4. Movimiento ondulatorio
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TEMA 4
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• Una onda es una perturbación que se propaga sin
transporte de materia.
• Se produce un m.v.a. en un punto llamado FOCO y
este movimiento se propaga sin que se propaguen las
partículas que se ven sometidas al movimiento.
• Las ondas se pueden clasificar en función de varios
aspectos:
1. Según el medio en el que se propagan
2. Según el movimiento de las partículas
3. Según el frente de ondas
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1. Según el medio en el que se propagan
a) ONDAS MECÁNICAS: necesitan un medio material
elástico para propagarse.
Ejemplo: el sonido
b) ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS: no necesitan de
un medio material para propagarse. En este caso,
lo que se propaga es la energía
electromagnética.
Ejemplo: la luz
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2. Según el movimiento de las partículas en el
medio
a) LONGITUDINALES: las partículas oscilan en la
dirección de propagación del movimiento.
Ejemplo: el sonido
b) TRANSVERSALES: la vibración se produce
perpendicularmente a la dirección de
propagación.
Ejemplo: la luz
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3. Según el frente de ondas (es el lugar geométrico de los
puntos que se encuentran en el mismo estado de vibración):
a) ONDAS ESFÉRICAS: cuando el frente
de ondas está formado por esferas.
b) ONDAS PLANAS: aquellas en las
que el frente de ondas es plano, y
los rayos son paralelos entre sí.
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a) ONDAS ESFÉRICAS:
b) ONDAS PLANAS:
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a) PERIODO (T): se mide en segundo [s] y coincide con
el periodo de vibración del foco (o con el periodo de
vibración de cualquiera de las partículas).
Su inversa es la frecuencia:
𝜈 =1
𝑇; 𝑠−1
b) AMPLITUD (A): se mide en la unidad del SI que
corresponda a la perturbación. Es el valor máximo
de la elongación de la perturbación.
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c) LONGITUD DE ONDA (λ): se mide en metros [m] y
representa la distancia que recorre la onda en un
periodo. Es la distancia que existe entre dos crestas
o dos valles consecutivos.
d) NÚMERO DE ONDA (k): se mide en [m-1] y es el
número de longitudes de onda que hay en una
distancia de 2π.
𝜅 =2𝜋
𝜆
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e) VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN (v): se mide en [m/s] y es la
distancia que recorre una onda en cada unidad de tiempo.
𝑣 =𝜆
𝑇
Sólo depende del medio en el que se propaga la onda:
• En una cuerda
• En un gas (para ondas longitudinales)
• En un sólido (ondas longitudinales)
𝑣 =𝑇
𝜌𝐿
𝑣 =𝛾 · 𝑅 · 𝑇
𝑀
𝑣 =𝐸
𝜌
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Con la ecuación de las ondas vamos a conocer el estado de
vibración de cada punto en cada instante de tiempo y(x,t):
𝐹𝑜𝑐𝑜 ⟶ 𝑦 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡
Obviamente, un punto a x metros va a vibrar con retraso:
𝑡 =𝑥
𝑣
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔 𝑡 −𝑥
𝑣
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 −𝜔𝑥
𝑣
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𝜔 =2𝜋
𝑇 → 𝜔𝑡 = 2𝜋
𝑡
𝑇
𝑣 =𝜆
𝑇→𝜔𝑥
𝑣=2𝜋𝑥
𝑇 · 𝜆𝑇
=2𝜋𝑥
𝜆
𝜔𝑡 −𝜔𝑥
𝑣= 2𝜋
𝑡
𝑇−2𝜋𝑥
𝜆
𝜔𝑡 −𝜔𝑥
𝑣= 2𝜋
𝑡
𝑇−𝑥
𝜆
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 · sin 2𝜋𝑡
𝑇−𝑥
𝜆
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 − 𝜅𝑥
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• Una onda siempre conlleva un transporte de energía.
• En un punto cualquiera la energía total equivale a la
suma de la Energía Potencial y la Energía Cinética.
• En el momento en que la 𝐸𝑃 = 0 la 𝐸𝑇 = 𝐸𝐶𝑚á𝑥
• Calculamos la 𝐸𝐶𝑚á𝑥 :
𝐸𝐶𝑚á𝑥 =1
2𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
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• 𝐸𝐶𝑚á𝑥 =1
2𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
• 𝑣 = 𝐴 · 𝜔 · cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 ⇒ 𝑣𝑚á𝑥 = 𝐴 · 𝜔
• 𝐸𝐶𝑚á𝑥 =1
2𝑚 𝐴𝜔 2
𝐸𝑇 =1
2𝑚 𝐴𝜔 2
La energía de un punto o de una partícula es
proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado
de la frecuencia.
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ESPECTRO VISIBLE:
400 nm a 700 nm
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• La intensidad es la energía por unidad de tiempo
(potencia) que atraviesa la unidad de superficie
perpendicular a la dirección de propagación de las
ondas.
• Por otro lado, simplemente del análisis de las
unidades de la intensidad podemos observar:
𝐼 =𝐸
𝑡 · 𝑆=
𝐽
𝑠 𝑚2=𝑊
𝑚2
𝐸 ∝ 𝐴2 ⇒ 𝐼 ∝ 𝐴2
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• La intensidad de la onda puede variar y uno de
los motivos de esto es por la distancia al foco
emisor.
• A medida que nos alejamos, la intensidad
disminuye.
• A este fenómeno se le llama ATENUACIÓN.
Aparece sólo en ondas esféricas.
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La superficie que atraviesa la onda va a ser:
Como 𝐼 =𝐸
𝑡·𝑆:
𝐼1 =𝐸𝑡
4𝜋𝑅12 𝐼2 =
𝐸𝑡
4𝜋𝑅22
Si 𝐸 𝑡 es constante:
𝐸𝑡 = 𝐼1 · 4𝜋𝑅1
2; 𝐸 𝑡 = 𝐼2 · 4𝜋𝑅22
Igualamos ambas ecuaciones:
𝑅1 → 𝑆1 = 4𝜋𝑅12 𝑅2 → 𝑆2 = 4𝜋𝑅2
2
𝐼1 · 4𝜋𝑅12 = 𝐼2 · 4𝜋𝑅2
2
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La intensidad de una onda esférica
disminuye con la distancia elevada al
cuadrado.
𝐼1𝐼2=𝑅22
𝑅12
Ahora, para saber cómo disminuye la amplitud
recordamos:
𝐼 ∝ 𝐴2 por lo tanto 𝑘𝐴1
𝑘𝐴2=𝑅2
𝑅1
𝐴1𝐴2=𝑅2𝑅1
La amplitud disminuye proporcionalmente
a la distancia al foco emisor.
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• La intensidad de una onda también puede disminuir a
medida que se propaga por pérdidas de energía
debidas a rozamientos, viscosidad del medio… es
decir el medio absorbe parte de su energía a medida
que se propaga.
• En una onda plana se observa de forma experimental
que al atravesar un medio material de espesor dx se
produce una variación en la intensidad de la onda
que llamaremos dI (pequeña pérdida de intensidad).
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Esta pérdida de intensidad 𝑑𝐼 es proporcional a:
• La intensidad de la onda incidente 𝐼0.
• El espesor atravesado 𝑑𝑥.
Además depende del medio que atraviese (hay que tener
en cuenta 𝛽, que es el coeficiente de espesor del medio).
𝑑𝐼 = −𝛽 · 𝐼 · 𝑑𝑥
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• Podemos “jugar” con esta fórmula:
𝑑𝐼
𝐼= −𝛽𝑑𝑥
𝑑𝐼
𝐼= −𝛽𝑑𝑥
𝑥
0
𝐼
𝐼0
ln 𝐼 𝐼𝐼0= −𝛽𝑥
𝑥0
ln 𝐼 − ln 𝐼0 = −𝛽 𝑥 − 0
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ln𝐼
𝐼0= −𝛽𝑥
𝑒𝑙𝑛𝐼𝐼0 = 𝑒−𝛽𝑥
𝐼
𝐼0= 𝑒−𝛽𝑥
𝐼 𝑥 = 𝐼0 · 𝑒−𝛽𝑥
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• Frente de onda: lugar geométrico de los puntos
que oscilan en la misma fase.
• Los frentes de onda dependen de la
dimensionalidad de la onda:
• Unidimensional ⇒ un punto
• Bidimensional ⇒ circunferencia
• Tridimensional ⇒ Esfera
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• Todo punto de un frente
de ondas puede ser
considerado como centro
emisor de nuevas ondas
elementales cuya
envolvente es un nuevo
frente de ondas.
• Las semiondas en retroceso producidas en los focos
secundarios se anulan y, por lo tanto, no tienen realidad
física.
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• Es el cambio de dirección que experimenta una onda
cuando choca con la superficie de separación de dos
medios volviendo al semiespacio de procede.
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¡¡¡OJO!!!
Si la superficie no es un plano perfecto la reflexión se
ve afectada. (reflexión difusa)
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• A partir del principio de Huygens se demuestran las leyes
de la reflexión:
1. La onda incidente, la onda reflejada y la normal están en el
mismo plano, que es perpendicular a la superficie reflectora.
2. El ángulo de incidencia 𝑖 y el ángulo de reflexión 𝑟 son
iguales.
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• Aplicaciones del fenómeno de reflexión:
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• Es el cambio de dirección que experimenta una onda cuando
atraviesa la superficie de separación entre dos medios.
![Page 34: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/34.jpg)
• El principio de refracción se rige por las siguientes leyes:
1.La onda incidente, la normal y la onda refractada o transmitida
están en el mismo plano, que es perpendicular a la superficie
refractora.
2.La relación entre los senos de los ángulos de incidencia y de
refracción es igual a la relación entre las velocidades de la onda
en los dos medios. (Ley de Snell)
sin 𝑖
sin 𝑟 =𝑣1𝑣2
![Page 35: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/35.jpg)
Coeficiente de refracción (n): nos da la relación que existe
entre las velocidades de las ondas en los dos medios.
𝑛 =𝑣2𝑣1
Coeficiente de refracción absoluto (n): es el coeficiente entre
la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en
el medio (sólo para la luz).
𝑛 =𝑐
𝑣; 𝑐 = 3 · 108 𝑚/𝑠
![Page 36: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/36.jpg)
• Al cambiar de un medio a otro también varía la
longitud de onda (si cambia la velocidad…), como el
tiempo entre dos frentes es el mismo:
𝑡 =𝜆1𝑣1=𝜆2𝑣2
![Page 37: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/37.jpg)
• Ángulo límite: es el ángulo de incidencia al que
corresponde un ángulo de refracción de 90º
![Page 38: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/38.jpg)
![Page 39: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/39.jpg)
• Es el cambio de dirección que experimenta una onda al
llegar a un orificio o a un obstáculo, y éstos se convierten en
frentes de ondas secundarios.
• Detrás de una rendija o un obstáculo la onda se propaga en
todas las direcciones y se hace más apreciable este fenómeno
si las dimensiones son del orden de la longitud de onda.
![Page 40: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/40.jpg)
• Polarizar una onda es hacer que todos sus puntos
oscilen en una sola dirección.
![Page 41: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/42.jpg)
• Es el encuentro de dos ondas en el mismo punto y en el
mismo instante.
• Principio de superposición de ondas: cuando dos o
más ondas concurren en el mismo punto la
perturbación resultante es igual a la suma de las
perturbaciones que produce cada onda por
separado.
• Ondas coherentes: cuando las dos ondas tienen
frecuencias iguales (y longitud de onda, amplitud y
una diferencia de fase constante).
![Page 43: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/43.jpg)
𝑦1 𝑥1, 𝑡 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥1
𝑦2 𝑥2, 𝑡 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥2
Aplicamos el principio de
superposición de ondas:
𝑦1 + 𝑦2
𝑦1 + 𝑦2 = 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥1 + sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥2
sin 𝑎 + sin 𝑏 = 2 cos𝑎 − 𝑏
2sin
𝑎 + 𝑏
2
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 2 cos𝜔𝑡 + 𝑘𝑥1 −𝜔𝑡 − 𝑘𝑥2
2sin
𝜔𝑡 + 𝑘𝑥1 +𝜔𝑡 + 𝑘𝑥22
𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 cos 𝑘𝑥1 − 𝑥22
sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥1 + 𝑥22
![Page 44: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/44.jpg)
Comparando con 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑟 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 :
Amplitud: 𝐴𝑟 = 2𝐴 cos 𝑘𝑥1−𝑥2
2 varía con la distancia
𝜔, 𝑘, 𝜆: iguales que las de las ondas originales.
Distancia a un foco imaginario: 𝑥 =𝑥1+𝑥2
2
![Page 45: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/45.jpg)
cos 𝑘𝑥1 − 𝑥22
= ±1 ⇒ 𝑘𝑥1 − 𝑥22
= 𝑛𝜋 ⇒ 𝑥1 − 𝑥2 =2𝑛𝜋
𝑘
𝑥1 − 𝑥2 = 𝑛𝜆 ∀ 𝑛 = 0, 1, 2, … ,∞
Se produce máxima amplitud en los puntos cuya diferencia de
distancia a los focos sea igual a un número entero de
longitudes de onda.
![Page 46: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/46.jpg)
cos 𝑘𝑥1 − 𝑥22
= 0 ⇒ 𝑘𝑥1 − 𝑥22
=2𝑛 − 1
2𝜋 ⇒ 𝑥1 − 𝑥2 =
2𝑛 − 1 𝜋
𝑘
Los puntos de amplitud nula son aquellos cuya diferencia de
distancia a los focos sea igual a un número impar de
semilongitudes de onda.
Estos puntos se conocen como nodos.
𝑥1 − 𝑥2 = 2𝑛 − 1𝜆
2 ∀ 𝑛 = 0, 1, 2, … ,∞
![Page 47: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/47.jpg)
Onda resultante de la interferencia de dos ondas
iguales que se propagan en la misma dirección pero con
sentido opuesto.
𝑦1 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥
𝑦2 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥
Repitiendo el desarrollo visto para la suma de ondas:
![Page 48: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/48.jpg)
Comparando con 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑟 sin 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 :
Amplitud: 𝐴𝑟 = 2𝐴 cos 𝑘𝑥
𝜔, : igual que las de las ondas originales.
La distancia al foco no influye en el argumento de la
oscilación, sólo lo hace en el valor de la amplitud.
![Page 49: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/49.jpg)
La amplitud será máxima en los puntos en los que 𝐴𝑟 = 2𝐴;
para que esto ocurra:
cos 𝑘𝑥 = cos2𝜋𝑥
𝜆= ±1 ⇒
2𝜋𝑥
𝜆= 𝑛𝜋
Existe un vientre en:
La distancia entre vientres será:
𝑑𝑛,𝑛−1 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝑛𝜆
2− 𝑛 − 1
𝜆
2
![Page 50: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/50.jpg)
La amplitud será nula en los nodos:
cos 𝑘𝑥 = cos2𝜋𝑥
𝜆= 0 ⇒
2𝜋𝑥
𝜆= 2𝑛 − 1
𝜋
2
Existe un nodo en:
La distancia entre nodos será:
𝑑𝑛,𝑛−1 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 2𝑛 − 1𝜆
4− 2 𝑛 − 1 − 1
𝜆
4
![Page 51: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/51.jpg)
Para que exista una onda en una cuerda o dentro de
cualquier tubo de resonancia el número mínimo de nodos que
deben existir es 2 (uno en cada extremo).
Si la cuerda (o tubo) mide L, la longitud de onda debe tomar
valores concretos:
𝑑𝑛,𝑛−1 =𝜆
2= 𝐿
![Page 52: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/52.jpg)
Mientras se cumpla que en cada extremo haya un nodo la
onda puede existir. Vamos a ver la longitud de onda si en
lugar de dos nodos hay tres:
En este caso, la longitud será igual a la distancia entre tres
nodos:
𝑑𝑛,𝑛−2 = 2 ·𝜆
2= 𝐿
![Page 53: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/53.jpg)
Y seguimos comprobando qué ondas pueden existir en
nuestra cuerda. Vamos a ver la longitud de onda si hay
cuatro nodos:
En este caso, la longitud será igual a la distancia entre cuatro
nodos:
𝑑𝑛,𝑛−3 = 3 ·𝜆
2= 𝐿
![Page 54: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/54.jpg)
MODOS NORMALES
DE OSCILACIÓN
![Page 55: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/55.jpg)
![Page 56: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/56.jpg)
• El sonido se produce cuando un foco vibra y genera una
onda. La onda que genera es una onda de presión, que se
transmite a través de un medio material.
• Las ondas sonoras son longitudinales y mecánicas.
• La velocidad de propagación del sonido depende del
medio por el que se propague y es mayor en sólidos que
en líquidos, y mayor en líquidos que en gases (es decir… a
mayor densidad…). En el aire:
𝑣𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 = 340𝑚
𝑠= 1𝑀𝑎𝑐ℎ
• Por ser una onda, también sufre fenómenos de reflexión,
de refracción (eco), difracción, resonancia…
![Page 57: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/57.jpg)
TONO
• Está relacionado con su frecuencia fundamental.
• Se mide en Hz.
• Los sonidos se clasifican en graves, medios y
agudos:
• Graves → frecuencias bajas 20 Hz a 500 Hz
• Medios → frecuencias medias 500 Hz a 2 kHz
• Agudos → frecuencias altas 2 kHz a 20 kHz
![Page 58: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/58.jpg)
TIMBRE
• Es la cualidad que distingue varias fuentes sonoras
que poseen la misma intensidad y el mismo tono.
• Cada fuente emisora emite una onda principal
acompañada de un conjunto de ondas secundarias
de menor intensidad y distintas frecuencias.
![Page 59: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/59.jpg)
INTENSIDAD
• La intensidad mínima para que nuestro tímpano
detecte el sonido es de:
𝐼0 = 10−12𝑊/𝑚2
• La intensidad del dolor:
𝐼 = 25𝑊/𝑚2
![Page 60: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/60.jpg)
SONORIDAD
• También llamado nivel de intensidad o intensidad sonora.
• Se mide en decibelios (dB):
𝐿𝐼 = 10 · log10𝐼
𝐼0
• El tímpano humano rompe con 160 dB
![Page 61: 4. Movimiento ondulatorio](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022020209/568bda591a28ab2034aa79a8/html5/thumbnails/61.jpg)
• El Efecto Doppler es el cambio de frecuencia que
experimenta una onda cuando el foco emisor, el
receptor o ambos se mueven respecto al medio de
propagación.
• Ecuación del Efecto Doppler para el sonido: