INCREMENTOS DIFERENCIALES Y REGLA DE LA CADENA

UNIDAD NOMBRE TEMAS

4

Funciones vectorial de

varias variables

4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena.

Derivación de la función compuesta. Regla de la cadena

Si se tienen dos funciones ufy y xgu

Entonces xgfy es una función compuesta o función de función, y

su derivada con respecto a x está dada por:

dx

du

du

dy

dx

dy

A esta expresión se le conoce como “Regla de la Cadena” La regla de la cadena se puede emplear para facilitar la derivación de ciertas funciones. Ejemplos:

1) Sean wwy 42 y 12 2 xw

Obtener dx

dy

Solución:

42 wdw

dy ,

122

4

2

x

x

dx

dw

12

242

2

x

xw

dx

du

du

dy

dx

dy

12

24122

2

2

x

xx

12

84

12

8124

22

2

x

xx

x

xxx

2) Utilizar la regla de la cadena para derivar: 1

11

2

xy

Si uy 1 , v

u1

, 12 xv

La derivada será

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy

udu

dy

12

1,

2

1

vdv

du , x

dx

dv2

22

2

222

2

2

2

11

111

1

11

112

22

1

12

1

xx

x

x

xx

x

vv

xx

vudx

dy

23

222

2

222

2

211

11

1

xx

x

xx

x

x

xx

x

x

Derivación de funciones expresadas en forma paramétrica

Dada y = f(x) , se puede representar en forma paramétrica como:

btgy

atfx

Para calcular dx

dy se aplica el siguiente razonamiento:

Por la regla de la cadena:

)c(dx

dt

dt

dy

dx

dy

En donde dx

dy se puede obtener despejando t de la ecuación (a) . Lo cual no

siempre es fácil, y a veces hasta imposible.

Otra forma de obtener dx

dt es empleando la derivada de la función inversa.

d

dt

dxdx

dt 1

Sustituyendo (d) en (c)

dt

dxdt

dy

dx

dy 1

dt

dxdt

dy

dx

dy (e)

Para calcular la segunda derivada usamos (e)

dx

dt

dx

dy

dt

d

dx

dy

dx

d

dx

yd

2

2

dt

dxdt

dy

dt

d

dx

dy

dt

d

(f)

Esto es:

dt

dxdt

dy

dt

d

dx

dy

dt

d

2

2

2

2

2

dt

dx

dt

yd

dt

dy

dt

yd

dt

dx

(g)

Finalmente, sustituimos (g) en (f)

3

2

2

2

2

2

2

dt

dx

dt

yd

dt

dy

dt

yd

dt

dx

dx

yd

Ejemplo: Sea la función

1

2 2

ty

ttx Obtener

dx

dy

cartesianaecuaciónlaporb

aparamétricderivaciónpora

)

)

a) 14 tdt

dx

tdt

dy

2

1

142

1

14

2

1

ttt

t

dtdx

dtdy

dx

dy

b) De la segunda ecuación: t = (y+1)2 Sustituyendo. En la primera: x = 2 (y+1)4 – (y+1)2 Derivando implícitamente:

dx

dyy

dx

dyy 12181

3

1218

13

yydx

dy

Bibliografía: Libro: Cálculo Tomo II Autor: Roland E. Hostetler Robert P. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano Libro: Cálculo con Geometría Analítica Autor: Swokowski Earl W. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano