4.7 Calculo de Integrales de Funciones Expresadas Como Serie de Taylor

download 4.7 Calculo de Integrales de Funciones Expresadas Como Serie de Taylor

of 13

Transcript of 4.7 Calculo de Integrales de Funciones Expresadas Como Serie de Taylor

  • INSTITUTO TECNOLGICO DE CERRO AZUL MATERIA: CALCULO INTEGRALCATEDRTICO: ING. MARIA CONCEPCIN LARA GOMEZCARRERA: ING. PETROLERA SEMESTRE: 2 GRUPO: 4. TRABAJO UNIDAD 4.7: CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLORINTEGRANTES: ARENAS GONZLEZ KARLA JUDITH.GONZLEZ HERNNDEZ JOS EDUARDOMACARIO CERVANTES CECILIACERRO AZUL, VERACRUZ

  • En matemticas una serie de taylor de una funcin f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida como un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

  • Aqu,n! es elfactorialdenyf(n)(a) indica la n-simaderivadadefen el puntoa.Si esta serie converge para todoxperteneciente al intervalo (a-r,a+r) y la suma es igual af(x), entonces la funcinf(x) se llamaanaltica. Para comprobar si la serie converge af(x), se suele utilizar una estimacin del resto delteorema de Taylor. Una funcin es analtica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la frmula de la serie de Taylor.

  • Sia= 0, a la serie se le llamaserie de Maclaurin.Esta representacin tiene tres ventajas importantes:La derivacin e integracin de una de estas series se puede realizar trmino a trmino, que resultan operaciones triviales.Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la funcin.Es posible demostrar que, si es viable la transformacin de una funcin a una serie de Taylor, es la ptima aproximacin posible.Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen algunasingularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas dex(vaseSerie de Laurent. Por ejemplof(x) = exp(1/x) se puede desarrollar como serie de Laurent.

  • Enclculo, elteorema de Taylor, recibe su nombre delmatemticobritnicoBrook Taylor, quien lo enunci con mayor generalidad en1712, aunque previamenteJames Gregorylo haba descubierto en1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinmicas de una funcin en un entorno de cierto punto en que la funcin sea diferenciable. Adems el teorema permiteacotar el errorobtenido mediante dicha estimacin.

  • Esteteoremapermite aproximar unafuncinderivableen elentorno reducidoalrededor de un punto a: (a, d) mediante unpolinomiocuyos coeficientes dependen de lasderivadasde la funcin en ese punto. Ms formalmente, si 0 es unenteroy una funcin que es derivable veces en elintervalo cerrado[ , ] y +1 veces en elintervalo abierto( , ), entonces se cumple que:

  • O en forma compacta:

  • Donde denota elfactorialde , y es el resto, trmino que depende de y es pequeo si est prximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionan a continuacin:

  • donde ay x, pertenecen a los nmeros reales, na los enteros yE es un nmero real entre a yx:

  • Si es expresado de la primera forma, se lo denominaTrmino complementario deLagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalizacin delTeorema del valor medioo Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresin de R muestra al teorema como una generalizacin delTeorema fundamental del clculo integral.

  • EJEMPLOS