4 Programacion de Actividades

PROGRAMACIÓN DE ACTIVIDADES Y CONTROL

DE PROYECTOS CPM Y PERT

Introducción

Los proyectos en gran escala por una sola vez han existido desdetiempos antiguos; este hecho lo atestigua la construcción de laspirámides de Egipto y los acueductos de Roma. Pero sólo desde hacepoco se han analizado por parte de los investigadores operacionaleslos problemas gerenciales asociados con dichos proyectos.

El problema de la administración de proyectos surgió con el proyectode armamentos del Polaris, empezando 1958. Con tantas componentesy sub-componentes juntos producidos por diversos fabricantes, senecesitaba una nueva herramienta para programar y controlar elproyecto. El PERT (evaluación de programa y técnica de revisión) fuedesarrollado por científicos de la oficina Naval de ProyectosEspeciales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas deArmamentos de la Corporación Lockheed Aircraft.

Introducción

La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia aceptación tantoen el gobierno como en el sector privado.

Casi al mismo tiempo, la Compañía DuPont, junto con la DivisiónUNIVAC de la Remington Rand, desarrolló el método de la ruta crítica(CPM) para controlar el mantenimiento de proyectos de plantas químicasde DuPont. El CPM es idéntico al PERT en concepto y metodología. Ladiferencia principal entre ellos es simplemente el método por medio delcual se realizan estimados de tiempo para las actividades del proyecto.Con CPM, los tiempos de las actividades son determinísticos. Con PERT,los tiempos de las actividades son probabilísticos o estocásticos.

El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útilesde información para los administradores del proyecto. Primero, elPERT/CPM expone la "ruta crítica" de un proyecto.

Introducción

Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto.En otras palabras, para lograr que el proyecto se realicepronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarsepronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crítica seretarda, el proyecto como un todo se retarda en la mismacantidad. Las actividades que no están en la ruta críticatienen una cierta cantidad de holgura; esto es, puedenempezarse más tarde, y permitir que el proyecto como untodo se mantenga en programa. El PERT/CPM identificaestas actividades y la cantidad de tiempo disponible pararetardos.

Introducción

El PERT/CPM también considera los recursosnecesarios para completar las actividades. Enmuchos proyectos, las limitaciones en mano de obray equipos hacen que la programación sea difícil. ElPERT/CPM identifica los instantes del proyecto enque estas restricciones causarán problemas y deacuerdo a la flexibilidad permitida por los tiemposde holgura de las actividades no críticas, permite queel gerente manipule ciertas actividades para aliviarestos problemas.

Introducción

Finalmente, el PERT/CPM proporciona unaherramienta para controlar y monitorear el progresodel proyecto. Cada actividad tiene su propio papel enéste y su importancia en la terminación del proyectose manifiesta inmediatamente para el director delmismo. Las actividades de la ruta crítica, permitenpor consiguiente, recibir la mayor parte de laatención, debido a que la terminación del proyecto,depende fuertemente de ellas. Las actividades nocríticas se manipularan y remplazaran en respuesta ala disponibilidad de recursos.

Antecedentes

Dos son los orígenes del método del camino crítico: elmétodo PERT (Program Evaluation and ReviewTechnique) desarrollo por la Armada de los EstadosUnidos de América, en 1957, para controlar los tiemposde ejecución de las diversas actividades integrantes delos proyectos espaciales, por la necesidad de terminarcada una de ellas dentro de los intervalos de tiempodisponibles. Fue utilizado originalmente por el controlde tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utilizaen todo el programa espacial.

Antecedentes

El método CPM (Crítical Path Method), el segundo origen delmétodo actual, fue desarrollado también en 1957 en losEstados Unidos de América, por un centro de investigación deoperaciones para la firma Dupont y Remington Rand,buscando el control y la optimización de los costos deoperación mediante la planeación adecuada de las actividadescomponentes del proyecto.

Ambos métodos aportaron los elementos administrativosnecesarios para formar el método del camino crítico actual,utilizando el control de los tiempos de ejecución y los costosde operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutadoen el menor tiempo y al menor costo posible.

Antecedentes

Definición: El método del camino crítico es un procesoadministrativo de planeación, programación, ejecución ycontrol de todas y cada una de las actividadescomponentes de un proyecto que debe desarrollarsedentro de un tiempo crítico y al costo óptimo.

Usos: El campo de acción de este método es muy amplio,dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquierproyecto grande o pequeño. Para obtener los mejoresresultados debe aplicarse a los proyectos que posean lassiguientes características:

Antecedentes

a) Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunaspartes o en su totalidad.

b) Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el,en un tiempo mínimo, sin variaciones, es decir, entiempo crítico.

c) Que se desee el costo de operación más bajo posibledentro de un tiempo disponible.

Antecedentes

Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estadousando para la planeación y control de diversasactividades, tales como construcción de presas, aperturade caminos, pavimentación, construcción de casas yedificios, reparación de barcos, investigación demercados, movimientos de colonización, estudioseconómicos regionales, auditorias, planeación decarreras universitarias, distribución de tiempos de salasde operaciones, ampliaciones de fábrica, planeación deitinerarios para cobranzas, planes de venta, censos depoblación, etc.

Diferencias entre PERT y CPM

Como se indicó antes, la principal diferencia entrePERT y CPM es la manera en que se realizan losestimados de tiempo. El PERT supone que eltiempo para realizar cada una de las actividades esuna variable aleatoria descrita por una distribuciónde probabilidad. El CPM por otra parte, infiere quelos tiempos de las actividades se conocen en formadeterminísticas y se pueden variar cambiando elnivel de recursos utilizados.


La distribución de tiempo que supone el PERT parauna actividad es una distribución beta. La distribuciónpara cualquier actividad se define por tres estimados:

1. El estimado de tiempo más probable, m;

2. El estimado de tiempo más optimista, a;

3. El estimado de tiempo más pesimista, b.


La forma de la distribución se muestra en lasiguiente Figura. E1 tiempo más probable es eltiempo requerido para completar la actividadbajo condiciones normales. Los tiemposoptimistas y pesimistas proporcionan unamedida de la incertidumbre inherente en laactividad, incluyendo desperfectos en el equipo,disponibilidad de mano de obra, retardo en losmateriales y otros factores.


Con la distribución definida, la media (esperada) yla desviación estándar, respectivamente, deltiempo de la actividad para la actividad z puedecalcularse por medio de las fórmulas deaproximación.

6)(

6

4)(

abZ

bmaZTe


El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma detodos los tiempos esperados de las actividades sobre la rutacrítica. De modo similar, suponiendo que las distribuciones delos tiempos de las actividades son independientes(realísticamente, una suposición fuertemente cuestionable), lavarianza del proyecto es la suma de las varianzas de lasactividades en la ruta crítica. Estas propiedades se demostraránposteriormente. En CPM solamente se requiere un estimado detiempo. Todos los cálculos se hacen con la suposición de que lostiempos de actividad se conocen. A medida que el proyectoavanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear elprogreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacenesfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programacambiando la asignación de recursos.

Métodos CPM y PERT

Los métodos CPM (método de la ruta crítica o del caminocrítico, critical path method) y PERT (técnica de evaluación yrevisión de programa, program evaluation and reviewtechnique) se basan en diagramas, y tienen por objeto auxiliaren la planeación, programación y control de proyectos. Sedefine un proyecto como conjunto de actividadesinterrelacionadas, en la que cada actividad consume tiempo yrecursos. El objetivo del CPM y del PERT es contar con unmétodo analítico para programar las actividades. En la figurasiguiente se resumen los pasos de estas técnicas. Primero sedefinen las actividades del proyecto, sus relaciones deprecedencia y sus necesidades de tiempo.

Métodos CPM y PERT

Fases de aplicación de un proyecto con CPM o

PERT

Métodos CPM y PERT

A continuación, el proyecto se traduce en undiagrama que muestre las relaciones de precedenciaentre las actividades. El tercer paso implica cálculosespecíficos de diagramas, que forman la base deldesarrollo del programa del proyecto en función deltiempo.

Métodos CPM y PERT

Durante la ejecución del proyecto, podría nocumplirse el programa que estaba planeado,causando que algunas de las actividades seadelanten o se atrasen. En este caso seránecesario actualizar el programa para querefleje la realidad. Esta es la razón de incluir unbucle, lazo o ciclo de retroalimentación entre lafase de programa y la fase de diagrama, comose ve en la figura anterior.

Métodos CPM y PERT

Las dos técnicas CPM y PERT, que se desarrollan enforma independiente, difieren en que el CPM sesupone duraciones determinísticas de actividad,mientras que el PERT se suponen duracionesprobabilísticas. Esta presentación comenzara con elCPM y después se presentaran los detalles del PERT.

Modelaje de sistemas CPM/PERT

Para aplicar el CPM/PERT a un proyecto, se requierecomprender completamente la estructura yrequisitos del mismo. El esfuerzo que se gaste paraidentificar la estructura del proyecto es de gran valorpara la compresión de este. En particular, se debencontestar cuatro preguntas para empezar elprocedimiento de modelaje:


1. ¿Cuáles son las actividades que el proyecto requiere?

2. ¿Cuáles son los requisitos de secuenciación o restriccionesde estas actividades?

3. ¿Qué actividades pueden realizarse simultáneamente?

4. ¿Cuáles son los tiempos estimados para cada actividad?


El primer paso para construir la diagramaCPM/PERT consiste en hacer una lista de cadauna de las actividades y de las actividades queinmediatamente las debe preceder.

Para la pregunta 4, la duración de los tiemposestimados (días, semanas, horas, etc.) de cadaactividad se establece de acuerdo al rendimientode la mano de obra y del número de obrerosasignados a cada actividad.

Diagrama de actividades tipo red

Cada actividad del proyecto se representa conun arco que apunta en la dirección de avancedel proyecto. Los nodos del diagramaestablecen las relaciones de precedencia entrelas diferentes actividades del proyecto.

Regla 1: Cada actividad se representa con unarco, y uno sólo.

Regla 2: Cada actividad se debe identificar condos nodos diferentes.


La figura siguiente muestra como se puede usar unaactividad ficticia para representar dos actividadesconcurrentes, A y B. Por definición, la actividadficticia, que normalmente se representa con un arcode línea interrumpida, no consume tiempo orecursos. La inserción de una actividad ficticia enuna de las cuatro formas que se ven en la figura8.2, mantiene la concurrencia de A y B, y tambiénproporciona nodos finales únicos para las dosactividades (para satisfacer la regla 2)


Uso de una actividad ficticia para tener representación única de las actividades concurrentes A y B

Red

1

2

3 1

2

3

3

2

13

2

1

A

B

A

B B

A

B

AA

B


Regla 3. Para mantener las relaciones de precedencia correctas,se deben contestar las siguientes preguntas cuando se agrega ala diagrama cada actividad.

¿Qué actividades deben anteceder inmediatamente a la actividadactual?

¿Qué actividades deben seguir inmediatamente a la actividadactual?

¿Qué actividades deben efectuarse en forma concurrente osimultanea con la actividad actual?


Para contestar estas preguntas se podránecesitar el uso de actividades ficticias, paraasegurar las precedencias correctas entre lasactividades. Por ejemplo, considere al siguientesegmento de un proyecto.

1. La actividad C comienza de inmediatodespués de haber terminado A y B.

2. La actividad E se inicia después de que solotermino la actividad B.


La 1ª parte de la figura siguiente muestra larepresentación incorrecta de esta relación deprecedencia, porque pide que A y B terminen antesde poder iniciar E. En la 2ª parte se corrige lasituación con el uso de la actividad ficticia.


Uso de una actividad ficticia para asegurar una relación

de precedencia correcta

Ejemplo:

Las zapatas de cimentación de un edificio se puedenterminar en cuatro secciones conectadas. Lasactividades de cada sección comprenden:

1º Excavación

2º Colocación de acero

3º Colocado del Hormigón

No puede comenzar la excavación de una sección, sinohasta haber terminado la de la sección anterior. Estamisma restricción se aplica a la colocación delhormigón.

Formule el diagrama del proyecto.

Ejemplo (Resolución):

Ejemplo:

Las actividades de la tabla siguiente describen laconstrucción de una casa nueva. Formule ladiagrama asociada al proyecto. Para este ejemplose tomaron valores alcanzados de la experiencia dela construcción de una casa pequeña

Ejemplo:

Actividad Predecesor (es)Duración

(Días)A Instalación de faenas — 1

B Llevar servicios al sitio — 2

C Excavar A 1

D Vaciar cimientos C 2

E Plomería exterior B, C 6

F Muro de mampostería D 10

G Instalación eléctrica F 3

H Contrapiso G 1

I Armar el techo F 1

J Plomería interior E, H 5

K Cubierta I 2

LRecubrimiento aislante

exteriorF, J 1

MInstalar ventanas y puertas

exterioresF 2

N Poner ladrillo L, M 4

O Aislar paredes y techos G, J 2

P Revoque interior O 2

Q Cielo raso I, P 1

R Acabados interiores P 7

S Acabados exteriores I, N 7

TLimpieza y retiro de

escombroS 3

Ejemplo:

La figura siguiente muestra el diagrama que describelas relaciones de precedencia entre las diferentesactividades. Con las actividades ficticias (líneassegmentada), se obtienen nodos finales únicos paralas actividades de concurrentes. La numeración delos nodos se hace en forma que indique el avance enel proyecto.

Ejemplo:

2

1

A -

1

4

B - 2

3

C -

1

5D - 2

6

F -

10

9

10E - 6

H -

1

11

G - 3

16M - 2

L -

1

12

O -

2

J - 5

7

I - 1

17

N - 4 S- 7 18

P - 2 13

14

Q -

1

15

R - 7

8K - 2

19

T - 3

Ruta crítica (CPM)

El resultado final del CPM es la formulación oconstrucción del programa del proyecto. Paralograr este objetivo en una forma adecuada, sehacen cálculos especiales con los que se obtiene lasiguiente información.

1. Tiempo total necesario para terminar el proyecto.

2. Clasificación de las actividades del proyecto en críticasy no críticas.

Calculo para la ruta crítica (CPM)

Para efectuar los cálculos necesarios, se define lo siguiente:

j = Tiempo más temprano de ocurrencia del evento j.

Δj = Tiempo más tardío de ocurrencia del evento j.

Dij =Duración de la actividad (i, j).

Las definiciones de los tiempos más tempranoy más tardío del evento j se especifican enrelación con las fechas de inicio y terminaciónde todo el proyecto.


Los cálculos de la ruta crítica implican dospasos: Paso hacia delante, determina lostiempos más tempranos o de ocurrencia de loseventos, y el Paso hacia atrás, calcula sustiempos más tardíos de ocurrencia.

Paso hacia delante (tiempos mástempranos de ocurrencia o tiempos máspróximos, de ocurrencia, ). Los cálculosse inician en el nodo 1 (inicio) y avanzan enforma intuitiva hasta el nodo final n.


Paso Inicial: Poner 1(inicio) = 0, para indicar que el proyectose inicia cuando el tiempo es 0.

Paso general j: Dado que los nodos p, q, …, y v estánenlazados directamente con el nodo j por las actividades deentrada (p, j), (q, j),…, (v, j) y que los tiempos más tempranosde ocurrencia de los eventos (nodos) p, q, …, y v ya se hancalculado, entonces se calcula el tiempo más temprano deocurrencia del evento j como sigue:

j = máx {p + Dpj, q + Dqj,…….., v + Dvj}

El paso hacia delante se termina cuando se calcula n(final) enel nodo n. Por definición, j representa la ruta (duración) máslarga al nodo j.


Paso hacia atrás (tiempos más tardíos de ocurrencia o tiempos más lejanos, de ocurrencia, Δ). Después de terminar el paso hacia delante, los cálculos del paso hacia atrás comienzan en el nodo n y terminan en el nodo 1.


Paso Inicial: Poner Δn(final) = n(final), para indicar que

las ocurrencias más temprano y más tardío del ultimonodo en el proyecto son iguales.

Paso General j: Dado que los nodos p, q, …, y v estánenlazados en forma directa con el nodo j por actividadesde salida (j, p), (j, q),…, (j, v) y que ya se calcularon lostiempos más tardíos de los nodos p, q, …, y v, el tiempotardío del nodo j se calcula como sigue:

Δj = mín {Δp – Djp, Δq – Djq,…….., Δv – Djv

El paso hacia atrás se termina cuando se calcula Δ1.


Con base en los cálculos anteriores, una actividad (i, j)

será crítica si satisface tres condiciones:

Δi = i

Δj = j

Δj – Δi = j – i = Dij

Las tres condiciones indican que los tiempos mástempranos y más tardíos de ocurrencia de los nodos i y json iguales, y que la duración Dij se ajusta exactamente alintervalo especificado de tiempo. Una actividad que nosatisface las tres condiciones es no crítica.


Ejemplo: Determinar la ruta crítica para eldiagrama del proyecto de la figura. Todas lasduraciones están en días.

2

1

A -

1

4

B - 2

3

C -

1

5D - 2

6

F -

10

9

10E - 6

H -

1

11

G - 3

16M - 2

L -

1

12

O -

2

J - 5

7

I - 1

17

N - 4 S- 7 18

P - 2 13

14

Q -

1

15

R - 7

8K - 2

19

T - 3


Ejemplo: Resolución

Paso hacia delante.

Nodo 1. Hacer o definir 1 = 0

Nodo 2. 2 = 1 + D12 = 0 + 1 = 1

Nodo 3. 3 = 2 + D23 = 1 + 1 = 2

Nodo 4. 4 = máx. {1 + D14, 3 + D34}= máx. {0 +2, 2 + 0}= máx. {2, 2} = 2

Nodo 5. 5 = 3 + D35 = 2 + 2 = 4


Ejemplo: Resolución (Continuación)

Nodo 6. 6 = 5 + D56 = 4 + 10 = 14

Nodo 7. 7 = 6 + D67 = 14 + 1 = 15

Nodo 8. 8 = 7 + D78 = 15 + 2 = 17

Nodo 9. 9 = 6 + D69 = 14 + 3 = 17

Nodo 10. 10 = máx. {4 + D4-10, 9 + D9-10}= máx.{2 + 6, 17 + 1}

= máx. {8, 18} = 18



Nodo 11. 11 = máx. {6 + D6-11, 9 + D9-11, 10 + D10-11}

= máx. {14 + 0, 17 + 0, 18 + 5}= máx. {14, 17, 23} = 23

Nodo 12. 12 = 11 + D11-12 = 23 + 2 = 25

Nodo 13. 13 = {7 + D7-13, 12 + D12-13}= máx. {15 + 0, 25 + 2}

= máx. {15, 27} = 27

Nodo 14. 14 = 13 + D13-14 = 27 + 1 = 28

Nodo 15. 15 = 13 + D13-15 = 27 + 7 = 34



Nodo 16. 16 = máx. {6 + D6-16, 11 + D11-16}= máx. {14 + 2, 23 + 1}

= máx. {16, 24} = 24

Nodo 17. 17 = máx. {7 + D7-17, 16 + D16-17}= máx. {15 + 0, 24 + 4}

= máx. {15, 28} = 28

Nodo 18. 18 = 17 + D17-18 = 28 + 7 = 35

Nodo 19. 19 = máx. {8 + D8-19, 14 + D14-19, 15 + D15-19, 18 + D18-

19}

= máx. {17 + 0, 28 + 0, 34 + 0, 35 + 3}

= máx. {17, 28, 34, 38} = 38

Los cálculos indican que se puede acabar en 38 días.



Paso hacia atrás.

Nodo 19. Hacer o definir Δ19= 19 = 38

Nodo 18. Δ18 = Δ19 – D18-19 = 38 – 3 = 35

Nodo 17. Δ17 = Δ18 – D17-18 = 35 – 7 = 28

Nodo 16. Δ16 = Δ17 – D16-17 = 28 – 4 = 24

Nodo 15. Δ15 = Δ19 – D15-19 = 38 – 0 = 38

Nodo 14. Δ14 = Δ19 – D14-19 = 38 – 0 = 38


Ejemplo: Resolución (Continuación)Nodo 13. Δ13 = mín {Δ14 – D13-14, Δ15 – D13-15} = mín {38 – 1, 38 – 7}=

mín {37, 31}= 31

Nodo 12. Δ12 = Δ13 – D12-13 = 31 – 2 = 29

Nodo 11. Δ11 = mín {Δ12 – D11-12, Δ16 – D11-16} = mín {29 – 2, 24 – 1}=

mín {27, 23}= 23

Nodo 10. Δ10 = Δ11 – D10-11 = 23 – 5 = 18

Nodo 9. Δ9 = mín {Δ10 – D9-10, Δ11 – D9-11} = mín {18 – 1, 23 –0} = mín {17, 23} = 17



Nodo 8. Δ8 = Δ19 – D8-19 = 38 – 0 = 38

Nodo 7. Δ7 = mín {Δ8 – D7-8, Δ13 – D7-13, Δ17 –D7-17}

= mín {38 – 2, 31 – 0, 28 – 0}= mín {36, 31, 28}= 28

Nodo 6. Δ6 = mín {Δ7 – D6-7, Δ9 – D6-9, Δ11 – D6-11, Δ16 – D6-16}

= mín {28 – 1, 17 – 3, 23 – 0, 24 – 2}= mín {27, 14,23, 22}= 14

Nodo 5. Δ5 = Δ6 – D5-6 = 14 – 10= 4

Nodo 4. Δ4 = Δ10 – D4-10 = 18 – 6= 12



Nodo 3. Δ3 = mín {Δ4 – D3-4, Δ5 – D3-5} = mín {12 –

0, 4 – 2}= mín {12, 2}= 2

Nodo 2. Δ2 = Δ3 – D2-3 = 2 – 1= 1

Nodo 1. Δ1 = mín {Δ2 – D1-2, Δ4 – D1-4} = mín {1 – 1,12 – 2}=

mín {0, 10}= 0

Si los cálculos fueron correctos, siempre terminarancon Δ1 = 0.



Los cálculos en los pasos hacia delante y hacia atrás se

resumen en una figura. Las reglas para determinar lasactividades críticas indican que la ruta crítica es1→2→3→5→6→9→10→11→16→17→18→19, queabarca la diagrama desde el inicio (nodo 1) hasta el fin(nodo 19). La suma de las duraciones de las actividadescríticas [(1,2), (2,3), (3,5), (5,6), (6,9), (9,10), (10,11),(11,16), (16,17), (17,18), (18,19)] es igual a la duración del

proyecto (= 38 días).



Observe que la actividad (6,11), (6,16) y (9,11) satisfacen lasdos primeras condiciones para que la actividad sea crítica

Δ6 = 6 = 14, Δ11 = 11 = 23, pero Δj – Δi = j – i = Dij

23 – 14 = 23 – 14 = 0


24 – 14 = 24 – 14 = 2


23 – 17 = 23 – 17 = 0.

Por consiguiente, esas actividades no son críticas.


15

14

R - 7 13

P - 2

K - 2 8

19

18

S- 7 17

7

O -

2

12

L -

1

M - 2 16

11

H -

1

10

9 5 3

B - 2

A - 1

C -

1

F -

10

E - 6

I - 1

J - 5

N - 4

D - 2 1

2

4

6

0

Inicio del paso

hacia adelante

Fin del paso

hacia atrás

0 3838

Inicio del paso

hacia atrás

Fin del paso

hacia adelante

11

2

22

212

44

1414

1528

1738

1717

1818

2323

2925 27

31

2838

3438

2424

2828

3535

i j Ruta critica

Paso hacia atrás:

Paso hacia adelante

Leyenda

Q -

1

G - 3

T - 3

Construcción del cronograma preliminar

Se indica como se puede usar la información obtenidacon los cálculos para desarrollar el programa de tiempo,o cronograma. Se reconoce que i representa el tiempomás temprano de iniciación de una actividad (i, j), y queΔj representa el tiempo más tardío de terminación. Estoquiere decir que (i, Δj) limita el intervalo máximo detiempo durante el cual se puede programar la actividad(i, j).

Construcción de un cronograma preliminar. Seilustrara con un ejemplo el método para construir uncronograma preliminar.


Ejemplo:

Determinar el cronograma para el proyecto del ejemplo anterior.

Se puede tener un cronograma preliminar para las distintas actividadesdel proyecto poniendo sus intervalos de tiempo respectivos como se veen la figura. Es necesario hacer dos observaciones.

Las actividades críticas (representadas por las líneas llenas) se debenprogramar una inmediatamente después de la otra, para asegurar queel proyecto se termine en la duración especificada de 38 días.

Las actividades no críticas (representadas por líneas segmentadas)abarcan intervalos que tienen duraciones mayores y que por tantopermiten holguras en su programación dentro de sus intervalosasignados.


Ejemplo:

Determinación de holguras

Son las holguras de tiempo disponibles dentro delintervalo asignado para la actividad no crítica. Lasdos más comunes son la holgura total y laholgura libre.

Interpretación Práctica: Holgura total: Representa el número de unidades de tiempo de

que disponemos para retrasar el comienzo de la actividad oaumentar la duración de la actividad sin alterar los tiemposlímite u en principio la programación.


Holgura libre: Representa el número de unidades de tiempo deque disponemos para retrasar el comienzo de la actividad oaumentar la duración de la actividad sin alterar el comienzo delas siguientes.

Holgura independiente: Refleja las unidades disponibles paraque habiéndose alcanzado un suceso en el tiempo límitepasemos al tiempo lo más pronto posible del suceso siguiente.


En la siguiente figura se ve un resumen adecuadopara calcular la holgura total (TFij) y la holgura libre(FFij) de la actividad (i, j). la holgura total es elexceso del intervalo de tiempo definido por el tiempomás temprano de ocurrencia del evento i hasta eltiempo más tardío de ocurrencia del evento j en laduración de (i, j); esto es:

i

jijTF ijD

i


Calculo de las holguras totales y libres


La holgura libre es el exceso del intervalo de tiempo definido desde el tiempo más temprano de ocurrencia del evento i hasta el tiempo más temprano de ocurrencia del elemento j durante la duración de (i, j); esto es: FFij = j – i - Dij

Por definición: Ffij <= TF ij


Regla de la bandera roja, para una actividad (i, j)

no crítica:

a) Si FFij = TFij, entonces se puede programar la actividaden cualquier lugar dentro de su intervalo (i, j) sin causarconflicto con el programa.

b) Si FFij < TFij, entonces el inicio de la actividad (i, j) sepuede demorar cuando mucho hasta FFij a partir de sutiempo más temprano de inicio (i) sin causar conflicto conel programa. Toda demora mayor que FFij (pero no mayorque TFij) se debe acompañar por una demora igual apartir de j en el tiempo de iniciación de todas lasactividades que salen del nodo j.


La implicación de la regla es que una actividad (i, j)no crítica tendrá bandera roja si su FFij < TFij. Estabandera roja solo importa si se decide demorar elinicio de la actividad respecto a su tiempo tempranode inicio i, en cuyo caso se debe poner atención a lostiempos de inicio de las actividades que salen delnodo j, para evitar conflictos en el programa.


Ejemplo: Calcular las holguras de las actividades nocríticas del diagrama en el ejemplo anterior (CPM), ydescribir su uso en la finalización de un cronogramapara el proyecto.

La tabla siguiente resume los cálculos de las holgurastotales y libres. Conviene más hacer los cálculos enforma directa sobre el diagrama, usando elprocedimiento grafico dado en la teoría.


Ejemplo:

Actividad

no críticaDuración

Holgura total

(TF)

Holgura libre

(FF)

B 1 → 4

FIC 3 → 4

I 6 → 7

FIC 6 → 11

M 6 → 16

K 7 → 8

FIC 7 → 13

FIC 7 → 17

FIC 8 → 19

FIC 9 → 11

O 11 → 12

P 12 → 13

Q 13 → 14

R 13 → 15

FIC 14 → 19

FIC 15 → 19

2

0

1

0

2

2

0

0

0

0

2

2

1

7

0

0

12 – 0 – 2 = 10

12 – 2 – 0 = 10

28 – 14 – 1 = 13

23 – 14 – 0 = 9

24 – 14 – 2 = 8

38 – 15 – 2 = 11

31 – 15 – 0 = 16

28 – 15 – 0 = 13

38 – 17 – 0 = 21

23 – 17 – 0 = 6

29 – 23 – 2 = 4

31 – 25 – 2 = 4

38 – 27 – 1 = 10

38 – 27 – 7 = 4

38 – 28 – 0 = 10

38 – 34 – 0 = 4

2 – 0 – 2 = 0

2 – 2 – 0 = 0

15 – 14 – 1 = 0

23 – 14 – 0 = 9

24 – 14 – 2 =8

17 – 15 – 2 = 0

27 – 15 – 0 = 12

28 – 15 – 0 = 13

38 – 17 – 0 = 21

23 – 17 – 0 = 6

25 – 23 – 2 = 0

27 – 25 – 2 = 0

28 – 27 – 1 = 0

34 – 27 – 7 = 0

38 – 28 – 0 = 10

38 – 34 – 0 = 4


Ejemplo: Los cálculos ponen bandera roja en las actividades B

(1,4), FIC (3,4), I (6,7), K (7,8), FIC (7,13), O (11,12), P (12,13), Q(13,14) y R (13,15), porque sus FF < TF. Las actividades restantesFIC (6,11), M (6,16), FIC (7,17), FIC (8,19), FIC (9,11), FIC (14,19)y FIC (15,19), tienen FF = TF, por lo que se pueden programar encualquier momento entre su inicio más temprano y suterminación más tardía.

En cuanto a la actividad I con bandera roja, se ve que FF = 0. Esoquiere decir que cualquier demora en el inicio de I después de sutiempo más temprano de inicio (= 14) se debe acoplar con unademora al menos igual en el inicio de sus actividades posterioresE y F.

REDES PERT

En CPM se asume que la duración de cada actividades conocida con certeza, claramente, en muchasocasiones este supuesto no es valido. PERT intentacorregir este error suponiendo que la duración decada actividad es una variable aleatoria de la queconocemos su ley de distribución (Distribución ); seconsideran tres clases de tiempos estimados:

REDES PERT

1. Tiempo Optimista “a”, es el que representa eltiempo mínimo posible sin importar el costo ocuantía de elementos materiales y humanos que serequieran, donde se supone que la ejecución vaextremadamente bien. En la mayoría de los casos laprobabilidad de realizar la actividad en estetiempo es pequeña.

REDES PERT

2. Tiempo más probable “m”, donde se suponeque la ejecución se hace bajo condiciones normales.Esta estimación debe tener en cuenta lascircunstancias normales, considerando algunosretrasos debidos a imprevistos, y debe estar basadaen la mejor información de que pueda disponerse.

REDES PERT

3. Tiempo pesimista “b”, es un tiempoexcepcionalmente grande que pudiera presentarseocasionalmente como consecuencia de accidentes,falta de suministros, retardos involuntarios, causasno previstas, etc. donde se supone que la ejecuciónva extremadamente mal. la probabilidad derealizar la actividad en este tiempo esgrande.

REDES PERT

En la siguiente figura se muestra la localizaciónideal de estas tres estimaciones con respecto a ladistribución de probabilidad. Se hacen dossuposiciones para convertir m, a y b enestimaciones del valor esperado Te y la varianza ν =σ2 del tiempo que requiere la actividad.

REDES PERT

Suposición 1: la distribución entre a y b es 6desviaciones estándar, es decir, 6σ = b – a. Enconsecuencia, la varianza del tiempo de unaactividad es

El razonamiento para hacer esta suposición es quese considera que las colas de muchasdistribuciones de probabilidad (como en ladistribución normal) están más o menos a 3desviaciones estándar de la media, de manera queexiste una dispersión de alrededor de 6desviaciones estándar entre las colas.

22

61 ab

REDES PERT

Para obtener la estimación del valor esperado Te, también

es necesaria una suposición sobre la forma de ladistribución de probabilidad.

Suposición 2: la distribución de probabilidad de cadaactividad es (al menos aproximadamente) una distribuciónbeta .

Este tipo de distribución tiene la forma que se mostró en lafigura anterior, con una sola moda (m) y dos puntosterminales (a y b), en donde se supone que 0 ≤ a ≤ b. Así, seajusta bien a las definiciones de los tres tiempos estimados,y da una forma razonable para la distribución de lostiempos de las actividades.

REDES PERT

Bajo estas suposiciones, el valor esperado deltiempo de una actividad es aproximadamente

bamTe

2

12

3

1

REDES PERT

Note que el medio del intervalo (a+b)/2 se encuentra ala mitad entre a y b, de manera que Te es la mediaaritmética ponderada de la moda y la mitad delintervalo, con un peso de dos tercios para la moda.Aunque la suposición de una distribución beta esarbitraria, sirve para el propósito de localizar el valoresperado respecto a m, a y b de una manera razonable.

Con base en los estimados (o estimaciones), el tiempopromedio de duración , estará en el intervalo [a, b] y suvarianza , de acuerdo a la distribución que se calculancomo sigue:

REDES PERT

Los cálculos de ruta crítica (CPM) que se describieron

anteriormente se puede aplicar en forma directa,sustituyendo la estimación única D por .

Ahora es posible estimar la probabilidad de que un nodo jen la diagrama suceda en un tiempo programadoespecificado con anterioridad, Sj. Sea ej el tiempo mástemprano de ocurrencia del nodo j. como las duraciones delas actividades que van del nodo de inicio al nodo j sonvariables aleatorias, ej también debe ser una variablealeatoria.

6

4 bmaD

2

6

abv

D

REDES PERT

Suponiendo que todas las actividades en la diagrama

sean estadísticamente independientes, se puededeterminar la media E{ej}, y la varianza, var{ej} comosigue, si solo hay una ruta desde el nodo de inicio hasta elnodo j, la media es la suma de las duraciones esperadas ,para todas las actividades a lo largo de esa ruta, y lavarianza es la suma de las varianza u de las mismasactividades. Por otra parte, si hay más de una ruta quellegue al nodo j, será necesario calcular primero ladistribución estadística de la duración de la ruta máslarga, antes de calcular la media y la varianza correctas.

D

REDES PERT

Este problema es bastante difícil, por que equivale adeterminar la distribución del máximo de variasvariables aleatorias. Por consiguiente, una hipótesissimplificadora es calcular la media y la varianza, E{ej}y var{ej}, como el de la ruta al nodo j que tenga lasuma mayor de duraciones esperadas de lasactividades. Si hay dos o más rutas que tienen lamisma media (o promedio), se selecciona la que tengala varianza mayor, por que refleja la máximaincertidumbre y en consecuencia conduce a unestimado más conservador de las probabilidades.

REDES PERT

Una vez calculados la media y la varianza E{ej} yvar{ej} de la ruta al nodo j, la probabilidad que serealice el nodo j a un tiempo Sj preestablecido, secalcula con la siguiente formula:

En donde

z = Variable aleatoria normal estándar

jj

jj

j

jj

jj KzPe

eES

e

eEePSeP

varvar

j

jj

je

eESK

var

REDES PERT

Ejemplo:

Se tiene el proyecto del ejemplo de CPM. Para evitarrepetir los cálculos de ruta crítica, se seleccionaronlos valores de a, m y b en la tabla siguiente, de talmodo que Dij = Dij para toda i y j en el ejemplomencionado.

REDES PERT

Ejemplo: (Continuación)

Actividad i-jOptimista

(a)

Más probable

(m)

Pesimista

(b)

A 1-2 1 1 3

B 1-4 1 2 4

C 2-3 1 1 3

D 3-5 1 2 4

E 4-10 4 6 8

F 5-6 8 10 12

G 6-9 1 3 5

H 9-10 1 1 3

I 6-7 1 1 3

J 10-11 3 5 8

K 7-8 1 2 4

L 11-16 1 1 3

M 6-16 1 2 4

N 16-17 2 4 6

O 11-12 1 2 4

P 12-13 1 2 5

Q 13-14 1 1 3

R 13-15 5 7 9

S 17-18 5 7 10

T 18-19 1 3 5

REDES PERT


2

1

A -

1

4

B - 2

3

C -

1

5D - 2

6

F -

10

9

10E - 6

H -

1

11

G - 3

16M - 2

L -

1

12

O -

2

J - 5

7

I - 1

17

N - 4 S- 7 18

P - 2 13

14

Q -

1

15

R - 7

8K - 2

19

T - 3

REDES PERT


15

14

R - 7 13

P - 2

K - 2 8

19

18

S- 7 17

7

O -

2

12

L -

1

M - 2 16

11

H -

1

10

9 5 3

B - 2

A - 1

C -

1

F -

10

E - 6

I - 1

J - 5

N - 4

D - 2 1

2

4

6

0

Inicio del paso

hacia adelante

Fin del paso

hacia atrás

0 3838

Inicio del paso

hacia atrás

Fin del paso

hacia adelante

11

2

22

212

44

1414

1528

1738

1717

1818

2323

2925 27

31

2838

3438

2424

2828

3535

i j Ruta critica

Paso hacia atrás:

Paso hacia adelante

Leyenda

Q -

1

G - 3

T - 3

REDES PERT


La media Dij y la varianza

Vij de las distanciasactividades se ve en latabla de abajo. Observeque para una actividadficticia (a, b, m) = (0, 0,0), y en consecuencia sumedia y su varianzatambién son iguales a cero.

Actividad i-j Dij Vij

A 1-2 1.33 0.11

B 1-4 2.17 0.25

C 2-3 1.33 0.11

D 3-5 2.17 0.25

E 4-10 6.00 0.44

F 5-6 10.00 0.44

G 6-9 3.00 0.44

H 9-10 1.33 0.11

I 6-7 1.33 0.11

J 10-11 5.17 0.69

K 7-8 2.17 0.25

L 11-16 1.33 0.11

M 6-16 2.17 0.25

N 16-17 4.00 0.44

O 11-12 2.17 0.25

P 12-13 2.33 0.44

Q 13-14 1.33 0.11

R 13-15 7.00 0.44

S 17-18 7.17 0.69

T 18-19 3.00 0.44

ijDijV

REDES PERT


La tabla siguiente muestra la trayectoria más largadel nodo 1 a los distintos nodos, junto con su media ysu varianza asociados.

REDES PERT


NodoRuta más larga basada

en duraciones medias

Media de

la ruta

Desviación estándar

de la ruta

2 1-2 1.33 0.665

3 1-2-3 2.66 1.330

4 1-4 2.17 1.085

5 1-2-3-5 4.83 2.415

6 1-2-3-5-6 14.83 7.415

7 1-2-3-5-6-7 16.16 8.080

8 1-2-3-5-6-7-8 18.33 9.165

9 1-2-3-5-6-9 17.83 8.915

10 1-2-3-5-6-9-10 19.16 9.580

11 1-2-3-5-6-9-10-11 24.33 12.165

12 1-2-3-5-6-9-10-11-12 26.5 13.250

13 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13 28.83 14.415

141-2-3-5-6-9-10-11-12-13-14

30.16 15.080

151-2-3-5-6-9-10-11-12-13-15

35.83 17.915

16 1-2-3-5-6-9-10-11-16 25.66 12.830

17 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17 29.66 14.830

18 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-1836.83 18.415

19 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-18-1939.83 19.915

REDES PERT


Por ultimo, en la tabla siguiente se calcula laprobabilidad de que cada nodo se realice en untiempo Sj preestablecido, especificado por elanalista.

REDES PERT


NodoRuta más larga basada

en duraciones medias

Media de

la ruta

Desviación estándar

de la rutaSj Kj

2 1-2 1.33 0.6651 -0.50 0.31

2 1.01 0.84

3 1-2-3 2.66 1.3302 -0.50 0.31

3 0.26 0.6

4 1-4 2.17 1.0852 -0.16 0.44

3 0.76 0.78

5 1-2-3-5 4.83 2.4154 -0.34 0.37

5 0.07 0.53

6 1-2-3-5-6 14.83 7.41512 -0.38 0.35

16 0.16 0.56

7 1-2-3-5-6-7 16.16 8.08014 -0.27 0.39

18 0.23 0.59

8 1-2-3-5-6-7-8 18.33 9.16518 -0.04 0.48

20 0.18 0.57

9 1-2-3-5-6-9 17.83 8.91515 -0.32 0.37

20 0.24 0.59

10 1-2-3-5-6-9-10 19.16 9.58018 -0.12 0.45

21 0.19 0.57

11 1-2-3-5-6-9-10-11 24.33 12.16523 -0.11 0.46

25 0.06 0.52

12 1-2-3-5-6-9-10-11-12 26.5 13.25026 -0.04 0.48

27 0.04 0.52

13 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13 28.83 14.41527 -0.13 0.45

30 0.08 0.53

14 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13-14 30.16 15.08030 -0.01 0.5

31 0.06 0.52

15 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13-15 35.83 17.91533 -0.16 0.44

37 0.07 0.53

16 1-2-3-5-6-9-10-11-16 25.66 12.83025 -0.05 0.48

27 0.10 0.54

17 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17 29.66 14.83028 -0.11 0.45

30 0.02 0.51

18 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-18 36.83 18.41534 -0.15 0.44

37 0.01 0.504

19 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-18-19 39.83 19.91538 -0.09 0.46

40 0.01 0.504

jKzP

REDES PERT


Como vemos en la tabla anterior en la ruta crítica 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-18-19, su media es de 39.83días para finalizar y la probabilidad de acabar en 40días es de 50.4% y en 38 días es de 46 %

4 Programacion de Actividades

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