142

4.5. Problemas

4-1. Calcule la energıa almacenada en un condensador plano sometido a una diferenciade potencial entre placas V . El area de las placas es A y la distancia entre lasmismas d. Exprese el resultado en funcion de (C , Q), (C , V ) y E. Desprecie losefectos de bordes.

4-2. Calcule la energıa almacenada en un solenoide recto de seccion circular queesta recorrido por una intensidad I. Su longitud es l, su seccion A y el numerode espiras por unidad de longitud n. Exprese el resultado en funcion de (L , I),(L , Φ) y B. Desprecie los efectos de bordes.

Solucion:

Tenemos dos alternativas, calcularla en funcion de la densidad de en-ergıa

Wm =1

2µ0

∫

V→∞B2 dv

o en funcion del flujo

Wm =1

2IΦ

El campo magnetico en el interior del solenoide 14 es constante, por loque la primera alternativa nos da

Wm =1

2µ0V B2

donde V = A l es el volumen del solenoide.

Por otra parte, teniendo en cuenta que la autoinduccion se ha definido 15

como L ≡ Φ

I

Wm =1

2LI2 =

1

2LΦ2

4-3. Sea una lınea coaxial, figura 4.11, compuesta por dos conductores cilındricos. Elinterno de radio a, es hueco y el externo de radio interior b, ambos de espesordespreciable. La longitud de ambos es L≫ a, b. Considere una pequena seccion dela misma de longitud ∆z ≪ L y alejada de los extremos. Por los conductores cir-culan intensidades I, uniformemente distribuidas, iguales y en sentido contrarioy la diferencia de potencial entre ellos, en dicha seccion, es V . Halle la energıaelectromagnetica almacenada, la capacidad y la autoinduccion por unidad de lon-gitud.

14Veanse los problemas del capıtulo segundo.15Veanse los problemas del capıtulo segundo.

143

2a I

I

L>>a,b

+

−V

2b

Figura 4.11:

4-4. Una onda plana se propaga en el vacıo en la direccion del eje z. El campo electricoen z = 0 es

~E =→

E0 x [e−t − e−2t] , , t > 0

0 , , t < 0

donde E0 = 100µV ·m−1. Halle, para z > 0,

a) Campo magnetico.

b) Vector de Poynting.

c) Energıa total que atraviesa a un casquete hemisferico, de radio a = 1m, cuyoeje es paralelo al z.

SOLUCION:

(a) - Para encontrar la expresion del campo electromagnetico encualquier posicion z, basta con tener en cuenta que la onda viaja, atraves del vacıo, en la direccion positiva del eje z, por lo que t = (t− z

c )z=0

y~E(z, t) = E0

[e−(t− z

c) − e−2(t− z

c)]x

Haciendo uso de la relacion de estructura con ~n = z

~B(z, t) =1

cz ∧ ~E(z, t) =

1

cE(z, t) y

(b) - el vector de Poynting es

~S0 =1

µ0

~E ∧ ~B = c ω0 z = c ε0E2 z

(c) - Puesto que el vacıo no es disipativo, la energıa que atraviesa elcasquete es la misma que atraviesa un disco, del mismo radio y con el

Scan109, abril 02, 2008.max

143

2a I

I

L>>a,b

+

−V

2b

Figura 4.11:

4-4. Una onda plana se propaga en el vacıo en la direccion del eje z. El campo electricoen z = 0 es

~E =→

E0 x [e−t − e−2t] , , t > 0

0 , , t < 0

donde E0 = 100µV ·m−1. Halle, para z > 0,

a) Campo magnetico.

b) Vector de Poynting.

c) Energıa total que atraviesa a un casquete hemisferico, de radio a = 1m, cuyoeje es paralelo al z.

SOLUCION:

(a) - Para encontrar la expresion del campo electromagnetico encualquier posicion z, basta con tener en cuenta que la onda viaja, atraves del vacıo, en la direccion positiva del eje z, por lo que t = (t− z

c )z=0

y~E(z, t) = E0

[e−(t− z

c) − e−2(t− z

c)]x

Haciendo uso de la relacion de estructura con ~n = z

~B(z, t) =1

cz ∧ ~E(z, t) =

1

cE(z, t) y

(b) - el vector de Poynting es

~S0 =1

µ0

~E ∧ ~B = c ω0 z = c ε0E2 z

(c) - Puesto que el vacıo no es disipativo, la energıa que atraviesa elcasquete es la misma que atraviesa un disco, del mismo radio y con el

144

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

E

t

pulso

tangentes iniciales

x

y

z

∆S

t=t0

z=c t0

z

E

(b)

(a) (c)

Figura 4.12:

mismo eje, situado, como se muestra en la figura 4.12-c, en z = 0. Ası,dicha energıa puede calcularse de la forma

W =

∫ ∞

t=0

[∫

∆S

(~S0

)

z=0· d~s]dt = ε0cE

2πa2

∫ ∞

t=0

[e−t − e−2t

]2dt

4-5. Verifique que~E = x e(−a2 t2−b2 z2+2 a b z t)

puede corresponder a una onda que viaja a traves del vacıo. En caso afirmativo:

a) Determine las condiciones que deben cumplir las constantes a y b.

b) Calcule el campo magnetico.

c) Suponga que dicha onda incide, desde el vacıo, sobre un conductor ideal queocupa el semiespacio z > 0 y halle el campo electromagnetico total resultante.

En el caso dinamico, se dice que un conductor es ideal si su conduc-

tividad es infinita. Como se comprobara mas adelante, dicho conductor anulalas componentes tangenciales del campo electrico.

SOLUCION :

(a) - Obviamente, si ab = c = 1√

µ0ε0, el campo electrico puede escribirse

de la forma~E(z, t) = x e−b2(z−ct)2

145

que pone de manifiesto que E = f(z − ct) es una onda que viaja en elsentido positivo del eje z.

(b) - El campo magnetico viene dado por la relacion de estructura delas onda electromagneticas en el vacıo

~B(z, t) =1

cz ∧ ~E(z, t) =

1

cE(z, t) y

(c) - Si la onda incide sobre el conductor, debe existir, ademas de laincidente, una onda reflejada, de forma que, para z < 0

~Et(z, t) = ~Ei(z, t) + ~Er(z, t) = x[e−b2(z−ct)2 +Ae−b2(z+ct)2

]

El argumento de la onda reflejada lleva un signo + puesto que estaviaja en sentido contrario al de la incidente. La constante A se deter-minara mediante las condiciones de frontera en z = 0.

Et(z = 0) = 0 ⇒ A = −1

Aplicando por separado la relacion de estructura a las ondas incidentey reflejada, a la primera con ~n = z y a la segunda con ~n = −z,

~Bt(z, t) = ~Bi(z, t) + ~Br(z, t) =1

cy[e−b2(z−ct)2 + e−b2(z+ct)2

]

4-6. Para una onda plana monocromatica que se propaga en un medio con:

~E(z, t) = (y + 2x) cos(109t+ 30z)V ·m−1

Calcule:

a) La direccion de propagacion.

b) El vector unitario en la direccion de la polarizacion.

c) La frecuencia f , la angular ω y el periodo T de la onda.

d) El numero de onda k y la longitud de onda λ.

e) la velocidad de fase ¿Se propaga esta onda en el vacıo?

f) El campo magnetico.

4-7. Considere una onda electromagnetica que se propaga en la direccion x en el vacıo,la cual se descompone en la suma de otras dos:

(a) -~E = y E1 cos(ωt− kx) + y E2 cos(ωt− kx+ α)

Obtenga ~P y 〈~P〉. Los valores obtenidos ¿son la suma de los correspondientes acada componente de la onda ?

146

(b) - Repita el problema si

~E = y E1 cos(ωt− kx) + z E2 cos(ωt− kx+ α)

SOLUCION:

(a) - Aplicando la relacion de estructura

~B =1

cx ∧ ~E =

E

cz =

z

c(E1 cosϕ+ E2 cos (ϕ+ α)) , ϕ = ωt+ kx

y el vector de Poynting

~P =1

µ0

~E ∧ ~B = x1

µ0c

[E2

1 cos2 ϕ+ E2

2 cos2 (ϕ+ α) + 2E1E2 cosϕ cos (ϕ+ α)

]

Dado que cos2 a = 12(1 + cos 2a) , cos a cos b = 1

2 [cos (a+ b) + cos (a− b)]

~P =1

2

x

µ0c

E2

1 + E22 +

(c)︷ ︸︸ ︷2E1E2 cos α︸ ︷︷ ︸

(a)

+E21 cos 2ϕ+ E2

2 cos (2ϕ+ 2α) + 2E1E2 cos (2ϕ+ α)︸ ︷︷ ︸(b)

Como puede verse, los terminos (b) oscilan en el tiempo sobre un valormedio nulo, por lo que el valor medio viene dado por los (a). Las doscomponentes de la onda no constituyen modos independientes, por loque aparece el sumando (c) que representa a la interferencia entre lasdos componentes

〈~P〉 =1

2

x

µ0c

E2

1 + E22 + 2E1E2 cos α︸ ︷︷ ︸

(c)

(b) - En este segundo caso las dos componentes estan polarizadas en di-recciones distintas, por lo que son independientes. Aplicando la relacionde estructura se tiene que el valor medio del vector de Poynting es

〈~P〉 =1

2

x

µ0c

[E2

1 + E22

]

Comprobamos que en este caso no existe termino de interferencia ycada una aporta independientente su contribucion al flujo de potencia.

4-8. Sea el campo ~E = E0x cos (ω t−k z) x+E0y cos (ω t−k z+ϕ) y = x x+y y. Dibuje

la trayectoria del extremo del vector ~E en el plano z = 0, a lo largo del tiempo.Se dice que una onda esta polarizada linealmente si la trayectoria

es una recta, elıpticamente , si es una elipse, y circularmente si es una

circunferencia.¿Que condiciones deben cumplir los parametros E0x, E0y y ϕpara que la polarizacion sea de cada uno de los tipos arriba mencionados?

147

4-9. Demuestre que los siguientes campos electricos pueden corresponder a ondas elec-tromagneticas planas en el vacıo, que se propagan segun el eje z, y calcule loscampos magneticos asociados.

a)~E = E0 e

±j ω z/c e j ω t x

b)~E = E0 cos (ω

z

c) cos (ω t) y

Calcule el vector de Poynting y analize en que forma transporta la energıa cadauna de estas ondas.

4-10. Demuestre que la onda plana ~E = E0 cos k(z − ct) x puede ser descrita con soloun potencial vector que, ademas, cumple la condicion de Culomb.

Solucion:

El vector unitario de propagacion es ~n = z. Escribiendo α = k(z − ct) yhaciendo uso de la relacion de estructura

~E = E0 cos α x , ~B =E0

ccos α y

Debemos comprobar que se llega a este mismo resultado siguiendo elenunciado del problema:

~E = −∂~A

∂ t= −d

~A

dα

∂ α

∂ t= k c

d ~A

dα

Luego ~A = A x y

A =E0

k c

∫cos α dα+ cte =

E0

k csenα

La constante de integracion se ha tomado como nula.

Dado que el campo no depende de x ni de y

~B = ∇∧ ~A = y∂ ~A

∂ z= y

d ~A

dα

∂ α

∂ z=E0

ccos α y

Por ultimo, dado que hemos supuesto que, en este caso, V puedetomarse como nulo, el contraste de Coulomb y el de Faraday se ex-presan de la misma forma.

4-11. Demuestre que las ondas f(u) (u = x − ct), que se propagan en la direccion~n = +x, cumplen la ecuacion

(∂

∂ x+

1

c

∂

∂ t

)f(u) = 0

148

y las g(w) (u = x+ ct), que lo hacen en la ~n = −x, cumplen la ecuacion

(∂

∂ x− 1

c

∂

∂ t

)g(w) = 0

.

4-12. El ritmo medio al que la energıa solar incide sobre la Tierra es aproximadamente1400W ·m−2.

a) Calcule el valor del campo electrico en la superficie terrestre considerando ala luz solar como monocromatica y linealmente polarizada.

b) Si el Sol radia isotropicamente, ¿con que potencia lo hace ? La distancia dela Tierra al Sol es 1,49 × 108 km.

c) Calcule la potencia total recibida por la Tierra sabiendo que su radio es 6,37×103 km.

Se dice que un cuerpo radia de forma isotropa cuando la intensidad

de radiacion es independiente de la direccion.

4-13. Considere un transmisor que colocado en la Luna radia isotropicamente a la fre-cuencia de 5GHz y con una potencia de 1W . Sabiendo que la distancia Tierra-Luna es 3,8 × 105 km, calcule:

a) El valor de los campos E y B en la superficie de la Tierra.

b) El valor medio del vector de Poynting en la superficie terrestre.

c) La densidad media de energıa.

d) El tiempo que tarda una senal en alcanzar la Tierra.

4-14. Sean dos cargas puntuales ± q(t), en el vacıo, situadas respectivamente en lospuntos ± d

2 z.

a) Halle el potencial retardado producido en un punto arbitrario ~r.

b) Haga lo mismo, en la zona lejana (r ≫ λ0 y r ≫ d), para q(t) = q0 cos ω0 t.

c) Aproxime el resultado anterior para un dipolo electricamente pequeno (d <<λ0).

SOLUCION:

(a) - El potencial retardado viene dado por la integral

V (~r, t) =1

4πε0

∫

V ′

[ρ]

Rdv′

Si las dos cargas se situan sobre el eje z, figura 4.13 la densidad puededescribirse como

149

^

^

y

n

rd2

z +

d2

z -

V∆

����

����

θ

P

R

R

1

2

z

x

Figura 4.13:

ρ(z′) = q(t)

{δ(~r ′ − 1

2d z) − δ(~r ′ +

1

2d z)

}

La densidad retardada es, por lo tanto,

[ρ] = q(t− R

c)

{δ(~r ′ − 1

2d z) − δ(~r ′ +

1

2d z)

}

Realizando la integral

V (~r, t) =1

4πε0

{q(t− R1

c )

R1− q(t− R2

c )

R2

}(4.46)

donde,

~R1 = ~r − 1

2d z , ~R2 = ~r +

1

2d z

(b) - En el caso de que q(t) sea una funcion armonica la expresion 4.46toma la forma

V (~r, t) =q0

4πε0

{cos ω0(t− R1

c )

R1− cos ω0(t− R2

c )

R2

}(4.47)

Los termino1

Rpodemos aproximarlos en la zona lejana como

1

R≃ 1

r

pero este tipo de aproximacion no debemos hacerlo en el argumen-to del coseno porque el potencial resultante serıa nulo. Haremos unaaproximacion que nos de un resultado significativo.

150

Definamos

δ = r −R

con lo que

cos ω0(t−R

c) = cos (ω0 t− k0 r + k0 δ)

= cos (ω0 t− k0 r) cos (k0 δ) − sen (ω0 t− k0 r) sen (k0 δ)

donde k0 =ω0

c=

2π

λ0

Si R≫ d, segun la figura 4.13, podemos hacer la aproximacion

δ = ~n · ~r ′ =

δ1 = 12d cos θ para ~r ′ = 1

2d

δ2 = −12d cos θ para ~r ′ = −1

2d

de acuerdo con esto la ecuacion 4.47 se aproxima por

V (~r, t) ≃ − q02πε0

senω0 (t− rc )

rsen (k0

d

2cos θ)

(c) - En este caso d << λ0, luego y

x =1

2k0 d cos θ = π

d

λ0cos θ << 1 ⇒ sen x ≃ x ⇒

El potencial retardado producido por un dipolo corto es, en consecuen-cia

V (~r, t) ≃ − q02ε0

d

λ0

senω0 (t− rc )

rcos θ

4-15. La figura 4.13 muestra dos cargas puntuales, de igual magnitud y signo opuesto,unidas mediante un conductor de longitud d por el que circula una corriente talque q = q0 cos ωt. Bajo la condicion de campo lejano, r >> d, y suponiendo queel dipolo es electricamente corto, d << λ, halle La potencia radiada. 16

Solucion:

Para este apartado seguiremos los pasos dados en la seccion 4.4

Previamente calcularemos la intensidad aplicando la ley de conservacionde la carga: La intensidad que entra en el volumen V es igual a la razonde incremento temporal de la carga almacenada en el mismo.

16Esta ultima condicion, como puede verse en la seccion E.2, implica que la intensidad es cuasi-estacionaria, es decir, que I = I(t) es aproximadamente independiente de z.

151

I =d q

d t= −q0 ω senω t

Puesto que se trata de un conductor filiforme, el potencial vector vienedado por

~A(~r, t) = zµ0

4π

∫ 12d

− 12d

I(t− Rc ) dz ′

R

Aproximando R ≃ r

~A(~r, t) = −C z 1

rsen u

donde C =µ0ω p0

4π, p0 = q0 d , u = ω (t− r

c).

Si despreciamos el termino proporcional a ∇(

1

r

)∼ 1

r2, y tenemos en

cuenta que ∇u = −ω rc

~B = ∇∧ ~A = −C 1

r∇∧ (z sen u) = −µ0ω

2 p0

4π c

1

rcos ω (t− r

c) sen θ ϕ

Integrando el vector de Poynting ~P = cB2

µ0r sobre la superficie de una

esfera de radio r obtenemos la potencia radiada

P (r, t) =µ0ω

4 p20

6π ccos2 ω (t− r

c)

La potencia radiante de un dipolo electrico crece con la cuarta potenciade la frecuencia, por lo que las oscilaciones de baja frecuencia radianmuy poca energıa.

4-16. Halle la potencia que radiarıa un electron clasico girando alrededor de un nucleode hidrogeno, en una orbita de radio a y con velocidad angular uniforme ω.

4-17. Halle la intensidad radiada en la colision frontal de dos partıculas, con carga dedistinto signo, que se mueven en las proximidades del origen. Suponga que unade las partıculas tiene una masa M muy superior a la de la otra, m, y que elmovimiento de ambas es lento.

152

4.6. Resolucion de las ecuaciones de Maxwell unidimen-sionales mediante el metodo FD–TD: FDTD 1D −vacio.nb

17 Lo que expondremos a continuacion ilustra la solucion numerica de la ecuacion deondas mediante el uso del metodo de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo(FD-TD) 18.

4.6.1. La ecuacion de onda unidimensional

Las ecuaciones rotacionales de Maxwell, para ondas que estan polarizadas en ladireccion del eje y y se propagan, en el vacıo, a lo largo del eje x, pueden expresarsecomo

∂ ey(x, τ)

∂ τ= −∂ Bz(x, τ)

∂ x(4.48)

∂ Bz(x, τ)

∂ τ= −∂ ey(x, τ)

∂ x(4.49)

para lo cual se han normalizado el campo electrico y el tiempo 19.

ey ≡ Ey

c, τ ≡ c t

Eliminando el campo magnetico, o el electrico, de las ecuaciones anteriores se ob-tienen las ecuaciones de onda para estos campos:

∂2 ey(x, τ)

∂ x2=

∂2 ey(x, τ)

∂ τ2,∂2Bz(x, τ)

∂ x2=∂2Bz(x, τ)

∂ τ2

La solucion general compatible con las ecuaciones de Maxwell tiene la forma

ey(x, τ) = f(x− τ) + g(x+ τ) , Bz(x, τ) = f(x− τ) − g(x+ τ) (4.50)

en la que f y g son funciones arbitrarias, aunque de buen comportamiento, que sepropagan respectivamente en el sentido positivo y negativo del eje x.

17Basado en un programa de S. Gonzalez.18Finite Difference–Time Domain.Vease [Taflove].19Estas definiciones son ventajosas para el calculo numerico ya que, en el vacıo, para una onda que

se propaga en un sentido determinado, e = B.

153

Condiciones iniciales:

Para obtener la solucion temporal a partir de las condiciones iniciales

ey(x, 0) = f(x) + g(x) , Bz(x, 0) = f(x) − g(x)

basta con substituir los argumentos ’x’ de dichas funciones por ’x ± τ ’, segun se tratede f(x− τ) o de g(x+ τ).

Por ejemplo, si se excita inicialmente el espacio con un campo electrico de perfilgausiano

ey(x, 0) = e−1

a2 (x−x0)2 , Bz(x, 0) = 0 (4.51)

la solucion a lo largo del tiempo toma la forma

ey(x, τ) =1

2

(e−

1a2 (x−τ−x0)2 + e−

1a2 (x+τ−x0)2

)

Bz(x, τ) =1

2

(e−

1a2 (x−τ−x0)2 − e−

1a2 (x+τ−x0)2

)

que representa a dos ondas de igual amplitud y que viajan en sentidos opuestos. Puedecomprobarse que cada una de estas cumple su respectiva relacion de estructura y quesus vectores de Poyntyng tienen las direcciones ±x. Por otra parte, para τ = 0, cumplencon las con las condiciones iniciales 4.51.

Por el contrario, si la excitacion es del tipo

ey(x, 0) = e−1

a2 (x−x0)2 , Bz(x, 0) = +ey(x, 0) (4.52)

la solucion temporal es una sola onda que viaja en la direccion +x.

ey(x, τ) = e−1

a2 (x−τ−x0)2 , Bz(x, τ) = e−1

a2 (x−τ−x0)2

4.6.2. Solucion numerica

Para resolver numericamente estas ecuaciones, se definira un dominio numerico encuyos nudos se tomaran muestras del valor de los campos y sobre el cual se definiranoperadores numericos de diferenciacion espacial y temporal basados en diferencias cen-tradas. Con estas herramientas, se disenaran algoritmos de avance temporal de los cam-pos que permiten, en sucesivas iteraciones, actualizar sus valores en cada nudo a lo largodel tiempo.

154

c

1 2 3

n=τ/δτ

i=x/ xδ

condicionesiniciales

iteración ni

iteración 1

campomagnético

campoeléctrico

2 nc-2 2nc

2 ni

1

-AA+

+

condiciónabsorbente

ab

1

0

(i-1,n+1)

(i,n)

0

1

2

condiciones de contorno

A -A

1

celda 1 celda 2 celda nc celda nc+1

Figura 4.14: Red numerica FD–TD

Dominio numerico:

Como se muestra en la figura 4.14, el espacio y el tiempo se discretizan a intervalosδx y δτ de lo que resulta un dominio numerico constituido por los nudos

x = iδx , i = 0, · · · 2nc

τ = nδτ , n = 0, · · · 2ni+ 1 (4.53)

Los nudos se agrupan por parejas, en celdas, segun la direccion espacial, y en itera-ciones segun la temporal. El campo electrico se evalua en los nudos pares i = 0, 2, · · · 2ncy en instantes pares n = 0, 2, · · · 2ni (en la figura ’⋄’) y el magnetico en los imparesi = 1, 3, · · · 2nc− 1 y en instantes impares i = 1, 3, · · · 2ni+ 1 (en la figura ’◦’). nc es elnumero de celdas completas; en la ultima, 2nc+ 1, solo se toma la muestra del campoelectrico.

Los nudos de coordenada temporal n = 0, 1 corresponden a la iteracion 0 y contienenlas condiciones iniciales. El resto contiene a los campos en las sucesivas iteraciones(n = 2, 4 · · · , 2ni. En cada una de las iteraciones se calcula, mediante el algoritmo deavance temporal, primero el campo electrico y posteriormente el magnetico.

Desarrollo del programa:

155

El programa que proponemos a continuacion puede dividirse esquematicamente enlas siguientes etapas:

1. Establecimiento de las condiciones iniciales.

2. Calculo de los campos en iteraciones sucesivas mediante los algoritmos de avancetemporal y las condiciones de contorno:

a) Calculo del campo electrico de los nudos interiores y en el instante (n).

b) Calculo del campo magnetico en el instante (n+ 1).

c) Calculo del campo electrico en los nudos extremos y en el instante (n).

3. Generacion de los fotogramas correspondientes a las distintas iteraciones.

Diferencias finitas centradas:

Es posible resolver numericamente las ecuaciones rotacionales de Maxwell mediantela aproximacion de los operadores diferenciales por otros numericos en diferencias cen-tradas. Con este fin, se divide el espacio α en intervalos de longitud h y se define eloperador derivada centrada de una funcion f(α) de la forma

Dα[f(α)] =1

2h{f(α+ h) − f(α− h)}

Desarrollando en serie de Taylor f(α + h) y f(α − h), restando, despejando y des-preciando terminos de orden O(h2), se tiene que

d f(α)

dα≃ Dα[f(α)]

Este operador aproxima al operador derivada analıtica hasta el segundo orden en h.

Avance temporal:

El algoritmo que permite avanzar temporalmente al campo en los distintos puntosde la red se obtiene substituyendo a los operadores diferenciales por los correspondientesen diferencias. Con este fın, en cada iteracion

n = 2, 4 · · · 2ni

seguiremos los siguientes pasos:

Calculo del campo electrico. El circulo (b) de la figura 4.14 esta centrado en elpunto (i, n − 1), marcado por una cruz, y contiene una estrella de cuatro puntascuyo nudo superior es el (i, n), donde i y n son pares.

Para calcular el campo electrico en este ultimo nudo, evaluamos la ecuacion 4.48en el centro de la estrella y despejamos ey(i, n). De esta forma se obtiene unaexpresion que relaciona a este campo con el mismo y con el magnetico en instantesanteriores.

156

Simplificaremos la notacion escribiendo:

ey ≡ e , Bz ≡ B , f(i, n) ≡ fni

– Ecuacion 4.48 evaluada en (i,n-1).

eni = en−2i +A

[Bn−1

i−1 −Bn−1i+1

], i = 2, 4 · · · 2nc− 2 (4.54)

donde se excluyen los nudos frontera, en los que hay que aplicar las concicionesde contorno.

Calculo del campo magnetico. El circulo (a) esta centrado en el punto (i− 1, n) yel nudo superior de la estrella correspondiente es el (i− 1, n+ 1).

Para calcular el campo magnetico en este ultimo nudo, evaluamos la ecuacion 4.49en el centro de la estrella y despejamos Bn+1

i−1 .

– Ecuacion 4.49 evaluada en (i-1,n).

Bn+1i−1 = Bn−1

i−1 +A[eni−2 − eni

], i = 2, 4 · · · 2nc− 2 (4.55)

En el programa siguiente, en cada iteracion se aplicaran los algoritmos de avanceanteriores, para ambos campos y para i = 2, 4 · · · 2nc − 2, con lo que, vease lafigura 4.14, no se cubre a la componente Bn+1

2nc−1 la cual habra de calcularse pos-teriormente.

La estructura de los algoritmos se muestran dentro de los cırculos (a) y (b) de lafigura 4.14

Condicion de Courant:

El coeficiente que aparece en el segundo miembro es

A =δτ

δx

Puede demostrarse que, para que los algoritmos numericos sean estables, es necesarioque se cumpla la condicion de Courant

δx

δτ≥ 1 (4.56)

En adelante se tomara

A = 1 ⇒ δx = δτ = δ

157

Condiciones iniciales:

Las condiciones iniciales se imponen en los dos primeros instantes (n = 0, 1) (figura4.14)

e0i = e0(i) , i = 0, 2, · · · , 2nc

B1i = B1(i) , i = 1, 3, · · · , 2nc− 1 (4.57)

Condiciones de contorno:

Dado que el dominio numerico es finito, X = [0 ≤ x ≤ L], en sus extremos debenaplicarse condiciones de contorno adecuadas.

En el primer ejemplo supondremos X limitado por planos conductores ideales x = 0y x = L o i = 0 e i = 2nc.

Observese en la figura 4.14 que este dominio se ha configurado de forma tal que enlos nudos extremos solo esta definido el campo electrido. Dado que este es tangencial alos conductores, y estos son perfectos, debe anularse en la superficie. Impondremos, porlo tanto, condiciones reflectantes

Condiciones reflectantes →

en0 = 0

en2nc = 0(4.58)

En el segundo ejemplo se impondran condiciones absorbentes, con las cuales sesimula la existencia en los puntos extremos de superficies perfectamente absorbentes (noreflectantes), de forma que una onda incidente sobre las mismas continua propagandose,sin reflejarse, como si el medio correspondiente se extendiese mas alla del la fronteranumerica.

Las ondas que inciden desde el interior de X sobre el punto x = 0 son las f(w = x+τ),que viajan en el sentido negativo del eje x, y su velocidad de fase normalizada es

ν− ≡ v−c

=

(d x

d τ

)

w=cte

= −1. De forma analoga, las que inciden sobre el punto

x = L son las f(u = x− τ), que viajan en el sentido positivo del eje x, y cuya velocidadde fase normalizada es ν+ = 1. En cualquiera de estos dos casos, tomando δx = δτ = δ,las ondas recorren un espacio 2 δ en el tiempo 2 δ y las condiciones absorbentes tomanla siguiente forma

Condiciones absorbentes →

en0 = en−22

en2nc = en−22nc−2

(4.59)

La curva (c) de la figura 4.14 delimita el esquema de la condicion absorbente en 2nc.

158

Programa Mathematica FDTD 1D − vacio.nb:En este programa se hace uso de funciones discretas f(i, n).Ejemplo 1o

En este primer ejemplo se simula una onda de perfil gausiano que viaja inicialmentehacia la derecha y que se refleja sucesivamente sobre dos planos conductores.

Remove[”Global‘ ∗ ”];Off [General :: ”spell1”];

$TextStyle = {FontFamily → ”Courier”, FontSize → 12};f(i, n) la escribiremos de la forma.

f [i ,n ] := Exp[− 1

na2∗ (i − n − nc)2];

en la que el punto central del pulso se ha situado en i = nc en el instante inicial n = 0.Se asignan valores concretos al numero de celdas nc, al de iteraciones ni y al factorque define la anchura del pulso na.

nc = 60; ni = 120; na = 8;

Los valores de los campos en cada posicion (i) y en cada instante (n) se almacenanen las funciones ey(i, n), con (i, n) pares, y Bz(i, n) 20, con (i, n) impares. Para cadaposicion (i), estas funciones se incluyen en listas con dos elementos {i, ey(i, n)} y{i, Bz(i, n)}.

Se comienza por definir las condiciones iniciales en funcion de f(i, n).

te0 = Table[{i, ey[i,0] = N[f [i,0]]}, {i,0,2 ∗ nc,2}]; ey[0,0] = 0; ey[0,2 ∗ nc] = 0

Se anula el campo electrico en los nudos frontera porque las condiciones en losmismos son reflectantes.

tB1 = Table[{i, Bz[i,1] = N[f [i,1]]}, {i,1,2 ∗ nc − 1,2}];Se hace uso de la orden N[] para que la tabla se llene con los valores numericos y no

de expresiones analıticas. En caso contrario el calculo se ralentiza y el ordenador puedesaturarse.

Los representamos graficamente, sin mostrarlos, ey(i, 0) en rojo y Bz(i, 1) en azul:

grey0 = ListPlot[te0,PlotStyle → {PointSize[0.015],RGBColor[1,0,0]},DisplayFunction → Identity,PlotRange → {0,1}];

20Esto supone guardar en memoria los campos correspondientes a todas las iteraciones que se realicena lo largo de la ejecucion del programa, lo que es poco eficiente y resulta prohibitivo para problemasde dos y tres dimensiones. El esquema FDTD permite guardar en memoria unicamente los datos masrecientes para cada posicion i, lo que reduce la necesidad de memoria en el factor 1

2nc. Haremos uso de

esta posibilidad en la seccion B.2.1.

159

grBz1 = ListPlot[tB1,PlotStyle → {PointSize[0.015],RGBColor[0,0,1]},DisplayFunction → Identity,PlotRange → {0,1}];

y los mostramos conjuntamente.

Show[grey0,grBz1,DisplayFunction → $DisplayFunction];

La figura 4.15 presenta solamente la parte significativa de las funciones. Puede versecomo las muestras de cada campo se toman en nudos alternados de la red. Dado que

Ey = f(x) y Bz = g(x) =1

cf(x), este pulso corresponde a una sola onda cuyo vector

de Poynting tiene la direccion x.

45 50 55 60 65 70 75 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 4.15:

Para calcular el resto de los valores se emplea un lazo Do que aplica las reglas deavance temporal. Dentro de este lazo se hace uso de otro Do para determinar los camposen los nudos interiores, salvo el campo magnetico de los nudos 2nc− 1 21 y el electricode los de la frontera que se calculan fuera de este ultimo lazo.

Do[{Do[{ey[i,n] = ey[i,n − 2] − Bz[i + 1,n − 1] + Bz[i − 1,n − 1],

Bz[i − 1,n + 1] = Bz[i − 1,n − 1] − ey[i,n] + ey[i − 2,n]}, {i,2,2 ∗ nc − 2,2}],Bz[2 ∗ nc − 1,n + 1] = Bz[2 ∗ nc − 1,n − 1] − ey[2 ∗ nc,n] + ey[2 ∗ nc − 2,n]},ey[0,n] = 0, ey[2 ∗ nc,n] = 0{n,2,2 ∗ ni,2}];

Para visualizar la propagacion del pulso electromagnetico, con los colores empleadosen la grafica anterior, se representa a los campos en cada instante temporal y se activala pelıcula de la forma ya descrita en un programa anterior. Para que las senales no sesolapen totalmente, Bz se multiplica por el factor 0,9.

21Notese que el algoritmo de avance temporal no puede aplicarse a los nudos de la frontera porque, enese caso, necesita datos que estarıan fuera del dominio numerico. Compruebe, figura 4.14, que Bz[2*nc- 1, n + 1] queda fuera del lazo.

160

Table[Show[ListPlot[Table[{i, ey[i,n]}, {i,0,2 ∗ nc,2}],PlotJoined → True,

PlotRange → {−2.1,2.1},DisplayFunction → Identity,PlotStyle → {RGBColor[1,0,0]}],ListPlot[Table[{i,0.9 ∗ Bz[i,n + 1]}, {i,1,2 ∗ nc − 1,2}],PlotJoined → True,PlotRange → {−2.1,2.1},DisplayFunction → Identity,PlotStyle → {RGBColor[0,0,1]}],DisplayFunction → $DisplayFunction], {n,0,2 ∗ ni,2}];

La figura 4.16 corresponde al fotograma no35 de la pelıcula. En el se ve como laonda se ha reflejado ya en el extremo derecho, donde se simula al conductor ideal. Elcampo electrico, que es tangencial, se anula en ese punto, mientras que el magneticose refuerza. Al mismo tiempo, la onda se propaga hacia la izquierda: el Bz reflejado nocambia de signo mientras que Ey lo inviete; el vector de Poynting cambia su sentido a−x.

90 100 110 120

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

Figura 4.16:

Ejemplo 2o

En este caso se simula, junto con la onda del ejemplo anterior, otra que viaja ensentido contrario y se hace uso de las condiciones de frontera absorbentes.

Remove[”Global‘ ∗ ”];

Se elijen los valores de los parametros.

nc = 60; ni = 40; na = 8; n0 = 40;

f [i ,n ] := Exp[− 1

na2∗ (i − n − nc)2];

La segunda onda se define con un perfil que resulta de modular el pulso gausiano delprimer ejemplo con una funcion senoidal de periodo T = n0 δ

ge[i ,n ] := f [i,n] ∗ 4 ∗ Sin[π ∗ (i + n − nc)

n0];

161

Se generan las graficas sin mostrarlas.

f0 = Table[{i, f [i,0]}, {i,0,2 ∗ nc,2}];

ge0 = Table[{i,ge[i,0]}, {i,0,2 ∗ nc,2}];

grf = ListPlot[f0,PlotJoined → True,PlotRange → {−1.2,1.2},PlotStyle → {RGBColor[1,0,0]},DisplayFunction → Identity];

grge = ListPlot[ge0,PlotJoined → True,PlotRange → {−1.2,1.2},PlotStyle → {RGBColor[0,0,1]},DisplayFunction → Identity];

La figura 4.17 muestra conjuntamente ambas funciones.

Show[grf ,grge,DisplayFunction → $DisplayFunction];

20 40 60 80 100 120

-1

-0.5

0.5

1

Figura 4.17:

A partir de estas funciones se obtienen los valores iniciales de ambos campos

ey0b = Table[ey[i,0] = N[f [i,0] + ge[i,0]], {i,0,2 ∗ nc,2}];

Bz1b = Table[Bz[i,1] = N[f [i,1] − ge[i,1]], {i,1,2 ∗ nc − 1,2}];

se generan las graficas

grey0b = ListPlot[Table[{i, ey[i,0]}, {i,0,2 ∗ nc,2}],PlotStyle → {PointSize[0.015],RGBColor[1,0,0]},PlotRange → {−1,2},DisplayFunction → Identity];

162

grBz1b = ListPlot[Table[{i, Bz[i,1]}, {i,1,2 ∗ nc − 1,2}],PlotStyle → {PointSize[0.015],RGBColor[0,0,1]},PlotRange → {−1,2},DisplayFunction → Identity];

En la figura 4.18 se muestra la suma de los pulsos iniciales. Dado que ey = f(x) yBz = g(x) 6= f(x) estos campos se desglosan en dos ondas que se propagan en sentidosopuestos.

Show[grey0b,grBz1b,DisplayFunction → $DisplayFunction];

20 40 60 80 100 120

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Figura 4.18:

Por ultimo, se forman las tablas ey(i, n) y Bz(i, n), se generan las graficas tempo-rales, como en el primer ejemplo, y se animan.

Do[{Do[{ey[i,n] = ey[i,n − 2] − Bz[i + 1,n − 1] + Bz[i − 1,n − 1],

Bz[i − 1,n + 1] = Bz[i − 1,n − 1] − ey[i,n] + ey[i − 2,n]}, {i,2,2 ∗ nc − 2,2}],Bz[2 ∗ nc − 1,n + 1] = Bz[2 ∗ nc − 1,n − 1] − ey[2 ∗ nc,n] + ey[2 ∗ nc − 2,n],

ey[0,n] = ey[2,n − 2], ey[2 ∗ nc,n] = ey[2 ∗ nc − 2,n − 2]}, {n,2,2 ∗ ni,2}]

Table[Show[ListPlot[Table[{i, ey[i,n]}, {i,0,2 ∗ nc,2}],PlotJoined → True,

PlotRange → {−2.2,2.2},DisplayFunction → Identity,

PlotStyle → {RGBColor[1,0,0]}],ListPlot[Table[{i,0.9 ∗ Bz[i,n + 1]}, {i,1,2 ∗ nc − 1,2}],PlotJoined → True,

PlotRange → {−2.2,2.2},DisplayFunction → Identity,

PlotStyle → {RGBColor[0,0,1]}],DisplayFunction → $DisplayFunction], {n,0,2 ∗ ni,2}];

La figura 4.19a corresponde al fotograma no20. Cada uno de los pulsos se ha propa-gado en sentido opuesto pero aun no ha llegado al extremo correspondiente. La figura4.19b corresponde al fotograma no30. Como puede observarse, los pulsos traspasan loslımites sin reflejarse.

163

20 40 60 80 100 120

-1

-0.5

0.5

1

20 40 60 80 100 120

-1

-0.5

0.5

1

(b)(a)

Figura 4.19: