1

Espesor crit ico de aislamiento

Con mucha frecuencia se plantea la si tuación de disminuir el flujo decalor, por tal motivo a continuación discuti remos los elementos másimportantes para l levar a feliz termino el diseño y la escogencia delaislante.Para iniciar la discusión comenzaremos presentando el caso deañadir aislante a una pared plana, tal como se muestra en la Figura2.12

1T ∞TA B

ka kb

La

h

Lb

Figura 2.12 Aislamiento de una pared plana

En la Figura 2.12 se muestra una pared plana, material A, al cual sele agrega un material aislante, B. La expresión para el flujo de calorviene dado por:

hAkbA

Lb

kaA

LaTT

q1

1

++

−= ∞

Si la expresión anterior La, Ka, A y h son conocidos se puedeconstruir la gráfica del flujo de calor versus la longi tud del aislante,Lb,. En forma cual i tativa la gráfica luciría de la siguiente forma:

2

Lb

q

Figura 2.13

En el la se observa que en la medida que Lb se incrementa, el f lujo decalor disminuye.

En el caso de que la geometría que deseamos aislar sea de formaci l índrica, tendríamos la siguiente si tuación.

2R

1R

∞T

aislanteL

h

1T

3R

Figura 2.14 Aislamiento de una geometría cilíndrica .

La expresión del f lujo de calor viene dada por:

3

LRhLk

R

R

Lk

R

R

LRh

TTq

ati 3

2

3

1

2

1

0

2

1

2

ln

2

ln

2

1

ππππ+++

−= ∞

Si en la expresión anterior todas las variables se mantienen fi jas aexcepción de 3R se tendría la siguiente gráfica del f lujo de calor en

función del radio del aislante, 3R .

q

3R2R cr

Figura 2.15 espesor critico de aislamiento

En la Figura 2.15 se observa que si la tubería se encuentra desnuda,caracterizada por el hecho que 23 RR = se t iene un determinado flujode calor, si a la tubería desnuda se le agrega un aislante se observaque el f lujo de calor empieza a aumentar, contrario al objetivobuscado, este incremento del f lujo de calor se sucede hasta que elf lujo de calor alcanza un máximo, que se obtiene precisamentecuando el radio del aislante, 3R , coincide con el radio cri tico deaislamiento,

cr , y es precisamente a parti r de valores superiores a cr ,

que el f lujo de calor comenzara a disminuir, tal como se desea.

Según lo antes señalado la determinación del radio cri t ico deaislamiento es de vi tal importancia para realizar un adecuadoaislamiento.

La determinación del radio cri tico de aislamiento se real izareconociendo que la resistencia térmica debe alcanzar un mínimo, osea que:

4

LRhLk

R

R

Lk

R

R

LRhR

atiterm

3

2

3

1

2

1 2

1

2

ln

2

ln

2

1

ππππ+++=

Si en la expresión anterior se mantiene todas las variablesconstantes a excepción de 3R , se obtendrá un mínimo para crR =3

En términos matemáticos se debe cumpl i r que:

03

=dR

dRterm

realizando la derivación antes señalada se tiene:

LhRkaL

RrcR

dR

dRterm23

33

3 2

1

2

1

0)(ππ

−=== , que simpl i f icando se llega a:

h

karc =

Es decir el radio cri tico de aislamiento depende de la conductividadtérmica del material aislante y del coeficiente de transferencia decalor, h,

Para real izar una selección adecuada del aislante se debe veri ficarsiempre que el radio cri tico de aislamiento sea inferior al radio de latubería desnuda.

Ejemplo 2.3 Un aislamiento de baqueli ta es uti l izado en un cable de10 mm. de diámetro. La temperatura superficial del cable es 200 C° ,debido a una corriente eléctrica que se hace pasar por el cable. Elcable esta en un fluido a 25 C° , y el coeficiente de convección es de140 KmW 2/ ¿ Cuál es el radio cri tico asociado con el revestimiento?¿ Cuál es el flujo de calor para el cable sin revestimiento y conrevestimiento de baquel i ta que corresponde al radio cri t ico? ¿ Cuantabaqueli ta debe agregarse para reducir la transferencia de calorasociada con el cable sin revestimiento en 25%?

SoluciónDi = 0.01 m

5

CT °=∞ 25

kmWh 2/ 140 =

cable

baquelitaDatos

Conductividad térmica de la baqueli ta bk = 1,4 kmW 2/

a.- Cálculo del radio cri t ico de aislamiento:

mh

kr bc 01,0

140

4,1 ===

b.- Calculo del calor del cable desnudo:

m

WTTDhq iidesnudo 770)( =−= ∞π

Para el calculo del flujo de calor revestido con el radio de aislamientocri t ico, maxq

m

W

k

r

r

hr

TTq

b

i

c

c

imax 909

2

ln

2

1

=

+

−= ∞

ππ

c.- Cálculo del espesor para reducir el calor en un 25%, es decir a

6

m

W

m

Wq 577 770 75.0 =⋅=

Se debe real izar un proceso de ensayo y error para determinar elradio de aislante, r.

m

W

k

r

r

rh

TTq

b

i

i 577

2

ln

2

1

=

+

−= ∞

ππ

Resolviendo la ecuación anterior, se tiene:

mr 06,0 ≈

por lo tanto el espesor deseado es de:

mrr i 055,0 =−=δ

Conducción estacionaria 1-D con generación

Placa plana

x

TsTs

2L

0'''

2

2

=+k

q

dx

Td g

C.B. (1) TsT = Lx =

7

(2) 0=dx

dT 0=x

Integrando y hallando las constantes se obtiene:

−+=

22'''

12 L

x

k

LqTsT g

La temperatura máxima se alcanza en el centro de la placa y vienedada por:

k

LqTsT

g

2

2'''

máx +=

Mientras que el f lujo de calor, viene dado por:

xAqdx

dTkAq gx

'''=−=

que pone de manifiesto que el flujo de calor sigue una ley l ineal

x

2L

maxq

el cual viene dado por

VqLqAq ggmax'''''' ==

ci l indro

8

r

2R

01

'''

=+

k

q

dr

dTr

dr

d

rg

C.B. (1) TsT = Rr =

(2) 0=dr

dT 0=r

−+=

22'''

14 R

r

k

RqTsT

g

esfera

01

'''2

2=+

k

q

dr

dTr

dr

d

r

g

C.B. (1) TsT = Rr =

(2) 0=dr

dT 0=r

−+=

22'''

16 R

r

k

RqTsT

g

Ejemplo. Una placa plana esta compuesta de dos materiales A y B. La

pared del material A t iene una generación de calor 3

6''' 105.1m

wqg ⋅= ,

9

kA=75 w/mk y LA= 50 mm.. El material B no t iene generación, conKB=150 W/mK y LB=20 mm. . La superficie interna del material A estáperfectamente aislada y la superficie externa del material B se enfríamediante agua con CT o30=∞ y KmWh 2/1000= . Se pide hal lar: (a) elcalor disipado, (b) la temperatura de la interfase y (c) La temperaturamáxima.

AL

A B

BL

aislado CT

KmWh

°==

∞ 30

/1000 2

36''' /105.1

.05.0

/75

mWq

mL

mKWk

g

A

A

⋅=

==

mL

mKWk

B

B

02.0

/150

==

máxT

1T

2T

∞T''gq

B

B

k

L

h

11T 2T ∞T

243

6''''' /105,705,0105,1 mWmm

WLqq Agg ⋅=⋅⋅==

10

KW

m

k

LR

B

Bcond ⋅

⋅== −2

4'' 1033,1

KW

m

hRcond ⋅

⋅== −2

3'' 1011

''''''1 )( gconvcond qRRTT ⋅++= ∞

1151 =T

A

Ag

k

LqTT

2

2'''

1máx

⋅+=

CT °= 140máx

Conductvidad térmica variable, 1-D, 0''' =gq

Análisis alternativo

Considere, el cuerpo mostrado en la f igura. En ella, se da laposibil idad que el área transversal dependa de la posición radial .Dado que se acepta que la conducción de calor es unidimensional yen atención a que no existe generación de calor interna ( 0''' =gq ), se

debe satisfacer que el flujo de calor permanecerá constante.

r1r

2r

q

)(),(),( TKrTrA

11

dr

dTrATKq )()(−=

dTTKrA

drq )(

)(−=

∫∫ −= 2

1

2

1

)()(

T

T

r

r

dTTKrA

drq

Introduciendo, el concepto de Conductividad térmica media, mK

12

2

1)(

TT

dTTKK

T

Tm −

−=∫

)()()( 21

2

1

2

1

TTKdTTKrA

drq

T

T m

r

r

−=−= ∫∫De manera, que el calor puede ser calculado por:

∫

−=

2

1)(

)( 21r

r

m

rA

dr

TTKq

donde es posible identi f icar la resistencia térmica , la cual vieneexpresada por:

m

r

r

K

rA

dr

R∫

=

2

1)(

placa; AK

LR

m

=

cil indro; LK

r

r

K

rLdr

Rmm

r

r

ππ

2

)ln(21

2

2

1 ==∫

12

esfera ; mm

r

r

K

rr

K

r

dr

Rπ

π4

114 21

2

2

1

−

==∫

Como puede adverti rse las expresiones de la resistencia térmica sonsimi lares a las desarrolladas para el caso de conductividadconstante, con la excepción que ahora se introduce el concepto deconductividad térmica media.