CAPÍTULO 4 CÁLCULO II

4.1 ÁREAS Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b], el área de la región acotada por la gráfica de f, el eje x y las rectas x 0 a y x = b está dada por:

y

f

A = ∫ f ( b

a

dxx)

Ejemplo 1: Calcular el área de la región acotada por la recta y = − 2

1 x + 2, el eje x y el eje y. x 0 1 2 3 4 y 2 1.5 1 0.5 0

A = =∫b

a

dxxf )( ( ) [ ]404

4

021 22 2 xdxx x +−=+−∫

A = 84)4(2442 +−=+−

A = 4 u2 Ejemplo 2: Hallar el área de la región limitada por la parábola y2 =4x, el eje y y la recta y = 4. x 0 1 2 3 4 y 0 2 2.8 3.5 4

A = ∫b

a

dyyf )(

A =

4

0

34

0

2

124 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∫

ydyy

A = 316

1264

1243

== u2

a x b

f(x)=-1/2*x+2

Area

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-0.

0.5

1

1.5

2

x

y

5

f(x)=sqrt(4x)

f(x)=cuatro

Ar ae

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

1

2

3

4

x

y

M. I. CLAUDIA RAZO HERNÁNDEZ 1

CAPÍTULO 4 CÁLCULO II

Ejemplo 3: Encontrar el érea de la región limitada por la curva y = 4 − x2 y el eje x. x -2 -1 0 1 2 y 0 3 4 3 0

Como el eje y es un eje de simetría de la región, se puede calcular el área de la mitad y se multiplica por dos

A = 2 ∫b

a

dyyf )(

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−∫ 3

2)2(423

42)4(232

0

32

0

2 xxdxx

A = 3

323882 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

Ejemplo 4: Hallar el área de la región limitada por la parábola y = x2 y la recta y = 4. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 Como el eje y es un eje de simetría de la región, el centroide estará sobre el eje y.

f(x)=4-x^2

Sombreado 1

f(x)=cero

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

1

2

3

4

5

x

y

A = 2 ∫b

a

dyyf )(

A =4

0

234

023

234

0

21 )4(342)(2 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=∫

ydxy

A = 3

32)8(34)4(

34 23 ==

f(x)=x^2

Sombreado 1

f(x)=cuatro

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

2

4

6

8

x

y

3

El área entre dos funciones se calcula como:

A =

a b

y = f(x)

y = g(x)

y

x

∫ −b

a

dxxgxf )]()([

Donde f(x) es la función que se encuentra más arriba ( o mas a la derecha) y g(x) es la función que se encuentra más abajo o más a la izquierda.

M. I. CLAUDIA RAZO HERNÁNDEZ 2

CAPÍTULO 4 CÁLCULO II

Ejemplo 5: Hallar el centroide de la región que tiene como fronteras las curvas y = x2 y y = x3. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9

A = ∫ −b

a

dxxgxf )]()([

A =41

31

43)(

1

0

1

0

4332 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−∫

xxdxxx

A = 121

f(x)=x^2

f(x)=x^3

Sombreado 1

0.1 0.2 0. 5 0 1

3 0.4 0. 0.6 0.7 .8 0.9 1.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

M. I. CLAUDIA RAZO HERNÁNDEZ 3