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4.° grado: Matemática

SEMANA 13

DÍA 4

Calculamos las medidas de tendencia central y de posición

en diversas situaciones

Días 3 y 4:Resolvamos

Cuaderno de trabajo de Matemática:

Resolvamos problemas 4 - día 4, ficha 1, páginas 23, 24 y 25.

Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Los recursos que utilizaremos:

Estimado y estimada estudiante, iniciaremos

el desarrollo de las actividades de las páginas

23, 24 y 25 de tu cuaderno de trabajo

Resolvamos problemas 4

Una distribuidora de artefactos eléctricos tiene cinco tiendas (A, B, C, D y E). Las ventas de cada tienda

en el verano, en miles de soles, se muestran en la siguiente tabla, la cual tiene algunas casillas sin

información para que las completes. Se incluyen, además, los promedios por tienda y por mes.

Situación 1 - página 23

Con la información dada, responde las preguntas 1 y 2.

TiendasEnero Febrero Marzo Promedio

A 36 41 55 44

B 28 39 39

C 23 38

D 85 32 72 63

E 73 45 55

Promedio 49 37

Meses

1. ¿Cuánto vendió la tienda D en febrero?

a) S/ 26 000 b) S/ 28 000 c) S/ 32 000 d) S/ 36 000

1.° Para responder la pregunta,

recurro a los datos brindados

en la tabla.

2.° En la tabla identifico la tienda D

y su venta en el mes de febrero.

La venta de la tienda D en febrero

es 32 presentado en miles, es decir,

S/ 32 000.

Tabla de promedios por tienda y mes

Resolución


A 36 41 55 44

B 28 39 39

C 23 38

D 85 32 72 63

E 73 45 55

Promedio 49 37

Meses

Respuesta: Alternativa c)

2. ¿Cuál es la diferencia en ventas entre la tienda que más vendió en el verano y la que menos vendió?

a) S/ 24 000 b) S/ 34 000 c) S/ 72 000 d) S/ 102 000

ResoluciónTabla de promedios por tienda y mes


A 36 41 55 44

B 28 39 39

C 23 38

D 85 32 72 63

E 73 47 45 55

Promedio 49 37

Meses1.° Calculo la venta de la tienda E en el mes de febrero

a partir de los datos de la tabla.

venta enero + venta febrero + venta marzo3

= promedio

73 + venta febrero + 453

= 55

venta febrero = 165− 118

venta febrero = 47

La venta de la tienda E en febrero fue S/ 47 000.

2.° Calculo la venta de la tienda C en el mes de febrero.

venta A + venta B + venta C + venta D ! venta E

"= promedio

41 + 39 + venta C + 32 + 47"

= 37

venta C = 26

La venta en el mes de febrero de la tienda C

es S/ 26 000.

3.° Calculo la venta de la tienda B en el mes de marzo.

venta enero + venta febrero + venta marzo#

= promedio

28 + 39 + venta marzo#

= 39

venta marzo = 50

La venta en el mes de marzo de la tienda B es S/ 50 000.

Continúo con la resolución de la pregunta 2 de la situación 1

Tabla de promedios por tienda y mes


A 36 41 55 44

B 28 39 50 39

C 23 26 38

D 85 32 72 63

E 73 47 45 55

Promedio 49 37

Meses

Respuesta: Alternativa b)

Tabla de promedios por tienda y por mes


A 36 41 55 44

B 28 39 50 39

C 23 26 38 29

D 85 32 72 63

E 73 47 45 55

Promedio 49 37

Meses

Mayor venta

Menor venta

Continúo con la resolución de la pregunta 2 de la situación 1

4.° Calculo el promedio de venta en la tienda C.

promedio = venta enero + venta febrero + venta marzo

!

promedio = 23 + 26 + 38

!= 29

El promedio de venta mes de marzo en la tienda C es

S/ 29 000.

5.° Con las ventas por mes y los promedios, calculo la

diferencia en ventas entre la tienda que más vendió en

el verano y la que menos vendió.

Diferencia = mayor venta – menor venta

Diferencia = 63 – 29 = 34

Representado en soles es S/ 34 000.

Un estudiante, de una universidad, en uno de sus cursos, debe rendir cinco prácticas, un examen parcial

y un examen final. El siguiente cuadro muestra los puntajes de sus cinco prácticas y de su examen parcial:

El puntaje final del curso se obtiene asignando ciertos pesos al promedio de prácticas, al examen parcial

y al examen final. Estos pesos son 40 %, 30 % y 30 %, respectivamente.

¿Cuál debe ser el puntaje mínimo que debe obtener el estudiante en el examen final para que el puntaje

final del curso sea, por lo menos, 15?


a) 16 b) 17 c) 18 d) 19

P1 P2 P3 P4 P5 Ex. parcial Ex. final

12 14 11 12 11 16

Resolución

A partir de los datos de la tabla tenemos:

1.° Tres notas aportan el puntaje final con diferentes pesos de acuerdo con su importancia:

-Promedio de prácticas PP: 40 %.

-Examen parcial E1: 30 %.

-Examen final E2: 30 %.

2.° Realizo la suma de las prácticas y calculo el promedio de los puntajes.

PP =

PP = = !"

#= 12

P1 + P2 + P3 + P4 + P5

5

12 + 14 + 11 + 12 + 11

5

P1 P2 P3 P4 P5 Ex. parcial Ex. final

12 14 11 12 11 16

3.° Por condición, el puntaje final del curso debe ser por lo menos, 15. Expreso el puntaje final.

Continúo con la resolución de la situación 2

Por tanto, la nota mínima en el examen final debe ser 18 para tener como mínimo un puntaje final de 15.

Puntaje final ≥ 15

Puntaje final mínimo = 15

40PP + 30E1 + 30E2

"##= 15

40(12) + 30(16) + 30x

"##= 15

480 + 480 + 30x = 1500

x = $%#

&#

x = 18


Para calcular el promedio cuando hay pesos:

Sean los pesos W1 , W2 y W3

Puntajes: P1, P2 y P3

Promedio = '"(

")'

*(

*)(

&

(")(

*)(

&

Medidas de posición no centrales

Las medidas de posición no centrales o cuantiles dividen

la distribución en partes iguales.

Los más utilizados son:

Cuartiles: Dividen la distribución en 4 partes iguales.

Hay 3 cuartiles: Q1 (25 % acumulado), Q2 (50 % acumulado),

Q3 (75 % acumulado).

Deciles: Dividen la distribución en 10 partes iguales.

Hay 9 deciles: !1(10 % acumulado),…, !9 (90 % acumulado).

Percentiles: Dividen la distribución en 100 partes iguales.

Hay 99 percentiles: P1 (1 % acumulado),…, P99 (99 % acumulado).

Características de los cuantiles:

• El Q4; el D10 y el P100: corresponden al último

dato de la Información.

• El Q2, el D5, y el P50: son iguales a la mediana

de la información.

• Q1 = P25; Q3 = P75.

• D1 = P10; D2 = P20; …., D9 = P90.

¡ Importante !

Quartiles

Deciles

Percentiles

Mín.

Mín.

Mín.

Máx.

Máx.

Máx.

Ejemplo 1: los datos son las nota de los estudiantes de una clase. Si un estudiante tiene

17 y está en el percentil 85, significa que el 85 % de los estudiante tiene un 17 o menos.

Ejemplo 2: si tomamos los sueldos de 10 000 trabajadores. ¿Cuál sería el percentil 60? El

P60 sería aquel sueldo por debajo del cual estaría el 60 % de los trabajadores. Si

ordenamos los trabajadores desde el que cobra menos hasta el cobra más, el P60 sería el

sueldo del trabajador número 6000 (60 % de 10 000).

Veo ejemplos para entender mejor:

La tabla muestra las estaturas de los estudiantes del 4.° G de la Institución Educativa Emblemática

Carlos Wiesse. Calcula e interpreta el cuartil uno y el cuartil medio.

Situación 3- página 24

1.° Calculo total de estudiantes y la frecuencia absoluta acumulada.

Resolución

Estatura (m)[Li; Ls[

fi Fi

[1,38; 1,46[ 2

[1,46; 1,54[ 4

[1,54; 1,62[ 9

[1,62; 1,70[ 11

[1,70; 1,78] 4

Total


Calculo el total de estudiantes (n):

n = f1 + f2 + f3 + f4 + f5

n = 2 + 4 + 9 + 11 + 4 = 30

Para calcular las FiF1 = f1F2 = F1 + f2F3 = F2 + f3Fn = Fn – 1 + fn


fi Fi

[1,38; 1,46[ 2 2

[1,46; 1,54[ 4 6

[1,54; 1,62[ 9 15

[1,62; 1,70[ 11 26

[1,70; 1,78] 4 30

Total 30

Calculo la frecuencia absoluta

acumulada hasta cada intervalo.

F1 = 2

F2 = 2 + 4 = 6

F3 = 6 + 9 = 15

F4 = 15 + 11 = 26

F5 = 26 + 4 = 30

Organizo los valores en la tabla.

¡Importante!!


2.° Calculo la posición del cuartil Q1 , empleando .

Donde :

Valor del cuartil: k = 1

Cantidad de datos: n = 30

Q1 = ?

! " #

4=1 " 30

4= 7,5

Cuartil, divide en 4 partes iguales,

con tres cortes.

Posición:

k: valor del cuartil solicitado

n: cantidad de datos.


fi Fi

[1,38; 1,46[ 2 2

[1,46; 1,54[ 4 6

[1,54; 1,62[ 9 15

[1,62; 1,70[ 11 26

[1,70; 1,78] 4 30

Total 30

i = 3

k • n

4

k • n

4

Recuerda:

Si vamos acumulando la cantidad de datos desde el

primer intervalo notamos que nos deberíamos detener

en la frecuencia absoluta número 3 (f3) porque hasta el

segundo intervalo se han acumulado (2+4=6) 6 datos y

para llegar a 7,5 nos falta 1,5 y eso lo tendríamos que

tomar del siguiente intervalo que tiene 9 datos. Por lo

tanto el intervalo que contiene al cuartil uno es el

I3=[1,54;1,62].

Entonces, el límite inferior Li es 1,54 m.


3.° Hallo la amplitud de clase: A = Ls− Li.

A = 1,62 – 1,54

A = 0,08

4.° Con los datos de la tabla, calculo valor

de "1 , empleando la fórmula:

"$ = &' +

) * +4

− -'./

0'* 1

"1 = 1,54 +7,5 − 6

9* 0,08

"1 = 1,54 +/,9

:* 0,08 = 1,54 + 0,17 * 0,08 = 1,55 m


fi Fi

[1,38; 1,46[ 2 2

[1,46; 1,54[ 4 6

[1,54; 1,62[ 9 15

[1,62; 1,70[ 11 26

[1,70; 1,78] 4 30

Total 30

Límite inferior del intervalo

donde se encuentra el cuartil Total de datos

Frecuencia acumulada

anterior al cuartilFrecuencia absoluta

) * +

4=1 * 30

4= 7,5

-'./0'

&'



fi Fi

[1,38; 1,46[ 2 2

[1,46; 1,54[ 4 6

[1,54; 1,62[ 9 15

[1,62; 1,70[ 11 26

[1,70; 1,78] 4 30

Total 30

i = 4

Límite inferior del Intervalo

donde se encuentra el cuartil Total de datos


anterior al cuartilFrecuencia absoluta

5.° Calculo posición del cuartil medio(Q2) empleando $%&

' .

( % )

4=2 % 30

4= 15

Ubico valor 15 ubico en la tabla en la columna

frecuencia acumulada (Fi ) el próximo valor inmediato,

que es 26 y la clase es 4, no la clase 3 porque 1,62 es un

intervalo abierto.

Entonces, límite inferior Li es 1, 62 m.

6.° Calculo valor de 02.

01 = 23 +

( % )4

− 6378

93% :

02 = 1,62 +8= 78=

88% 0,08 = 1,62 + 0 = 1,62m

637893

23


A partir de los valores obtenidos, Q1 = 1,55 m.

• El 25 % de los estudiantes tienen una

estatura menor o igual a 1,55 m.


estatura mayor o igual a 1,55 m.

Cuartil medio es la mediana, Q2 = 1,62 m.


estatura menor o igual a 1,62 m.


estatura mayor o igual a 1,62 m.


fi Fi

[1,38; 1,46[ 2 2

[1,46; 1,54[ 4 6

[1,54; 1,62[ 9 15

[1,62; 1,70[ 11 26

[1,70; 1,78] 4 30

Total 30

I. Asia ha experimentado el mayor crecimiento

en la esperanza de vida desde finales de los

años sesenta.

II. El promedio aritmético del aumento en la

esperanza de vida para las cuatro regiones

del mundo consideradas es de exactamente

8,5 años.

III. Las regiones más desarrolladas han

experimentado un mayor crecimiento en la

esperanza de vida que los países africanos.

Situación 4- página 25El siguiente gráfico muestra la variación, en años, de la esperanza de vida para la población mundial y

para cuatro de sus regiones. Con base en la gráfica mostrada, se puede afirmar que:

Son ciertas:

a) Solo II b) Solo III c) Solo I y II d) Solo II y III

44

África Asia MundoAméricaLatina/El Caribe

Regiones másdesarrolladas

4954

67

59

70 7176

56

65

1965-1970 2000-2005

1.° Analizo cada anunciado.

I. Asia ha experimentado el mayor crecimiento en la esperanza de vida desde finales de los años sesenta.

Asia experimentó un crecimiento de 13 años en la esperanza de vida desde finales de los años sesenta. Por tanto, la proposición es verdadera (V).

II. El promedio aritmético del aumento en la esperanza de vida para las cuatro regiones del mundo consideradas es exactamente 8,5 años.

Promedio = = = 8,5

Por tanto, la proposición es verdadera (V).

Resolución

RegionesAños

1965- 1970Años

2000-2005Crecimiento en la esperanza de vida

África 44 49 5

Asia 54 67 13

América Latina/El Caribe 59 70 11

Regiones más desarrolladas 71 76 5

Mundo 56 65 9

5 + 13 + 11 + 54

344

III. Las regiones más desarrolladas han experimentado un mayor crecimiento en la esperanza de vida que los países africanos.

Por tanto, la proposición es falsa (F).

Continúo con la resolución de la situación 4.

• Las regiones más desarrolladas han experimento un crecimiento en 5 años en la esperanza de vida y los países africanos también 5 años.

Son ciertas solo I y II.

RegionesAños

1965-1970Años

2000-2005Crecimiento en la esperanza de vida

África 44 49 5

Asia 54 67 13

América Latina/El Caribe 59 70 11

Regiones más desarrolladas

71 76 5

Mundo 56 65 9


De la selva peruana se suele transportar frutas en camiones que se dirigen hacia la capital. La siguiente

tabla de frecuencias muestra la cantidad de gasolina que consume una flota de camiones diariamente.

¿En qué intervalo se encuentra el percentil veinte?, ¿qué significa ese valor?


Gasolina (galón)[Li; Ls[

fi

[10; 20[ 8

[20; 30[ 15

[30; 40[ 11

[40; 50[ 17

[50; 60] 25

1.° En la tabla calculo la frecuencia absoluta acumulada.

F1 = 8

F2 = 8 + 15 = 23

F3 = 23 + 11 = 34

F4 = 34 + 17 = 51

F5 = 51 + 25 = 76

2.° Calculo la posición del percentil P20 , empleando .

Percentil 20: k = 20

Total de datos: n = 76

! " #

100=20 " 76

100= 15,2

Resolución


fi Fi

[10; 20[ 8 8

[20; 30[ 15 23

[30; 40[ 11 34

[40; 50[ 17 51

[50; 60] 25 76

Total 76

Límite inferior del intervalo donde se

encuentra el percentil 20

Total de datos


anterior al percentil (Fi)Frecuencia absoluta (fi)

i = 2

k • n

100

Si vamos acumulando la cantidad de datos desde el primer intervalo

notamos que nos deberíamos detener en la frecuencia absoluta

número 2 (f2) porque hasta el primer intervalo se han acumulado 8

datos y para llegar a 15,2 nos falta 7,2 y eso lo tendríamos que tomar

del siguiente intervalo que tiene 15 datos. Por lo tanto el intervalo

que contiene al percentil veinte es el I2=[20;30].

Entonces, el límite inferior Li es 20 galones

3.° Hallo el valor de amplitud de clase: A = Ls- Li.

A = 30 – 20 = 10.

4.° Calculo el valor de P20 , empleando la fórmula:

!" = $% +

" ' (4

− +%,-

.%' /

020 = 20 +15,2 − 8

15' 10

020 = 20 +7,2

15' 10

020 = 20 + 4,8

020 = 24,8 galones


A partir de lo valores obtenidos podemos afirmar: P20 = 24,8 galones.

• El 20 % de camiones consumen menos o igual a 24,8 galones de gasolina.

• El 80 % de camiones consumen más o igual 24,8 galones de gasolina.


fi Fi

[10; 20[ 8 8

[20; 30[ 15 23

[30; 40[ 11 34

[40; 50[ 17 51

[50; 60] 25 76

Total 76

Limite inferior donde se

encuentra el percentilTotal de datos


anterior al percentilFrecuencia absoluta

i = 2

Gracias

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