4 TEMAS DE OPTICA

Francisco Javier Gil Chica

febrero, 2009

ii

Indice general

Sobre estos temas V

1. Transferencia de Radiacion 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Absorcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Emision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Ecuacion de la transferencia de radiacion . . . . . . . . . . . . 71.6. Solucion aproximada para atmosfera

plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Optica Matricial 11

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Formulacion matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. Traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Refraccion en superficie plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Refraccion en superficie esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5. Matriz del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6. Interpretacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Polarizacion 23

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Formalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3. Grado de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4. Matrices de Mueller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Difraccion 35

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. La difraccion en 9 pasos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.1. Paso 1. Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

iii

iv INDICE GENERAL

4.2.2. Paso 2. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.3. Paso 3. Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . 384.2.4. Paso 4. Definicion de gradiente . . . . . . . . . . . . . 394.2.5. Paso 5. Una aplicacion del resultado anterior . . . . . . 394.2.6. Paso 6. Identidad de Green . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.7. Paso 7. Ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.8. Paso 8. Teorema integral de Kirchoff . . . . . . . . . . 404.2.9. Paso 9. Integral de Kirchoff-Fresnel . . . . . . . . . . . 43

4.3. Calculo de la integral de Kirchoff-Fresnel . . . . . . . . . . . . 444.3.1. La pantalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.2. La abertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.3. Metodo de Montecarlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Sobre estos temas

Estos temas de Optica tienen su origen en la asignatura Perifericos quevengo impartiendo desde hace quince anos en las licenciaturas y diploma-turas de informatica en la Escuela Politecnica Superior en la Universidad deAlicante.

A lo largo de estos anos, la asignatura ha cambiado profundamente, locual no es extrano dada la velocidad a la que se mueve la tecnologa, y dadoque la creciente complejidad de los sistemas informaticos, con su acumulacionde capas y el aislamiento entre la maquina y el usuario, ha ido reduciendo loscontenidos relacionados con la programacion del sistema e incrementandolos contenidos relacionados con los fundamentos fsicos de los dispositivosperifericos, as como el analisis matematico, en especial de los dispositivos dealmacenamiento.

As, en un momento dado fue evidente la necesidad de dar unas nocionesde Optica. Porque si bien los sistemas informaticos estan lejos de funda-mentarse en la computacion optica, hay subsistemas basados en fenomenosopticos: conexiones de fibra optica, almacenamiento optico y magneto-optico,pantallas planas, lentes simples o sistemas de lentes, almacenamiento holo-grafico, etc.

El problema que se plantea aqu entonces no consiste en ofrecer una asig-natura de optica aplicada a la informatica, ni ofrecer una panoramica queaunque incompleta sea logicamente consistente, ni recorrer el camino que vadesde los mismos fundamentos fsicos al dispositivo concreto que se estudie.Mas bien, hemos buscado unos pocos temas estrategicos y la formulacion mascompacta posible.

En principio, eran tres los temas elegidos: optica geometrica (sistemasparaxiales, fibra optica), difraccion (lectura/escritura en dispositivos opti-cos, visualizacion) y polarizacion (pantallas planas, lectura en dispositivosmagneto-opticos). En cuanto a la optica geometrica, la formulacion matriciales a la vez sencilla, compacta y general. En cuanto a la difraccion, hemoselegido una formulacion matematica compacta que evita la distincion entredifraccion de Fresnel y Fraunhoffer y propone, una vez formulada la integral

v

vi 0. Sobre estos temas

general, un metodo de Montecarlo para obtener numericamente las figurasde difraccion. Por lo que respecta a la polarizacion, hemos adoptado la des-cripcion a traves de los parametros de Stokes.

Circunstancialmente, hemos anadido un tema sobre transferencia de ra-diacion. Este tema es ajeno a la asignatura de Perifericos y tiene su origenen una pequena charla sobre fenomenos opticos atmosfericos impartida esteano a alumnos de Meteorologa.

Siendo as, los cuatro tiene un rasgo en comun: que en ningun caso seacude a la naturaleza electromagnetica de la luz, aunque s a su naturaleza on-dulatoria. Pero como esta naturaleza ondulatoria puede advertirse medianteexperimentos sencillos, resultan una serie de temas que podran denominarse((optica emprica)), ((optica macroscopica)), o, dado que estas denominacionesno terminan de satisfacernos, ((optica no electromagnetica)).

Captulo 1

Transferencia de Radiacion

1.1. Introduccion

Se presentan en este tema los fundamentos de la transferencia de ra-diacion. Se adopta aqu un punto de vista fenomenologico donde la radiaciones considerada como energa que se propaga en un medio material, sin consi-derar ni cual es la naturaleza de esta energa ni de que forma, por que mecanis-mos, es absorbida, desviada o producida por la materia. El material que sigueesta tomado de Radiative Transfer, de S. Chandrasekhar y es una exposicionresumida de los principios generales.

1.2. Definiciones

Dada una superficie d, la cantidad de energa en forma de radiacion quela atraviesa por unidad de tiempo, intervalo de frecuencia y angulo solido dsubtendido por la superficie d en una direccion que forma un angulo conla normal (Figura 1), se expresa como:

dEdtddd

= I cos (1.1)

En general, I depende de cada punto y de la direccion relativa a la normalexpresada por los cosenos directores (l,m, n), de forma que funcionalmentees I(x, y, z, l,m, n, t). Cuando es I(x, y, z, t) se habla de medios isotropos.Cuando es I(l,m, n, t) se habla de medios homogeneos. Algunos casos aunmas restrictivos son de interes. En un medio estratificado como puede ser unaatmosfera plana es I(z, , , t). Si ademas existe simetra axial sera I(z, , t).En un medio estratificado esferico es I(r, , , t).

1

2 1. Transferencia de Radiacion

d

d

Figura 1

El campo de radiacion viene entonces determinado por la funcion I , ala que habra que anadir el estado de polarizacion de la luz. Integrando paratodas las direcciones posibles, obtendramos la cantidad de energa total defrecuencia que atravesara la superficie d por unidad de tiempo.

La densidad de radiacion u en un punto es la cantidad de energa radiantede frecuencia por unidad de volumen que atraviesa un entorno pequenoalrededor del punto. Sea P este punto, contenido en un pequeno volumenV limitado por una superficie . Dado un entorno de P contenido en V ylimitado por una superficie , es claro que todo rayo que incide en provienede algun punto de la superficie (Figura 2). Sean los elementos de superficied y d. La energa por unidad de tiempo y frecuencia que atraviesa d enel elemento de angulo solido d subtendido por d segun se ve desde d es

dEdtddd

= I cos (1.2)

o bien

dEdt

= I cosddd (1.3)

Ahora bien,

d =d cos

r2(1.4)

luego

dEdt

= Icos cosddd

r2(1.5)

Cuando el pincel de radicacion en el angulo solido d atraviesa V , recorreuna distancia l en un tiempo l/c, de forma que

1.2. Definiciones 3

d

d

Figura 2

dE = Icos cosddd

r2l

c(1.6)

Pero

d =dcos

r2(1.7)

es el angulo solido subtendido por d segun se ve desde d, luego

dE = I cos dddl

c(1.8)

Teniendo ahora en cuenta que

dv = l cos d (1.9)

es el volumen diferencial interceptado por el pincel de radiacion que pro-cede de d y atraviesa d, tenemos que

dEdv

=1

cIdd (1.10)

Si integramos para todo el volumen y todas las frecuencias y conside-ramos los rayos provenientes de todas las direcciones, tenemos la energatotal contenida en el entorno de P , y de ah la densidad buscada:

u =E

V =

1

c

Idd =

ud (1.11)

4 1. Transferencia de Radiacion

donde hemos introducido

u =1

c

Id (1.12)

Definiendo la intensidad media como

J =1

4

Id (1.13)

es claro que

u =4

cJ (1.14)

1.3. Absorcion

Cuando un pincel de radicacion se propaga en un medio, sufre una atenua-cion cuyo valor relativo es proporcional a la densidad de ese medio y a ladistancia recorrida:

dII

= kds (1.15)

A k se le llama ((coeficiente de absorcion)), ds es esa distancia recorrida y la densidad del medio. Esta atenuacion puede deberse a varias causas. Enprimer lugar, puede que parte de la energa simplemente cambie de direccion.No disminuye entonces el total de energa radiante en el medio sino que semodifica su distribucion. En ese caso se habla de dispersion 1 .

O puede suceder que la energa sea efectivamente absorbida por la mate-ria y transformada en otras formas de energa, lo que incluye su re-emisioncon una frecuencia distinta y en general en una direccion distinta. Se hablaentonces de verdadera absorcion.

Consideremos el proceso de dispersion (Figura 3). La energa dispersadaen todas direcciones cuando el pincel atraviesa una distancia ds en el medioes

kdsI cos ddd (1.16)

Como el diferencial de masa atravesado cuando la radiacion recorre unds es

dm = d cos ds (1.17)

1Traducimos el termino scattering, usado de forma tan general como innecesaria

1.3. Absorcion 5

ds

d

Figura 3

dds

d

Figura 4

se puede escribir

kIdmdd (1.18)

Ahora bien, la descripcion completa exige conocer que fraccion de esaradiacion dispersada lo hace en cada direccion dada por cada elemento deangulo solido d (Figura 4). Esta fraccion puede escribirse como

p(cos)d

4(1.19)

A la funcion p(cos) se le llama funcion de fase. La energa dispersadaen todas direcciones es

kIdmdd

p(cos)

4d (1.20)

que comparada con

kIdmdd (1.21)

muestra que ha de ser

1 =

p(cos)

4d (1.22)

Ahora bien, cuando hay verdadera absorcion

6 1. Transferencia de Radiacion

p(cos)

4d = 0

1.5. Ecuacion de la transferencia de radiacion 7

Comparando esta expresion con que nos da el ritmo de emision de ra-diacion segun la direccion de d proveniente de la dispersion desde la direc-cion d, es claro que

j(d) =k4

0

2

0I(

, )p(, , , ) sen dd (1.29)

Un medio es puramente dispersivo cuando j = j(d) . Notese que un medio

puramente dispersivo no equivale a un medio donde la dispersion sea com-pleta (0 = 1). En otras palabras, que toda la radiacion emitida por dmprovenga de la dispersion desde todas las direcciones no implica que toda laradiacion que alcanza a dm sea dispersada: parte puede ser absorbida.

En un medio en equilibrio termodinamico, donde en cada punto se puededefinir una temperatura T , se cumple la Ley de Kirchoff:

j = kB(T ) (1.30)

donde B(T ) es la funcion de Planck:

B(T ) =2h3

c21

eh/kT 1 (1.31)

Se define la ((funcion fuente)), F como

F =jk

(1.32)

En el caso de un medio puramente dispersivo:

F =1

4

0

2

0p(, , , )I(

, ) sen dd (1.33)

En un medio en equilibrio termodinamico

F = B(T ) (1.34)

1.5. Ecuacion de la transferencia de radiacion

Consideremos (Figura 5) un cilindro de seccion normal d y longitud dsy la radiacion que atraviesa normalmente sus dos caras. De la definicion deintensidad, la cantidad de energa radiante que atraviesa una de las caras quetomamos como origen es

dE(0) = Idtddd (1.35)

mientras que en la cara opuesta

8 1. Transferencia de Radiacion

dsd dd

Figura 5

dE(ds) = (I +dIds

ds)dtddd (1.36)

de manera que

dE(ds) dE(0) =dIdsdsdtddd (1.37)

Esta diferencia provendra de la existente entre emision y absorcion. Lacantidad de radiacion absorbida es

kIdmddtd = kIddsddtd (1.38)

La cantidad emitida es

jdmddtd = jddsddtd (1.39)

De manera que

1

k

dIds

= F I (1.40)

En el segundo miembro, el primer termino es la funcion fuente, que incluyela dispersion desde todas las direcciones en la direccion de d, y que dependede I . El segundo da cuenta de la absorcion. Tenemos por tanto una ecuacionintegro-diferencial.

En coordenadas cartesianas esta ecuacion se escribe

1k

(

l

x+ l

y+ l

z

)

I(x, y, z, l,m, n) = I(x, y, z, l,m, n)

F(x, y, z, l,m, n) (1.41)

Es de especial interes el de un medio estratificado plano, como ocurre enlas atmosferas planetarias y estelares. En ese caso la intensidad es funcion dez y , suponiendo como es logico simetra axial en torno al eje z. La ecuacionfundamental se reduce entonces a

1.6. Solucion aproximada para atmosfera plana 9

1k

cos d

dzI(z, ) = I(z, ) 1

4

2

0

p(cos)I(z, ) sen dd

(1.42)En el caso mas sencillo, p(cos) = 1. Con los cambios de variable =

cos y

=

zkdz (1.43)

transformamos la ecuacion en la forma en que se acostumbra a trabajarcon ella:

dI(, )

dz= I(, ) 1

2

1

1I(, )d (1.44)

1.6. Solucion aproximada para atmosfera

plana

Existe un metodo aproximado de resolucion propuesto por Schuster (1905)y Schwarszchild (1906) que se inspira en la teora cinetica de los gases y quepuede ser generalizado facilmente. En efecto, es comun en el contexto de lateora cinetica considerar un numero de moleculas encerradas en un cubo ychocando elasticamente contra sus paredes. Se recurre al artificio de consid-erar que un tercio de ese numero se mueve segun la direccion de cada uno delos ejes, en los dos sentidos. Inspirado en esta idea, el metodo supone que laintensidad esta limitada a un flujo dirigido hacia arriba ( = 1) y un flujodirigido hacia abajo ( = 1). De esta forma, I(, ) = I+() + I() y lafuncion fuente es

F = 12

[ 0

1I()d

+ 1

0I+()d

]

=1

2[I+() + I()] (1.45)

Schuster y Schwarszchild sustituyeron la ecuacion original por el par deecuaciones

1

2

dI+d

= I+ 1

2[I+ + I]

12

dId

= I 1

2[I+ + I]

(1.46)

10 1. Transferencia de Radiacion

donde el factor 12de la izquierda da cuenta de la inclinacion media

de los rayos salientes y entrantes. Este es un sistema lineal homogeneo desolucion inmediata. La generalizacion de la idea anterior supone que en lugarde solo una direccion existen n direcciones y que la radiacion fluye solo enesas direcciones, en un sentido o en otro. Si i son los cosenos directores deesas direcciones, con i = 1,2, ...,n e Ii las intensidades correspondientes,la ecuacion fundamental se sustituye por el sistema lineal:

idIid

= Ii

j

ajIj (1.47)

donde las aj son los pesos de la integracion gaussiana de F , de tal formaque

1

1I(, )d

j

ajIj(, j) (1.48)

Los valores de los aj se encuentran tabulados en los textos de anali-sis numerico. Una revision de la construccion de formulas gaussianas decuadratura se encuentra en la obra citada Radiative Transfer, as como tablasde coeficientes aj.

Captulo 2

Optica Matricial

2.1. Introduccion

Este captulo esta dedicado a la teora elemental de los sistemas opticos.Un sistema optico, en el contexto de la presente explicacion, es un conjuntode superficies que separan medios de propiedades opticas diferentes. Aqu,haremos una interpretacion muy restrictiva, pues la unica propiedad opticaque va a determinar cada medio es el ndice de refraccion n, que se definecomo la razon entre la velocidad de la luz en el vaco y la velocidad de la luzen el medio. As pues, es siempre n >= 1.

Respecto a la luz, experimentos sencillos nos convenceran de que se propa-ga en lnea recta en los medios homogeneos, es decir, en aquellos en los queel ndice de refraccion es una constante. El principio basico que permite for-malizar matematicamente nuestra experiencia emprica con la propagacionde la luz es este: la luz se propaga de tal modo que para ir de un punto a otrolo hace siempre en el tiempo mnimo posible. Es decir, que si un elemento decamino es ds, la luz invierte un tiempo ds/v en recorrerlo, y si v = c/n, en-tonces la trayectoria de la luz es tal que la integral entre el punto de partiday el de llegada:

1

c

nds (2.1)

es mnima. El calculo de variaciones permite calcular las trayectorias quesigue la luz, tanto en medios homogeneos como en medio no homogeneos.No entraremos en este formalismo. Indicaremos solo que permite demostrar(entre otras muchas cosas) que: a) en los medios homogeneos la luz se propagaen lnea recta y b) cuando la luz cambia de un medio de ndice de refraccionn1 a un medio de ndice n2, se cumple la relacion

11

12 2. Optica Matricial

1

2

n

n

1

2

Figura 1

n1 sen 1 = n2 sen 2 (2.2)

donde 1 es el angulo que forma el rayo con la normal a la superficie deseparacion en el punto de esta donde incide y 2 el angulo que forma el rayorefractado con la misma normal, de acuerdo con la Figura 1.

Todava, dado el caracter elemental de esta exposicion, hemos de intro-ducir mas restricciones: a) cuando un rayo toca una superficie que es la sepa-racion entre dos medios, el angulo que forma con la normal a la superficie enel punto de contacto es tan pequeno que siempre se puede tomar sen ;b) Nos limitamos a superficies de separacion o bien planas o bien esfericas.Los centros de todas las superficies esfericas se encuentran sobre una lnearecta. Las normales a las superficies planas coinciden con la misma recta.A estos sistemas se les llama ((sistemas opticos centrados)). A la lnea quecontiene a los centros de las superficies se le llama ((eje optico)). En lo quesigue, consideraremos que la luz se propaga de izquierda a derecha, formandoangulos pequenos con el eje optico.

2.2. Formulacion matricial

Puesto que las superficies en los sistemas que estamos considerando sep-aran medios homogeneos, en los cuales la luz se propaga en lnea recta, laaccion de un sistema optico sobre un rayo entrante consistira en alterar su di-reccion en cada superficie, de forma que la trayectoria total del rayo sera unalnea quebrada.

El conocimiento completo de la trayectoria incluye entonces, para cadacoordenada x del eje opitco, la altura y del rayo y el angulo que forma conel eje (Figura 2).

2.2. Formulacion matricial 13

y

y

xFigura 2

21

d

yy

12

1 2

Figura 3

El rayo entonces experimenta dos tipos de transformaciones: desplazarsede una superficie a la siguiente y cambiar de direccion en cada superficie.Consideremos a continuacion las distintas formas en que el rayo se ve afec-tado.

2.2.1. Traslacion

Consideremos la traslacion de un rayo en un medio homogeneo entre dosplanos de referencia 1 y 2 separados entre s una distancia d. En 1 el rayoviene especificado por valores (y1, 1) y en 2 por valores (y2, 2) (Figura 3).Es claro que

2 = 1 (2.3)

mientras que

y2 y1d

= tan 1 1 (2.4)

o

y2 y1 = d1 (2.5)

14 2. Optica Matricial

y = y1 2

1

2

n1 n2

Figura 4

Combinando ambas condiciones podemos escribir, en formato matricial:

[

y22

]

=

[

1 d0 1

] [

y11

]

(2.6)

2.3. Refraccion en superficie plana

Consideremos ahora un rayo que toca una superficie plana que es la sep-aracion de dos medios de ndice n1 y n2 (Figura 4). Estamos interesados enlos valores de y2 y 2 tras sufrir la refraccion. Es evidente que y2 = y1. Encuanto a los angulos, n11 = n22, o

2 =n1n21 (2.7)

es decir:

[

y22

]

=

[

1 00 n1

n2

] [

y11

]

(2.8)

Si asignamos convencionalmente signo positivo a los angulos de los rayosque se alejan del eje en el sentido de las y > 0, vemos que, siendo n1/n2 > 0,2 y 1 tienen el mismo signo. Por contra, si indicamos con el signo negativoel angulo de los rayos que desde y > 0 se acercan al eje, vemos que si 1 < 0tambien 2 < 0. Por tanto, la expresion matricial anterior es general, validatanto para angulos positivos como para negativos.

2.4. Refraccion en superficie esferica

En relacion con la Figura 5, se representa una superficie esferica de centroO y radio R que separa dos medios de ndices n1 y n2. Sobre esta superfi-

2.4. Refraccion en superficie esferica 15

O

N

i i1 212

R

n n1 2

y

Figura 5

cie incide un rayo (y1, 1) en un punto cuya normal es ON con angulo deincidencia i1 y angulo de refraccion i2.

En la aproximacion de angulos pequenos:

n1i1 = n2i2 (2.9)

Ahora bien, se ve que i1 = + 1 y que i2 = + 2. Al mismo tiempo, elangulo puede aproximarse por su tangente, que es y/R (y = y1 = y2), conlo que

n1(y1R

+ 1) = n2(y2R

+ 2) (2.10)

de donde

2 = n2 n1n2

y1R

+n1n21 (2.11)

que junto con y2 = y1 permiten escribir:

[

y22

]

=

[

1 0n2n1

n2Rn1n2

] [

y11

]

(2.12)

Podemos, y debemos, preguntarnos por la generalidad de la expresionanterior. Al fin y al cabo, hemos elegido una geometra en la que 1 > 0 y2 > 0 (y si no es as) y hemos supuesto que n2 > n1 (y si no es as?).Ademas, suponemos que la superficie es convexa (y si fuese concava?). Espreciso entonces asegurarse de que la expresion encontrada tiene la generali-dad necesaria, y para eso es preciso analizar exhaustivamente todos los casosposibles. No es difcil hacer tal analisis pero, en lugar de omitirlo, como hacela mayora de los textos, o de presentarlo completo, como no hace ninguno

16 2. Optica Matricial

N

O

y

n1

n2

R

i1

i2

1

2

Figura 6

de ellos, lo haremos parcialmente (el analisis completo queda a la voluntaddel lector).

En primer lugar, consideremos el caso en que los rayos incidente y refrac-tado tienen angulos negativos, tal y como se muestra en la Figura 6.

Razonando sobre los valores absolutos de los angulos,

n1i1 = n2i2 (2.13)

con i1 = |1| e i2 = |2|, de donde

|2| =n1n2

|1| n1 n2n2R

y1 (2.14)

y como 1 = |1| y 2 = |2|, vemos que la expresion que habamosencontrado es mas general del caso que consideramos en primer lugar, puestambien es valida cuando los dos angulos son negativos.

Consideremos a continuacion que ocurre cuando la superficie de sepa-racion es concava, de acuerdo con la Figura 7.

De n1i1 = n2i2, ahora con i1 = 1 e i2 = 2 se sigue

2 =n2 n1n2R

y1 +n1n21 (2.15)

Vemos que esta ecuacion difiere de (2.11) en el signo del primer terminodel segundo miembro. Podramos pues tener dos expresiones distintas, segunque la luz incida sobre una superficie concava o sobre una superficie convexa.En lugar de ello se introduce la siguiente regla: El radio de una superficie setoma como positivo si la superficie es convexa, y como negativo si la superficie

es concava. La ecuacion (2.11) junto con esta regla es consistente con larecien obtenida (2.15). Podramos continuar examinando casos particulares,

2.5. Matriz del sistema 17

i1

O2

N

1R

n

i2

1n

2y

Figura 7

pero, como dijimos anteriormente, queda del cuidado del lector interesado ynosotros damos por generalmente valida la citada expresion (2.11).

2.5. Matriz del sistema

Recapitulemos brevemente las matrices encontradas hasta ahora.Para la traslacion de un rayo una distancia d:

T =

[

1 d0 1

]

(2.16)

Para su refraccion en una superficie plana:

R =

[

1 00 n1

n2

]

(2.17)

Y para la refraccion en una superficie esferica:

S =

[

1 0n2n1

n2Rn1n2

]

(2.18)

Consideremos ahora un sistema optico que contenga los dos tipos de su-perficies y una traslacion. Este sistema puede ser una lente convexo-plana.La luz incide en la superficie convexa, donde se refracta. Despues, el rayorecorre una distancia en lnea recta igual al grosor de la lente. Finalmente,se refracta en la superficie plana posterior de la lente, Figura 8.

18 2. Optica Matricial

d1 2 34

Figura 8

Denotemos por u el rayo

u =

[

y

]

(2.19)

y usemos los subndice 1 y 2 para indicar los valores inmediatamente antesy despues de la refraccion en la superficie esferica. Con los subndices 3 y 4indicamos los valores inmediatamente anterior y posterior a la refraccion enla superficie plana posterior. Es claro que

u4 = Ru3 (2.20)

pero

u3 = Tu2 (2.21)

y a su vez

u2 = Su1 (2.22)

Es decir:

u4 = (RTS)u1 = Mu1 (2.23)

La accion total de la lente viene dada por la matriz M, que obtenemosmultiplicando de atras adelante las distintas transformaciones que sufre elrayo. Es tambien evidente que si las matrices elementales son matrices 2 2la matriz resultante sera tambien una matriz 2 2.

De la misma forma se ve que si en lugar de las tres transformaciones queintroduce la lente convexo-plana tuviesemos un numero arbitrario de trans-formaciones n cada una de las cuales viniese representada por su matriz Mn,

2.6. Interpretacion 19

y denotando mediante el subndice i el valor del rayo tras su transformacioni, entonces sera:

un = Mnun1

un1 = Mn1un2

un2 = Mn2un3

= u1 = M1u0 (2.24)

de donde

un = (MnMn1Mn2 M2M1)u0 (2.25)El sistema completo entonces se puede representar mediante una unica

matriz 2 2:

M = MnMn1Mn2 M2M1 (2.26)En el caso concreto de la lente con que abramos esta seccion, si su ndice

de refraccion es n y se encuentra rodeada de aire, cuyo ndice podemos tomarcomo n = 1, su grosor es d y el radio de la superficie convexa es R, tenemosque

M =

[

1 00 n

] [

1 d0 1

] [

1 01nnR

1n

]

=

[

1 + d(1n)nR

dn

1nR

1

]

(2.27)

2.6. Interpretacion

Supongamos que, conocidas las superficies que forman un sistema opticoy todos los datos pertinentes, como la separacion entre ellas, los ndices derefraccion y los radios de curvatura, hemos calculado la matriz total delsistema por simple multiplicacion de las matrices individuales, obteniendo:

M =

[

A BC D

]

(2.28)

Cual es el significado de cada uno de los elementos? Para responder a estapregunta, hagamos cero cada uno de ellos sucesivamente. Representaremosal sistema, que puede contener un numero arbitrario de elementos, mediantedos lneas verticales gruesas. Con los subndices e y s indicamos los rayos deentrada y de salida al sistema.

20 2. Optica Matricial

A=0

Figura 9

B=0

Figura 10

Cuando A = 0, ys = Be. ys depende solo de e, no de ye. Por tanto, todoslos rayos que entran con el mismo angulo al sistema salen con el mismo ys,tal y como se refleja en la Figura 9.

La condicion A = 0 determina por tanto un foco.

Si B = 0, ys = Aye. Es decir, ys no depende del angulo de entrada ydepende solo de ye. La condicion B = 0 determina una correspondencia entrelos planos focales. Los puntos ye e ys son respectivamente objeto e imagen yA = ys/ye es el ((aumento)) del sistema. Figura 10.

Si C = 0, s = De, es decir, el angulo de salida depende solo del angulo deentrada: todo haz de rayos paralelos que entra al sistema emerge de el comohaz paralelo, Figura 11. A este tipo de sistemas se les llama ((telescopicos)) ya la razon D = s/e ((aumento angular)) del sistema.

Finalmente, si D = 0, s = Cye, es decir, el angulo de salida no dependedel angulo de entrada, como se muestra en la Figura 12

2.6. Interpretacion 21

C=0

Figura 11

D=0

Figura 12

22 2. Optica Matricial

2.7. Conclusion

Hemos dado una idea general de los sistemas opticos centrados paraxi-ales. No entraremos en su ampliacion a sistemas donde pueden encontrarsesuperficies reflectantes, ni entraremos en la discusion de los llamados ((puntoscardinales)) de los sistemas, que por otra parte pueden extraerse facilmentea partir de la matriz M del sistema. El lector interesado puede encontrar lateora complementaria, junto a una buena coleccion de ejercicios resueltos,en Matrix methods in optics, de A. Gerrard y J.M. Burch 1.

1Dover, New York. ISBN 0.486-68044-4

Captulo 3

Polarizacion

3.1. Introduccion

En el siglo XVII, un monje llamado Erasmus Bartholinus descubrio unapropiedad relativa a un mineral llamado ((espato de Islandia)). El espato deIslandia es una variedad de calcita facilmente exfoliable en laminas trans-parentes. Lo que descubrio Bartholinus fue que una lamina de calcita da-ba imagenes dobles cuando se miraba a traves de ella, es decir, que la luzse refractaba de dos formas distintas simultaneamente. La explicacion delfenomeno la dio Christian Huygens poco despues, al tiempo que descubrio elfenomeno de la polarizacion.

Consiste este en que si se miran ciertas fuentes de luz a traves de unalamina de espato de Islandia, al girar la lamina en un plano perpendiculara la lnea de vision la intensidad de la imagen vara, pasando por un par demaximos y mnimos. Esto ocurre con algunas fuentes de luz, mientras queno ocurre con otras, y es independiente el fenomeno tanto de la intensidadde la fuente como de su color. Por consiguiente, la luz, aparte de intensidady color tiene otra propiedad que se llamo ((polarizacion)).

Se pueden hacer algunos experimentos adicionales. Si a traves de un se-gundo cristal de espato se observa la luz emergente de un primero, se observaque la luz de este primero esta polarizada siempre. De ah se deduce queel cristal de espato polariza la luz, que en principio puede provenir de unafuente no polarizada. La polarizacion se hace evidente al observar el primercristal a traves del segundo.

A partir de ah, hay un experimento obvio, que consiste en observar la luzpolarizada por el primer cristal a traves del segundo. Al girar este segundocristal en su plano se observan los maximos y mnimos de intensidad y puedeconstruirse una grafica polar representando la intensidad emergente del se-

23

24 3. Polarizacion

gundo cristal en funcion del angulo girado respecto a un eje fijo arbitrario.La figura resultante es una elipse.

Lo siguiente que se descubrio fue que si se repite el experimento intro-duciendo algunas sustancias entre los dos espatos, a veces se obtiene unaelipse girada respecto a la elipse original. Por ejemplo, el agua azucaradatiene esta propiedad. Tambien se descubrio que algunas sustancias giran laelipse en un sentido y algunas otras en sentido contrario. A esta propiedadde algunas sustancias se le llama ((actividad optica)) y a las sustancias ((opti-camente activas)).

Puesto que sencillos experimentos de difraccion muestran que la luz tienenaturaleza ondulatoria, queda por discernir si se trata de una onda transver-sal o longitudinal. La polarizacion se explica aceptando que es una ondatransversal. Cual sea la naturaleza de esa onda (que cosa sea la que vibra)queda por averiguar.

Admitiendo pues que la luz es una onda transversal y que su plano devibracion forma un angulo con el eje horizontal x, mientras se propaga enla direccion z, sea

Ex = A cos cos(t+ )

Ey = A sen cos(t+ ) (3.1)

(Insistimos: ignoramos que cosa sean Ex y Ey). Si volvemos a nuestros ex-perimentos con el espato de Islandia y recordamos que presenta el fenomenode la birrefringencia, hemos de interpretar esto como que hay dos ndicesde refraccion segun dos direcciones distintas. Pero el ndice de refraccionesta relacionado con la velocidad de propagacion de la luz en el medio.Experimentos mas cuidadosos revelan que hay una direccion especial en elcristal llamada ((eje optico)). La vibracion paralela al eje optico se llama((extraordinaria)) y la vibracion perpendicular a dicho eje ((ordinaria)). Puesbien, el espato de Islandia introduce una diferencia de fase entre las vibra-ciones ordinaria y extraordinaria, , de manera que la luz emergente se puederepresentar como:

Ex = A cos cost

Ey = A sen cos(t+) (3.2)

eliminando el cost:

Ex2

A2 cos2 +

Ey2

A2 sen2 2ExEyA2 sen cos

cos = sen2 (3.3)

3.2. Formalizacion 25

Llamando a las amplitudes en los ejes x e y H = A cos y K = A sen :

Ex2

H2+Ey

2

K2 2ExEy

HKcos = sen2 (3.4)

con A2 = H2+K2. Algunos casos especiales deben ser senalados. Cuando = 0:

Ex2

H2+Ey

2

K2 2ExEy

HK= 0 (3.5)

o

(

ExH

EyK

)2

= 0 (3.6)

o

ExEy

=H

K(3.7)

Cuando = /2:

Ex2

H2+Ey

2

K2= 1 (3.8)

que es la ecuacion de una elipse. Como la energa de una onda transversaldepende del cuadrado de la amplitud, tenemos aqu la conexion entre la elipseque observamos al representar la intensidad de la luz respecto al angulo giradopor el cristal y el hecho de que esa luz es una onda transversal de amplitudesH y K en los ejes x e y. Finalmente, cuando = :

ExEy

= HK

(3.9)

3.2. Formalizacion

Para describir la elipse de polarizacion podramos dar uno de sus semiejes,la excentricidad y el angulo que forma uno de los semiejes de la elipse conuno de los ejes de nuestro sistema de referencia. Esta es una forma, perono la unica. Y tiene un inconveniente, y es que mientras que la elipse laconstruimos midiendo intensidades, que tienen dimensiones de energa porunidad de superficie y tiempo, parametros como excentricidad y angulo sonadimensionales. Sera preferible hacer una descripcion mediante cantidades dela misma clase. Y esta descripcion la dio Stokes introduciendo los parametros:

26 3. Polarizacion

I = H2 +K2 = A2

Q = H2 K2 = A2 cos2 A2 sen2 = I cos 2U = 2HK cos = 2A2 sen cos cos = I sen 2 cos

V = 2HK sen = 2A2 sen cos sen = I sen 2 sen (3.10)

Se comprueba que

I2 = Q2 + U2 + V 2

H2 =1

2(I +Q)

K2 =1

2(I Q)

V 2 = 4H2K2 sen2 (3.11)

o

sen2 =V 2

I2 Q2 (3.12)

Dado que la ecuacion general de la elipse de semiejes H y K en coorde-nadas cartesianas es

x2

H2+

y2

K2 2xy cos

HK= sen2 (3.13)

donde es el angulo que forma el semieje mayor de la elipse con el ejex, vemos que la introduccion del desfase entre las vibraciones ordinariay extraordinaria es la causa de la rotacion de la elipse. Simplifiquemos lanotacion escribiendo x en lugar de Ex e y en lugar de Ey, y tenemos que

2x2(I Q)V 2

4UxyV 2

+2y2(I +Q)

V 2= 1 (3.14)

o

Px2 2Gxy + Fy2 = 1 (3.15)con

P =2(I Q)

V 2

3.2. Formalizacion 27

G =2U

V 2

F =2(I +Q)

V 2(3.16)

Hemos visto que, en efecto, los parametros de Stokes definen la elipsede polarizacion de forma matematicamente conveniente. Hubiesemos podidoconvencernos cualitativamente observando que I,Q determinan los semiejesH,K y que U, V determinan sin ambiguedad la orientacion , pues incluyensen y cos.

Un razonamiento adicional que enlaza la geometra de la elipse con losparametros de Stokes es el siguiente. Para un punto de la elipse, en coorde-nadas polares:

x = r cos

y = r sen (3.17)

y la ecuacion de la elipse se escribe

Pr2 cos2 2Gr2 sen cos+ Fr2 sen2 = 1 (3.18)o bien

1

2Pr2(1 + cos(2))Gr2 sen(2) + 1

2Fr2(1 cos(2)) = 1 (3.19)

llamando = 2 y W = 2/r2:

W = (P + F ) 2G sen + (P F ) cos (3.20)En los ejes mayor y menos, r() alcanza un maximo o un mnimo, luego

W () un mnimo o un maximo, dado por la condicion

dW

d= 0 = 2G cos (P F ) sen (3.21)

As que si es el valor que toma en los semiejes:

tan =sen

cos =

2G

F P (3.22)

y dado que tan = tan( + ), hay dos valores de , 1 y 2, quesatisfacen la condicion de extremo y que se diferencian en (como definimos

28 3. Polarizacion

= 2, es claro que los dos valores de difieren en /2, como era de esperar).Si llamamos W1 y W2 a los valores de 2/r

2 para 1 y 2:

r22r21

=W1W2

=(P + F ) 2G sen1 + (P F ) cos1(P + F ) 2G sen2 + (P F ) cos2

(3.23)

Ahora, sustituyendo hacia atras P, F y G en funcion de los parametrosde Stokes vemos que es

tan =U

Q(3.24)

y que la razon entre los cuadrados de los ejes es

I Q2 + U2

I +Q2 + U2

(3.25)

3.3. Grado de polarizacion

Por otro lado, se sigue de las definiciones de los parametros de Stokes queI2 = Q2 + U2 + V 2. Ahora bien, si volvemos al experimento original que hadado origen al descubrimiento de la elipse de polarizacion, es claro que lasrelaciones descubiertas hasta ahora son validas para luz polarizada, mientrasque existen fuentes de luz no polarizada para las cuales Q = U = V = 0, yaque si la luz no esta polarizada la unica cantidad empricamente constatablees la intensidad, y el giro de la lamina de espato de Islandia no revelaravariacion alguna con la direccion.

Ahora bien, ocurre con frecuencia que una fuente de luz no esta ni total-mente polarizada ni carece en absoluto de polarizacion, sino que se encuentrapolarizada parcialmente. Si introducimos el llamado ((grado de polarizacion))P , como

P 2 =Q2 + U2 + V 2

I2(3.26)

es claro que P = 0 para luz sin polarizar y P = 1 para luz totalmentepolarizada. Y as podramos separar la luz en dos vectores de Stokes, unopara la parte polarizada y otro para la parte sin polarizar:

IQUV

=

PIQUV

+

(1 P )I000

(3.27)

es mas, si P 6= 0 podemos escribir que

3.4. Matrices de Mueller 29

IQUV

=1 + P

2P

PIQUV

+1 P2P

PIQUV

(3.28)

y as considerar que un haz parcialmente polarizado esta compuesto pordos haces totalmente polarizados y de polarizacion opuesta. Como PI =Q2 + U2 + V 2, si normalizamos PI a la unidad, las ((coordenadas)) (Q,U, V )

indican un punto sobre una esfera de radio unidad llamada ((esfera de Poincare))y entonces (Q,U, V ) y (Q,U,V ) son puntos diametralmente opuestossobre la esfera de Poincare.

3.4. Matrices de Mueller

Denominaremos por S al vector formado por los cuatro parametros deStokes:

S =

IQUV

(3.29)

Al pasar un haz de luz polarizada a traves de un dispositivo opticamenteactivo, cambiara su estado de polarizacion. Llamemos S1 al estado del hazantes de entrar en el dispositivo, y S2 al estado despues de salir del mismo.Lo que mostraremos ahora es que S1 y S2 estan relacionados linealmente deforma que existe una matriz M que hace

S2 = MS1 (3.30)

Los elementos Mij son propios de cada dispositivo y de su orientacion.A la matriz M se le llama ((matriz de Mueller)). Es posible deducir su for-ma conocidos distintos tipos de haces de entrada y salida. Consideremos unpolarizador ideal, que no introduce retardo de fase: = 0.

Z =

X B T DE F G HJ K L MN P R S

(3.31)

Tendremos en cuenta las cuatro situaciones siguientes:

30 3. Polarizacion

1. Un polarizador lineal deja pasar la mitad de la intensidad de un hazde luz no polarizada de intensidad I. Llamemos I = 2W . La luz nopolarizada es

S1 =

2W000

(3.32)

y la luz emergente

S2 =

WWc2Ws20

(3.33)

donde s1 = sen , c1 = cos , s2 = sen 2 y c2 = cos 2. Relacionandoambos estados:

WWc2Ws20

=

X B T DE F G HJ K L MN P R S

2W000

(3.34)

de donde se siguen las ecuaciones:

1 = 2X

c2 = 2E

s2 = 2J

0 = 2N (3.35)

es decir

12

B T D12c2 F G H

12s2 K L M0 P R S

(3.36)

3.4. Matrices de Mueller 31

2. Un polarizador que deja inalterado el haz de entrada, previamente po-larizado, actua de la forma:

WWc2Ws20

=

12

B T D12c2 F G H

12s2 K L M0 P R S

WWc2Ws20

(3.37)

de donde se siguen las ecuaciones:

1 =1

2+ Bc2 + Ts2

c2 =1

2c2 + Fc2 +Gs2

s2 =1

2s2 +Kc2 + Ls2

0 = Pc2 +Rs2 (3.38)

La ultima de estas ecuaciones es valida para todo c2 y s2. Luego sic2 = 0, R = 0 y si s2 = 0, P = 0. Por tanto P = R = 0.

3. El dispositivo tranforma luz de amplitud A segun el eje x en luz deamplitud A cos en el eje que forma un angulo con el eje x. Para laluz original, H2 = A2; K = 0, luego I = Q = A2 y U = V = 0. El hazde salida tiene de componentes, en el eje x, Ac21 y en el eje y Ac1s1.Luego H2 = A2c41, K

2 = A2c21s21, y como = 0, I = A

2c21, Q = A2c21c2,

U = A2c21s2 y V = 0. En resumen:

c21c21c2c21s20

=

12

B T D12c2 F G H

12s2 K L M0 0 0 S

1100

(3.39)

que proporciona

c21 =1

2+ B

c21c2 =1

2c2 + F

c21s2 =1

2s2 +K (3.40)

32 3. Polarizacion

De la primera

B = c21 1

2=

1

2c2 (3.41)

De la segunda

F =1

2c22 (3.42)

y de la tercera

K =1

2s2c2 (3.43)

Recordando que

Bc2 + Ts2 =1

2(3.44)

tenemos

T =1

2s2 (3.45)

4. Consideremos luz circular de amplitud A. La amplitud en ambos ejeses A, de donde I = 2A2, Q = U = 0 y V = 2A2. Aqu es =

2,

lo que hace V 6= 0. En caso contrario, no tendramos luz polarizadacircular, sino luz no polarizada. Si el dispositivo convierte esta luz enluz polarizada lineal de amplitud A segun el eje que forma un angulo con el x, tenemos que H = Ac1, K = As1 y con = 0 a la salida,I = A2, Q = A2(c21 s21) = A2c2, U = A2s2 y V = 0. En resumen:

1c2s20

=

12

12c2

12s2 D

12c2

12c22 G H

12s2

12c2s2 L M

0 0 0 S

2002

(3.46)

de donde D = H =M = S = 0 y

G =1

2c2s2

L =1

2s22 (3.47)

3.4. Matrices de Mueller 33

En definitiva, hemos encontrado la Matriz de Mueller para el polarizadorideal:

Z =1

2

1 c2 s2 0c2 c

22 c2s2 0

s2 c2s2 s22 0

0 0 0 0

(3.48)

Con una secuencia de razonamientos similar podemos encontrar la matrizde Mueller para otros dispositivos. Por ejemplo, para dispositivos que intro-ducen un desfase 6= 0. En definitiva, cuando un haz de luz Si atraviesa unaserie de dispositivos representados por matrices M1, M2, ... la luz resultantees

Sf = Mn M3M2M1Si (3.49)

34 3. Polarizacion

Captulo 4

Difraccion

4.1. Introduccion

Imaginemos dos laminas opacas, paralelas. Practicamos un pequeno ori-ficio en una de ellas y disponemos una fuente de luz de modo que ilumine lalamina agujereada. La luz traspasa el orificio y se proyecta sobre la segun-da lamina. Podemos advertir que la forma iluminada en la segunda laminase corresponde con la forma del orificio en la primera. As, un orificio rec-tangular produce un rectangulo iluminado. Un orificio circular, un orificiocircular, y as sucesivamente. Si observamos mas cuidadosamente, podemosadvertir que la lnea que separa la figura luminosa de la zona sombreadano es perfectamente ntida. Esto puede deberse a que nuestra fuente de luzno es puntual sino extensa, de manera que entre la zona de luz y la zonade oscuridad existe una zona intermedia de penumbra. Pero si refinamos elexperimento acercandonos mas y mas a una fuente puntual esta indefinicionpersiste. Mas aun, si reducimos progresivamente el tamano del orificio, elfenomeno se agudiza. Finalmente, podemos comprobar como, reduciendo elorificio practicamente a un punto, su imagen en la pantalla no es un puntoluminoso, sino una mancha difusa cuyo tamano es mayor que el del orificioque se ilumina. En un experimento mas cuidadoso, por ejemplo, sustituyendola lamina de proyeccion por una pelcula fotografica, vemos que esta man-cha difusa se compone en realidad de una serie de anillos claros y oscurosconcentricos. El experimento puede repetirse para otro tipo de aberturas,como por ejemplo rendijas. Y puede verse la figura que proyecta no solo unorificio en particular sino varios de ellos, como por ejemplo una serie de ori-ficios pequenos espaciados regularmente a lo largo de una lnea recta o unaserie de rendijas estrechas paralelas espaciadas regularmente.

De todos estos experimentos toma fuerza la hipotesis de que la luz es una

35

36 4. Difraccion

perturbacion ondulatoria, ya que las figuras que aparecen en la pantalla deproyeccion son similares a las que pueden obtenerse perturbando por ejemploondas superficiales en el agua.

Por consiguiente, es precisa una teora de la formacion de las imagenesque vaya mas alla de la teora geometrica de los rayos de luz que se propaganen lnea recta.

4.2. La difraccion en 9 pasos sencillos

4.2.1. Paso 1. Flujo

Dado un campo vectorial, que es una aplicacion que a cada punto delespacio le hace corresponder un vector, y dado un elemento de superficieen ese espacio (Figura 1), tan pequeno como sea preciso para que puedaatribuirse un unico valor del campo vectorial a todos los puntos de estasuperficie, se define el flujo elemental del vector F a traves de la superficied como el producto escalar

d = F d (4.1)donde el indica producto escalar. El vector d es tal que su modulo es el

valor de la superficie elemental y su direccion normal a esta. Si este elementode superficie es parte de una superficie mayor que encierra un volumen, elsentido del vector d es hacia el exterior del volumen.

4.2.2. Paso 2. Divergencia

Dada una superficie que encierra un pequeno volumen, si existe el lmitepara la razon entre el flujo a traves de esa superficie y el volumen encerradopor la superficie cuando el volumen se hace mas y mas pequeno, a ese lmitese le llama ((divergencia)) del campo vectorial. En el lmite, el volumen quedareducido a un punto y entonces se puede hablar de la divergencia del campoen ese punto.

dF

Figura 1

4.2. La difraccion en 9 pasos sencillos 37

Para buscar una expresion analtica para la divergencia, consideremos unpequeno cubo de lados dx, dy, dz cuyas caras sean paralelas a los planos quedefinen los ejes coordenados. En relacion con la Figura 2, consideremos quelas caras a y b son perpendiculares al eje x y que las coordenadas x tomanvalores crecientes al movernos de a hacia b; consideremos el flujo total atraves de ambas caras. El flujo a traves de la cara a es

da = F da = Fxdydz (4.2)ya que da = (dydz, 0, 0). El flujo a traves de la cara b es

db =

(

F +F

xdx

)

d =

(

Fx +Fxx

dx

)

dydz (4.3)

ya que db = (dydz, 0, 0) y

F

x=

(

Fxx

,Fyx

,Fzx

)

(4.4)

Por tanto, el flujo total a traves de las caras a y b es

d =Fxx

dxdydz (4.5)

De la misma forma, podemos calcular el flujo a traves de los dos paresde caras paralelas restantes, las que son perpendiculares a los ejes y y z, ytendramos para el flujo total a traves de las caras del cubo elemental:

d =

(

Fxx

+Fyy

+Fzz

)

dxdydz (4.6)

La divergencia, que es la razon entre este flujo y el volumen elementaldxdydz es pues

divF =Fxx

+Fyy

+Fzz

(4.7)

a b

Figura 2

38 4. Difraccion

Es comun en este punto introducir el operador , definiendolo como

=(

x,

y,

z

)

(4.8)

con lo cual la divergencia se puede poner como el producto escalar de por F :

divF = F (4.9)

4.2.3. Paso 3. Teorema de la divergencia

Sea un volumen finito V limitado por una superficie S. Dividamos elvolumen en pequenos cubos elementales. Fijemos la atencion sobre uno deesos pequenos cubos, uno de los que se encuentran en el interior de V . Al igualque hemos hecho en el paso anterior, podemos calcular el flujo a traves delas caras de ese pequeno cubo, y calcular la divergencia en el punto lmite alque se reduce el cubo a medida que su arista tiende a cero. Luego, podramossumar la divergencia para todos los pequenos cubos del volumen. Ahora bien,como los cubos son adyacentes, cada cara es compartida por dos de ellos. Elvalor del campo F en una cara es el mismo tanto si consideramos que esa carapertenece a un cubo como si consideramos que pertenece al cubo de al lado.Pero las normales son opuestas, segun que la cara se considere pertenecientea un cubo o a otro. En consecuencia, los flujos se compensan. Si sumamoslas divergencias de todos los cubos interiores a V , esa suma sera nula.

Solo quedan por considerar los cubos una de cuyas caras es de hecho unelemento de la superficie exterior S, tal como se muestra en la Figura 3.

El flujo a traves de todas las caras esta compensado, excepto el flujo atraves de la cara que es un elemento de la superficie S. Por tanto, el flujo totala traves de todas las caras de todos los cubos en que se divide el volumenqueda reducido al flujo a traves de la superficie S. En otras palabras:

=

V( F )dV =

SF dS (4.10)

dS

Figura 3

4.2. La difraccion en 9 pasos sencillos 39

4.2.4. Paso 4. Definicion de gradiente

Dada una funcion escalar que asigna un valor f(x, y, z) a cada punto delespacio (x, y, z), se define el gradiente de f en el punto (x, y, z) como el vectorde componentes:

f =(

f

x,f

y,f

z

)

(4.11)

La divergencia es un escalar. El gradiente es un vector. Consideremos elcaso particular en que el campo vectorial F se escribe como el producto deuna funcion escalar por un campo U y calculemos su divergencia:

F = (U)

=

x(Ux) +

y(Uy) +

z(Uz)

=

xUx +

Uxx

+

yUy +

Uyy

+

zUz +

Uzz

= () U + ( U) (4.12)

4.2.5. Paso 5. Una aplicacion del resultado anterior

Respecto al resultado obtenido en el paso anterior, veamos que ocurrecuando U = , es decir, cuando el campo vectorial U es el gradiente decierta funcion escalar , puesto que sabemos que el gradiente de en cadapunto es un vector.

() = () () + ( ()) (4.13)

Al operador se le llama ((laplaciano)), se representa como 2 y comoes facil ver

2 =(

2

x2,2

y2,2

z2

)

(4.14)

40 4. Difraccion

4.2.6. Paso 6. Identidad de Green

Consideremos los campos vectoriales y . Aplicando a ambos elteorema de la divergencia y restando uno del otro queda la que se conocecomo ((identidad de Green)):

V[2 2]dV =

S[() ()]dS (4.15)

4.2.7. Paso 7. Ecuacion de ondas

Hasta ahora, nos hemos limitado a introducir algunas definiciones y de-ducir algunos resultados. El contenido de estos resultados es matematico, nofsico. En este momento, introducimos por primera vez una hipotesis de na-turaleza fsica. A partir de los experimentos con que comenzamos el captulo,vimos la plausibilidad de que la luz constituya una perturbacion ondulatoria.Si la luz es una onda, satisfara la ecuacion de ondas. Ignoramos cual es lanaturaleza de esa perturbacion, pero como al observar la imagen en la pan-talla apreciamos distintos valores de intensidad en cada punto (es decir, unvalor escalar), supondremos que esa perturbacion es de naturaleza escalar 1.

Si imponemos sobre las funciones escalares y el que satisfagan laecuacion de ondas:

2 = 1c22

t2(4.16)

2 = 1c22

t2(4.17)

comprobamos como el primer termino de la identidad de Green se hacenulo. En efecto, si y tienen una dependencia temporal de la forma cost,por sustitucion y calculo directo se comprueba que esto es as. Por tanto, laintegral de superficie es nula:

S[() ()]dS = 0 (4.18)

4.2.8. Paso 8. Teorema integral de Kirchoff

Una fuente luminosa, como la llama de una vela, esparce su luz en todasdirecciones, salvo por los obstaculos que pudiese haber. Es natural entonces

1Por este motivo, a la teora que estamos exponiendo se la llama teora escalar. En

realidad, s sabemos que la luz es una onda electromagnetica, pero como este dato no es

necesario para el desarrollo de la presente teora, podemos fingir que lo desconocemos.

4.2. La difraccion en 9 pasos sencillos 41

pensar que la perturbacion luminosa tiene forma de onda esferica. Escriba-mos:

=0r

cos(kr t) (4.19)

y calculemos la integral de superficie sobre una superficie tal que contieneal origen P . Pero, puesto que en P no esta definida, tomaremos comovolumen aquel delimitado por una superficie exterior S1 y una superficieinterior S2 de radio que contiene al punto P , como se ve en la Figura 4.Ademas, observese que la normal a S1 esta dirigida en el sentido de los rcrecientes, mientras que la normal a S2 esta dirigida hacia el punto r = 0.

.P

S1

S2

Figura 4

Ahora bien, si recordamos los experimentos citados al principio de estecaptulo, hablabamos de la formacion de patrones luminosos sobre la pantallacuando la luz atraviesa orificios pequenos. Hemos de resaltar ahora que estospatrones son estaticos: ni cambia su figura ni esta muestra variacion algunacon el tiempo. Pero hemos usado ya en el paso 7 la ecuacion de ondas, quesupone una dependencia temporal. Por tanto, se requiere una explicacion.Y esta es que la frecuencia temporal de la perturbacion es tan grande quelo que percibimos por el ojo o mediante una placa fotografica es algun tipode promedio, y ese promedio podemos incluirlo en la constante 0. Recorde-mos que tratamos de explicar aquello que vemos, no aquello que en realidadsucede, pues, de hecho, aunque hemos postulado que la luz es algun tipo deperturbacion ondulatoria no necesitamos conocer de que naturaleza es estaperturbacion. Podramos sumar a este otros argumentos, tanto fsicos (cal-culamos la integral de superficie en un instante dado que podemos tomarcomo t = 0) como matematicos (podemos escribir la onda usando notacion

42 4. Difraccion

exponencial como producto de dos factores: uno dependiente y otro indepen-diente del tiempo) para despreocuparnos de la parte temporal y efectuar loscalculos siguientes solo sobre la parte espacial:

=0r

cos kr (4.20)

Consideremos la integral sobre S2. Un elemento de superficie se representamediante un vector de modulo dS2 y direccion y sentido determinados por lanormal n: dS2 = dS2n. En cuando al modulo, si d es el elemento de angulosolido subtendido por dS2 segun se ve desde P , tenemos que

dS2 = 2d (4.21)

En cuanto a la normal, en el punto (x, y, z) perteneciente a la superficiede la esfera es

n =

(

x,y

,z

)

(4.22)

En cuanto al gradiente que aparece en el integrando, siendo el gradientede una funcion escalar que depende del modulo r, es claro que, para cualquierfuncion f(r) que depende solo de r sera

f

x=f

r

r

x(4.23)

al tiempo que

r

x=x

r(4.24)

con analogas relaciones para y y z. Efectuando las operaciones y tomandoel lmite cuando 0, sobrevive solo (P ), y la integracion a toda la esferada un factor 4, de manera que, finalmente:

(P ) =1

4

S1

[

1

rcos kr

(

1

rcos kr

)]

dS1 (4.25)

Esta es la expresion del conocido como ((teorema integral de Kirchoff)),que viene a decirnos que el valor de en el punto P se puede obtener a travesde una integral sobre una superficie que encierre al punto P .

4.2. La difraccion en 9 pasos sencillos 43

P

S

F

rn

r

Figura 5

4.2.9. Paso 9. Integral de Kirchoff-Fresnel

Llegados a este punto, podemos conjugar los resultados matematicos conlos experimentales. En relacion a la Figura 5, si F es una fuente de luz y Pun punto de la pantalla donde deseamos calcular la perturbacion luminosa,sabemos, del paso anterior, que el valor de dicha perturbacion en P se puedeencontrar a traves de una superficie que encierre a ese punto. Elijamos esasuperficie de tal manera que el orificio S sea parte de ella, y de forma tambienque la perturbacion en cualquier otro punto de la superficie que encierra a Py que no pertenece al orificio, es nula. Puesto que esta superficie es arbitraria,siempre podemos hacerla tan alejada del punto P como sea preciso para quese cumplan estas condiciones.

Por lo tanto, la integral que aparece en el ((teorema integral de Kirchoff)) selimita a la superficie de la abertura S. Lo que haremos ahora no sera mas queescribir dicha integral en el caso particular cuya geometra hemos reflejadoen la Figura 5.

Como hemos visto, dada una funcion escalar f(r), su gradiente es

f = frr (4.26)

as que

cos kr

r =

[

k cos krr

sen kr

r cos kr

r

cos kr

r2

]

r (4.27)

y

44 4. Difraccion

(

cos kr

r

)

=

[

k sen krr

cos kr

r cos kr

rcos kr

r2

]

r (4.28)

Ahora bien, k = 2/, y como la longitud de onda es mucho menor quer y r, se tiene que rr

4.3. Calculo de la integral de Kirchoff-Fresnel 45

que en un experimento tpico la abertura tiene dimensiones del orden de lafraccion de milmetro, la figura de difraccion es del orden de milmetros y lasdistancias entre la fuente y la abertura y entre esta y la pantalla esta entremilmetros y centmetros (1 metro ya puede considerarse el infinito), parecesensato tomar el milmetro como unidad de medida. As pues, por lo querespecta a la pantalla, sera preciso especificar sus dimensiones y la distanciaa la abertura. En cuanto a su forma, lo mas simple es que sea cuadrada y quesu centro coincida con el origen. El programa debera tomar sus dimensionesy calcular, para cada punto de la matriz imagen de 300300 las coordenadascorrespondientes dentro del cuadrado de las dimensiones que se especifiquen.

4.3.2. La abertura

El caculo de la integral sobre la abertura es obviamente dependiente dela forma concreta de dicha abertura. Por este motivo todos los detalles alrespecto quedan relegados al codigo fuente. La geometra del problema serepresenta en la Figura 6.

4.3.3. Metodo de Montecarlo

El nombre ((Metodo de Montecarlo)) se usa para denominar una familia demetodos. Nosotros nos referiremos a el en el contexto del calculo de integralesde superficie. En general, los metodos de Montecarlo para integrales multiplesno son ventajosos para integracion en una dimension, y van tornandose masy mas apropiados cuando el numero de dimensiones se eleva. Todos estosmetodos tienen en comun que estan basados en la generacion de numerosaleatorios. Como pueden ser los numeros aleatorios utiles en el calculo deintegrales es algo que puede verse de forma sencilla tomando como ejemplola integracion de una funcion f(x) en un intervalo [a, b]. Si f es el valor mediode la funcion en ese intervalo, es claro que el area encerrada bajo la curva enel intervalo es igual a (ba)f . Por tanto, solo es preciso calcular esta media,que se puede aproximar generando N numeros aleatorios xi en el intervalo[a, b] y tomando

f =1

N

i

f(xi) (4.31)

La generalizacion a dos dimensiones es obvia. Si f(x, y) es una funcioncuya integral quiere calcularse en el rectangulo a

46 4. Difraccion

x

y

z

Abertura

Fuente luminosa

Pantalla

Figura 6

V = b

a

d

cf(x, y)dxdy = (b a)(d c)f (4.32)

donde f es la ((altura media)) de f(x, y) en el rectangulo que puede esti-marse generando un numero grande de parejas (xi, yi) y calculando

f =1

N

i

f(xi, yi) (4.33)

En la Figura 7 se representan algunos de los puntos de la abertura y unode los puntos de la imagen. El calculo numerico con un computador constaesencialmente de un bucle que recorre todos los puntos de la matriz imagen.Calcula las coordenadas de pantalla y genera un numero grande de puntospertenecientes a la abertura, efectuando la suma. Puesto que no nos interesanmas que las intensidades relativas en la imagen, podemos prescindir de lasconstantes que aparecen fuera de la integral. En la Figura 8 se representan losvectores auxiliares U , V y W . El primero indica un punto sobre la pantalla. El

4.3. Calculo de la integral de Kirchoff-Fresnel 47

ri

rjrk

x

y

z

r

r r

i

j k

Figura 7

segundo, un punto sobre la abertura. El tercero, la fuente de luz. De acuerdocon la figura, r = V U y r = V W

Este marco teorico y la geometra para el caculo permite evitar los en-gorrosos detalles analticos de la integral de Kirchoff-Frenel que aparecen altratar con aberturas incluso sencillas, y allana el camino para calcular dichaintegral numericamente. No llevaremos mas lejos la discusion sino que, enlugar de pasar efectivamente al calculo o a la resolucion numerica segun elmarco expuesto, terminamos este tema con las imagenes de difraccion dealgunas aberturas tpicas. La Figura 9 es la difraccion por una abertura cir-cular. La Figura 10, por una abertura cuadrada.

48 4. Difraccion

U

V

r

r x

y

zW

Figura 8

Figura 9

4.3. Calculo de la integral de Kirchoff-Fresnel 49

Figura 10