4.2.4 Prueba de Anderson-DarlingASIGNATURA:

ESTADISTICA INFERENCAL I

CATEDRÁTICA: ING. MA. CRISTINA GUERRERO RODRIGUEZ

EQUIPO 6INTEGRANTES:

GERARDO ALONSO SÁNCHEZ 13070596JAIR DE JESUS HERNANDEZ CRUZ 13070881OMAR DAMIAN ORTEGA 13070667

Fecha: 01-DICIEMBRE-2015

Prueba de Anderson – Darling.En estadística, la prueba de Anderson-Darling es una prueba no paramétrica sobre si los datos de una muestra provienen de una distribución específica. La fórmula para el estadístico A determina si los datos (observar que los datos se deben ordenar) vienen de una distribución con función acumulativa F.

Donde:

Donde:n es el número de datosf(x): es la función de distribución de probabilidad teóricaFS(X): es la función de distribución empírica.

Para definir la regla de rechazo para esta prueba es necesario, también, obtener elestadístico ajustado para luego compararlo con los valores críticos de la tabla deAnderson- Darling

Una vez obtenido el estadístico ajustado, la regla de rechazo se realiza análogamente ala utilizada en la prueba de K-S. El estadístico de la prueba se puede entonces compararcontra las distribuciones del estadístico de prueba (dependiendo que F se utiliza) paradeterminar el P- valor.

La prueba de Anderson-Darling es una prueba estadística que permite determinar si una muestra de datos se extrae de una distribución de probabilidad. En su forma básica, la prueba asume que no existen parámetros a estimar en la distribución que se está probando, en cuyo caso la prueba y su conjunto de valores críticos siguen una distribución libre.

Sin embargo, la prueba se utiliza con mayor frecuencia en contextos en los que se está probando una familia de distribuciones, en cuyo caso deben ser estimados los parámetros de esa familia y debe tenerse estos en cuenta a la hora de ajustar la prueba estadística y sus valores críticos. Cuando se aplica para probar si una distribución normal describe adecuadamente un conjunto de datos, es una de las herramientas estadísticas más potentes para la detección de la mayoría de las desviaciones de la normalidad.

¿Cómo se utiliza el estadístico de Anderson-Darling para evaluar el ajuste de la distribución?

El estadístico de Anderson-Darling (AD) mide qué tan bien los datos siguen una distribución particular. Por lo general, mientras mejor se ajusta la distribución a los datos, menor será el estadístico AD.

El estadístico AD se utiliza para calcular el valor p para la prueba de bondad del ajuste, la cual le permite determinar qué distribución se ajusta mejor a sus datos. Por ejemplo, el estadístico AD se calcula para cada distribución cuando usted ejecuta Identificación de distribución individual.

El estadístico AD también se utiliza para probar si una muestra de datos proviene de una población con una distribución específica. Por ejemplo, usted necesitaría probar si sus datos cumplen el supuesto de normalidad para una prueba t.

Las hipótesis para la prueba de Anderson-Darling son:

H0: Los datos siguen una distribución especificada.

H1: Los datos no siguen una distribución especificada.

Se presentan dos situaciones para la estadística Anderson-Darling:

1.- Se conocen los parámetros de la distribución llamado caso 0 (cero).

2.- Desconoce al menos uno de ellos (casos 1, 2 y 3). Situándonos en el caso de bondad de ajuste a la distribución normal se consideran los siguientes casos:

• Caso 0: µ y s2 son conocidos.

• Caso 1: s2 conocida y µ desconocida y estimada por X.

• Caso 2: µ conocida y s2 desconocida y estimada por s(n)=Σ (xi-µ)2/n

• Caso 3: ambos desconocidos, estimados por X y s(n-1)=Σ (xi - x)2/n-1

Para cada uno de los casos existe una tabla estadística para realizar la prueba de la hipótesis, Ho: "La muestra aleatoria proviene de una distribución normal".

La estadística de Anderson-Darling se calcula para los cuatro casos de la misma manera; sin embargo.

En el caso 3 se debe multiplicar por un factor de corrección el cual es: 1 + (0.75/n) + (2.25/n2), que mejora la aproximación.

ESTADISTICO DE PRUEBA:

En donde:

n= número de observaciones

F(Y) = la distribución de probabilidades acumulada normal con media y varianza especificadas a partir de la muestra

Y i = los datos obtenidos en la muestra

PROCEDIMIENTOS:

1. Obtener n datos de la variable aleatoria a analizar.

2. Calcular la media y la varianza de los datos.

3. Organizar los datos en forma ascendente: Yi i=1,2….,n.

4. Ordenar los datos en forma descendente Yn+1-i i = 1,2….,n.

5. Establecer explícitamente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de probabilidad.

6. Calcular la probabilidad esperada acumulada para cada número Yi, PEA(Yi), y la probabilidad esperada acumulada para cada número, PEA(Yn+1-i), a partir de la función de probabilidad propuesta.

7. Calcular el estadístico de prueba:

8. Ajustar el estadístico de prueba de acuerdo con la distribución de probabilidad propuesta.

9. Definir el nivel de significancia de la prueba α, y determinar su valor crítico.

10. Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es menor el valor crítico no se puede rechazar la hipótesis nula.

Ejemplo

Pruebe si los siguientes datos se distribuyen o no en forma normal

BIBLIOGRÁFIA

Marqués dos Santos, María José; Estadística Básica: un enfoque no parametrico, Universidad Nacional Autonoma de México, Facultad de Estudios Superiores Zaragoza.

GARCÍA DUNNA, Eduardo. GARCÍA REYES, Heriberto. CÁRDENAS BARRÓN, Leopoldo Eduardo. Simulación y análisis de sistemas con promodel. Primera edición. Editorial Pearson educación, México 2006. Pág 62-64.