Lugar Geomtrico de la Raiz

Lugar Geomtrico de la RazMC. Jaredt Gpe. Torres LopesLos polos de lazo abierto de un sistema representan caractersticas propias del mismo, no pueden ser modificados a menos que se modifique el sistema o se agreguen otros elementos dinmicos.Lugar de las races

1.45.6

RespuestaNo cambia el tiempo de respuesta, solo la amplitud.El tiempo de respuesta cambia, Solo agregando otra dinmica.1.40.7Sistema de primer orden ante una entrada escaln:Por otra parteLos polos de lazo cerrado pueden ser fcilmente modificados sin alterar la naturaleza del sistema. Las caractersticas de estabilidad de un sistema en lazo cerrado estn ntimamente ligadas con la ubicacin de los polos de lazo cerrado. Porqu modificar los polos de lazo cerrado?Entonces: Un sistema en lazo cerrado puede tener distintos tipos de respuesta de salida sin alterar su naturaleza.

Sistemas inestables (estables) pueden llegar a ser estables (inestables) utilizando realimentacin y, en el caso ms sencillo, modificando una simple ganancia.Sea el sistema de lazo cerrado

+-Polos de lazo abierto:

En lazo cerrado:

La ecuacin caracterstica es:

En lazo abierto:

Las races de la ecuacin caracterstica son los polos de lazo cerrado (p.l.c):

y dependen del valor de KEjemploSe evala el sistema anterior para diferentes valores de K:

NOTA: Cada par de polos de lazo cerrado provoca una respuesta de salida diferente.

La ubicacin de estas races en el plano s Lugar de las racesEntonces si se evaluara para todos los valores positivos de K se obtendra El lugar de las races de ese sistema en particular. Regresando al ejemplo:

Variando el valor de la ganancia K, se tiene acceso a cualquier valor de polos de lazo cerrado (regin verde-azul).Otro valor fuera de esa regin, no es posible obtenerlo solamente con el cambio de K.Lugar de las racesEl lugar de las races se define como el lugar geomtrico de las races de la ecuacin de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algn otro parmetro desde cero hasta infinito, partiendo de la ecuacin de lazo abierto GH(s): DefinicinCondicin de ngulo y magnitudLa ecuacin caracterstica:

por ser un polinomio en s (variable compleja) tiene tanto magnitud y ngulo:

Condicin de magnitudCondicin de nguloTodas las races del lugar de las races cumplen con la condicin de ngulo y magnitud.Retomando el ejemplo anterior con:

Condicin de magnitud

NOTA: Cumple con la condicin de magnitud.Lugar de las racesLugar de las races

Condicin de ngulo

Cumple con la condicin de ngulo

lugar de las racesCualquier otro polo de lazo cerrado fuera del lugar de las races no cumple con la condicin de magnitud ni de ngulo.Cualquier otro polo de lazo cerrado dentro del lugar de las races cumple con la condicin de magnitud y de ngulo.Reglas de construccin para el lugar de las racesSe expondrn las reglas con un ejemplo, encontrar el lugar de las races de:1.- Puntos de origen (k = 0)Los puntos de origen del lugar de las races son los polos de GH(s). Los polos incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.

polos finitos

ceros finitos

2.- Puntos terminales (k = ) Los puntos terminales del lugar de las races son los ceros de GH(s). Los ceros incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito. 3.- Nmero de ramas separadas P = # de polos finitos de GH(s), Z = # de ceros finitos de GH(s), N = # de ramas separadas.

Ramas separadas4.- Asntotas del lugar de las races

j = 0, 1, 2, 3, hasta N -1= P - Z - 1

Lugar de las races5.- Interseccin de las asntotas con el eje real.

6.- Lugar de las races sobre el eje real Un punto del eje real del plano S pertenece al lugar de las races si el nmero total de polos y ceros de GH(s) que hay a la derecha del punto considerado es impar. Lugar de las racesLugar de las races7.- ngulos de salida y llegada El ngulo de salida del lugar de las races de un polo o el ngulo de llegada de un cero de GH(s) puede determinarse suponiendo un punto S1 muy prximo al polo o al cero aplicando la siguiente ecuacin:

En el caso del ejemplo, los polos estn en el eje real y puede calcularse el ngulo de salida por simple inspeccin. Si se usa la frmula, se define un punto muy cercano al polo o cero a calcular su ngulo de salida o llegada.

punto de pruebaLugar de las races8.- Interseccin del lugar de las races con el eje imaginario Sobre el eje imaginario el valor de es , por eso se cambia en la ecuacin caracterstica . Se obtiene el valor de y el de .

Se separan las parte real e imaginaria:

Lugar de las races9.- Puntos de separacin Los puntos de separacin o de ruptura es un valor donde dos polos dejan de ser reales y se hacen imaginarios (o viceversa). Se determinan usando:

Lugar de las races10.- Clculo del valor de K en el lugar de las races

Se puede conocer que valor de K es necesario para obtener los polos de lazo cerrado deseados, utilizando la condicin de magnitud.Lugar de las racesPaso 1Paso 2

Paso 3Paso 4

Paso 5

Paso 6Inicio

Lugar de las races

Paso 7

Paso 8

Paso 9

Este es el lugar de las races del sistema.