Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

1

Equacions Recordeu: • Una equació és una igualtat algebraica en la qual apareixen lletres (incògnites) amb valor

desconegut. • El grau d’una equació ve donat per l’exponent major de la incògnita. • Solucionar una equació és trobar el valor o valors de les incògnites que transformen l’equació

en una identitat. • Dues equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions. • Per aconseguir equacions equivalents, només es pot fer alguna de les següents propietats:

Propietat 1: Sumar o restar a les dues parts de la igualtat una mateixa expressió. Propietat 2: Multiplicar o dividir les dues parts de la igualtat per un nombre diferent de zero.

Equacions de primer grau amb una incògnita. Procediment per resoldre una equació de 1r grau: • Eliminar denominadors: multiplicant ambdues parts de l’equació pel mínim comú

múltiple dels denominadors. (Propietat 2) • Eliminar parèntesis. (Propietat distributiva) • Transposició de termes. Aconseguir una equació de la forma bxa =⋅ . (Propietat 1). • Aïllar la incògnita. (Propietat 2). • Comprovar la solució. Resoleu la següent equació:

2x8

x3

1x2

−+=−−

Multipliquem ambdues parts de l’equació pel mínim comú múltiple dels denominadors:

−

+=

−

−2

x8x6

31x

26 ⇒

)x8(3x6)1x(212 −+=−− Eliminem parèntesis:

x324x62x212 −+=+− Transposem els termes:

21224x3x6x2 −−=+−− ⇒ 10x5 =− Aïllem la incògnita:

2x −= Comprovació:

2)2(8

23

122

−−+−=−−− ⇒ 2

102

33

2 +−=−−

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

2

Equacions de primer grau amb dues incògnites

Recordeu: Una equació de primer grau amb dues incògnites és una expressió de la forma:

cybxa =⋅+⋅ on x, y són les incògnites , a i b són els coeficients i c el terme independent Una solució de l’equació és un parell de valors reals que als substituir-los per les incògnites

x, y, transformen l’equació en una identitat. Les equacions de primer grau amb dues incògnites tenen infinites solucions. La

representació gràfica d’aquestes solucions és una recta.

Resoleu gràficament i analíticament l’equació 6y2x3 =− Notem que si aïllem una incògnita les solucions són infinites i depenen del valor que li donem a l’altra incògnita. Aïllem la incògnita y

6x3y2 −= , aleshores, 2

6x3y

−=

Les solucions de l’equació depenen del valors que li donem a la incògnita x.

Si li donem el valor a són:

−=

=

26a3

y

ax Aquesta és la solució analítica.

Donem valors particulars a la incògnita x(−2,0,2,4) i calculem el valors de x. Construïm la taula:

x y ?−2 -6 0 -3 2 0 4 3

Representem els valors anteriors en el plànol cartesià. En l’eix d’abscisses els valors de la incògnita x. En l’eix d’ordenades els valors de la incògnita y.

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

3

Sistemes d’ equacions lineals.

Recordeu: Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt d’equacions de primer grau que es compleixen a la vegada.

L’expressió general és

=⋅+⋅=⋅+⋅

fyexdcybxa

Un sistema d’equacions lineals es pot resoldre algebraicament per tres mètodes: Igualació, substitució i reducció. Un sistema d’equacions lineals es pot resoldre gràficament. Cadascuna de les equacions,

nxmy +⋅= , representa una recta en el pla. Si el sistema té una solució les dues rectes es tallen en un punt que és la solució del sistema (x, y). Si són rectes coincidents el sistema té infinites solucions, els infinits punts de la recta. I si no té solució tindrem dues rectes paral·leles.

1. Resoleu gràficament el següent sistema:

=+−−=+

8y2x1yx2

Resoldrem gràficament cadascuna de les equacions. Aïllarem y de les dues equacions a fi de deixar-les de la forma bxay +⋅=

=+−−=+

8y2x1yx2

+=−−=

x8y2x21y

+=

−−=

2x8

y

x21y

La primera equació és la recta 1x2y −−= . Dibuixem-la donant-li valors a la x per calcular la seua y corresponent:

x ?−1 1 y ?1 ?−3

Els punts ( ) ( )3,1,1,1 −− determinen la recta

Anàlogament dibuixem la recta 2

8xy

+=

x 0 ?2 y 4 5

Els punts ( ) ( )5,2,4,0 determinen la recta. La solució és el punt de intersecció de les

dues rectes: (−2, 3). Es a dir

=−=3y2x

Nota un sistema lineal de dues incògnites té solució única (compatible determinat) si les rectes es tallen en un punt. Té infinites solucions (compatible indeterminat) si són la mateixa recta. El sistema no té solució (incompatible) si són paral·leles.

1ª 2ª

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

4

2. Resoleu el següent sistema pel mètode de igualació:

=−=+

5y2x2yx

Aïllem en cadascuna de les equacions la mateixa incògnita. Després igualem les dues equacions. Aïllem la incògnita y de les dues equacions:

−=

−=

25x

y

x2y Igualem les dues incògnites:

−=

−=−

x2y2

5xx2

Resolem la primera equació amb la incògnita x

−=−=−

x2y5xx24

−==

x2y3x

Substituïm el valor de la incògnita x en la segona equació:

−==

32y3x

La solució del sistema és

−==

1y3x

Comprovació: vegem que els valors anteriors transformen les dues equacions inicials en identitats:

=−−=−+

5)1(232)1(3

3. Resoleu el següent sistema pel mètode de substitució:

=+=−

8yx30yx5

D’una equació aïllem una incògnita i substituïm el seu valor en l’altra equació. De la primera equació aïllem la incògnita y:

=+=−

8yx30yx5

=+=

8yx3x5y

Substituïm el valor de la incògnita y en la segona equació:

=+=

8x5x3x5y

Resolem la segona equació amb la incògnita x:

==

8x8x5y

==

1xx5y

Substituïm el valor de la incògnita x en la primera equació:

=⋅=

1x15y

La solució del sistema és:

==

5y1x

4. Resoleu el següent sistema pel mètode de reducció:

=−−−=

7y3xy610x2

La mateixa incògnita de les dues equacions ha de tenir els coeficients oposats. Després sumarem les equacions. Escrivim el sistema anterior en forma general:

=−−=+

7y3x10y6x2

Volem reduir la incògnita y. Multipliquem la segona equació per 2 (d’aquesta forma els seus coeficients seran oposats).

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

5

⋅=−⋅−=+

72)y3x(210y6x2

=−−=+14y6x2

10y6x2

Sumem les dues equacions:

−=+=+

10y6x24y0x4

(noteu que sempre mantenim dues equacions)

−=+=

10y6x24x4

Resolem la primera equació amb la incògnita x:

−=+=

10y6x21x

Substituïm el valor de la incògnita x en la segona equació:

−=+⋅=

10y6121x

−==

12y61x

La solució del sistema és:

−==

2y1x

Equacions de segon grau Recordeu Una equació de segon grau és de la forma: 0cbxax 2 =++ , on 0a ≠ .

Les solucions de l’equació de segon grau són:

−−−=

−+−=

a2ac4bb

x

a2ac4bb

x

2

2

.

Anomenem discriminant i el representem per: ac4b2 −=∆ . El nombre de solucions de l’equació depén del signe del discriminant:

<∆=∆>∆

existeix) no quadrada arrel(l' real solució té no equaciól' 0 Sizero) és quadrada arrel(l' doble real solució una té equaciól' 0 Si

quadrada) arrell'(existeix diferents reals solucions dues té equaciól' 0 Si

Resoleu les següents equacions: a) 01x4x3 2 =+− b) 0x4x2 =− c) 018x2 2 =− SOLUCIONS: a) L’equació 01x4x3 2 =+− té tots els coeficients distints de zero. Per resoldre-la apliquem la

fórmula: 1c,4b,3a =−==

==−

=

=+

==

±=

−±=

−−±=

−±−=

31

62

624

x

16

24x

624

612164

3.21.3.4)4(4

a2ac4bb

x22

Les solucions són 1x = , 31

x =

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

6

b) Una equació de segon grau amb una incògnita és incompleta si els coeficients b o c són zero. L’equació 0x4x2 =− no té terme independent, c = 0. Per resoldre-la traiem la incògnita x factor comú:

0x4x2 =− 0)4x(x =−⇒ Un producte és zero si un dels seus factors és zero. Aleshores,

0x = , o bé 04x =− Resolent la segona equació 4x = . Per tant, l’equació té dues solucions 0x = i 4x = c) L’equació 018x2 2 =− és incompleta. No té terme de grau primer, b = 0. Aïllem 2x després farem l’arrel quadrada:

018x2 2 =− 0)9x(2 2 =−⇒ 09x 2 =−⇒ 9x2 = Traient l’arrel quadrada:

9x ±= Les solucions de l’equació són 3x = , 3x −= Les equacions b) i c) s’haurien pogut resoldre mitjançant la fórmula. Equacions biquadrades: Una equació biquadrada és una equació de quart grau de la forma 0cbxax 24 =++ , els coeficients de tercer i primer grau són zero. Per resoldre l’equació farem el canvi de variable 2xz = 2. Resoleu l’equació biquadrada 048x13x 24 =−− Fem el canvi 2xz = , aleshores 42 xz = L’equació es transformaria:

048z13z 2 =−− Resolem l’equació:

48c,13b,1a −=−==

−=−

=

==±=

+±=

326

z

16232

z

21913

219216913

z

Desfem el canvi: Si 16z = 16x 2 =⇒ , resolent l’equació: 4x ±=

Si 3z −= 3x 2 −=⇒ , aquesta equació no té solució. Per tant, les solucions de l’equació són 4x = , 4x −=

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

7

Equacions de grau superior a 2 amb 1 incògnita. Mètode de resolució: Igualarem l’equació a zero. Factoritzarem el polinomi (utilitzant la regla de Ruffini i el teorema del residu). Igualarem cadascun dels polinomis factors a zero. Resoldrem l’equació. Resoleu la següent equació:

( ) 3xx9x2x3xx4x3x 2342345 ++++=++−+ Efectuem operacions:

3xx9x2x9x6xx4x3x 2342345 ++++=+++−+ Igualem a zero l’equació:

06x5x8x6x2x 2345 =++−−+ Per factoritzar el polinomi calcularem els seus zero (solucions de l’equació). Provarem amb els divisors del terme independent que són 6,6,3,3,2,2,1,1 −−−− 1 2 −6 −8 5 6 1 1 3 −3 −11 −6 1 3 −3 −11 −6 0 −1 −1 −2 5 6 1 2 −5 −6 0 −1 −1 −1 6 1 1 −6 0 2 2 6 1 3 0 −3 −3 1 0 Factoritzem el polinomi ( )( ) ( )( ) 03x2x1x1x 2 =+−+− Igualant cada factor a zero, tenim que les solucions són:

3x,2x,1x,1x,1x −==−=−== que són els zeros o arrels del polinomi.

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

8

Equacions racionals amb una incògnita Una equació s’anomena racional si té fraccions amb incògnites als denominadors. Mètode de resolució: Eliminar denominadors Resoldre l’equació resultant. Comprovar que les solucions no anul·len algun dels denominadors. (En aquest cas la solució és vàlida). Resoleu l’equació recional:

4xx26

74x1x2 2

+−

=−++

Multipliquem les dues parts de l’equació pel mcm dels denominadors que és 4x +

( ) ( )

+−

+=

−

++

+4xx26

4x74x1x2

4x2

2x26)4x(71x2 −=+−+ 2x2628x71x2 −=−−+

Escrivim l’equació de segon grau en forma general: 033x5x2 2 =−−

Resolem l’equació de segon grau:

−=−

=+

=⋅

−⋅⋅−±=

34175

211

4175

22)33(24255

x

Les dues solucions són vàlides perquè no anul·len cap dels denominadors de l’equació inicial. Equacions irracionals amb una incògnita. Una equació és irracionals si té incògnites dins del radicand d’alguna arrel quadrada. Mètode de resolució: Aïllar un radical. Elevar al quadrat les dues parts de la igualtat. Resoldre l’equació resultant. Comprovar que la solució o solucions satisfan l’equació inicial.

Resoleu l’equació: 1x6x5x3 +=+− Aïllem el radical:

x31x6x5 −+=+−

1x3x5 +=+− Elevem al quadrat ambdues parts de l’equació.

( ) ( )221x3x5 +=+−

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

9

Efectuem operacions: 1x6x9x5 2 ++=+

Escrivim l’equació de segon grau en forma general: 04x5x9 2 =−+

Resolem l’equació:

−=−−

=+−

=⋅

−⋅⋅−+−=

118

13594

18135

92)4(9455

x2

Provem si les solucions anteriors satisfan l’equació inicial:

94

x = , 194

694

594

3 +⋅≠+−⋅ per tant no és solució.

1x −= , 1)1(615)1(3 +−⋅=−−−⋅ per tant és solució. Sistemes d’equacions no lineals amb dues incògnites. Un sistema és no lineal si alguna o les dues equacions no és de grau major o igual a 2. No hi ha mètode general de resolució. a) Resoleu el següent sistema:

−==+45xy12yx

Notem que la segona equació és de segon grau. De la primera equació aïllem la incògnita x i substituïm el seu valor en la segona equació:

( )

−=−−=

45yy12y12x

Efectuem operacions en la segona equació:

−=−−=

45yy12y12x

2

La segona equació és de segon grau en la incògnita y. Resolem-la:

=−−−=

045y12yy12x

2

±=−⋅⋅−±

=

−=

21812

2)45(141212

y

y12x2

La incògnita y té 2 solucions aleshores el sistema té 2 solucions:

1ª solució:

=−=15y

3x la 2ª solució

−==

3y15x

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

10

b) Resoleu el següent sistema:

=+=+

5yx212yx3

2

22

De la segona equació aïllem la incògnita y i substituïm el seu valor en la primera equació:

( )

−==−+

2

222

x25y12x25x3

−==+−+

2

422

x25y12x4x2025x3

−==+−

2

24

x25y013x17x4

La primera equació és una equació biquadrada:

−=

±=

2

2

x25y8

8117x La incògnita x té 4 solucions

413

,413

,1,1x −+−= .

Aleshores el sistema té 4 solucions:

==

3y1x

=−=3y1x

−=

=

23

y

413

x

−=

−=

23

y

413

x

Exercicis proposats: 1. Resoleu les equacions següents: a) x7115x3 +=− b) 27x2)x32(4 −−=− c) )9x3(2)2x2(3 +=− d) )7x3(315x7 −=+

e) 7

3x123

1x4 −=+

f) 35

4x

125x2 −−=−

g) 2x

13x

5x =−+

h) 36x

34x2 −=+

i) 5211x

53x2 −=+−+

j) 3

1x210

51x6 ++−=+

k) 31

x33x4 =+

l) 05

28x615

x4 =+−

m) 212

x53x2 −=

n) 15

)13x(23x4

53x4 −=−−

o) 56

1x73

5x42

5x3 −+=−−+

p) 4

2x15x3

21x2

x5−+=+−

q) x33

)5x2(23

5)6x3(4 −+=++

r) 1x43

)8x2(26x2 −=+−−

s) ( ) 5)14x(x4x 2 +−=+

t) ( ) )4x)(1x2(1xx 22 +−=++

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

11

2. Resoleu les següents equacions gràficament i analíticament, doneu almenys 4 solucions particulars en cada cas.

a) 3yx2 =+ b) 6y2x =− c) 5y4x2 =−

d) 4y3x2 =+− e) 11y31x4 +=− f) 10y5x2 −=+

3. Resoleu gràficament el següent sistema d’equacions. Expliqueu el resultat obtingut.

a)

=−=+

9y6x535y8x9

b)

=+−=−31y2x35y8x5

c)

−=−−=+9yx4yx

4. Resoleu els següents sistemes d’equacions lineals, emprant el mètode més adient:

a)

−=+=−

5y2x39yx5

b)

+−=+−=+−

11)x2y(5y2)1x(32y3x5

c)

=+=−

18y3x21yx4

d)

−=−−=+

x31y5)1x(34yx2

e)

=+−=−

7yx51y2x3

f)

=−=+

10y2x58yx2

5. Resoleu les següents equacions de segon grau:

a) 0x11x2 =− b) 0288x2 2 =− c) 08x2x 2 =−− d) 03x20x7 2 =−− e) 48)3x(x)1x(x =−+−

f) ( ) ( ) 7x3x1x 222 =−+−−

g) 02xx4 2 =+−

h) 343x3 2 −= i) 80x26x7 22 +=+ j) 1x4)1x2(x)1x(3 −=−−+

k) x9x650x 2 =−− l) 1x6x5 2 +=

m) ( ) 162x 2 =+ n) x6)2x)(1x(3 =+−

6. Resoleu les següents equacions biquadrades:

a) 010x3x 24 =−+ b) 016x40x9 24 =+−

c) 30x

125x

22 =+

d) 48x6x 24 =+ e) 4)5x(x 22 −=−

f) 24 x20100x =+

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

12

7. Resoleu les següents equacions: a) ( )( )( ) 01x6x23x =−−+

b) ( )( ) 0x1x4x2 2 =++

c) ( )( ) 0)1x(x5x3x 22 =++− d) ( )( )( ) 0x4x414x32x2 =−−+

e) ( )( ) 0x12x4x 22 =+−

f) ( )( )( ) 0x4x11x24x3x 22 =++−+

g) ( )( )( )( ) 04x1x21x9x 22 =++++

h) ( ) ( )( )( ) 04x3x3x216xx1x 22 =+++−−

8. Resoleu les següents equacions:

030xx21x9x 234 =−−++ 012x8x7x2x 234 =+−−+

060x128x87x17x3x 2345 =−−−−+ 18x45x34x4x4x 2345 +++=+

0x36x24x5x6x 2345 =−−++ 0x4x4x3x2x 23456 =+−−+

01x2x 24 =+− 05x14x12x2x 234 =−+−+

9. Resoleu les següents equacions racionals:

a) 2x1

x1x2

2=+

+

b) 3

1x3xx1 −=

+−

c) 63x

3x2x 2

=+

−+

d) 1x2

34x

x2 +

=−

e) 1x

1x3x

x2x2 ++=+−

f) 5

1x2x3

27 −=+

g) 61x

9x6 =

++

h) xx25x

x10

1x8

2

2

−−=−

−

i) 2x

3x2x

3x22 −

=−+

j) 2x1x

x2xx4

2 −+

=−

k) 1x2x

1x41x

72 ++

+=

+

l) 10x

5x3x2x

25x52

2

=−+++

10. Resoleu les següents equacions irracionals

a) 43x2 =+

b) 1x2 +=

c) x4x3 =−

d) x9x10 =+

e) 2x3x2 =+

f) x6x3x 2 =++

g) 42x51 =++

h) 4x4x2x2 +=++

i) 2x10x −=+

j) x11x2 −=+

k) x812x −=+−

l) x2x34 =−+

m) x2x54 =+−

n) 4x16x2 ++=+

o) 52x3x =−++

p) 23xx41 =+−−

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

13

11. Resoleu els següents sistemes no lineals:

a)

−=−=+

6xy1yx2

b)

−==+

2x3y1y3x2

c)

=−=+22 y4x10y4x3

d)

−=−=+

2yx25yx2

22

22

e)

=+−=+

50y2x325yx2

22

22

f)

=−=+

1yx36yx2

2

22

g)

=+=−12y2x4y3x

2

22

h)

+==+1yx7yx 2

i)

=+=+

11y3x214y2x 2

j)

−=−=3y4x1x2y

2

22

k)

−==−20xy

9yx 22

l)

=+=+

1y9x22y3x4

2

2

Problemes. 1. Joana té 13 anys més que l’Empar. Si entre els dos sumen 73 anys, quina és l’edat de

cadascuna? 2. Un pare té 5 vegades l’edat de la filla. Si la diferència d’anys és 52, quina és l’edat de

cadascun?. 3. Determineu tres nombres consecutius que sumen 444. 4. Determineu un nombre que sumat amb la seua meitat i la seua tercera part done 231. 5. Tres socis han de repartir-se 6.000€ de beneficis. Quant tocarà a cadascú, si el primer ha de

rebre 3 vegades més que el segon i el tercer dues vegades més que el primer? 6. Una bicicleta ix d’una ciutat amb una velocitat de 25 km/h. 3 hores més tard ix un cotxe a la

velocitat de 120 km/h. Quant de temps tardarà el cotxe a atrapar la bicicleta?

7. Quin nombre he de sumar als dos termes de la fracció 742187 a fi que es convertesca en

72 .

8. La diferència entre dos nombres és 656. Dividint el major entre el menor, resulta 4 de

quocient i 71 de residu. Determineu el nombres. 9. Determineu un nombre de dues xifres sabent que la suma de les xifres és 6 i que la

diferència entre aquest nombre i el que resulta d’invertir l’ordre de les xifres és 18. 10. Dos obrers fan una feina en 3 hores. Un d’ells tot sol ho faria en 4 hores. Determineu el

temps que tardaria l’altre tot sol.

Mª Àngels Lonjedo Ricard Peiró

14

11. Dels tres conductes que aflueixen en una bassa, un l’ompli sol en 36 hores, un altre en 30

hores, i el tercer en 20 hores. Calculeu el temps que tardaran a omplir-la junts. 12. Un pare té 42 anys i els seus fills 7 i 5. Quants anys han de passar perquè l’edat del pare

siga igual que la suma de les edats dels fills? 13. Troba dos nombres de forma que la seua diferència siga 120 i el menor siga la quinta part

del major. 14. Ernest té 3 anys més que Mercè i aquesta en té 5 més que Lluís. Calculeu l’edat de

cadascun si entre els tres sumen 58 anys. 15. Cal repartir 27 taronges en dues caixes de forma que a la primera hi haja 3 més que a la

segona. Quantes taronges hi haurà a cada caixa? 16. Al comprar una camisa he pagat 27,59€. Si m’han rebaixat un 15%. Quant costava la camisa

abans de les rebaixes? Calculeu un nombre de forma que si li sumem la meitat del seu quadrat el resultat siga 310.

17. Calculeu dos nombres de forma que la seua suma siga 40 i que la suma dels seus quadrats

siga 818. 18. Les mesures dels costats d’un triangle rectangle són tres nombres parells consecutius.

Trobeu les longituds dels costats. 19. Determineu dos nombres la diferència dels quals siga 15 i el producte d’ambdós siga 406. 20. Determineu dos nombres el producte dels quals siga 72 i la suma dels seus quadrats siga

180. 21. El perímetre d’un rectangle és 84 m i la diagonal mesura 30 m. Determineu l’àrea del

rectangle. 22. La hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 25 m i la suma de les longituds dels catets és

35 m. Determineu la mesura dels catets.

23. Determineu dos nombres que multiplicats donen 504 i el seu quocient és 72 .

24. Determineu el perímetre d’un quadrat sabent que l’àrea és de 729 2m . 25. En un triangle la base amida 4 cm més que l’altura. Sabent que l’àrea és de 96 2cm , quants

cm amiden la base i l’altura.