DERIVADA DIRECCIONAL, GRADIENTE,

DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

UNIDAD NOMBRE TEMAS

4

Funciones vectorial de

varias variables

4.10 Derivada direccional, gradiente divergencia y Rotacional.

Gradiente de un vector

Se llama gradiente de una función, que se representa por Grad F, al vector cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son las derivadas parciales de dicha función.

En esta expresión observamos que el gradiente de la función F define un campo vectorial.

Propiedades

1.- Las componentes del vector Grad F, en cada punto, son la razón de las variaciones de la función y de la coordenada a lo largo de las direcciones de los ejes en dicho punto. 2.- Su módulo, en cada punto, es el máximo valor de la variación de la función con la distancia. 3.- Su dirección es la de máxima variación. 4.- Su sentido es el de crecimiento de la función. Por lo tanto el gradiente de una función escalar puntual es una función vectorial puntual. Ejemplo: Dada la función F (x, y, z) =, calcular el gradiente en el punto (2, 1,-1).

El gradiente de una función escalar es:

Ahora sustituimos el punto en la expresión obtenida:

2·12i+ (4·2·1-3· (-1)2) j-6·1· (-1) k Luego Grad F = 2i + 5j + 6k.

Divergencia de un vector

La operación divergencia esta definida como:

En notación de operador, Div F es el producto punto de y F. Nótese que x F es un campo

vectorial, mientras que · F: R 3 -> R, de modo que · F es un campo escalar. Leemos · F como "divergencia de F". El significado físico completo de la divergencia se puede explicar como: Si imaginamos F como el campo de velocidad de un gas o fluido, entonces Div F representa la tasa de expansión por unidad de volumen de gas o de fluido. Por ejemplo, si F (x, y, z) = x i + y j + z k, entonces Div F = 3; esto significa que el gas se esta expandiendo a la tasa de 3 unidades cúbicas por unidad de volumen por unidad de tiempo. Esto es razonable, pues en este caso F es un vector radial hacia afuera, y conforme el gas se mueve hacia afuera a lo largo de las líneas de flujo, se expande. Si Div F < 0 esto significa que el gas se comprime. El teorema siguiente no muestra la relación entre las operaciones divergencia y rotacional. Teorema: Para cualquier campo vectorial F de clase C2,

Esto es, la divergencia de cualquier rotacional es cero.

Rotacional de un vector

La operación rotacional asocia a cada campo vectorial C1 F en R 3. El campo vectorial Rot F definido como sigue: Sea

y hagamos

Esta fórmula es fácil de recordar si la escribimos con la operación de "operador". Introduzcamos formalmente el símbolo "del" o "nabla":

es un operador; esto es, actúa u opera sobre funciones con valores reales. Específicamente, f, operando sobre f, esta dado por:

es el gradiente de f. Esta notación formal es bastante útil; si vemos como vector con

componentes , entonces podemos tomar también el producto cruz

Así, Rot F = x F. El teorema siguiente enuncia la relación básica entre el gradiente y el rotacional. Teorema: Para cualquier función f de clase C2, tenemos

esto es, el rotacional de cualquier gradiente es el vector cero.

PROPIEDADES DE LA DERIVADA. GRADIENTES Y DERIVADAS

DIRECCIONALES

CONCEPTOS BÁSICOS

En funciones de varias variables, la operación de la derivación disfruta de propiedades parecidas a las que

tiene en funciones de una variable, lo que resulta de muy fácil aplicación en casos de derivadas de sumas,

productos y cocientes de funciones. La operación que quizá acarrea ciertas dificultades operacionales es la

derivación de composición de funciones. Para dos funciones f y g que se pueden componer entre sí, se

verifica la siguiente forma matricial de la regla de la cadena:

)()())(( 000 xDyDxD gfgf

En la práctica, sin embargo, raras veces practicamos el producto matricial, sino que aplicamos el primero y

segundo caso especial de la regla de la cadena:

x

w

w

h

x

v

v

f

x

u

u

f

x

h

zyxwzyxvzyxufgfzyxh

zyxwzyxvzyxuzyxg

gf

dt

dz

z

h

dt

dy

y

f

dt

dx

x

ftcf

dt

dh

tztytxftcfth

c

f

));;();;;();;;(());;(

));;();;;();;;(();;(

: ; :

)(·

))();();(())(()(

:

:

333

3

3

RRRR

RR

RR

En el segundo caso, podemos escribir expresiones análogas para las derivadas de h respecto a y y respecto

a z.

El gradiente de una función de Rn en R es el vector de sus derivadas parciales:

z

f

y

f

x

fzyxf ;;);;(

Las derivadas direccionales, notadas Duf, son límites de cocientes incrementales según una dirección de

acercamiento u a un punto del dominio. Si tomamos la forma normalizada (vector unitario) de la dirección

u, se puede mostrar que Duf(x0) = f(x0)·u; y el máximo valor de la derivada direccional se obtiene en la

dirección del vector gradiente.

Si se tiene una superficie definida por F(x; y; z) = 0, el gradiente F es un vector normal a la superficie en

cualquier punto.

PROBLEMAS

1.) Verificación de la regla de la cadena. Verificar la regla de la cadena para h/x donde h(x; y) = f(u(x;

y); v(x; y)) y

xyyx eyxveyxuvu

vuvuf

);( , );( , );(

22

22

SOLUCIÓN

Para hacer la verificación, primero aplicaremos la fórmula de la regla de la cadena y luego haremos el

reemplazo de u y v en f y haremos el cálculo como derivada parcial.

Aplicando la regla de la cadena tenemos:

xyyx ye

vu

vvuvuve

vu

uvuvuu

x

v

v

f

x

u

u

f

x

h222

2222

222

2222 2)()(2)(

2)()(2

Operando tenemos:

)1(

44)(

4

4)(

4

2222

222

2222

22

2222

2

y de sen término y de sexpresione laspor doReemplazan

222

2

222

2

yee

eye

ee

eee

ee

ee

yevu

vue

vu

uv

x

h

xyyx

yxxyxy

xyyx

yxxyyx

xyyx

xyyx

yxvu

xyyx

Ahora haremos el mismo cálculo reemplazando u y v en f y derivando parcialmente:

2222

442442

2222

422222244

422244244

2222

222222222222

222

222

22

22

442222

2222

2222

));();;(();(

);( , );( , );(

xyyx

yxxyyxxy

xyyx

xyyxxyyxxyyx

xyyxxyyxxyyx

xyyx

xyyxxyyxxyyxxyyx

xyyx

xyyx

xyyx

ee

yee

ee

yeeyee

yeyeee

ee

yeeeeeeyee

x

h

ee

eeyxvyxufyxh

eyxveyxuvu

vuvuf

Esta última expresión es equivalente a la que habíamos hallado por regla de la cadena, con lo cual hemos

verificado esta última.

2.) Forma matricial de la regla de la cadena. Sea

f(u; v; w) = (eu-w

; cos(v + u) + sen(u + v + w))

g(x; y) = (ex; cos(y - x); e

-y)

Calcular f º g y D(f º g)(0; 0).

SOLUCIÓN

Evaluando g en el origen tenemos:

g(0; 0) = (1; 1; 1)

Estos últimos serán los valores de u, v y w correspondientes a valores nulos de x y y, con lo cual:

f º g(0; 0) = f(1; 1; 1) = (1; cos1 + sen3)

En cuanto a la matriz de derivadas, tendremos:

3cos3cos2sen

11)0;0(

10

00

01

3cos3cos2sen3cos2sen

101)0;0()1;1;1()0;0(

10

00

01

)0;0(

0

)sen()sen(

0

);(

3cos3cos2sen3cos2sen

101)1;1;1(

)cos()cos()sen()cos()sen(

0);;(

gf

gfgf

g

e

xyxy

e

yxg

f

wvuwvuuvwvuuv

eewvuf

y

x

wuwu

D

DDD

D

D

D

D

3.) Sea g(x) = f(x; y(x); z(x; y(x)). Sea también y(1) = 0, z(1; 0) = 1, z(1; 0) = (1; 2), f(1; 0; 1) = (1; 2; 3);

g’(1) = 5. Determinar y’(1).

SOLUCIÓN

Por la regla de la cadena tenemos:

dx

dy

y

z

dx

dx

x

z

z

fxy

y

f

x

f

dx

dz

z

f

dx

dy

y

f

dx

dx

x

fxg )(1)(

81)1(5)1(84

)1(2113)1(211)1()(1)(1

yy

yygxyy

z

x

z

z

fxy

y

f

x

f

Nótese que el punto con el cual estamos trabajando es (x; y; z) = (1; 0; 1).

4.) Aplicación a un problema físico. Se ensaya a la tracción un monocristal de un metaloide de forma

prismática rectangular con una base cuadrada de 2 cm. de lado y una altura de 15 cm. Debido a la

anisotropía (distinto comportamiento según las direcciones) del material, se ha observado que uno de los

lados de la base se deforma dos veces más rápido que el otro. Si en un momento dado se determina que por

efecto de la tracción la longitud de la pieza aumenta a una tasa de 1 mm/s, hallar la tasa de variación de

ambos lados de la base.

SOLUCIÓN

Llamemos x al lado de la base que se deforma más lento, y al que se deforma más rápido y z a la altura de

la pieza. El volumen de la pieza será:

V(x; y; z) = xyz

Por la regla de la cadena, la variación de volumen con el tiempo vendrá dada por:

dt

dzxy

dt

dxxzyz

dt

dzxy

dt

dyxz

dt

dxyz

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

dt

dVdt

dx

dt

dy

2

(dato) 2

Puesto que se trata de un sólido, el material es incompresible y su volumen permanecerá constante, siendo

su derivada con respecto al tiempo nula. Introduciendo este hecho y los datos del problema tendremos:

cm/s 0088,0

cm/s 0044,004,09001,0221522152

dt

dy

dt

dx

dt

dx

dt

dx

dt

dV

5.) Gradiente y derivada direccional. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo

largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado:

a) f(x; y) = xy, (x0; y0) = (e; e), d = 5i + 12j

b) f(x; y) = exy

+ yz, (x0; y0; z0) = (1; 1; 1), d = (1; -1; 1)

SOLUCIÓN

a) Recordando que Duf(x0) = f(x0)·u, debemos hallar el gradiente de la función y un vector unitario en la

dirección dada.

eee

eeyyxyxy

xyxyyxyxyy

eeeeefeef

eeeefxxxx

yexe

x

y

ey

ex

ey

ex

xy

xx

yxf

13

17

13

12;

13

5·;)·;();(

13

12;

13

5

125

)12;5(

;);(log;log;

;;;);(

22

loglog

loglogloglog

uD

d

du

u

b) En este caso tendremos:

33

1;

3

1;

3

1)·1;1;()·1;1;1()1;1;1(

3

1;

3

1;

3

1

1)1(1

)1;1;1(

)1;1;()1;1;1(;;;;);;(

222

eeff

efyzeyzez

yzey

yzex

zyxf xxxx

uD

d

du

u

6.) Suponer que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico z = c - ax2 - by

2 , donde a, b y c son

constantes positivas, x y y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar

(x, y y z están medidas en metros). En el punto (1; 1), ¿en qué dirección aumenta más rápido la altitud? Si

se suelta una canica en (1; 1), ¿en qué dirección comenzará a rodar?

SOLUCIÓN

Una función aumenta más rápidamente en la dirección del vector gradiente, y disminuye más rápidamente

en la dirección opuesta al mismo. En nuestro caso:

2222;

)1;1(

)1;1()2;2()1;1()2;2();(

ba

b

ba

a

f

fbafbyaxyxf u

Ésa es la dirección de máximo crecimiento. La canica rodará en la dirección en la cual más rápidamente

disminuya la altura, es decir, la opuesta a la recién hallada:

Máximo decrecimiento

2222;

ba

b

ba

au

7.) El capitán Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la

nave, cuando él está en la posición (x; y; z), viene dada por 222 32);;( zyxezyxT , donde x, y y z vienen

dados en metros. Actualmente está en el punto (1; 1; 1).

a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápidamente la temperatura?

b) Si la nave viaja a e8 m/s, ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura si avanza en esa dirección?

c) Desafortunadamente el metal del casco se cuarteará si se enfría a una tasa mayor que 214e grados por

segundo. Describir el conjunto de direcciones posibles en que puede avanzar para bajar la temperatura a

una tasa no mayor que ésa.

SOLUCIÓN

a) La dirección de máximo decrecimiento u será la dirección unitaria opuesta al vector gradiente.

14

3;

14

2;

14

1)6;4;2()1;1;1()6;4;2()1;1;1(

6;4;2);;(

oNormaliznd

66

323232 222222222

ueTeT

zeyexezyxT zyxzyxzyx

b) El valor de e8 m/s que nos dan es la rapidez (módulo de la velocidad) de la nave. El vector velocidad

vendrá dado por el producto de ese módulo por la dirección unitaria de avance. Así:

14

3;

14

2;

14

1;; 88 ee

dt

dz

dt

dy

dt

dxuv

Queremos obtener la tasa de variación de la temperatura, y lo logramos mediante la regla de la cadena:

28

68

68

6

)1;1;1();;(En

14214

36

14

24

142 e

ee

ee

ee

dt

dz

z

T

dt

dy

y

T

dt

dx

x

T

dt

dT

zyx

c) En el punto anterior vemos que la máxima velocidad de crecimiento de la temperatura es el doble de lo

que la nave puede tolerar. Para que no se cuartee, es necesario avanzar en otra dirección, cuyo vector

unitario podemos llamar u = (a; b; c). En ese caso tendremos que el vector velocidad será v = (a; b; c)e8, y

podremos escribir:

2888666 )642(;;·6;4;2· ecbacebeaeeeeTdt

dT v

Esta tasa de variación de la temperatura debe ser negativa y su módulo debe ser menor que 214e . Por lo

tanto:

0642140)642(14014 222 cbaecbaedt

dTe

Moviéndose en cualquier dirección unitaria u = (a; b; c) que cumpla con esas condiciones el cohete se

enfriará sin cuartearse.

8.) Plano tangente. Hallar el valor de la constante c tal que en todo punto de intersección de las dos

superficies esféricas

(x - c)2 + y

2 + z

2 = 3 (*)

x 2

+ (y - 1)2 + z

2 = 1 (**)

los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares uno al otro.

SOLUCIÓN

Podemos escribir ambas esferas como F1(x; y; z) = 3 y F2(x; y; z) = 1, respectivamente. Los vectores

normales a los planos tangentes correspondientes serán los gradientes de F1 y F2 . Sabemos que deben ser

perpendiculares y por lo tanto su producto interno debe ser nulo.

0)(30

044444·)2);1(2;2(

)2;2);(2(

22

)(*)ecuación la (de

)(3

222

222

21

2

1

222

cxyxcxzyyxcx

zyyxcxFFzyxF

zycxF

cxzy

Despejando de esta última es:

03 2 cyxc (***)

Ahora maniobramos algebraicamente despejando z2 de las ecuaciones de ambas esferas:

2

21

23222222

2222

222

222

22312123

)1(1)(3)1(1

)(3

cxcyycxcyyxycxcx

yxycxyxz

ycxz

Introduciendo esto en la ecuación (***) tenemos:

3003 2

21

2322

21

23 ccccxcxc

PROBLEMAS DE TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

ENUNCIADO DEL TEOREMA

Sea E una región simple sólida cuya superficie frontera S tiene una orientación positiva (hacia afuera). Sea

F un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región

abierta que contiene a E. Entonces:

S E

dV div FdSF

Recordar que otra notación para div F es ·F

PROBLEMAS RESUELTOS 9.) Evaluar el flujo del campo vectorial

F(x;y;z) = xyi +(y2 + 2xze )j +sen(xy)k

a través de la superficie frontera de la región E acotada por el cilindro parabólico z = 1 - x2 y los planos z = 0, y = 0, y + z = 2. SOLUCIÓN El problema invita a la transformación de la integral de flujo en algún otro tipo de integral para evitar las complejidades que surgirían de parametrizar el segundo término de la segunda componente del campo vectorial, y también para hacer una sola integral en vez de cuatro. Para aplicar el teorema de la divergencia calculamos: div F = y + 2y = 3y Evaluaremos la integral de volumen de esta función escalar tomando el dominio como una región de tipo 3; esto es, una región encerrada entre dos funciones de un dominio bidimensional ubicado sobre el plano xz.

··· 33 div35

1841

1

1

0

2

0

2

x z

EES

ydydzdxydVdVFdSF

(0; 2;

0)

y = 2 - z

z = 1 -x2

(1; 0;

0)

(0; 0;

1)

y

x

z

10.) Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial F = rr y la superficie esférica x2 + y2 + z2 = 9. SOLUCIÓN: El vector r es el vector posición (x; y; z). De modo que en términos de las variables cartesianas el campo vactorial dado puede expresarse como:

);;(222 zyxzyx F

La superficie dada puede parametrizarse a través de coordenadas esféricas:

20

0 ,

cos3

sensen3

cossen3

z

y

x

Con esta parametrización tenemos:

)cossen9;sensen9;cossen9(

sen3sencos3coscos3

0cossen3sensen3

22

kji

rr

¿Es ésta una normal exterior? Probémoslo con un punto. En (0;3;0) tendríamos = = /2, y para tales valores el PVF calculado da (0;-9;0), o sea una normal interna. Por lo tanto la normal externa vendrá dada por el PVF calculado haciendo el producto vectorial en el orden opuesto, esto es:

)cossen9;sensen9;cossen9( 22 rr

Evaluando ahora F en función de esta parametrización es:

F(;) = 3(3sencos; 3sensen; 3cos) y:

F·(rr) = ··· = 81sen Así que:

324 cos81sen81)();(2

0 0

2

0

2

0 ddddd

DS

rrFdSF

Hemos hecho un cálculo bastante complejo por integrales de superficie. Veamos ahora cómo reduciendo esto a una integral de volumen con el teorema de la divergencia el cálculo se simplifica notablemente. Calculemos en primer lugar la divergencia:

222222222 div zyxxx

zyxyy

zyxxx

F

Calculando las derivadas parciales por separado y sumando miembro a miembro se tiene:

222

222

222222

222

2222222

222

2222222

222

2222222

43 div zyxzyx

zyxzyx

zyx

zzyxzyxz

z

zyx

yzyxzyxy

y

zyx

xzyxzyxx

x

F

Si ahora llevamos esto a coordenadas esféricas tenemos:

Haciendo los cálculos obtenemos:

324 div dVE

F

Hemos obtenido el mismo resultado por los dos caminos, verificando así el teorema de la divergencia.

ddddddVE

sen4

4 sen4 div

3

0

2

0 0

3

0 0

2

0

42

F

11.) Calcular el flujo del campo F(x; y; z) =(0; esenxz + tanz; y2) a través del semielipsoide superior

2x2 + 3y2 + z2 = 6, z 0 con su normal apuntando hacia arriba. SOLUCIÓN Resolveremos este problema por el teorema de la divergencia. Si observamos que div F = 0, y

llamando (ver figura) S = S1 S2 y V el volumen encerrado por S, podemos plantear:

0

0

div. por teor.

0ser por

S

SV

V

dV

dV

dSF

dSFF

F

F

(1)

Nos interesa la integral no sobre toda la superficie S, sino sólo sobre S2. Puesto que la integral es un concepto aditivo respecto al dominio de integración, tendremos

1221

0

(1) ec.por

SSSSS

dSFdSFdSFdSFdSF (2)

Vemos que la integral sobre S2 es la misma que la integral sobre S1 cambiada de signo. Calcularemos, pues, esta última, que aparenta ser más sencilla, dado que la normal es un vector vertical y además la superficie carece de componente z. S1 es una elipse sobre el plano xy, 2x2 + 3y2 = 6, que puede ser parametrizada directamente en coordenadas cartesianas como T(x; y) = (x(x; y); y(x; y); z(x; y)), donde:

2

322

32 -2-2

33 ,

0xyx

x

z

yy

xx

,

donde los límites para x y y han sido despejados de la ecuación de la elipse. Para esta parametrización, tenemos que el producto vectorial fundamental será:

k

kji

TTN

010

001yx

Si ejecutáramos el PVF en el orden inverso, nos daría -k. ¿Cuál debemos elegir? El enunciado nos pide que la normal de la superficie elipsoidal apunte hacia arriba, lo cual significa que apunte hacia el exterior del volumen indicado en la figura, que es el que usamos para plantear el

O y

z

x S1

S2

6

2

3

teorema de la divergencia. Por lo tanto, para la base también deberemos tomar la normal exterior a dicho volumen, esto es, -k. Por lo tanto la integral que buscamos vendrá expresada por:

23

827

32

94

3

3

2/322/3

32

31

-33/2

-33/2

33

3 31

3

3

-33/2

-33/2

2

3

3

(2/3)-2

(2/3)-2

23

3

(2/3)-2

(2/3)-2

2

tablas

-32

)1;0;0();0;0(

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

dxxdydxydydxy

dydxydydxydS

x

x

x

x

x

xS

x

xS

NFdSF

Luego, reemplazando en (2) tenemos

23

12

SS

dSFdSF

Que es el resultado que buscábamos. Podrían haberse utilizado también coordenadas elípticas, que hubieran simplificado la integral pero a costa de una mayor complejidad en el cálculo del PVF, lo que significaba aproximadamente el mismo trabajo que operando en cartesianas. 12.) Hidrostática. A partir del principio de Pascal, demostrar el de Arquímedes.

Principio de Pascal: p = p0 + gh Principio de Arquímedes: Empuje = Peso de líquido desplazado (en módulo). SOLUCIÓN:

Si E es un sólido con superficie frontera S sumergido en un líquido de densidad

consante , en cuya interfase con la atmósfera reina una presión ambiente p0, y si adoptamos un sistema de coordenadas como el de la figura, el principio de Pascal nos dice que la presión en el diferencial de superficie indicado, ubicado a una profundidad L - z, vendrá dada por:

p = p0 + g(L - z) Por definición de presión, la fuerza que el fluido ejercerá sobre cada elemento de superficie del sólido vendrá dada en igual dirección y sentido contrario a la normal externa a este último, siendo:

dF = -pdS

x

dF

dS

p

p0

L - z

z

L

y

z

S

E

La componente vertical de esta fuerza vendrá dada por:

dFz = dF·(0;0;1) = -pdS·(0;0;1) = -[p0 + g(L - z)](0;0;1)·dS Si integramos este diferencial de fuerza sobre todo el dominio, esto es, sobre toda la superficie S, obtendremos la componente vertical de la fuerza resultante:

SS

z gzgLpzLgpF dSdS );0;0()1;0;0))((( 00

Notemos ahora que esta última es una integral de flujo, y que podemos por lo tanto aplicarle el teorema de la divergencia:

gMdVgdVg

dVgzgLpgzgLpF

EE

ES

z

);0;0( div);0;0( 00

dS

Donde M es la masa del líquido que ocuparía un volumen igual al del objeto sumergido. La fuerza vertical total, pues, es igual al peso del líquido desplazado. Se deja al lector demostrar por un razonamiento similar que las componentes x e y de la fuerza son nulas. Por lo tanto el empuje total del líquido es igual al peso del líquido desplazado, con lo cual hemos demostrado el principio de Arquímedes.

Bibliografía: Libro: Cálculo Tomo II Autor: Roland E. Hostetler Robert P. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano Libro: Cálculo con Geometría Analítica Autor: Swokowski Earl W. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano