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CAPITULO IV

Breve Geometría del Triángulo. Hemos visto ya varias proposiciones que llamamos “Axiomas”, proposiciones que consideramos “evidentes” en el sentido que no son consecuencia de otras aún más “evidentes”. (por ejemplo, “Por un par de puntos distintos pasa una recta” o “La suma de los ángulos de un triángulo es constante”). Las consecuencias de los axiomas son los “Teoremas”. Justamente porque se desprenden de los axiomas o de otros teoremas no los consideramos “evidentes”. Sin embargo, para ver que una proposición es consecuencia de otras es menester cierto proceso de pensamiento, la “demostración”. Damos en este capítulo algunos ejemplos sencillos y proponemos asimismo unos cuantos ejercicios con el ánimo de ayudar al lector en su esfuerzo de comprensión. TEOR. 1. En un triángulo no equilátero al mayor ángulo se opone el mayor lado. COMENTARIO: Al dibujar un triángulo el enunciado puede parecer plausible, sobre todo si se efectúa las mediciones pertinentes, pero cualquier medición dejará siempre un margen de error y lo que se quiere es demostrar el teorema independientemente de toda representación y por ende de toda posibilidad de error. Para guiarnos sin embargo trazamos una figura, un triángulo ABC que al no ser equilátero tendrá un ángulo mayor que otro. Sean los ángulos α = BAC y β = ABC con α > β. Este dato del enunciado es la “hipótesis”. Conviene escribir explícitamente: Hipótesis: α > β De este supuesto (“hipótesis” en griego) ha de surgir la conclusión, la Tesis a > b (a = BC, b = AC). La demostración consiste en la prueba de la proposición:

“Sí α > β, entonces a > b”. En efecto, por ser α > β podemos elegir D en la base BC del triángulo ABC de suerte que BAD = ABC = ABD = β. Esta igualdad de ángulos implica la igualdad de los lados AD y BD. Ahora bien, en el triángulo ADC se tiene:

AC < AD + DC = BD + DC = BC,

O sea b < a, que es lo mismo que a > b. Aquí concluye la demostración.

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La demostración vista reposa sobre el axioma según el cual “En todo triángulo la suma

de dos lados supera al tercer lado”. La demostración además usa la definición del triángulo isósceles: “Un triángulo con dos ángulos y con dos lados iguales”.En rigor esta definición es redundante, pues un triángulo con dos ángulos iguales tienen también dos lados iguales.

(En efecto, sí ABC = ACB y AD ┴ BC, en la figura a continuación,

Los triángulos ABD y ADC son congruentes por tener un lado AD en común, los ángulos BAD y CAD iguales y ADB y ADC rectos). OBSERVACIÓN: La tesis dice que “a > b” es una condición necesaria para “α > β” o que ésta última es suficiente para la primera. En el caso del teorema la tesis es condición necesaria y suficiente para la hipótesis. TEOR. 2 (Recíproco del 1) En un triángulo no equilátero al mayor lado se opone al mayor ángulo. HIPÓTESIS: a > b. TESIS α > β DEMOSTRACIÓN. (Con las mismas notaciones del TEOREMA 1) Sí α ≤ β; vale una sola de las alternativas (.) α = β, entonces a = b, contrariamente a la hipótesis; (..) Si α < β, en virtud del Teorema 1, a < b, lo cual es también contrario a la hipótesis. NOTA El recurso del teorema 2, la negación de la tesis, es muy frecuente en las matemáticas. Se llama “reducción al absurdo” y consiste en mostrar que la negación de la tesis entraña una proposición falsa, es decir, que contradice los axiomas admitidos. NOTA La demostración del teorema 1 se funda en la “desigualdad triangular” y sus consecuencias constituyen todo un capítulo de la geometría elemental, las “desigualdades geométricas”, de las cuales damos un ejemplo a continuación.

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TEOR. 3 Sea ABC un triángulo y sea P un punto interior. Sean PA=x, PB=y, CB=a, CA=b Demuéstrese que: x + y < a + b DEMOSTRACIÓN. En efecto:

Este teorema admite la siguiente generalización: TEOR. 4 Si hacemos en el Teorema anterior PC = z y AB = c, se tiene x + y + z < a + b + c. Dejamos la demostración a cargo del lector así como la resolución siguiente Problema. A un mismo lado de una recta se tiene dos puntos A y B, se pide hallar un punto C sobre la recta de suerte que el trayecto AC + CB sea lo más corto posible. Ya sabemos cómo trazar una perpendicular a una recta desde un punto ajeno (construcción 6). A este respecto tenemos el siguiente Teorema:

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TEOR. 5 Sea 0 un punto ajeno a una recta y sea P su proyección ortogonal; si Q y R son dos puntos sobre la recta Q entre P y R, se tiene: OP< OQ < OR. (“Q entre P y R” significa: PQ < PR). DEMOSTRACIÓN Si 0’ es el simétrico de 0 con respecto a la recta, 2 0P = 00’ < 0Q + 0’Q = 2 0Q; 0Q + 0’Q < 0R + 0’R (TEOREMA 3)

Por lo tanto 2 OQ < 2 OR Ya hemos visto los criterios de congruencia de triángulos y las construcciones pertinentes. Vamos a dar enseguida algunas aplicaciones. Recuérdese que la “mediana” o “transversal de gravedad” de un triángulo en el segmento definido por un vértice, y el punto medio del lado opuesto. Ejercicio 1 Se tiene dos triángulos, ABC, A’B’C’ con sus medianas AD y A’D’. Demuéstrese que si AB = A’B’ BC = B’C’, AD = A’D’, ambos triángulos son congruentes. Ejercicio 2 El largo de una mediana está comprendido entre la semi-suma y la semi-diferencia de los lados del ángulo que la contiene. (Aplíquese desigualdad triangular). Ejercicio 3 El perímetro de un triángulo está comprendido entre la suma de las medianas y el doble de esa suma. (Aplíquese al ejercicio anterior).

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Ejercicio 4 Prolónguese los lados BA y CA del triángulo ABC hasta B’ y C’; AB’= AB, AC’ = AC. Se pide demostrar lo siguiente: (.) que BC = B’C’; (..) que los puntos medios de BC y de B’C’ son colineales con A; (…) que si M y M’ son respectivamente esos puntos, MA = AM’. NOTA BAC y B’ AC’ son dos triángulos simétricos con respecto al punto A, el “centro simetría” de la figura. Hay que demostrar previamente una propiedad sencilla: Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales (es el caso de BAC y de B’AC’). NOTA En los libros de texto se propone muchas veces la construcción de un triángulo dados tres datos. Si estos datos son los tres lados, dos lados y el ángulo que comprenden o un lado y los ángulos adyacentes, ya sabemos cómo proceder. Cuando los datos sean tres elementos cualesquiera, se procura reducirse a triángulos parciales. Por ejemplo, Ejercicio 5 Se pide un triángulo ABC sabiendo que AB mide 5 cm., que AC mide 4 cm. Y que la mediana AA’ mide 3 cm.

Autor: Profesor Dr. Don Wilfred Reyes S.