4-lineas1

Electromagnetismo - 2002 203

Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar

4 Lneas de Transmisin 1En este captulo introducimos las nociones bsicas de la propagacin de ondas porlneas de transmisin. Las lneas de transmisin son estructuras de guiado de energa cuyas dimensiones,

salvo una, son pequeas frente a la longitud de onda de los campos electromagn-ticos. Es posible considerar a la lnea como una sucesin de cuadripolos de tama-o infinitesimal en cascada. Para cada cuadripolo entonces se puede aplicar laaproximacin cuasi-esttica. Esta descripcin circuital se conoce como de par-metros distribuidos.

En el caso de las lneas ideales no existen prdidas de energa y el cuadripoloexhibe solamente elementos reactivos. Resultan ecuaciones de onda para tensin ycorriente a lo largo de la lnea, que queda definida por dos parmetros: la veloci-dad de propagacin de las ondas y la impedancia caracterstica, que da la rela-cin entre las ondas de tensin y de corriente de una onda progresiva.

En el caso de las lneas reales se incorporan las prdidas en los conductores y enel dielctrico. Esto lleva, en el caso de ondas armnicas, a una constante de pro-pagacin compleja que indica la propagacin con atenuacin y a una impe-dancia caracterstica compleja. En la prctica son de inters las lneas de bajasprdidas.

Se presenta una descripcin de lneas de uso comn en la tcnica, entre ellas laslneas de cinta o de par trenzado.

Una lnea cargada generalmente presenta reflexin de potencia, y en el caso ideal,ondas estacionarias.

En general, modificando la impedancias de carga y la longitud de la lena es posi-ble obtener cualquier impedancia de entrada, lo que permite usar a las lneas co-mo elementos de circuito.

Para lneas de transmisin de energa o informacin, la reflexin de potencia eshabitualmente perjudicial, y est acompaada de sobretensiones y sobrecorrientesen la lnea que pueden daarla. El parmetro que define usualmente la importan-cia de la reflexin es la relacin de onda estacionaria (ROE).

Se presenta un coeficiente de reflexin generalizado que da la relacin de la ten-sin de la onda regresiva y la tensin de la onda incidente en cualquier punto de lalnea.

En el Apndice 4 se da una muy breve introduccin al comportamiento de ondas enuna dimensin.



Guas de ondas y lneas de transmisinUna gua de ondas es un dispositivo que se usa para transportar energa electro-magntica y/o informacin de un sitio a otro. Generalmente se usa el trmino lneade transmisin a la gua de ondas usada en el extremo de menor frecuencia delespectro. A estas frecuencias es posible utilizar un anlisis cuasiesttico. Para

frecuencias ms elevadas la aproximacincuasiesttica deja de ser vlida y se requiereun anlisis en trminos de campos, que es demayor complejidad. Veremos este tratamientoen el captulo de guas de ondas.Podemos pensar a una lnea de transmisincomo un par de electrodos que se extiendenparalelos por una longitud grande (en relacincon la longitud de onda) en una dada direc-cin. El par de electrodos se hallan cargadoscon distribuciones de carga (variables a lolargo de la lnea) iguales y opuestas, forman-do un capacitor distribuido. Al mismo tiempo

circulan corrientes opuestas (variables a lo largo de lalnea) de igual magnitud, creando campo magnticoque puede expresarse a travs de una inductanciadistribuida. La potencia fluye a lo largo de la lnea.Los ejemplos ms importantes de lneas de transmi-sin son el par bifilar, el coaxil y la microcinta.

Modelo circuital de la lnea idealEn una lnea de transmisin hay dimensiones, las transversales, que cumplen lacondicin cuasi-esttica (D



Podemos aplicar ahora las leyes de Kirchhoff a este modelo cuasiesttico. La pri-

mera ley, aplicada al nodo A lleva a: 0)()( =

++zt

vCdzzidzzi

donde el ltimo trmino representa la corriente que sale de A por el capacitor. Pero,

a primer orden: zzz t

vCzidz

zizidzzi

+ )()(

Anlogamente, si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff recorriendo la malla forma-

da por el cuadripolo en sentido antihorario, tenemos: 0)()(

++ zvtidzLdzzv

de donde se obtiene, nuevamente a primer orden: zz t

iLzv

En resumen: zzzz t

iLzv

tvC

zi

=

Estas dos ecuaciones diferenciales ligadas para la tensin y la corriente a la entradadel cuadripolo son las llamadas ecuaciones del telegrafista para la lnea ideal.Con el fin de analizar el significado de estas ecuaciones nos conviene desacoplar lasecuaciones diferenciales, para lo cual derivamos la primera respecto del tiempo y la

segunda respecto de z:ztiL

zv

tvC

tzi

=

=

2

2

2

2

22

donde se ha sobreentendido que las cantidades se calculan en z. Pero las derivadascruzadas son iguales, de manera que nos queda:

022

2

2

=

tvLC

zv

Esta ecuacin diferencial para la tensin v(z,t) se denomina ecuacin de ondas oecuacin de DAlembert. Es una ecuacin diferencial lineal homognea a deriva-das parciales, cuya solucin (Apndice 4) es cualquier funcin del tipo:

LCcctzftzv 1 )(),( == conm

Esta funcin representa una onda que se propaga a lo largo del eje z con velocidadc, de comportamiento similar a las ondas en una cuerda vibrante.Si se toma el signo (-) de la doble determinacin, la onda se propaga en el sentidode +z (onda progresiva), mientras que si se toma el signo (+) la propagacin es se-gn -z (onda regresiva).Se obtiene una ecuacin idntica para la corriente i(z,t) a lo largo de la lnea.

Se observa entonces que la solucin a las ecuaciones del telegrafistaen una lnea ideal son ondas de tensin y corriente que se propagan alo largo de la lnea.

Adems las ondas de tensin y corriente estn vinculadas entre s.Consideremos una onda progresiva con: v(z,t) = f(z - ct) y i(z,t) = g(z - ct).

Entonces:

=

=

=

=

=

ugc

tu

ug

ti

uf

zu

uf

zv

tiL

zv



Luego: ugcL

uf

=

e integrando: )()( ctzg

CLctzf =

de donde: v(z,t) = Z0 i(z,t) con CLZ /0 =

La cantidad Z0 tiene dimensiones de impedancia y se llama impedancia caracters-tica de la lnea. Junto con la velocidad de propagacin de las ondas LCc /1=son los parmetros fundamentales que describen el comportamiento de la lnea co-mo dispositivo transmisor de energa.Si ahora tomamos el par de funciones correspondiente a una onda regresiva:v(z,t) = f(z + ct) y i(z,t) = g(z + ct) es fcil demostrar que: v(z,t) = - Z0 i(z,t)

Lneas con prdidasEl modelo que hemos visto es un modelo ideal, es decir, sin prdidas de energa. Sinembargo, todos los sistemas reales tienen prdidas. En una lnea de transmisin lasprdidas se dan por: prdidas por efecto Joule en los conductores; prdidas dielctricas.El modelo circuital de cuadripolo precedente puede incorporar estas prdidas me-

diante una resistencia en serie, que mo-deliza las prdidas por efecto Joule debi-das a la circulacin de corriente en losconductores de la lnea y una conductan-cia en paralelo, que modeliza las prdidasdielctricas mediante una conductividadequivalente del material, como se ilustra

en la figura.Para obtener las ecuaciones del telegrafista para este modelo de la lnea con prdi-das, aplicamos nuevamente la primera ley de Kirchhoff al nodo A:

zzz tvCzvG

zi

tvdzCzvdzGzidzzi

=

=+ )( )()()(

Recorriendo ahora la malla que forma el circuito, por la segunda ley de Kirchhoff:

zzz tiLziR

zv

tidzLzidzRzvdzzv

=

=+ )( )()()(

Las ecuaciones diferenciales acopladas son las nuevas ecuaciones del telegrafis-ta. Para resolverlas nuevamente se desacoplan las ecuaciones a travs de las deri-vadas cruzadas para obtener:

2

22

22

2

2

)(

)(

tvC

tvG

tzi

tvCzvG

zi

ztiL

tvRCvRG

ztiL

ziR

zv

tiLziR

zv

zz

zz

=

=

+=

=

=

de donde: ( )

( ) 22

2

2

2

2

2

2

tiLC

tiLGRCiRG

zi

tvLC

tvLGRCvRG

zv

+

++=

+

++=

z

i(z,t) i(z+dz,t)

v(z,t) v(z+dz,t)

L dz

C dz

A R dz

G dz



Estas son ecuaciones diferenciales de tipo ondulatorio. Quedan ecuaciones de ondade DAlembert si consideramos prdidas nulas (R = G = 0).No existe solucin general de estas ecuaciones como en el caso ideal. Sin embargocualquier forma de onda fsicamente realizable puede expresarse mediante una in-tegral de Fourier1 y la resolucin es simple para variaciones armnicas:

tis

tis ezitziezvtzv

)(),( )(),( ==en notacin fasorial. Con esta dependencia temporal la ecuacin diferencial para latensin queda:

( )[ ] 0 222

22

2

=+++= ss

ss v

dzvd

vLCLGRCiRGdz

vd

con: ( )LGRCiRGLC += 2y se obtiene una ecuacin similar para la corriente. Estas son ecuaciones llamadasecuaciones de Helmholtz, donde el nmero de onda = - i es complejo, indi-

cando una propagacin con atenuacin, cau-sada por las prdidas. Las ondas de tensin ycorriente con nmero de onda complejo quedan:

)(0

)(0 ),( ),(

ztizztiz eeitzieevtzv ==donde se ve que las amplitudes decrecen a me-dida que la onda se propaga por la atenuacinproducida por las prdidas. En la figura se ob-servan dos ondas armnicas de igual frecuencia,una en una lnea ideal y la otra en una lnea realcon 5/ = . La velocidad de propagacin de

las ondas es la velocidad de propagacin de los planos de fase constante o veloci-

dad de fase: = .ctezt

=fv

En general, la relacin entre y es no lineal por la presencia de la raz cuadrada.Esto lleva a que la velocidad de las ondas (la velocidad de fase, en rigor, como sever en el Captulo 6) dependa de la frecuencia, fenmeno conocido como disper-sin de un paquete de ondas porque algunas componentes de Fourier viajan msrpido que otras.

Como ( )( )CGiLRiLCCiGLiR =++= 11))((si ( )LRiLCiCGLR === 1 y se ve que en este casola relacin entre y es lineal por lo que no hay dispersin. Las lneas que cum-plen esta condicin son entonces no dispersivas.

Si definimos: LiRZ += (impedancia serie por unidad de longitud)CiGY += (admitancia paralelo por unidad de longitud)

tenemos: ZY=Si vinculamos nuevamente las ondas de tensin y de corriente mediante las ecua-ciones del telegrafista podemos obtener la expresin de la impedancia caracterstica

de la lnea con prdidas: 000 ZiZCiGLiR

YZZ +=

+

+==

1 Esto surge de que el cuadrado de cualquier onda de tensin y/o corriente, integrado en el tiempo es proporcio-nal a la energa de la onda, que es acotada.

v(z)

z

ideal



La impedancia caracterstica compleja indica que hay un desfasaje temporal entrela onda de tensin y la onda de corriente para el mismo z en la lnea.Anlogamente podemos demostrar que para una onda regresiva:

000)(

0)(

0 v ),( ),( iZeitzievtzvzktizkti

=== ++

La impedancia intrnseca de una lnea de transmisin es la impe-dancia (relacin entre la tensin y la corriente) que se medira en unplano de z = cte. sobre la lnea infinita para una onda progresiva.

En general Z0 es compleja, lo que seala un desfasaje entre las on-das de tensin y de corriente.

Lneas de bajas prdidasEn los casos prcticos, las lneas se usan para transmitir energa por medio de on-das guiadas. Por lo tanto es esencial minimizar las prdidas de propagacin.

Hablamos de una lnea de bajas prdidas cuando:R



f(kHz)

Z0

de donde: 0000000 2 Z

LR

CGZZ

CLZZiZZ



PotenciaLas ondas electromagnticas transportan energa, que puede describirse medianteel vector de Poynting: N(z,t) = E(z,t) H(z,t). Dado que los campos pueden relacio-narse con las ondas de tensin y corriente en la lnea, es ms sencillo derivar eltransporte de energa usando el cuadripolo del modelo circuital de la lnea. Podemoshallar un anlogo del teorema de Poynting a partir de las ecuaciones del telegrafista:

tiLiR

zv

tvCvG

zi

=

=

Multiplicamos la primera ecuacin por v y la segunda por i y sumamos miembro amiembro para obtener:

( )

+

+=

=

=

22222222

21

21)(

2 ,

2LiCv

tiRvGvi

ztiLiR

zvi

tvCvG

ziv

de donde se ve que el flujo de potencia vi se convierte en potencia disipada en loselementos activos G y R o se almacena en los elementos reactivos L y C.Al igual que en el caso de los campos, podemos calcular la potencia media trans-portada por la onda utilizando la notacin fasorial:

)Re(21 *iviv =><

En el caso de una lnea con prdidas la potencia va decayendo por la atenuacin amedida que se propaga:

( ) zzztizztiz ev

Zve

Zv

veeieeviviv 220

02

02*0

*0

0)(*

0)(

0*

2Re

21Re

21)Re(

21

=

===>< + iL

Lr PZ

VZ

VZ

vivP 2

0

2

0

2

0

2*

222Re

21

Potencia transmitida: ( ) 2**

* )Re(21Re

21Re

21

L

LL

L

LLLLt Z

VZZVVIVP =

==> t0 , existiruna posicin z1 para la cual se vuelve a tener el mismovalor de la funcin f0. Esto ocurre cuando coinciden losargumentos: f(z0 , t0) = f(z1 , t1) z0 c t0 = z1 c t1de donde: z1 = z0 + c (t1 t0) z1 > z0.Este razonamiento se puede hacer para cada posicinoriginal z0, de manera que se observa que cada puntode la curva original se desplaza a la derecha una canti-dad uniforme c (t1 t0).Esto es equivalente a decir que la funcin misma se desplaza

t0 f

z

f0

z0

t1 f

z

f0

z0 z1

c



hacia la derecha con velocidad constante c. Una magnitud fsica cuya funcin representativase traslada se denomina una onda.En el caso de la solucin ])([)(),( tczfctzftzf =+= se ve fcilmente que el com-portamiento es el mismo que el descripto, pero con una velocidad (-c). Por lo tanto esta so-lucin implica una onda que se propaga en el sentido decreciente de z.Convencionalmente se denomina onda progresiva a la que se propaga en el sentido elegi-do como positivo o de crecimiento de las posiciones y regresiva a la que se propaga en elsentido opuesto.

RESUMEN

Las lneas de transmisin son guas de onda donde se puede aplicar la aproxima-cin cuasi-esttica de parmetros distribuidos.Se modelizan como cuadripolos en cascada deextensin infinitesimal. Las variables significa-tivas son la tensin y corriente a lo largo de lalnea.

Las lneas ideales no tienen prdidas de energa y el cuadripolo exhibe solamenteelementos reactivos. Resultan las ecuaciones del telegrafista para tensin y co-

rriente a lo largo de la lnea: zzzz t

iLzv

tvC

zi

=

que llevan a las ecuaciones de onda: 0 0 22

2

2

2

2

2

2

=

=

tiLC

zi

tvLC

zv

Estas ecuaciones tienen soluciones ondulatorias:

CLZLC

cZtzvtzictzftzv / , 1 /),(),( )(),( 00 ==== conm

donde c es la velocidad de propagacin de las ondas y Z0 la impedancia caracte-rstica de la lnea.

En el caso de las lneas reales se incorporan las prdidas en los conductores y enel dielctrico. Esto lleva a ecuaciones de propagacin ms complicadas:

( ) ( ) 0 0 22

2

2

2

2

2

2

=

+

=

+

iRG

tiLGRC

tiLC

zivRG

tvLGRC

tvLC

zv

En el caso de ondas armnicas es fcil resolver las ecuaciones de ondas. Se obtie-ne una constante de propagacin compleja que indica la propagacin con ate-nuacin y una impedancia caracterstica compleja:

YZZZYiCiGYLiRZ ==+=+=+= 0 , La velocidad de propagacin de la onda es la velocidad de fase:

=fv

Esta velocidad depende generalmente de la frecuencia, lo que produce el fenmenode la dispersin, que implica la distorsin de pulsos o paquetes de onda que sepropaguen por la lnea.

i(z,t) i(z+dz,t)

v(z,t) v(z+dz,t)

z



En la prctica son de inters las lneas de bajas prdidas: R



PROBLEMAS4.1) Una lnea coaxil ideal con conductores de radios a = 0.5 mm, b = 0.5 cm y di-

elctrico de r = 4 lleva una onda de corriente progresiva de amplitud I0 = 0.1A yfrecuencia 10Mhz. Si la lnea est terminada en su impedancia caracterstica, cal-cular: a) la impedancia caracterstica, b) la velocidad de propagacin de las on-das, c) la onda de tensin en cada punto de la lnea, d) los campos elctrico ymagntico, c) el valor medio del vector de Poynting y la potencia media transpor-tada por la onda y f) recalcular la potencia media del punto e) a partir de la co-rriente y la tensin.

[Rta: 69.03 , 1.5x108 m/seg]

4.2) Se carga una lnea ideal de impedancia caracterstica Z0 = 50 con una impe-dancia ZL = (100 + i100). Calcular en mdulo y fase y la relacin de onda esta-cionaria.

[Rta: 0.62 e i0.52, 4.26]

4.3) Una lnea con R = 0.1/m, G = 0, C = 3 pF/m y (L/C)1/2 = 300 tiene a su en-trada una tensin V0 = 10 eit V, f = 100 MHz. Si la longitud de la lnea es 30 m yZL = 100 , 300 y (0.4+i0.5) (L/C)1/2, hallar la potencia media transmitida en lostres casos.

[Rta: 0.06 W, 0.168 W, 0.054 W]

4.4) La relacin de onda estacionaria en una lnea de trasmisin sin prdidas de50 terminada en una impedancia de carga desconocida es 3.0. La distancia en-tre dos mnimos consecutivos del voltaje es 20 cm y el primer mnimo se encuen-tra a 5 cm de la carga. Determine a) el coeficiente de reflexin y b) la impedanciade carga ZL.

4.5) Una lnea de transmisin sin prdidas de longitud 0.434 y cuya impedanciacaracterstica es de 100 est terminada con una impedancia de (260 + i180) .Calcule a) el coeficiente de reflexin, b) la ROE, c) la impedancia de entrada y d)la posicin del mximo de voltaje ms cercano a la carga.

[Rta: = 0.6/21.6, S = 4, Zi = (69 + i120) , a 0.03 de la carga]

4.6) Considere una lnea ideal de impedancia Z0 y longitud L abierta en los extre-mos y excitada en forma que la tensin en el centro de la lnea es V(0, t) = V0 eiwt.a) Calcular las ondas de tensin y corriente en todo punto de la lnea.b) Si L = 3 m y la velocidad de las ondas en la lnea es de 2.7x108 m/s, culesson las frecuencias permitidas de excitacin?

[Rta: fn = 90 n MHz; n = 1,2,3,...]

4.7) Una lnea ideal de Z0 = 50 , vf = c y L = 10 m est excitada senoidalmente conuna frecuencia de 10 Mhz y conectada a una carga resistiva ZL = 10 . a) Hallar larelacin de onda estacionaria. b) Calcular el desfasaje entre tensin y corriente ala entrada de la lnea. c) Disear un tramo de lnea de adaptacin (cuarto de on-da) sabiendo que en esta vf = 0.8 c. Cul es la impedancia que ve el generador?.

[Rta: -6418, 22.3 con 6 m]

4.8) Una lnea de microcinta tiene un dielctrico de cuarzo fundido (r = 3.8). Cal-cular eff, Z0 y a 10 GHz, para: a) w/h = 4.5 y b) w/h = 1.1.



[Rta: a) eff = 3.18, Z0 = 29.92 , = 16.8 mm, b) eff = 2.69, Z0 = 73.93, = 18.28 mm]

4.9) A 10 GHz una lnea de microcinta tiene los siguientes parmetros: h = 0.8 mm,w = 1 mm, r = 6.6, tan = 10 -4 y c = 5.8 x 107 (m)-1. Calcule la atenuacin porprdidas conductoras y por prdidas dielctricas.

[Rta: c = 4.2 dB/m, d = 0.177 dB/m]

4.10) Se desea construir una lnea de microcinta de 20 sobre zafiro (r = 10). Cal-cule el valor requerido de w/h, la permitividad relativa efectiva y la velocidad delas ondas en la lnea.

LINEAS 1Ondas guiadasLnea idealecs. telegrafistavelocidad propagacinimpedancia intrnseca

Lnea con prdidasecs. telegrafistaondas armnicasvelocidad faseimpedancia caractersticabajas prdidas

PotenciaLneas comunesLneas de cintastriplinemicrostrip

Lneas de par trenzadoLnea cargadacoefs. reflexin y transmisinondas estacionariaspotenciaImpedancia de ondaAdmitancia de ondaImpedancia de entradaROESobretensiones y sobrecorrientescoef. reflexin general

APENDICE 4 - ONDASRESUMENPROBLEMAS

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