DIVERGENCIA ROTACIONAL, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA

Divergencia de un campo vectorial

Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto Ω ⊆ Rny consideremos sus

coordenadas F = (F1, F2, . . . ,Fn). Supongamos que F es diferenciable en un punto a ∈ Ω, lo que

sabemos equivale a que todos los campos escalares Fk, con k = 1, 2, . . . , n, sean diferenciables

en el punto a. De hecho cada vector gradiente ∇Fk(a) es la k-ésima fila de la matriz jacobiana de F en a. Pues bien, la traza de dicha matriz es, por definición, la divergencia del campo F

en el punto a, y se denota por div F(a). Así pues, se tendrá: F

F

F n

div F(a) = ∂ 1(a) + ∂ 2(a) + . . . + ∂ n

∂x1∂x2∂xn (a) = ∑

k=1

∂Fk ∂xk

(a).

Cuando el campo vectorial F es diferenciable en todo punto de Ω tenemos una función

div F : Ω → R que en cada punto x ∈ Ω toma el valor divF(x) de la divergencia en dicho punto. Tenemos entonces la siguiente igualdad entre funciones, válida en todo punto de Ω:

F F F n

div F = ∂ 1+∂ 2+. . . + ∂ n=

∂x1 ∂x2 ∂xn

∑ k=1

∂Fk ∂xk

Para un campo vectorial plano (x, y) 7→ F(x, y) =(P(x, y), Q(x, y) , que sea diferenciable

en un punto (x0,y0), tendremos P

div F(x0, y0) = ∂

Q

(x0, y0) + ∂

(x0, y0) ∂x ∂y

Cuando F sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R2podremos escribir

P

div F = ∂ ∂x

Q

+ ∂ ∂y

(en Ω)

Análogamente, si F = P i + Q j + R k es un campo vectorial en el espacio, diferenciable

en un punto (x0,y0, z0), tendremos P

div F(x0,y0, z0) = ∂ ∂x

Q

(x0, y0, z0) + ∂ ∂y

R

(x0, y0, z0) + ∂ ∂z

(x0, y0, z0),

y cuando F sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R3podremos escribir

P

div F = ∂ ∂x

Q

+ ∂ ∂y

R

+ ∂ ∂z

(en Ω)

Vector simbólico “nabla”. Para operar con las nociones que estamos estudiando es útil

introducir el simbolismo

∇ = ( ∂

∂x1

, ∂ ∂x2

, . . . , ∂ ∂xn

= n

∑ k=1

∂

∂xk

ek

y manejar ∇ como si se tratase de un vector de Rn.

Por ejemplo, si f es un campo escalar definido en un abierto Ω ⊆ Rny diferenciable en

un punto a ∈ Ω, al multiplicar simbólicamente el “vector” ∇ por el escalar f (a) se obtiene la

expresión correcta del vector gradiente:

∇ f (a) = ( ∂ f

(a), ∂

f

(a), . . . , ∂

f n

(a) = ∑ ∂ f

(a) ek

∂x1 ∂x2 ∂xn k=1 ∂xk

Cuando f es diferenciable en todo punto de Ω podemos hacer el mismo cálculo simbólico

con el “escalar variable” f , que multiplicado por ∇ nos da

∇ f = ( ∂ f

, ∂

f

, . . . ,

∂

f

= n

∑ ∂ f

ek,

∂x1 ∂x2 ∂xn k=1 ∂xk

Si ahora F = (F1, F2, · · · , Fn) es un campo vectorial definido en el abierto Ω y diferenciable

en el punto a ∈ Ω, cuando calculamos simbólicamente el producto escalar del “vector” ∇ por

el vector F(a) = (F1(a), F2(a), . . . , Fn(a)) obtenemos:

∂F1 F F

∇ . F(a) = ∂x1 (a) + ∂ 2(a) + . . . + ∂ n

∂x2∂xn

(a) = div F(a).

Esto explica que frecuentemente se denote por ∇ . F(a) a la divergencia del campo F en el

punto a. Cuando F es diferenciable en Ω, tenemos igualmente

∂F1 F F

∇ . F = ∂x1 + ∂ 2+. . . + ∂ n

∂x2∂xn

= div F (en Ω)

Con las debidas precauciones, este cálculo simbólico con el “vector” ∇ resulta útil. Desta-

camos como siempre los dos casos particulares que nos interesan:

En el caso n = 2 tenemos ∇ =

( ∂,∂ ∂x ∂y

= ∂i+ ∂ ∂x ∂y

Interpretación Geométrica De La Derivada Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo,

data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de

las tangentes y que se describe a continuación.

Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig. 9.5.).

fig. 9.5.

Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P.

La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.

Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas:

Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P.

Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente:

, (Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante ,

denotada por viene dada por:

fig. 9.6.

En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya

pendiente viene dada por:

De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en es:

(Punto – Pendiente)

En los ejercicios 8, 9 y 10 de la sección 9.10. se ilustra la interpretación geométrica de la

derivada. Interpretación Física De La Derivada

Velocidad promedia y velocidad instantánea

Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en

un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.

Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.

Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el

velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad

instantánea.

Considere un ejemplo mas preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los

experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en caida libre, la posición S del objeto, como función del tiempo viene dada por:

: S en pies t en segundos

Asi, en el primer segundo, cae 16 pies.

en el segundo segundo, cae 16(2)2 = 64 pies.

En el intervalo de t =1 seg a t =2 seg, P cae (64 – 16) pies.

Asi que su velocidad promedio será:

En el intervalo de t =1 seg a t =1.5 seg, P cae (16(1.5)2 – 16) pies.

Su velocidad promedio será de:

En forma similar, en los intervalos de tiempo: de t =1 seg a t =1.1 seg, y de t =1

seg a t =1.01 seg, P caerá respectivamente: (16(1.1)2 – 16) pies y (16(1.01)2 – 16) pies.

Sus velocidades promedio serán respectivamente:

Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedia sobre los

intervalos de tiempo cada vez mas cortos pero próximos a 1 seg. Cuanto mas nos

aproximamos a t = 1 seg, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 seg.

Los números: 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedias, hacen "sospechar" que la velocidad instantánea es de 32 pies/seg.

El ejemplo anterior nos permite definir de una manera mas precisa los conceptos de velocidad promedia y de velocidad instantánea.

Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que

su posición S en cada instante t es una función S = f (t).

En el instante t = c, el objeto está en f (c).

En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) (Ver fig. 9.7.)

Por lo tanto, la velocidad promedia durante este intervalo es:

Se define la velocidad instantánea V en el instante t = c asi:

fig. 9.7.

En el ejercicio 11 de la sección 9.10. se ilustra la interpretación física de la derivada.