UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA

40 PREGUNTAS PARA EL EXAMEN FINAL

Apellidos Semestre 2015 - I Nota

Carrera INGENIERIA INDUSTRIAL Filial LIMACurso INVESTIGACION DE OPERACIONES II Ciclo VI

Profesor del curso ING. RICARDO CANO SUAREZ Sección C-1

Fecha 07 2015 Duración 2 horas Turno M T N

TEORIA DE COLAS ó LÍNEAS DE ESPERA

Pregunta Nº 1En una línea de producción es frecuente que haya un almacén para las herramientas más caras. Los trabajadores que necesitan alguna de ellas esperan a que un empleado del almacén se las suministre. Si hay muchos trabajadores solicitando herramientas se formarán colas y se perderá tiempo de trabajo, lo que conlleva un gasto. Esto se resolvería poniendo más empleados en el almacén, pero este arreglo también supondría un mayor gasto en sueldos de estos empleados. El problema es diseñar un sistema que minimice los costes. Suponemos que las llegadas de empleados al almacén siguen una distribución de Poisson de razón de llegada λ = 15 (número de personas que llegan por unidad de tiempo) y de razón de servicio μ = 18 (número de elementos que pueden ser servidos en cada unidad de tiempo). Se supone que los trabajadores que esperan a que el empleado les suministre las herramientas ganan 10 u. m. por hora, y los empleados que se las suministran tienen un sueldo de 9 u.m. por hora. Para resolver este problema consideramos los siguientes casos, obtenidos variando el número de servidores (empleados en el almacén que se ocupan de suministrar las herramientas).

Pregunta Nº 2

En un gran tienda de Santiago los clientes compran en tres departamentos: electrodomésticos, ropa y juguetes. Los clientes llegan de acuerdo a una distribución de Poisson, donde la tasa promedio de llegada es de 50 personas/hora. El 30% de los clientes llega al sector de ropa, el 20% al de electrodomésticos y el resto al de juguetes. El tiempo de servicio es exponencial. En el sector de juguetes hay dos personas atendiendo con tasa de 30 personas/hora cada uno. En el sector de ropa atiende una sola persona con tasa de 50 personas/hora. En el sector de electrodomésticos hay un solo vendedor con tasa de 70 personas/hora. Un 30% de las personas que compran ropa se va sin comprar nada más y el 70% se dirige al sector de electrodomésticos. De los clientes que compran electrodomésticos, un 20% se va sin comprar nada más y un 80% compra juguetes. Finalmente, de las personas que compran juguetes, se van sin comprar nada más.a) Obtenga el tiempo de permanencia en cada sector de una persona cualquiera.b) ¿Cuántas personas en promedio hay en el sector de juguetes?c) ¿Cuál es la proporción del tiempo en que no hay gente esperando ser atendida en el sectorde juguetes?d) ¿Qué tan probable es que la tienda este vacía?e) Obtenga el tiempo promedio de permanencia en la tienda.

Pregunta Nº 3El Barry’s Car Wash está abierto seis días a la semana, pero el día del negocio más pesado es siempre el sábado. A partir de datos históricos, Barry’s estima que los coches sucios llegan a una tasa de 20 por hora, todo el día sábado. Los automóviles se lavan de uno en uno. Suponga llegadas de Poisson y tiempos exponenciales de servicio.a) Obtenga el número mínimo de limpiadores que aseguren que puede lavar a una tasa total de uno cada dos minutos.b) Calcule considerando el número de limpiadores obtenidos en a) el número medio de autos en espera.c) Calcule considerando el número de limpiadores obtenidos en a) el tiempo medio que demora un auto en el proceso completo.

Pregunta Nº 4Los mecánicos que trabajan en una planta troqueladora deben solicitar su herramienta en un centro de material. Un promedio de 10 mecánicos por hora llegan pidiendo su equipo. Por el momento, un empleado atiende ese centro; su salario es de 6 e por hora y tarda un promedio de 5 minutos en cumplir cada pedido de herramienta solicitada. Como cada mecánico produce 10 e en valor de bienes por hora, cada hora que un mecánico pasa en el centro de material le cuesta a la compañía 10 e.La compañía está sopesando la posibilidad de contratar, a 4 e la hora, a un ayudante para el empleado. Se estima que entre los dos podrán reunir el equipo solicitado por cada empleado en 4 minutos. Suponiendo que los tiempos de servicio y de llegadas son exponenciales, debemos contratar al ayudante?Si no estamos seguros de la magnitud de la reducción del tiempo de servicio con la presencia del ayudante en el centro de material. Podemos establecer la cantidad de tiempo en que deberá prestarse el servicio para que los costes totales fuesen los mismos contratando que sin contratar al ayudante?

Pregunta Nº 5

Una cantera ha contratado los servicios de una excavadora para recoger la grava y cargarla en camiones. El tiempo medio que tarda la excavadora en cargar un camión es de 10 minutos. La cantera dispone de una flota de 4 camiones, cada uno de los cuales tarda una media de 15 minutos en transportar la grava a su destino y volver a la cantera. Tanto los tiempos de viaje como los tiempos de carga se suponen distribuidos exponencialmente. El coste de la excavadora es de 20e por hora de servicio. Por otro lado se estima que cada hora que pasa un camión en la cantera representa un coste de 12e, ya que durante ese tiempo no está efectuando servicio de transporte. Resolver las siguientes cuestiones:1. Qué modelo de colas permite representar este sistema?2. Cuál es el porcentaje de tiempo que la excavadora está desocupada?3. Cuál es el número medio de camiones que esta fuera de la cantera?4. Cuanto tiempo por término medio pasa un camión en la cantera?5. Gracias al buen rendimiento y correcta gestión de la cantera se dispone de una cantidad de dinero con la que se podrán hacer dos posibles mejoras, o bien incorporar dos nuevos camiones a la explotación (en propiedad) o incorporar una nueva excavadora (en alquiler). Es recomendable alguna de estas dos inversiones?, en caso afirmativo indicar cuál es la m as ventajosa.

Pregunta Nº 6

Pregunta Nº 7

Pregunta Nº 8La compañía Seabuck and Roper tiene un almacén en el sur de California para el inventario de bienes antes de que las mueblerías del área los necesiten. Una cuadrilla de cuatro personas carga y descarga cada uno de los camiones que llegan. El gerente está despidiendo personal para disminuir costos y debe decidir el tamaño futuro de la cuadrilla. Los camiones tienen llegadas Poisson, con tasa media de 1 por hora. El tiempo que requiere la cuadrilla para cargar y/o descargar un camión tiene distribución exponencial (independiente del tamaño de la cuadrilla). El tiempo esperado con 4 hombres es 15 minutos. Si cambia el tamaño de la cuadrilla se estima que la tasa media de servicio (ahora µ = 4 clientes/h) sería proporcional al tamaño.El costo por cada miembro adicional de la cuadrilla es $20/h. El costo atribuible a la espera de un camión (es decir, un camión parado en el muelle) se estima en $30/h.Encontrar las medidas de desempeño para este sistema de cola con una cuadrilla de cuatro, con una cuadrilla de tres, con una cuadrilla de dos y con una cuadrilla de uno. Explique cada caso.Dado los resultados, ¿Qué cuadrilla debe elegir el gerente?

Pregunta Nº 9

El gerente de una tienda quiere abrir un servicio de venta de helados y para ello pretende contratar a un empleado. Se supone que los clientes son atendidos según llegan. La ganancia con cada helado vendido es de 0,6 €. Después de varias entrevistas el gerente duda entre dos personas: Juan y Pablo. El tiempo medio de servicio de Juan es de 15 segundos, el de Pablo es de 45 segundos, pero Juan cobra 10 € por hora mientras que Pablo cobra 6 € a la hora. Las investigaciones de mercado han revelado que se espera una demanda de ventas de helado de un cliente por minuto y que los clientes que llegan y encuentran a 3 personas en el sistema se van a comprar el helado a otro punto de venta ajeno a la tienda. Suponer que tanto el tiempo entre llegadas como el tiempo de servicio son exponenciales.a) Ayuda al gerente en la decisión de contratar al trabajador teniendo en cuenta que contratara a aquel trabajador que le deje más

beneficios en media por hora.b) Como Pablo realmente quiere el trabajo, le dice al gerente que estaría dispuesto a rebajar su salario. ¿Hasta qué precio podría

rebajar su salario para ser competitivo con Juan?c) Pablo quiere el trabajo, pero no está dispuesto a rebajar su salario por lo que hace un máster sobre venta de helados para resultar

más competitivo. ¿En cuánto tiene que reducir su tiempo de servicio para ser competitivo con Juan?

Pregunta Nº 10En una fábrica existe una oficina de la Seguridad Social a la que los obreros tienen acceso durante las horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla, ha solicitado que se haga un estudio relativo al funcionamiento de este servicio. Se designa a un especialista para que determine el tiempo medio de espera de los obreros en la cola y la duración media de la conversación que cada uno mantiene con el empleado de la ventanilla. Este analista llega a la conclusión de que durante la primera y la última media hora de la jornada la afluencia es muy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fenómeno se puede considerar estacionario. Del análisis de 100 periodos de 5 minutos, sucesivos o no, pero situados en la fase estacionaria, se dedujo que el número medio de obreros que acudían a la ventanilla era de 1.25 por periodo y que el tiempo entre llegadas seguía una distribución exponencial. Un estudio similar sobre la duración de las conversaciones, llevo a la conclusión de que se distribuían exponencialmente con duración media de 3.33 minutos. Determina:a) Número medio de obreros en cola.b) Tiempo medio de espera en la cola.c) Compara el tiempo perdido por los obreros con el tiempo perdido por el oficinista. Calcula el coste para la empresa, sin una hora de inactividad del oficinista vale 250 euros y una hora del obrero 400 euros. ¿Serıa rentable poner otra ventanilla?

Pregunta Nº 11Una compañía ferroviaria pinta sus propios vagones, según se vayan necesitando, en sus propios talleres donde se pinta a mano de uno en uno con una velocidad que se distribuye según una exponencial de media un cada 4 horas y un coste anual de 4 millones de euros. Se ha determinado que los vagones pueden llegar según un proceso de Poisson de media uno cada 5 horas. Además el coste por cada vagón que no está activo es de 500 euros la hora. Se plantean otras dos posibilidades. Una es encargar dicho trabajo a una empresa de pintura que lo haría con aerosol con el consiguiente ahorro de tiempo. Sin embargo el presupuesto para esta segunda alternativa es de 10 millones de euros anuales. En este caso, el proceso se aproxima a uno de Poisson con una tasa de uno cada 3 horas. La otra opción es poner otro taller exactamente igual al que hay actualmente, con igual tasa de servicio y coste anual que permita pintar dos vagones a la vez.En todos los casos el trabajo se considera ininterrumpido, esto es, se trabajan 24 × 365 = 8760 horas anuales. ¿Cuál de los tres procedimientos es preferible?

Pregunta Nº 12La oficina de Hacienda de una localidad tiene dos líneas de teléfono. Un promedio de 30 personas por hora tratan de llamar y la longitud promedio de cada llamada es de 1 minuto. Si una persona trata de llamar cuando ambas líneas están ocupadas, cuelga y se pierde del sistema. Suponer que el tiempo entre las llamadas de las personas que tratan de informarse, así como los tiempos de servicio son exponenciales. ¿Qué fracción de tiempo estarán libres ambas líneas? ¿Qué fracción de tiempo estarán ocupadas? ¿Qué fracción de tiempo estará desocupada exactamente una línea? En promedio, ¿cuántas líneas estarán ocupadas? En promedio, ¿cuántas personas colgarán cada hora?

Pregunta Nº 13Una empresa de reparación de ordenadores recibe una media de 10 solicitudes de reparación al día que se distribuyen según un proceso de Poisson. Se supone que μ es la velocidad de reparación de la persona reparadora en ordenadores/día, y el tiempo de reparación es exponencial. Cada unidad de velocidad de reparación supone un coste de 100 euros por semana. Además, se ha estimado que el coste de tener ordenadores no reparados supone 200 euros por ordenador y semana, siendo este coste proporcional al tiempo. Suponiendo que una semana tiene cinco días laborables, se pide:a) Que determines la velocidad de reparación óptima.b) Que determines si sería más económico tener dos personas, cada una con la mitad de la velocidad determinada en el apartado anterior.

Pregunta Nº 14Una base de mantenimiento de aviones dispone de recursos para revisar únicamente un motor de avión a la vez. Por tanto, para devolver los aviones lo antes posible, la política que se sigue consiste en aplazar la revisión de los 4 motores de cada avión. En otras palabras, solamente se revisa un motor del avión cada vez que un avión llega a la base. Con esta política, los aviones llegan según una distribución de Poisson de tasa media uno al día. El tiempo requerido para revisar un motor (una vez que se empieza el trabajo) tiene una distribución exponencial de media 1/2 día. Se ha hecho una propuesta para cambiar la política de revisión de manera que los 4 motores se revisen de forma consecutiva cada vez que un avión llegue a la base. A pesar de que ello supondría cuadruplicar el tiempo esperado

de servicio, cada avión necesitaría ser revisado únicamente con una frecuencia 4 veces menor. Utilizar la teoría de colas para comparar las 2 alternativas.

Pregunta Nº 15La gerencia del correo internacional DHL en la central del barrio de Buenos Aires, está preocupada por la cantidad de tiempo que los camiones de la compañía permanecen ociosos, en espera de ser descargados. Este terminal de carga funciona con tres plataformas de descarga. Cada una de éstas requiere una cuadrilla de dos empleados, y cada empleado cuesta $15 por hora. El costo estimado de un camión ocioso es de $50 por hora. Los camiones llegan a un ritmo promedio de tres por hora, siguiendo una distribución de Poisson. En promedio, una cuadrilla es capaz de descargar un semirremolque en una hora, y los tiempos de servicio son exponenciales. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún camión en el terminal? ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 4 camiones en el sistema? ¿Cuál es el costo total por hora de la operación de este sistema?

Pregunta Nº 16

Pregunta Nº 17

Pregunta Nº 18El servicio de lavado de automóviles tiene un sólo carril y el siguiente automóvil no puede entrar al lavado hasta que el anterior esté terminado por completo. En promedio pueden atenderse 10 automóviles por hora según una distribución exponencial, mientras que las llegadas se producen según una ley de Poisson de media 8 por hora. Defínase un modelo adecuado y determínese: Probabilidad que el servicio de automóviles esté ocioso Número medio de automóviles esperando para ser lavados y Tiempo medio de espera para un cliente.Considerar ahora que el servicio de lavado tiene capacidad para 6 coches, incluyendo el que se está lavando. Plantear de nuevo el modelo y determinar:a) P(servicio esté ocioso). Número promedio de automóviles perdidos en un día de 10 horas.b) Probabilidad de que haya más de dos automóviles en el sistema.

Pregunta Nº 19Un proceso de descarga de camiones se realiza mediante palas. El tiempo medio entre llegadas es de 30 minutos y tiene una distribución exponencial. Se descargan 3 camiones por hora. El coste de utilización de cada pala y del trabajo del operario es, sumando, de 2200 pts/hora. El coste del tiempo ocioso de un camión y su conductor se estima en 3000 pts/hora. ¿Cuántas palas deben usarse en el proceso de descarga?

PROGRAMACION DINAMICA

Pregunta Nº 20Método de investigación de operaciones que permite resolver un problema de n variables dividiéndolo en n sub-problemas de una variable cada uno. Se refiere a: a) Cadenas de Markov b) Teoría de Colas o Líneas de Esperac) Programación Dinámicad) Teoría de Inventarios

Pregunta Nº 21Un Ingeniero Forestal, requiere saber: i) Cuál es el costo mínimo, y ii) Cuál es la ruta con ese costo mínimo, para ir desde su oficina hasta el lugar donde está la cosecha. En su camino debe pasar por 3 sectores o ciudades antes de llegar a su destino, y lugares posibles en esos sectores o ciudades. Las posibles rutas, y el costo asociado por Kms. de distancia y otros en $, se ven en el siguiente esquema:

Pregunta Nº 22Encuentre la ruta más corta entre O y T usando programación dinámica con recursión hacia adelante suponiendo que se tiene la siguiente red

O B

C E

DA

T

5

9

8

10

4

10

9

9

8

17

9

Pregunta Nº 23Encuentre el camino más corto desde el nodo 1 hasta el 10 en la red mostrada en la figura siguiente:

Pregunta Nº 24Se requiere saber: i) Cuál es el costo mínimo, y ii) Cuál es la ruta con ese costo mínimo, para ir desde la oficina administrativa (Cercado de Lima) hasta el lugar donde está la planta industrial Pachacamac. Las posibles rutas, y el costo asociado por Kms. de distancia y otros (en $), se ven en el siguiente esquema:

Pregunta Nº 25Encuentre el camino más corto desde el nodo 1 hasta el 10 en la red mostrada en la figura siguiente:

6

5

2

4

7

6 3

3

Pregunta Nº 26Encuentre el camino más corto desde el nodo 1 hasta el 14 en la red mostrada en la figura siguiente:

Pregunta Nº 27

Pregunta Nº 28El problema consiste en determinar un programa de producción para un periodo de tiempo con el fin de minimizar los costos totales relacionados. Hay demandas conocidas para cada periodo, límites de capacidad tanto para la producción como para los inventarios. Cuando hay más producción que demanda, se acumula inventario, y cuando la producción es menor que la demanda, se generaran retrasos en el cumplimiento de pedidos (BackOrder). Para cada periodo, una producción no-cero incurre en un costo de preparación. En programación dinámica, el costo variable se expresa como una función de la producción (P), el inventario (H), y BackOrder (B).La tabla muestra los datos del siguiente problema de producción e inventario:

Mes Costos Fijo Demanda

Capac. / Costo de Producción por

unidad

Capac. / Costo Almacenamiento por

unidadSetiembre 600 4 7 400 5 120Octubre 500 5 5 350 6 160

Noviembre 450 3 8 300 2 150Diciembre 500 4 3 350 4 140

Determinar un programa de producción con el fin de minimizar los costos totales relacionados.

Pregunta Nº 29

Considérese que se carga un barco con N artículos. Cada unidad del artículo tiene un peso Wi y un valor Vi, el peso de carga máxima es W. Se requiere determinar la carga más valiosa sin que se exceda del peso máximo disponible en el barco.

Tipo de Producto Peso Producto en Tn (Wi) Valor de cada producto1 2 6502 3 8803 4 9504 1 600

Capacidad del Barco 18 TnResolviendo el problema en WINQSB (Programación Dinámica, Problema de la mochila)

MODELOS DE CADENA DE MARKOV

Pregunta Nº 30Suponga que la ocupación de cada persona puede clasificarse como de profesional, calificado o no calificado. Suponga, además, que siempre es cierto que de los hijos de profesionales 70% son profesionales, 20% calificados y 10% no calificados, de los hijos de personas calificadas, 60% son calificados, 20% son profesionales y 20% son no calificados y de los hijos de personas no calificadas, 20% son profesionales, 30% son calificados y 50% no calificados. Suponga que el número total de personas con una ocupación es el mismo en cada generación y que en la generación actual, 35% son profesionales, 35% calificados y 30% no calificados. Encuentre la matriz de transición.a) Halle la distribución de trabajos después de una generación y después de dos generaciones. b) Cuál es la probabilidad de que el tataranieto de un profesional sea no calificado?c) Suponga que en la actualidad el 40% de personas son profesionales, el 30% son personas no calificadas y el restante personas calificadas. Después de 3 generaciones qué porcentaje de personas son profesionales?

Pregunta Nº 31

No contentos con dichos resultados, se relanza otra campaña publicitaria en las 3 compañías, realizando una segunda encuesta al final de la misma, ¿De acuerdo a los últimos resultados, qué compañía lidera el mercado?

Pregunta Nº 32En una población de 10,000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman más de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. ¿Cuántos individuos habrá de cada clase el próximo mes?

Pregunta Nº 33El departamento de estudios de mercado de una fábrica estima que el 20% de la gente que compra un producto un mes, no lo comprará el mes siguiente. Además, el 30% de quienes no lo compren un mes lo adquirirá al mes siguiente. En una población de 1000 individuos, 100 compraron el producto el primer mes. ¿Cuántos lo comprarán al mes próximo? ¿Y dentro de dos meses?

Pregunta Nº 34Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es 0.4, la de tener que viajar a B es 0.4 y la de tener que ir a A es 0.2. Si el viajante duerme un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a C, mientras que irá a A con probabilidad 0.2. Por último si el agente comercial trabaja todo un día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0.1, irá a B con una probabilidad de 0.3 y a C con una probabilidad de 0.6.a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en C al cabo de cuatro días?b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una de las tres ciudades?

Pregunta Nº 35Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente. Si una persona compró Pepsi, hay 80% de que repita la vez siguiente. Se pide:a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de hoy?b) Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Cola. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de ahora?c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy Coca Cola y el 40% Pepsi. A tres compras a partir de ahora, ¿Qué fracción de los compradores estará tomando Coca Cola?.

Pregunta Nº 36La cervecería más importante del mundo (Guiness) ha contratado a un analista de investigación de operaciones para analizar su posición en el mercado. Están preocupados en especial por su mayor competidor (Heineken). El analista piensa que el cambio de marca se puede modelar como una cadena de Markov incluyendo tres estados, los estados G y H representan a los clientes que beben cerveza producida por las mencionadas cervecerías y el

estado I representa todas las demás marcas. Los datos se toman cada mes y el analista ha construido la siguiente matriz de transición de los datos históricos.

¿Cuáles son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos cervecerías grandes?

Pregunta Nº 37En una comunidad hay 3 supermercados (S1, S2, S3) existe la movilidad de un cliente de uno a otro. El 1 de septiembre, ¼ de los clientes va al S1, 1/3 al S2 y 5/12 al S3 de un total de 10.000 personas. Cada mes el S1 retiene el 90% de sus clientes y pierde el 10% que se va al S2. Se averiguó que el S2 solo retiene el 5% y pierde el 85% que va a S1 y el resto se va a S3, el S3 retiene solo el 40%, pierde el 50% que va al S1 y el 10% va al S2.a. Establecer la matriz de transiciónb. ¿Cuál es la proporción de clientes para los supermercados el 1 de noviembre?c. Hallar el vector de probabilidad estable.

Pregunta Nº 38Consumidores de café en el área de Pontevedra usan tres marcas A, B, C. En marzo de 1995 se hizo una encuesta en la que se entrevistó a las 8450 personas que compran café y los resultados fueron:

a. Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál será la distribución del mercado de café en Pontevedra en el mes de junio?

b. A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes de café? c. En junio, cual es la proporción de clientes leales a sus marcas de café?

Pregunta Nº 39

Pregunta Nº 40

En el país existen 3 operadores de telefonía móvil como son: Movistar, Nextel y Claro. Se tiene la siguiente información: Actualmente un usuario de Movistar tiene una probabilidad de que para el próximo año permanezca en Movistar de 0.60, de pasar a Nextel 0.2 y de pasarse a Claro de 0.2; si en la actualidad el usuario es cliente de Nextel tiene una probabilidad de mantenerse en el mismo operador del 0.5, de que esta persona se cambie a Movistar de 0.3 y que se pase a Claro de 0.2; si el usuario es cliente en la actualidad de Claro la probabilidad que permanezca en Claro es de 0.4, de que se cambie a Movistar de 0.3 y a Nextel de 0.3. a) Establecer la matriz de transiciónb) Si un cliente actualmente es usuario de Movistar ¿Cuál es la probabilidad de que al cabo de 2 años se vaya a Claro?c)Supongamos que los porcentajes actuales que tiene cada operador en el mercado son para Movistar 0.4, para Nextel 0.25 y para Claro 0.35. Al cabo de dos años a partir de ahora, ¿Cuántos clientes estarán usando Claro si se estima que dentro de 2 años habría 20 millones de usuarios a nivel nacional?