4.5 Espacio Vectorial

7/31/2019 4.5 Espacio Vectorial

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4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades

Definicin. El espacio vectorial complejo Vse conocecomoun espacio con producto interior si

para cualquier par de vectores u y v en V, existe un nico nmero complejo (u, v), llamado el

producto interior de u y v, talquesi u, v y w estn en V y si C, entonces

Propiedades

i. (v, v) 0

ii. (v, v) = 0 si y slo si v = 0.

iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)

iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)

v. (u, v) = (v, u)

vi. (u, v) = (u, v)

vii. (u, v) = (u, v)

La barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus

propiedades.Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada parordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo nico (u,v), denominado productointerno de u y v, talquesi u, v y w estn en V y C, entonces

La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3
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En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces

Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v estn en V. entonces

Nota 1. Aqu se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusin con el valorabsoluto.Porejemplo sen t denota la norma de sen t como un vector en C[0, 2] mientras que|sen t| denota el valor absoluto de la funcin sen t.Nota 2. La ecuacin anterior tiene sentido ya que (u, u)0.

EJEMPLO: dos vectores ortogonales en C2En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque

Conjunto ortonormal

El conjunto de vectores es un conjunto ortonormal en V si

ySi solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal.

TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero en un espaciocon producto interno es linealmente independiente.

TEOREMA: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto internose puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt. En particular,cualquier espacio con producto interno tiene una base ortonormal.

Proyeccin ortogonalSea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal

Si vV, entonces la proyeccin ortonormal de v sobre H denotada por proyHv esta dada por (6)
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Las demostraciones de los siguientes teoremas son idnticas a sus contrapartes en Rn.TEOREMA: sea H un subespacio de dimensin finita con producto interno V. suponga que H tiene

dos bases ortonormales

Sea vV. entonces

Complemento ortogonalSea H un subespacio del espacio con producto interno V. entonces el complemento ortogonal de

H, denotado por H, esta dado por (7)

TEOREMA: si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces

TEOREMA DE PROYECCIN: sea H un subespacio de dimensin finita del espacio con productointerno V y suponga que vV. entonces existe un par nico de vectores h y p tales que hH, pH, y(8) v=h+p donde h=proyHv.

Si V tiene dimensin finita, entonces p=proyHv.

TEOREMA: sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios linealmenteindependientes si y solo si multiplicidad geomtrica de cada valor propio es igual a sumultiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores propios linealmente independientes si

todos los valores propios son distintos (ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valorpropio es 1).

ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES

Sean X = ( x 1, x 2, ..., x n ), Y = ( y 1, y 2, ..., y n ) dos vectores arbitrarios de

Rn. Definimos el producto interno de X e Y as:

X, Y =

i=1

n

x i y i. (1.2.1)

Las propiedades de (1.2.1) son:

1. X, Y = Y, X .
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2. X + Z, Y = X, Y + Z, Y .

3. lX, Y = l X, Y .

Las propiedades 2. y 3. nos dicen que el producto interno es lineal en la primera variable.Porla

propiedad 1. concluimosquetambin lo es en la segunda variable.

Existen en la literatura matemtica otras notaciones para el producto interno, por ejemplo: X.Y y

se le

conoce con el nombre de producto punto. Otra notacin, bastante aparatosa, es X|Y , que

aparece frecuentemente en los libros de Fsica.

Con esl uso del producto interno introducimos uno de los conceptos ms notables en

matemticas: la

norma de un vector.

Definicin (1.2.2): Sea X = ( x 1, x 2, ..., x n ) Rn, definimos la norma de X as:

X = X, X =

i=1

n

x i

X = X, X =

i=1

n

La longitud (norma) de un vector de Rn es V = (v1, v2, ..., vn ) esta dada por:

________________

||V|| =" v12 + v22 + ... + vn2 esta no puedesernegativa si el vector v = 1 este se llama vector

unitario dos vectores U y V en Rn son paralelos si al vector V es mltiplo del vector U, es decir, si

U = cV si c > 0 los vectores van a la misma direccin y si c < 0 van en direccin opuesta, la

longitud de un mltiplo escalar se ve por la formula || cV || = | c | || V || donde | c | es el

valor absoluto de c y c es un escalar.

El vector unitario de V es si V " 0 entonces U = V / ||V|| es de longitud uno y tiene la misma

direccin de U+V se llama vector unitario en direccin de V este proceso se llama normalizacin

del vector V.
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La distancia entre dos puntos se llama normalizacin del vector V.

___________________

d =" (u1 - v1 )2+ (u2 - v2 )2 y la distancia entre dos vectores en R2 se encuentra .

___________________

d(U,V) = || U - V || =" (u1 - v1 )2+ (u2 - v2 )2 donde U = (u1 - u2 ) y V = (v1 - v2 ).

Las propiedades que cumple la distancia son:

d( U , V ) " 0.

d( U , V ) = 0 si solo si U = V.

d( U , V ) = d( V , U ).

Para encontrar el ngulo entre dos vectores distintos de cero usamos la formula:

Cos = (u1v1 + u2v2) / ||U|| ||V|| donde U = ( u1, u2 ) y V = ( v1 , v2 ) y donde u1v1 + u2v2 se

denota como producto punto de dos vectores. El producto punto para Rn se denota U % V = u1v1 +

u2v2 + ... + unvn las propiedades que cumple son :

U % V = V % U

U % (V + W) = U % V + U % W

c ( U % V ) = cU % V = U % cV

V % V " ||V|| 2


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V % V " 0 y V % V = 0 si solo si V = 0

Donde c es un escalar y que U, V, W son vectores cualesquiera en Rn.

Desigualdad de gauchy - schawarz:

La desigualdad de Gauchy - Schwarz dice que | U % V | " || U || || V || don de | U % V | es valor

absoluto de U % V donde U y V son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el ngulo

entre dos vectores en Rn as : Cos = (U % V ) / (||U|| ||V||) esta formula no define ngulos

entre dos vectores, si U % V = 0 se dice que los ngulos son ortogonales.

La desigualdad del triangulo:

Dice si U y V son vectores entonces || U + V || " || U || + || V ||.

El teorema de Pitgoras:

Este dice si U y V son vectores entonces || U + V ||2 = || U || 2 + || V || 2 solo para vectores

ortogonales.

Un producto punto es un producto interno Euclidiano esto es un producto interno que se puede

definir en R2. para poder diferenciar el producto interior de otros posibles productos internos lo

escribiremos esto ser el producto general para el espacio vectorial V.

Para solucionar un producto interno se procede igual que al definir un espacio vectorial en el

acho de que debe cumplir con varios axiomas para poder calificar como producto interno estos

axiomas son:

Siendo U, V, W vectores en V y c cualquier escalar:

=


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= + o = +

c =

" 0 y = 0 si solo si v = 0

= = 0

Para definir la norma, distancia, ngulo de dos vectores que tenga producto interno:

siendo U, V vectores en V:

______

norma = ||U|| = "

distancia entre U, V = d= || U - V ||

ngulo entre vectores U, V diferentes de 0 cos = / ( ||U|| ||V|| ) donde 0 " " .

Dos vectores con producto interno son ortogonales si = 0. El vector unitario de un vector con

producto interno || U || = 1 el vector unitario en direccin de V donde U = V / || V || donde V "

0. Para ver si U y V son vectores en el espacio con producto interno deben cumplir con las

propiedades de norma:

|| U || " 0.

|| U || = 0 si solo si U = 0.

|| cU || = | c | || U ||.

Y las propiedades de la distancia antes ya mencionadas.


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Adems cumplen con la desigualdad de Gauchy - Schawarz, desigualdad del triangulo y el

teorema de Pitgoras antes yya explicadas.

Proyecciones ortogonales en espacios con producto interno:

Si U y V son vectores en el plano y V es diferente de 0 entonces este se puede proyectar

ortogonalmente a U y se denota como

ProyV U = [ ( U%V ) / ( V%V ) ]V

proyU V = [ ( U%V ) / ( U%U ) ]U donde U%V y V%V son el producto punto o producto interno

Euclidiano.

Para en el espacio la proyeccin se denota como proyv U = [ / ]V , proyv U = [ / ]U.

La proyeccin ortogonal y distancia:

Siendo U y V dos vectores en el espacio V con producto interno y V " 0. Entonces la distancia d (

U, proyv ) < d ( U, cV ) donde c " / .

Definicin de conjuntos ortonormales y conjuntos ortogonales:

En un conjunto de vectores S de el espacio vectorial V es producto interno es ortogonal si cada

vector de y seria espacio ortonormal si cada vector S es unitario.

Es ortonormal si < vi, vj > = 0 i " j y || vj || = 1 donde i = 1, 2, 3, ..., n y es ortonormal si < vi, vj

> = 0 i " j donde vi, vj pertenecen al conjunto s = { v1, v2, ..., vn }

Un conjunto ortogonal es linealmente independiente si s es un conjunto de vectores diferentes de

cero y que pertenecen al espacio v con producto interno.

Proceso para ortonormalizar de Gram - Schmidt:


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Ver si la base tiene producto interno (como ya lo vimos).

Convertir la base a una base ortogonal.

Sea B = { v1, v2, ..., vn }

w1 = v1

w2 = v2 - proyw1 v2

wn = vn - proyw1 v3 - - proyw(n-1) vn

B' = { w1, w2, ..., wn }

y para ortonormalizar ui = wi / ||wi|| donde I = 1, 2, ..., n.

Donde B'' = { u1, u2, ..., un } es un abase ortonormal.

Aplicacin de los espacios con producto interno:

Producto cruz de dos vectores en el espacio:

Donde U = (u1, u2, ..., un )

V = (v1, v2, ..., vn )

U x V =

por el mtodo de cofactores = i + j + k .

las propiedades del producto cruz:


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U x V = V x U

c ( U x V ) = c U x V = U x c V

U x U = 0

U x ( V + W ) = ( U x V ) + ( U x W )

U x 0 = 0 x U

U ( V x W ) = ( U x V ) W

U x V son paralelos si U x V = 0.

Aproximacin por mnimos cuadrados:

Siendo f y g dos funciones en x y funciones continuas en un intervalo finito [ a, b ] entonces.

I = 2 dx siendo I = 0 si ( f - g ) ! 0 esto se puede representar como :

= 2 dx siendo I = 2 dx = = || f - g || 2 esto significa que es equivalente minimizar || f - g || 2 y

|| f - g ||.

La aproximacin de minimos cuadrados esta dada por:

g = w1 +w2 + ... + wn siendo w1 = w1 donde b = {w1, w2, w3,}

4.5 Espacio Vectorial

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