NOCIONES BASICAS DE PROBABILIDAD

1. Aplicar los conceptos de experimento, espacio muestral y evento.

2. Discutir los principios para asignar probabilidad.

3. Utilizar las reglas de probabilidad para plantear y resolver un problema real.

OBJETIVOSOBJETIVOS

Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;

2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;

3. El resultado que se obtenga, w, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. A este conjunto, de resultados posibles, lo denominaremos espacio muestral   y lo denotaremos normalmente mediante la letra . Los elementos del espacio muestral se denominan sucesos elementales.  

Experimentos y sucesos aleatorios

DEFINICION DE ALGUNOS TERMINOSDEFINICION DE ALGUNOS TERMINOS EXPERIMENTO

ALEATORIO: ES CUALQUIER OPERACIÓN

CUYO RESULTADO NO SE PUEDE PREDECIR CON EXACTIDUD

Ejemplos: Lanzar una moneda moneda

correcta sobre una superficie plana: S ó C

Evaluar el estado nutricional a tres niños menores de 5 años: (NNN), (NNM),(NMN), (MNN), (NMM), (MNM), (MMN), (MMM)

ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A UN EXP. ALEATORIO:

ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS POSIBLES RESULTADOS DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO

Ejemplos:

1: {C,S}

2:{(NNN), (NNM), (NMN), (MNN), (NMM), (MNM), (MMN), (MMM)}

DEFINICION DE ALGUNOS TERMINOSDEFINICION DE ALGUNOS TERMINOS

EVENTO ó SUCESO : A,B,C,D,..– ES UN SUBCONJUNTO DEL

ESPACIO MUESTRAL

Ejemplos: Sea: : Evaluar el estado nutricional a

tres niños menores de 5 años; y : {(NNN), (NNM), (NMN), (MNN),

(NMM), (MNM), (MMN), (MMM)} Definamos los siguientes eventos: A: Que ocurra exactamente un niño

mal nutrido A={(NNM),(NMN),(MNN)}; n(A)= 3 B:Que ocurra al menos dos niños malnutridos B={(NMM),(MNM),(MMN),(MMM) n(B)= 4 C: Ocurra al menos 4 niños malnutridos C={ } = ; n(C) = 0 (IMPOSIBLE)

D: Ocurra a lo más un malnutrido D={(MNN),(NMN),(NNM),(NNN) n(D) = 4 E: Ocurra a lo más 3 niños

malnutridosE={(NNN), (NNM), (NMN), (MNN), (NMM), (MNM),(MMN),(MMM)} = n(E) = n( ) = 8 (SEGURO) F:Ocurra exactamente 3 niños

normales F={(NNN)};n(F)=1 (ELEMENTAL) En base a los eventos definidos, podemos

construir otros eventos, por ejemplo:AUB = {(NNM), (NMN), (MNN), (NMM), (MNM),(MMN),(MMM)} Si: BUD = , BD = { }

(B,D: COMPLEMENTARIOS)

PROBABILIDAD DE LA OCURRENCIA DE UN EVENTOPROBABILIDAD DE LA OCURRENCIA DE UN EVENTO: :

P(A) = n(A) / n(P(A) = n(A) / n())A: Que ocurra exactamente un niño

malnutrido

A={(NNM),(NMN),(MNN)}; n(A) = 3

B:Que ocurra al menos dos niños

malnutridos B={(NMM),(MNM),(MMN), (MMM)}; n(B)= 4

C: Ocurra al menos 4 niños M.

C={ } = ; n(C) = 0 (IMPOSIBLE)

D: Ocurra a lo más un malnutrido D={(MNN),(NMN),(NNM),(NNN)} , n(D) = 4

E: Ocurra a lo más 3 niños

malnutridos E={(NNN),(NNM),(NMN),(MNN), (NMM), (MNM),(MMN),(MMM)} = n(E) = n( ) = 8 (SEGURO)

F: Ocurra exactamente 3 niños

normales

F={(NNN)} ; n(F) = 1 (ELEMENTAL)

EJEMPLOS:

P(A) = n(A)/n() = 3/8 = 0.375

P(B) = n(B)/ n() = 4/8 = 0.5

P(C) = n(C)/n() = 0/8 = 0

P(D) = n(D)/n() = 4/8 = 0.5

P(E) = n(E)/n() = 8/8 = 1

P(F) = n(F)/n() = 1/8 = 0.125

P R O P I E D A D E SP R O P I E D A D E S

1.- 0 P(A) 1

P(A) = n(A)/n() = 3/8 = 0.375

P(B) = n(B)/ n() = 4/8 = 0.5

P(D) = n(D)/n() = 4/8 = 0.5

P(F) = n(F)/n() = 1/8 = 0.125

P(C) = n(C)/n() = 0/8 = 0 (Evento Imposible)

P(E) = n(E)/n() = 8/8 = 1 (Evento Seguro)

A

2.- Si A,B eventos cualesquiera, entonces,

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

(A B)

BA

EJEMPLO .-

En una comunidad, se evaluó el estado de nutrición de 100 niños menores de 5 años de edad, obteniéndose los siguientes resultados: ********************************************************* SEXO ESTADO de NUTRICION Normal Malnutrido TOTAL ********************************************************* Hombres 40 15 55 Mujeres 20 25 45 ******************************************************** TOTAL 60 40 100 ********************************************************Se elige un niño al azar, cuál es la probabilidad de que sea hombre o su estado de nutrición sea normal ?

SOLUCION

H: Sea hombreN: Tenga estado nutricional normal

P(HUN) = P(H) + P(N) - P(HN) P(HUN) = 55/100 + 60/100 - 40/100 = 0.75

3. Si A,B eventos excluyentes (AB=), entonces,

P(AUB) = P(A) + P(B)

A B

EJEMPLO.-

Se recolectó información sobre el peso del recién nacido y si la madre fumó o no durante el embarazo. Los datos se presentan a continuación:

FUMA CIGARRILLOS PESO R.N. TOTAL

BAJO NORMAL

SI 30 10 40

NO 20 140 160

TOTAL 50 150 200

¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido tenga bajo peso o sea normal?SOLUCION

B : Tenga bajo peso al nacerN : Tenga peso normal

P( B N ) = P( B ) + P( N )P( B N ) = 50 / 200 + 150 / 200 = 1

4.- Si A y A’ son complementarios, entonces,

P(A’) = 1 - P(A) ó P(A) = 1 - P(A’)

A’

A

EJEMPLO.-

En una determinada comunidad, se evaluó el estado nutricional de 100 niños menores de 5 años de edad, obteniéndose los siguientes resultados: ************************************ Estado Nutricional nº ************************************ Normal 60 Malnutrido 40 ************************************ TOTAL 100 ************************************Se elige un niño al azar de esta población, cuál es la probabilidad de que esté malnutrido.

SOLUCION

M : Tenga estado nutricional malnutridoM´ : N : Tenga estado nutricional normalluego, P(M) = 1 - P(M´) P(M) = 1 - 60/100 = 0.4

Interpretación :Por tanto, la probabilidad de que el niño elegido al azar de dicha comunidad este malnutrido es de 0.4.

5.- Si A,B eventos cualesquiera, entonces,

P(AB’) = P(A) - P(AB)

NOTA:

Las probabilidades son expresadas en tanto por uno.

(A B)

BA

(AB’)

EJEMPLO.-

Retomando el ejemplo sobre el peso del recién nacido y si la madre fumó o no durante el embarazo, Cuál es la probabilidad de que el R.N. Tenga bajo peso pero la madre no fuma?

SOLUCIONB : Tenga bajo peso al nacerF´ : La madre no fuma

P( B F´ ) = P( B ) - P( B F )

P( B F´ ) = 50 / 200 - 20 / 200 = 30/200

P( B F´ ) = 0.15

EJEMPLO EJEMPLO .- .-

Se clasifica a 900 adultos que han culminado sus estudios superiores según sexo y Se clasifica a 900 adultos que han culminado sus estudios superiores según sexo y ocupación, y se obtienen los siguientes resultados:ocupación, y se obtienen los siguientes resultados: *************************************************************** *************************************************************** SEXO OCUPACION SEXO OCUPACION Desempleados Empleados TOTAL Desempleados Empleados TOTAL *************************************************************** *************************************************************** Hombres 40 460 500 Hombres 40 460 500 Mujeres 260 140 400 Mujeres 260 140 400 **************************************************************** **************************************************************** TOTAL 300 600 900 TOTAL 300 600 900 ***************************************************************** *****************************************************************Se elige un adulto al azar, cuál es la probabilidad de que:Se elige un adulto al azar, cuál es la probabilidad de que: a. esté desempleado a. esté desempleado b. Esté desempleado y es hombre b. Esté desempleado y es hombre c. Esté empleado o mujer c. Esté empleado o mujer

SOLUCIONSOLUCIONa. P(D) = n(D) / n(a. P(D) = n(D) / n() = 300/900 = 0.33) = 300/900 = 0.33

b. P(Db. P(DH) = n (DH) = n (DH) / n(H) / n() = 40/900 = 0.04) = 40/900 = 0.04

c. P(EUM) = P(E)+P(M) - P(Ec. P(EUM) = P(E)+P(M) - P(EM) = P(EUM) = 600/900+400/900-140/900 = 0.955M) = P(EUM) = 600/900+400/900-140/900 = 0.955

PROBABILIDAD CONDICIONALPROBABILIDAD CONDICIONAL: : P(A/B)P(A/B)

Sea Sea un espacio muestral asociado al experimento aleatorio E. Sean los eventos un espacio muestral asociado al experimento aleatorio E. Sean los eventos A y B dados en A y B dados en . .

La probabilidad de la ocurrencia del evento A dado que ha ocurrido B se denomina La probabilidad de la ocurrencia del evento A dado que ha ocurrido B se denomina probabilidad condicional de A dado B.probabilidad condicional de A dado B.

Fórmula:Fórmula:

n n(A(AB)B) P(A/B) = ------------------- ( se aplica cuando los datos están en una tabla) P(A/B) = ------------------- ( se aplica cuando los datos están en una tabla) n(B) n(B)

P P(A(AB)B) P(A/B) = ------------------- ( se aplica cuando los datos no están en una tabla) P(A/B) = ------------------- ( se aplica cuando los datos no están en una tabla) P(B) P(B)

donde P(B) > 0 donde P(B) > 0

Retomando el ejemplo anterior:Retomando el ejemplo anterior:

****************************************************************************************************************************** SEXO OCUPACION SEXO OCUPACION Desempleados Empleados TOTAL Desempleados Empleados TOTAL *************************************************************** *************************************************************** Hombres 40 460 500 Hombres 40 460 500 Mujeres 260 140 400 Mujeres 260 140 400 **************************************************************** **************************************************************** TOTAL 300 600 900 TOTAL 300 600 900 ***************************************************************** ***************************************************************** Se elige un adulto al azar, cuál es la probabilidad de que:Se elige un adulto al azar, cuál es la probabilidad de que: Esté desempleado dado que es mujer Esté desempleado dado que es mujer

SOLUCIONSOLUCION

nn(D(DM) 260 M) 260 P(D/M) = ---------------- = ------------ = 0.65 P(D/M) = ---------------- = ------------ = 0.65 n(M) 400 n(M) 400 Interpretación: Interpretación: Al elegir un adulto al azar, la probabilidad de que este desempleado dado que es Al elegir un adulto al azar, la probabilidad de que este desempleado dado que es mujer es de 0.65.mujer es de 0.65.

EJEMPLO: Se dispone de 11 historias clínicas, pertenecientes a pacientes masculinos y femeninos agrupados por su nivel de hemoglobina.

M F  

Estado (Masculino) (Femenino) Total

A (Anémico) 5 3 8

N (Normal) 1 2 3

Total 6 5 11

Dado que la historia corresponde a un paciente anémico, ¿cuál es la probabilidad que sea mujer?SOLUCION n(FA) 3 P(F/A) = ----------- = ------ = 0.375 n(A) 8

Sexo

PROPIEDADES (Probabilidad condicional)

Si P(H) 0, entonces :

1.- P(D/H) = 1 - P(D´/H)

2.- P(/H) = 1

3.- Si A, B son disjuntos en H, tenemos que:

P[(AUC)/H] = P(A/H) + P(C/H)

EJEMPLO El 50% de la población aproximadamente son varones, el 68% bebe con cierto exceso, y el 38.5% bebe y es varón. Dado que una determinada persona aleatoriamente seleccionada es varón, hallar la probabilidad de que beba. Es el estatus de bebedor independiente del sexo?

SOLUCION

A: Sea varón P(A) = 0.5

B: bebe P(B) = 0.68 AB: Sea varón y bebe P(AB) = 0.385 B/A: bebe dado que es varón P(B/A) = ?

P(B/A)=(0.385)/(0.5) = 0.77

Nos indica que la probabilidad de que beba dado que es varón es de 0.77.

Además, como P(B/A) P(B), el estatus de bebedor no es independiente del sexo.