4 Metodos iterativos para la resoluci´ on de´ ecuaciones ...

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4Metodos iterativos para la resolucion de

ecuaciones no lineales con MatlabIGDAMI⇒ Implementacion grafica de dinamica aplicada a metodos

iterativos

Francisco Israel Chicharro [email protected]

Instituto de Matematica Multidisciplinar – Universitat Politecnica de Valencia, Spain

Castello de la Plana, 9-25 de enero de 2018

FI Chicharro IGDAMI — Sesion 4

Indice

1 Resolucion de ecuaciones no lineales2 Clasificacion de metodos iterativos3 Parametros de los metodos iterativos

Calculo del orden de convergenciaImplementacion del ACOC

4 Algunos metodos conocidosNewtonSteffensen

5 Implementacion en MatlabBucle iterativoInicializacion de variablesObtencion de resultadosPruebas numericas

6 Bibliografıa7 Actividades

SteffensenAplicaciones: representacion de la orbita de un punto

Indice

Formas de representar una ecuacion no lineal

Expresion analıtica

f(x) = sin(2x)− cos(x2+ π

Representacion grafica

Tabla de valores

Formas de resolver una ecuacion no lineal

Expresion analıtica

f(x) = sin(2x)− cos(x2 + π

f(x) = 0

Representacion grafica

Metodo iterativo

f(x) = 0

Tabla de valores

Indice

Clasificacion de metodos iterativos para raıces simples

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria

Ejemplo 2: Steffensen

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

xk+1 = xk −xk − xk−1

f(xk)− f(xk−1)f(xk)

Los metodos con los que vamos atrabajar

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Ejemplo 1: Newton

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk)

Ejemplo 3: Secante

Indice

Parametros de los metodos iterativos

Orden de convergencia p

limk→∞

|xk−1 − α||xk − α|p

Orden de convergencia computacional aproximado ACOC [2]

ACOC =

(|xk+1 − xk||xk − xk−1|

(|xk − xk−1||xk−1 − xk−2|

)Numero de evaluaciones funcionales por iteracion d

Indice de eficiencia I [4]I = p1/d

Conjetura de Kung-Traub [3]

p ≤ 2d−1

limk→∞

|xk−1 − α||xk − α|p

ACOC =

(|xk+1 − xk||xk − xk−1|

(|xk − xk−1||xk−1 − xk−2|

p ≤ 2d−1

limk→∞

|xk−1 − α||xk − α|p

ACOC =

(|xk+1 − xk||xk − xk−1|

(|xk − xk−1||xk−1 − xk−2|

p ≤ 2d−1

limk→∞

|xk−1 − α||xk − α|p

ACOC =

(|xk+1 − xk||xk − xk−1|

(|xk − xk−1||xk−1 − xk−2|

p ≤ 2d−1

limk→∞

|xk−1 − α||xk − α|p

ACOC =

(|xk+1 − xk||xk − xk−1|

(|xk − xk−1||xk−1 − xk−2|

p ≤ 2d−1

Calculo del orden de convergencia

Orden de convergencia del metodo de Newton

Desarrollo en serie de Taylor alrededor de la raızSean ck = 1

k!f(k)(α)f ′(α) y ek = xk − α,

f(xk) = f(α) + f ′(α)(xk − α) + 12f′′(α)(xk − α)2 +O

((xk − α)3

= f ′(α)[ek + c2e

]+O(e3k),

f ′(xk) = f ′(α) + f ′′(α)(xk − α) +O((xk − α)2

= f ′(α) [1 + 2c2ek] +O(e2k),

por lo quef(xk)

f ′(xk)= ek − c2e2k +O(e3k).

La ecuacion del error es

ek+1 = xk+1−α = xk−f(xk)

f ′(xk)−α = xk−

[ek − c2e2k +O(e3k)

]−α = c2e

2k+O(e3k).

((xk − α)3

= f ′(α)[ek + c2e

]+O(e3k),

f ′(xk) = f ′(α) + f ′′(α)(xk − α) +O((xk − α)2

= f ′(α) [1 + 2c2ek] +O(e2k),

por lo quef(xk)

f ′(xk)= ek − c2e2k +O(e3k).

]−α = c2e

2k+O(e3k).

((xk − α)3

= f ′(α)[ek + c2e

]+O(e3k),

f ′(xk) = f ′(α) + f ′′(α)(xk − α) +O((xk − α)2

= f ′(α) [1 + 2c2ek] +O(e2k),

por lo quef(xk)

f ′(xk)= ek − c2e2k +O(e3k).

]−α = c2e

2k+O(e3k).

((xk − α)3

= f ′(α)[ek + c2e

]+O(e3k),

f ′(xk) = f ′(α) + f ′′(α)(xk − α) +O((xk − α)2

= f ′(α) [1 + 2c2ek] +O(e2k),

por lo quef(xk)

f ′(xk)= ek − c2e2k +O(e3k).

]−α = c2e

2k+O(e3k).

((xk − α)3

= f ′(α)[ek + c2e

]+O(e3k),

f ′(xk) = f ′(α) + f ′′(α)(xk − α) +O((xk − α)2

= f ′(α) [1 + 2c2ek] +O(e2k),

por lo quef(xk)

f ′(xk)= ek − c2e2k +O(e3k).

]−α = c2e

2k+O(e3k).

((xk − α)3

= f ′(α)[ek + c2e

]+O(e3k),

f ′(xk) = f ′(α) + f ′′(α)(xk − α) +O((xk − α)2

= f ′(α) [1 + 2c2ek] +O(e2k),

por lo quef(xk)

f ′(xk)= ek − c2e2k +O(e3k).

]−α = c2e

2k+O(e3k).

Implementacion del ACOC

Escribir una funcion ACOC en Matlab que obtenga el valor del orden deconvergencia computacional aproximado a partir de cuatro iteraciones. Elparametro de entrada pueden ser las cuatro ultimas iteraciones o un vectorque contenga todas las iteraciones.

Indice

Metodo de Newton

Expresion iterativa

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk).

CaracterısticasOrden de convergencia: p = 2

Numero de evaluaciones funcionales por iteracion: d = 2

Indice de eficiencia: I = p1/d =√2

Optimalidad: 2d−1 = 2 = p

Metodo de Newton

Expresion iterativa

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk).

Metodo de Newton

Expresion iterativa

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk).

Metodo de Newton

Expresion iterativa

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk).

Metodo de Newton

Expresion iterativa

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk).

Metodo de Steffensen

Expresion iterativa

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk).

Expresion iterativa

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk).

Expresion iterativa

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk).

Expresion iterativa

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk).

Expresion iterativa

vk = xk + f(xk),

xk+1 = xk −f2(xk)

f(vk)− f(xk).

Indice

Estructura general

function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variables% Bucle iterativo% Obtencion de resultadosend

Bucle iterativo

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk).

function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativox(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);

function [f,df] = fun(x)f=sin(x);df=cos(x);end

Bucle iterativo

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk).

function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativox(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);

Bucle iterativo

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk).

function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativo[f,df]=fun(x(iter));fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);

Bucle iterativo

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk).

function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativo[f,df]=fun(x(iter));fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;

Bucle iterativo (II)

¿Cuando paramos?Raız encontrada: tolHemos iterado muchas veces: maxiter

function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativo[f,df]=fun(x(iter));fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;

function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x(iter));fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end

Inicializacion de variables

¿A que valor inicializamos las variables?function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variables% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x[iter]);fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end

¿A que valor inicializamos las variables?function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variablesiter=x=fx=% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x[iter]);fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end

¿A que valor inicializamos las variables?function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variablesiter=1;x=x0;fx=tol+1;% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x[iter]);fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end

¿Como obtenemos los parametros de salida?function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variablesiter=1;x=x0;fx=tol+1;% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x[iter]);fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end% Obtencion de resultados

¿Como obtenemos los parametros de salida?function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variablesiter=1;x=x0;fx=tol+1;% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x[iter]);fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end% Obtencion de resultadosxk=rho=

¿Como obtenemos los parametros de salida?function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variablesiter=1;x=x0;fx=tol+1;% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x[iter]);fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end% Obtencion de resultadosxk=x(end);rho=ACOC(x);

Pruebas numericas

Estima la raız de las siguientes ecuaciones no lineales.

f(x) = sin(x)− x2 + 1

f(x) = x2 − exp(x)− 3x+ 2

f(x) = cos(x)− xf(x) = (x− 1)3 − 1

Bibliografıa

A. CORDERO, J. R. TORREGROSA. Presentacion: Metodos iterativospara resolver sistemas no lineales. Master INGMATE-UNIR, (2017).

A. CORDERO, J. R. TORREGROSA. Variants of Newton’s method usingfifth-order quadrature formulas. Applied Mathematics and Computation190 (2007), pp. 686–698.

H. T. KUNG, J. F. TRAUB. Optimal order of one-point and multipointiteration. J. Assoc. Comput. Math. 21 (1974), pp. 643–651.

A. M. OSTROWSKI. Solutions of equations and systems of equations.Academic Press, 1966.

IGDAMIMetodos iterativos para la resolucion de

ecuaciones no lineales con Matlab

im2Instituto de Matemática

Multidisciplinar

Prometeo 2016-089

MTM-201452016

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Indice

Metodo STF

Escribe en Matlab la implementacion del metodo de Steffensen de formasimilar a lo realizado con el metodo de Newton. Compara los resultados paralas pruebas numericas.

Aplicaciones: representacion de la orbita de un punto

Orbita de un punto

Modifica la funcion que ejecuta el metodo de Newton para que, pinchando enun punto del plano complejo, obtenga la orbita de dicho punto. Funciones deayuda:

ginput

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