Verano Integral Álgebra

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√ ⃗ ̅

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Problema 1. Indique el valor de verdad

(V) o falsedad (F) de las siguientes

proposiciones.

I. ( )( ) ( )

II. ( )( ) ( )

III. ( )( ) ( )

A) VVV B) VFF C) VFV

D) VVF E) FFV

Resolución. Recuerde que

( )( ) ( )

Luego, en las proposiciones:

I. Verdadero

( )( ) ( )

( )

II. Falso

( )( ) ( ) ( )

( )

III. Verdadero

( )( ) ( )

( )

Problema 2. Sean

;

Determine el valor de de modo que

.

A) 3 B) C) 9 D) E) 2

Resolución. Se quiere que

Reemplazamos sus correspondientes valores:

⏟

( )

Por lo tanto, .

Problema 3. Dada la igualdad

√

√

Determine la alternativa correcta.

A)

B)

C)

D)

E) ( )

Resolución. Elevemos al cuadrado el dato

para eliminar las raíces:

(√

√

)

√

√

√

√

⏟

Entonces, la alternativa correcta es la B).

Problema 4. Reduzca la expresión

( ) ( )

( ) ( )

A) B) C) D) 4 E)

Resolución. Aplicamos la segunda identidad

de Legendre:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Simplificando se obtiene:

Por lo tanto, .

Problema 5. Reduzca la siguiente expresi-

on.

( )( )( )

( )( )

A) B) C) D) 1 E)

Resolución. Recuerde que

( )( )

Luego,

( )( )⏞ ( )

( )( )⏟

( )

( )( )⏞

Por lo tanto, la expresión se reduce a .

Problema 6. Si ;

Indique la alternativa correcta.

A)

B)

C)

D)

E)

Resolución. Primero hallemos el valor de

:

Por dato,

Elevamos al cuadrado:

( )

⏟

( )

Ahora hallemos el valor de :

Por dato,

Elevamos al cubo:

( )

⏟ ( )⏟

( ) ( )

Por lo tanto, la alternativa correcta es la E).

Problema 7. Si

;

Determine el valor numérico de .

A) B) 2 C) D) 4 E) 1

Resolución.

Por dato,

Elevamos al cubo

( )

Desarrollamos por la identidad de Cauchy:

⏟ ( )⏟

( )

Por lo tanto, .

Otra forma:

Recuerde (diferencia de cubos) que

( )( )

Por dato,

⏟

( )⏟ ( )

( )

Resto en ambos miembros :

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⏟

( )

( )

Por lo tanto, .

Problema 8. Si se cumple que

despeje e indique un valor de que verifique

a la igualdad.

A) √ B) √

C) √

D) 1 E)

Resolución. Recuerde el siguiente ejemplo:

( )

Lo que tenemos por dato es similar:

Sumemos 2 en ambos miembros:

⏟

( )

Tomamos √

:

√( )

√

√

√

Por lo tanto, √ .

Problemas resueltos adicionales

Problema 9. Calcule el valor de la

expresión

√( )( )( )( )

si se sabe que .

A) 2 B) 3 C)

D) √

E)

Resolución. Recuerde que

( )( ) ( )

Multiplicamos convenientemente:

√( )( )( )( )

√( )( )

Por dato: . Luego,

√( )( )

√( )( )

√

Por lo tanto, la expresión se reduce a .

Problema 10. Sean e dos números de

modo que √ y

halle el valor de .

A)

B) 1 C)

D) 3 E)

Resolución. Nos piden calcular

Por dato se tiene que

√ y

Elevamos al cuadrado el primer dato:

( ) √

⏟

( )

Reemplazamos en la expresión :

Problema 11. Si

( ) ( )

( )( )

A) 16 B) 18 C) 322

D) 324 E) 326

Resolución. Recuerde que

( ) ( )

Luego, en el dato

( )

( ) ( ) ⏞

( )( )⏟

Invertimos

Desdoblamos

Elevamos al cuadrado

(

)

Elevamos nuevamente al cuadrado:

(

)

Problema 12. Sean y dos números de

modo que y

halle el valor de ( ) .

A) 4 B) 10 C) 12 D) 13 E) 17

Resolución. Aplicamos la segunda identidad

de Legendre.

( ) ( )

Reemplazamos los datos en esta identidad:

( ) ( ) ( )

( )

( )

Por lo tanto, ( ) .

Problema 13. Calcule el valor de

si se sabe que .

A) 15 B) 16 C) 52

D) 35 E) 18

Resolución. Por dato se tienen que

y

Elevamos al cubo el primer dato:

( )

⏟ ( )⏟

( ) ( )

Por lo tanto, .