7

�

�

3

. Ejemplo : 7,4666... 7,4 6Periódicos mixtos

Hay números decimales que no son exactos ni periódicos. Estos números no se pueden expresar en forma de fracción. Son decimales que tienen infinitas cifras que no se repiten y se llaman números irracionales.

ACTIVIDADES

1 Resuelve las siguientes cuestiones: a) ¿Cómo se llama la parte que hay antes de la coma de un número decimal? b) ¿Cómo se llaman los números decimales en los que el periodo empieza inmediatamente después de la coma? c) ¿Qué tipo de número decimal es 3,72222222, periódico puro, periódico mixto o exacto? d) ¿Cómo se llama la parte decimal que no se repite en un decimal periódico mixto? e) Cuándo pasas a fracción el decimal 5,247, ¿Cuántos ceros debes poner en el denominador?

f) x

¿Cuál es el valor de x en la igualdad : 0,21212121 .... ?99

g) �¿Cuántos nueves en el denominador tiene la fracción generatriz del decimal 83, 5071 ?

h) �¿Cuántos ceros en el denominador tiene la fracción generatriz del decimal 0,35 214 ? i) El número 0,999… es en realidad un número natural. ¿Qué número es? j) Indica cómo se llama el conjunto de los números que se pueden expresar en forma de fracción y con qué letra se representa


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2 Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones y clasifica el número racional que se obtiene indicando si es natural, entero negativo, decimal exacto, decimal periódico puro o decimal periódico mixto:

a)13

6 b)

18

3

c)

15

11 d)

87

50 e)

437

23 f) 63

7

g)17

12 h) 352

125 i) 45

11 j) 203

29

3 Halla la fracción generatriz irreducible de los siguientes números:

a) �0,1 6 b) 1,75 c) 2,3333…. d) 3,125 e) �0, 2 6 f) 0,3333…. Actividades del libro: 14 y 17

3.- APROXIMACIONES DECIMALES

Aproximaciones o estimaciones de un número Una aproximación de un número es otro número que está relativamente próximo a él. Hay veces en las que en lugar de tomar el valor exacto de un número conviene tomar una aproximación:

- Cuándo queramos hacer una estimación para tener una idea más clara de la cantidad que estamos tomando - Al hacer cálculos con números reales que tienen infinitas cifras decimales - Cuándo el número tenga “muchas” cifras decimales y no nos interese usar tantas cifras

Aproximaciones por defecto y por exceso Una aproximación es por defecto si el número aproximado es menor que el valor exacto Si el número aproximado es mayor que el valor exacto diremos que es la aproximación es por exceso.

Ejemplos: - Para el número π = 3,1415….., las aproximaciones por defecto y por exceso son

a las unidades a las décimas a las centésimas a las milésimas etc por defecto 3 3,1 3,14 3,141 por exceso 4 3,2 3,15 3,142

- Para el precio de una camisa: 29,75 €

a las decenas a las unidades a las décimas por defecto 20 29 29,70 por exceso 30 30 29,80

Aproximación por redondeo a una determinada cifra

La aproximación que se suele utilizar en la mayoría de los casos es el redondeo.

Para redondear un número a una determinada cifra Si la cifra que le sigue es menor que 5, dejamos igual la cifra por la que estamos redondeando Si es mayor o igual que 5, le sumamos 1. Después sustituimos por ceros todas las cifras que le siguen


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�

�

�

5

5

5

:

36,52 3 6 , 5 2 37,00 37

7,8324 7,83 2 4 7,8320 7,832

3164 31 6 4 3200

redondeo a las unidades

redondeo a las milésimas

redondeo a las centenas

Ejemplos

Para redondear con la calculadora científica, puedes usar la función Fix. Pulsa MODE varias veces hasta que aparezca Fix, selecciona esta función pulsando 1. Luego selecciona del 0 al 9 según el número de cifras decimales a las que quieras redondear, por ejemplo, si queremos todos los resultados redondeados con 2 cifras decimales teclearemos 2.

Aproximación por truncamiento a una determinada cifra Algunas veces, en lugar del redondeo se usa el truncamiento que consiste en sustituir por ceros las cifras a partir de una dada. Ejemplos:

truncar a las centésimas3,72634 3,72000 3,72 truncar a las unidades de mil2543 2000

Error absoluto Llamamos error absoluto (EA) a la diferencia (tomada en valor absoluto) entre el valor exacto o real

(VR) y el valor aproximado (VA): A R AE = V V

El error absoluto se expresa en las mismas unidades que el valor exacto. Si el error absoluto es muy pequeño significa que la aproximación es muy buena Por ejemplo, si el valor exacto de un número es 2,3 y se toma como aproximación 2 el error absoluto es EA = | VR – VA | = | 2,3 – 2 | = 0,3.

Sin embargo, si se toma como aproximación 2,5 el error absoluto es EA = | 2,3 – 2,5 | = |– 0,2 | = 0,2.

Observa que la 2ª aproximación es mejor que la 1ª porque da menor error absoluto

Error relativo El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real, tomado en valor absoluto

RR

EE =|V |

El error relativo no lleva unidades y se suele expresar en forma de porcentaje (llamado entonces “error porcentual”). Para ello se multiplica el valor obtenido por 100. El error relativo se usa para comparar aproximaciones que tienen el mismo error absoluto y poder saber qué aproximación es la mejor o más precisa. Siempre es más precisa la aproximación que nos dé menor error relativo. Ejemplo: La fachada de la casa de Rosa mide exactamente 10 m pero Rosa al medirla obtiene 10,5 m La altura de una torre es exactamente 100 m pero Juan al medirla obtiene 99,5 m. El error relativo que ha cometido cada persona es:

10 10,5 0,5: 0,05 5%

10 10

R

R

ERosa E

V

100 99,5 0,5: 0,005 0,5%

100 100

R

R

EJuan E

V

RHa sido más preciso Juan porque su medida da menor E


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ACTIVIDADES

1 Resuelve las siguientes cuestiones: a) ¿Qué número se obtiene al redondear 2,97 a las décimas? b) Al redondear 4,26a a las centésimas obtenemos 4,27, ¿cuáles son los posibles valores de “a”? c) Se sabe que cuando redondeamos a las décimas el número 75,6a da el mismo resultado que si lo truncamos. ¿Qué posibles valores tiene “a”? d) ¿Qué error absoluto se comete al redondear a las unidades el número 3,9? e) ¿Qué porcentaje de error relativo se obtiene cuando se toma 100 como aproximación de 101? 2 Divide 250 € entre un grupo de 26 alumnos y redondea el resultado a las centésimas

3 Halla con tu calculadora 3 5 y trunca el resultado a las unidades

Actividades del libro: 27, 28, 29 y 82

4.- OPERACIONES CON NÚMEROS

Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es el mismo número sin considerar el signo y representa la distancia al 0. El valor absoluto se representa con dos barras verticales. Ejemplos:

|+5 | = 5

| –6 | = 6

Números enteros opuestos Dos números enteros son opuestos si tienen distinto signo y el mismo valor absoluto. Por ejemplo, 4 y –4 son opuestos. Los números opuestos están a la misma distancia del 0 y por tanto son simétricos respecto del 0.

Ejemplo:

Suma de dos números enteros Para sumar números del mismo signo se deja el signo y se suman los valores absolutos.

Por ejemplo, +3 + (+2) = 3 + 2 = 5 –3 + (–2) = – (3 + 2) = –5 Dos números opuestos suman 0. Por ejemplo, –2 + 2 = 0 Para sumar un número positivo y otro negativo, se deja el signo del número con mayor valor absoluto y se restan los valores absolutos. Ejemplos: –6 + 5 = –1 –4 + 6 = 2 3 + (–9) = –6 7 + (–4) = 3

Resta de dos números enteros Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto del segundo.


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Ejemplos: 5 – 6 = 5 + (–6) = –1 –6 – 3 = –6 + (–3) =– 9

Para resta un número negativo se pueden usar las reglas de los signos:

Ejemplos: –3 – (–1) = –3 + 1 = –2 –4 – (–7) = –4 + 7 = 3 9 – (–5) = 9 + 5 = 14 Para sumar o restar más de dos números enteros se pueden agrupar por un lado los de signo + y por otro los de signo –. También se puede hacer sumando o restando de izquierda a derecha. Por ejemplo, para calcular: 3 – (+5) + (–6) – (–4) + (–2) = 3 – 5 – 6 + 4 – 2

Agrupando : (3 4) (5 6 2) 7 13 6

De izquierda a derecha : 3 5 6 4 2 2 6 4 2 8 4 2 4 2 6

Ε5Φ Ε55Φ Ε555Φ

Producto de números enteros Para multiplicar números enteros se multiplican por un lado los signos y por otro los valores sin

signo. Se pueden usar las reglas de los signos:

. .

. .

Ejemplos: (–7).(–8) = 56 2.(–9) = –18

División de dos números enteros Para dividir números enteros se dividen los signos y después se dividen los valores sin signo.

Se pueden usar las reglas de los signos: : :

: :

Ejemplos: (–24) : (–6) = 4 72 : (–9) = –8

Para multiplicar o dividir más de dos números enteros se hacen de izquierda a derecha Ejemplo: 18 : (–2).5 = (–9).5 = –45

Operaciones combinadas con enteros Para realizar operaciones combinadas con números enteros debemos tener en cuenta que las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y restas Las operaciones que hay dentro de los paréntesis o corchetes se hacen en primer lugar Ejemplo: –2 – 3 . [ –12 – 3 . 6 : (–2) ] + (–7) – (–5) → –2 – 3 . [ –12 – 18 : (–2) ] + (–7) – (–5) → –2 – 3 . [ –12 + 9 ] – 7 + 5 → –2 – 3 .[–3] – 7 + 5 → –2 + 9 – 7 + 5 → 14 – 9 = 5

Propiedad distributiva Para multiplicar un número por una suma o resta de enteros, entre paréntesis, se multiplica el número por cada término del paréntesis.

Ejemplos:

3.(–5 + 2) = 3.(–5) + 3.2 = –15 + 6 = –9. En general, a.(b + c) = a.b + a.c

3.( –5 – 2) = 3.(–5) – 3.2 = –15 – 6 = –21 . En general, a.(b – c) = a.b – a.c Esta propiedad no se suele usar con números pues es más rápido realizar primero la operación del paréntesis y luego multiplicar.


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Propiedad de sacar factor común La propiedad distributiva es muy útil cuando se usa en sentido contrario. En tal caso, decimos que estamos sacando factor común.

Ejemplos: 7.(–5) + 7.2 = 7.(–5 + 2) . En general, a.b + a.c = a.(b + c)

7.(–5) – 7.2 = 7.(–5 – 2) . En general, a.b – a.c = a.(b – c)

43.71 – (–84).71 + 71.(–27) = 71.(43 + 84 – 27) = 71 . 100 = 7 100

Fracciones con términos negativos

. ( 1)

. ( 1)2 2

:3 3

Observa

:

a aEn general

b b

. ( 1). ( 1)

2 2:

3 3Observa

:a a

En generalb b

Suma y resta de fracciones

Si las fracciones tienen igual denominador, se deja el mismo denominador y se suman o restan los

numeradores. En general a c a+c+ =b b b

a c a c=b b b

Ejemplos:

7 4 7 4 11

5 5 5 5

7 5 7 5 12

43 3 3 3

Si las fracciones tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y se aplica la regla anterior. Ejemplo:

3 325 1 11 2(4,8,6,3) (2 ,2 ,2.3, 3) 2 .3 24

4 8 6 3

30 3 44 16 5

24 24 24 24 24

mcm mcm

Producto de fracciones

Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador

En general, a.ca c. =

b d b.d Ejemplo: 6 10 60 5

.4 9 36 3

Fracción de una fracción

Para calcular la fracción de una fracción se multiplican las fracciones.

En general, a.ca c a cde . =

b d b d b.d Ejemplo: 2 9 2 9 18 3

de .3 10 3 10 30 5

Por el mismo procedimiento se puede calcular la fracción de una cantidad:

Por ejemplo, 161

2.242 2 24de 24= de =3 3 3.1

Fracciones inversas

Decimos que dos fracciones son inversas entre sí, si su producto es 1

Por ejemplo, las fracciones 3 5

5 3y son inversas entre sí porque

3 5 15. 1

5 3 15

En general, las fracciones a b

yb a

son inversas entre sí. Si el numerador es 0 no existe la fracción

inversa.


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Números inversos Decimos que dos números son inversos entre sí, si su producto es 1.

Por ejemplo, los números 1

77

y son inversos entre sí porque 1 7 1 7

7 . . 17 1 7 7

En general, los números 1

a ya

son inversos entre sí. El número 0 no tiene inverso.

División de fracciones Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

Ejemplo: 3 5 3 7 21

: .2 7 2 5 10

. Se puede hacer directamente multiplicando en cruz: 3 5 3.7 21

:2 7 2.5 10

En general:

Operaciones combinadas con fracciones Para realizar operaciones combinadas con fracciones se sigue el siguiente orden: 1º) Se hacen las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha 2º) Se hacen las sumas y restas Si hubiese paréntesis, debemos hacer en primer lugar las operaciones de dentro de los paréntesis siguiendo el orden anterior. En las operaciones combinadas es conveniente tener en cuenta: - Los resultados de las operaciones con fracciones se suelen dar simplificados. - Sólo se reduce a común denominador cuando haya que sumar o restar, pero no cuando haya que multiplicar o dividir - Antes de operar con fracciones valora si simplificando las fracciones resulta más fácil

Ejemplo: partimos por 1 los números enteros

3da

4

1 1 3 2 1 1 1 3 3 2 12 1 : 3 :

3 4 2 1 3 1 4 2 1 1 3

��3�

3 1da

6 2

3 3:

4 2 1

2 1 1 8 1 2 91 4 2 4 4

Operaciones con fracciones y decimales

Para hacer operaciones con fracciones, enteros o decimales se expresan todos los números como fracción y luego se opera. Ejemplos:

1) � �21 70,5 0,333... . 5 + : 0,1 1,3 6

4 35

6

� � �0,5 0,333... 0,1 1,3

0,

Hallamos la fracción generatriz irreducible de cada decimal:

5 1 3 0 3 1 16 1 15 1 136 13 123 413 6 6

10 2 9 9 3 90 90 6 90 90 30

21 5 7 6. + : . +

4 35 5

6 72+ +

5 60

1 1 1 41 1 1 1 41Sustituyendo, obtenemos :

2 3 1 6 30 2 3 4 30

1 1 41 30 5 82 15 1

2 12 30 60 60 60 60 4


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2) En una Biblioteca las 3

5 partes de los libros son novelas,

1

3 de los restantes libros son de poesía.

Si hay 300 libros que no son novelas ni de poesía, ¿cuántos libros hay en total en la Biblioteca? 3

novelas :3 2 115 novelas y poesías :

1 2 2 5 15 15poesía : de

3 5 15300 . 154 4x

Si x es el nº de libros de la biblioteca, de x 300 300 x 1125 libros15 15 4

ACTIVIDADES

1 Resuelve las siguientes cuestiones:

a) ¿Cuál es la fracción opuesta de 7

5

?

b) ¿Cuál es la inversa de la fracción 79

?

c) ¿Qué número se obtiene cuando se multiplican dos fracciones inversas? d) ¿Cuál es el único número que no tiene inverso?

e) 1 1 ?2 3 f)

21 ?

5 g)

23 . ?

5 h)

2 3 : =?

5 7 i)

143 ?73

j) 1 5 2

+ . ?3 3 5

2 Se repartió una cantidad de dinero entre Ana, Juan e Inés de modo que a Ana le correspondió

los 2

5del total , a Juan

1

4del total. El resto, 700 €, le correspondieron a Inés. ¿Cuánto dinero le

correspondió a Ana?

3 En una bolsa con bolas de colores, las 34

partes son blancas, 16

son negras y el resto, 5 bolas, son

rojas. ¿Cuántas bolas hay en total? 4 Realiza las siguientes operaciones con fracciones y simplifica el resultado hasta obtener la

fracción irreducible: a) 23 3 1 1

1 . 35 10 4 6

: b)

2

3 10 1 12 10

5 4 63

. :

5 De todos los coches que había en una fábrica se vendieron en Octubre las 2

5 partes y en

Noviembre las 2

3 partes del resto. Si sabemos que quedaron 4 coches sin vender, ¿cuántos coches

había en total en la fábrica? Actividades del libro: 11, 12, 19, 47, 70, 92, 94, 95, 96 y 104

3º ESO ACADÉMICAS -...

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