Capítulo 12: Métodos no paramétricos

Los métodos presentados en los capítulos anteriores, se basaban en el conocimiento de las distribuciones muestrales de las diferencias de porcentajes o promedios, cuando las muestras provenían de una misma población. Se aceptaba entonces usar la aproximación normal, la distribución de t de Student o la distribución F de Fisher en el análisis de varianza, bajo el supuesto de que la hipótesis nula es cierta. Dado que en esos métodos se estiman los parámetros de las poblaciones de origen, esas técnicas estadísticas reciben el nombre de “paramétricas”.

Hay situaciones en que, por el escaso número de observaciones, o por el nivel de medición de las variables, no es correcto o no es posible hacer supuestos sobre las distribuciones muestrales subyacentes. En tales casos se usan los métodos “no paramétricos” o de distribución libre.

Aquí presentaremos algunos ejemplos de pruebas no paramétricas para el caso de dos muestras independientes, para el caso de dos muestras dependientes o pareadas y para la comparación de más de dos grupos en que no son aplicables los métodos paramétricos.

Las pruebas paramétricas, asumen como distribución muestral la distribución Normal, este supuesto no siempre se cumple, sin embargo recurrimos a que estos métodos paramétricos son robustos. Además estos métodos son preferidos porque tienen mayor potencia.

¿Pero qué hacemos cuando no se cumple la normalidad o tenemos muy pocos datos?

Opciones:

1. Si hay valores extremos y el tamaño muestral es pequeño cualquier método de inferencia es dudoso.

2. A veces podemos transformar los datos (log es la transformación más usada)

Ejemplo:Se tienen datos sobre la emisión de monóxido de Carbono de 46 vehículos del mismo tipo (Monoxido.sav).

EN HC CO NOX1 0.5 5.01 1.282 0.65 14.67 0.723 0.46 8.6 1.17. . . .. . . .. . . .

44 0.46 3.99 2.0145 0.47 5.22 1.1246 0.55 7.47 1.39

A los investigadores les interesa calcular un intervalo de confianza para la media del monóxido de Carbono.Si analizamos el histograma adjunto, vemos que la distribución del monóxido de Carbono es sesgada a la derecha, por lo que la media no será un buen estimador del centro de la distribución y por lo tanto la estimación por intervalo de confianza tampoco será adecuada. Como solución podemos transformar la variable usando el logaritmo natural y calculamos el promedio de la nueva variable. Pero al investigador le interesa conocer el intervalo de confianza en las unidades originales de la variable, para eso convertimos a la unidad original de CO con exponencial (

).

1

Monóxido de Carbono

24.022.0

20.018.0

16.014.0

12.010.0

8.06.0

4.02.0

14

12

10

8

6

4

2

0

Desv. típ. = 5.26

Media = 8.0

N = 46.00

Intervalo de confianza 95% para la media de CO(6,398 - 9,522)

Log(CO)

3.253.00

2.752.50

2.252.00

1.751.50

1.251.00

.75.50

12

10

8

6

4

2

0

Desv. típ. = .61

Media = 1.89

N = 46.00

Intervalo de confianza 95% para la media del log CO (1,7061 - 2,0691)

2

¿Qué pasa con el supuesto de Normalidad?

Pruebas de normalidad

.187 46 .000 .842 46 .000

.104 46 .200* .970 46 .266Monóxido de CarbonoLog(CO)

Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig.Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk

Este es un límite inferior de la significación verdadera.*.

Corrección de la significación de Lillieforsa.

Gráfico Q-Q normal de Monóxido de Carbono

Valor observado

3020100-10

Nor

mal

esp

erad

o

3

2

1

0

-1

-2

-3

Gráfico Q-Q normal de Log(CO)

Valor observado

3.53.02.52.01.51.0.5

Nor

mal

esp

erad

o

3

2

1

0

-1

-2

-3

3. También existen métodos paramétricos que asumen otras distribuciones, por ejemplo para el tiempo que demora en fallar un producto se usa una distribución de Weibull (ver diagrama adjunto).

4. Finalmente, existen los métodos que no asumen una distribución, también llamados de distribución libre o no paramétricos.

Los métodos no paramétricos son la manera más directa de solucionar el problema de falta de normalidad. Estos métodos son muy simples de usar y están disponibles en SPSS. Pero tienen dos desventajas. Primero que tienen menos poder1 que las equivalentes soluciones paramétricas. También es importante distinguir que las pruebas de hipótesis no paramétricas NO contestan a la misma pregunta que las pruebas paramétricas. Por ejemplo si queremos hacer un test para docimar sobre el centro de la distribución, el test no paramétrico establece la hipótesis en términos de la mediana y el test paramétrico usa la media.

Tipo Test Paramétrico Test no paramétrico

Una muestra Test t simple Test del signo de rangos de Wilcoxon

Muestras pareadas Test t simple Test del signo de rangos de Wilcoxon

Dos muestras independientes Test t para muestras independientes Test de suma de rangos de Wilcoxon

Más de dos muestras independientes ANOVA de un factor Test de Kruskal-Wallis

Diseño en bloques aleatorios ANOVA con bloques Ji cuadrado de Friedman

Existen dos grandes tipos de test no paramétricos, los que usan cuentas o números y los que usan rangos. En este capítulo revisaremos del test de suma de rangos de Wilcoxon y el Test de Kruskal-Wallis.

Ejemplo: Se tienen dos parcelas experimentales. En una de las parcelas se sacó completamente la maleza y en la otra se dejó hasta 3 malezas por metro cuadrado. ¿Dañará la presencia de maleza la producción de maíz?

Malezas por metro cuadrado Producción de maíz

0 166,7 172,2 165,0 176,93 158,6 176,4 153,1 156,0

HipótesisEn este problema la hipótesis nula es que la maleza no afecta la producción de maíz. La hipótesis alternativa es que la producción es menor cuando hay maleza. Si estamos dispuestos a asumir que la producción de maíz es Normal, o si tenemos un tamaño muestral razonablemente grande, usamos el test t para medias independientes. Las hipótesis son:

Cuando la distribución no es Normal, podemos re-escribir las hipótesis en términos de medianas:

¿Qué tipo de test (paramétrico o no paramétrico) será el adecuado en este caso?

Hacemos la prueba de normalidad:

1 Se define poder o potencia del test como la capacidad del test para detectar hipótesis nulas falsas. Potencia = 1-

Pruebas de normalidad

.241 4 . .938 4 .640

.341 4 . .819 4 .140

WEEDS03

YIELDEstadístico gl Sig. Estadístico gl Sig.

Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk

Corrección de la significación de Lillieforsa.

Gráfico Q-Q normal de YIELD

Para WEEDS= 0

Valor observado

178176174172170168166164

Nor

mal

esp

erad

o

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

Gráfico Q-Q normal de YIELD

Para WEEDS= 3

Valor observado

180170160150

Nor

mal

esp

erad

o

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

Tenemos muy pocos datos por lo tanto será adecuado hacer un test no paramétrico.

Test de suma de rangos de Wilcoxon2

Este es un test de rangos. El primer paso será calcular los rangos de las observaciones.

Transformación a rangos

Ordenamos los datos de menor a mayor:

Producción 153,1 156,0 158,6 165,0 166,7 172,2 176,4 176,9Rango 1 2 3 4 5 6 7 8

Pasar de los datos a sus rangos, es equivalente a transformar los datos. Los rangos retienen solamente el orden de las observaciones y no el valor numérico.

Si la presencia de maleza afecta la producción de maíz esperamos que los rangos más pequeños sean de ese grupo. Podemos comparar la suma de los rangos de los dos tratamientos:

Tratamiento Suma de rangosSin maleza 23Con maleza 13

Por definición la suma de rangos de 1 a 8 es: , donde n es el número total de observaciones.

Por lo tanto podemos calcular la suma en uno de los grupos y el otro tiene que ser la diferencia (36- 23=13)

Si no hay diferencia entre los tratamientos esperamos que los rangos sean la mitad en cada grupo, es decir 18.Test de suma de rangos de Wilcoxon

Se tiene una m.a.s de tamaño n1 de una población, y una segunda m.a.s de tamaño n2 de otra población. Hay n observaciones en total, donde n = n1 + n2. Se calcula el rango de las n observaciones. El test estadístico será la suma W de los rangos del

2 Este test fue creado por el químico Frank Wilcoxon (1892-1965) en 1945.

grupo con menor suma de rangos, este será el estadístico de suma de rangos de Wilcoxon. Si las dos poblaciones tienen la misma distribución continua, entonces W tiene media:

y desviación estándar:

Donde n1 será el tamaño muestral del grupo con menor suma de rangos.

El test de suma de rangos de Wilcoxon rechaza la hipótesis nula de que las dos poblaciones tienen la misma distribución cuando la suma de rangos W está lejos de su media.

En el ejemplo del maíz queremos docimar:

H0: no hay diferencias en la distribución de la producción de maíz en los dos grupos

versus

H1: la producción es mayor en el tratamiento sin malezas

Nuestro test estadístico W=13

Bajo Ho W tiene media: y desviación estándar:

Valor p = Necesitamos conocer la distribución muestral de W bajo la hipótesis nula.

Existen tablas que dependen de n1 + n2.

Veamos la salida qué nos da SPSS:

Estadísticos de contrasteb

3.00013.000-1.443

.149

.200a

.200

.100

.043

U de Mann-WhitneyW de WilcoxonZSig. asintót. (bilateral)Sig. exacta [2*(Sig.unilateral)]Sig. exacta (bilateral)Sig. exacta (unilateral)Probabilidad en el punto

YIELD

No corregidos para los empates.a.

Variable de agrupación: WEEDSb.

La salida de SPSS nos da el valor p exacto para la distribución muestral de W. El valor p para la hipótesis unilateral es 0,1 (valor p exacto según SPSS).

Si comparamos con el equivalente test paramétrico t = - 1,554, valor p=0,171/2=0,0855, llegamos a la conclusión similar (recuerde que las hipótesis son distintas).

Prueba de muestras independientes

1.256 .305 -1.554 6 .171 -9.175 5.9056 -23.6254 5.2754

-1.554 4.495 .187 -9.175 5.9056 -24.8832 6.5332

Se han asumidovarianzas igualesNo se han asumidovarianzas iguales

YIELDF Sig.

Prueba de Levenepara la igualdad de

varianzas

t gl Sig. (bilateral)Diferenciade medias

Error típ. dela diferencia Inferior Superior

95% Intervalo deconfianza para la

diferencia

Prueba T para la igualdad de medias

La aproximación NormalEl estadístico de suma de rangos W se aproxima a la distribución Normal cuando n es grande. Entonces podemos formar un test z para estandarizar a W:

El valor de z en el ejemplo del maíz nos da:

Esperamos rechazar para valores grandes de W si la hipótesis alternativa es verdadera, por lo que el valor p aproximado es:

SPSS da el valor p exacto para W y el asintótico o aproximado que utiliza la aproximación a la Normal.

Además SPSS nos entrega el estadístico U de Mann-Whitney, este es equivalente al test de suma de rangos de Wilcoxon.

EmpatesLa distribución exacta de test de Wilcoxon para suma de rangos se obtiene asumiendo que todas las observaciones tienen diferentes valores y por lo tanto su rango. En la práctica ocurre que muchas veces tenemos valores iguales. Lo que hacemos es asignar el valor promedio del rango que ocupan.

Ejemplo:

Observación 153 155 158 158 161 164Rango 1 2 3,5 3,5 5 6

La distribución exacta del test de Wilcoxon se aplica a datos sin empates, por lo que deberemos ajustar la desviación estándar en la presencia de empates.

Ejemplo:La comida que se vende en eventos al aire libre puede ser menos segura que la de restoranes porque se prepara en lugares no acondicionados y a menudo por voluntarios. ¿Qué pensará la gente acerca de la seguridad de la comida en ferias? Un estudio preguntó a asistentes a este tipo de eventos:

¿Qué tan a menudo piensa usted que se enferma la gente que consume comida en eventos al aire libre?

Las respuestas posibles eran:

1 = raramente2 = de vez en cuando3 = a menudo4 = muy frecuentemente5 = siempre

En total 303 personas respondieron a la pregunta. De estos 196 eran mujeres y 107 hombres.

¿Existe evidencia que hombres y mujeres difieren en su percepción acerca de la seguridad en la comida de ferias al aire libre?

Tabla de contingencia Sexo * Respuesta

Recuento

13 108 50 23 2 19622 57 22 5 1 10735 165 72 28 3 303

FM

Sexo

Total

1 2 3 4 5Respuesta

Total

Comparamos los porcentajes por filas:

Tabla de contingencia Sexo * Respuesta

% de Sexo

6.6% 55.1% 25.5% 11.7% 1.0% 100.0%20.6% 53.3% 20.6% 4.7% .9% 100.0%11.6% 54.5% 23.8% 9.2% 1.0% 100.0%

FM

Sexo

Total

1 2 3 4 5Respuesta

Total

¿Es la diferencia entre sexos significativa?

H0: hombres y mujeres no difieren en sus respuestasH1: uno de los dos sexos da sistemáticamente mayores respuestas que el otro

La hipótesis alternativa es de dos colas.

Como las respuestas posibles son sólo 5 hay muchos empates.

Veamos la salida de SPSS:

Rangos

196 163.25 31996.50107 131.40 14059.50303

SexoFMTotal

RespuestaN

Rangopromedio

Suma derangos

Estadísticos de contrastea

8281.50014059.500

-3.334.001.001.000.000

U de Mann-WhitneyW de WilcoxonZSig. asintót. (bilateral)Sig. exacta (bilateral)Sig. exacta (unilateral)Probabilidad en el punto

Respuesta

Variable de agrupación: Sexoa.

Tenemos suficiente evidencia para concluir que existen diferencias significativas entre la percepción acerca de la seguridad de la comida al aire libre entre hombres y mujeres.

Como el tamaño de la muestra es grande podríamos haber usado el test paramétrico:

Prueba de muestras independientes

3.031 .083 3.361 301 .001 .33 .099 .138

3.365 218.856 .001 .33 .099 .138

Se han asumidovarianzas igualesNo se han asumidovarianzas iguales

RespuestaF Sig.

Prueba de Levenepara la igualdad de

varianzas

t gl Sig. (bilateral)Diferenciade medias

Error típ. dela diferencia Inferior

95% Intervalo deconfianza para la

diferencia

Prueba T para la igualdad de medias

Pero en este caso, tenemos argumentos a favor del test no paramétrico. El test paramétrico asume que las respuestas tienen valor numérico y en realidad en una escala cualitativa. Usar rangos es más apropiado en este caso.

Test de Kruskal-Wallis

El test de suma de rangos de Wilcoxon sirve para comparar dos tratamientos. Ahora veremos una alternativa no paramétrica al ANOVA de un factor es decir para comparar más de dos tratamientos, que corresponde al test de Kruskal-Wallis.

Ejercicio: Veamos una nueva versión del problema de las malezas. El investigador en realidad probó 4 tipos de malezas 0, 1, 3 y 9 por metro cuadrado.

Descripción de la Producción bajo distintas condiciones de maleza:

Maleza n Media Desviación típica

0 4 170.200 5.4216

1 4 162.825 4.4687

3 4 161.025 10.4933

9 4 157.575 10.1181

Gráfico Q-Q normal de YIELD

Para WEEDS= 0

Valor observado

178176174172170168166164

Nor

mal

esp

erad

o

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

Gráfico Q-Q normal de YIELD

Para WEEDS= 1

Valor observado

168166164162160158156

Nor

mal

esp

erad

o

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

Gráfico Q-Q normal de YIELD

Para WEEDS= 3

Valor observado

180170160150

Nor

mal

esp

erad

o

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

Gráfico Q-Q normal de YIELD

Para WEEDS= 9

Valor observado

170160150140

Nor

mal

esp

erad

o

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

Ya analizamos que en este caso es difícil probar normalidad con tan pocos datos, por lo tanto será conveniente usar un método no paramétrico.

Hipótesis y supuestos

El test F de ANOVA responde a la hipótesis:

Los datos deben provenir de k poblaciones independientes, con distribución normal y con la misma desviación estándar.

El test de Kruskal_Wallis es un test de rangos que reemplaza al test F de ANOVA. El supuesto acerca de la independencia de las poblaciones sigue siendo importante, pero ya no necesitamos normalidad. Asumiremos que la respuesta tiene una distribución continua en cada población.

H0: las k distribuciones son igualesH1: una de ellas tiene valores sistemáticamente mayores

Si todas las distribuciones tienen la misma distribución, esta hipótesis la podemos simplificar.

H0: las k poblaciones tienen la misma medianaH1: no todas las medianas son iguales

Recordemos la idea del ANOVA: tenemos una variación total observada de la respuesta como la suma de dos partes, una que mide la variación entre los grupos o tratamientos (suma de cuadrados entre tratamientos, SCE) y la otra que mide la variación entre las mediciones de un mismo tratamiento (suma de cuadrados dentro de los tratamientos, SCD). El test F de ANOVA rechaza la hipótesis nula de que las medias son iguales si la SCE es grande relativa a la SCD.

La idea del test de Kruskal-Wallis es calcular los rangos de todas las respuestas y luego aplicar el ANOVA a los rangos en vez de las observaciones originales.

Test de Kruskal-Wallis

Se tienen k muestras aleatorias de tamaños n1, n2,...,nk. Hay n observaciones en total, donde n es la suma de los ni. Se calcula el rango de las n observaciones y sea Ri la suma de los rangos en el i-esima muestra o grupo. El estadístico de Kruskal-Wallis es:

Cuando los tamaños ni son grandes y las k poblaciones tienen la misma distribución, H tiene aproximadamente una distribución de Ji-cuadrado con (k-1) grados de libertad.

El test de Kruskal-Wallis rechaza la hipótesis nula de que todas las poblaciones tienen la misma distribución cuando H es grande.

Vemos que así como el test de suma de rangos de Wilcoxon, el test de Kruskal-Wallis está basado en suma de rangos, mientras mayor sea la diferencia entre los rangos de los grupos mayor evidencia de que las respuestas son diferentes.

La distribución exacta del estadístico H de Kruskal-Wallis bajo la hipótesis nula depende de los tamaños muestrales n1, n2,...,nk, por lo tanto las tablas son terribles. El cálculo de la distribución exacta es tan complicado que los softwares generalmente usan la aproximación de 2 para obtener el valor p.

Veamos lo rangos para el problema de las malezas.

Como antes, también tenemos que corregir cuando existen empates.

Revisemos los datos de las malezas:

Malezas por metro Producción0 166,7 172,2 165,0 176,91 166,2 157,3 166,7 161,13 158,6 176,4 153,1 156,09 162,8 142,4 162,7 162,4

Tenemos que calcular los rangos de todos los datos ordenados. Luego calcular H. En SPSS podemos calcular los rangos con: Transformar, Asignar rangos a casos

Grupos Suma de Rangos0 52,5 2756,251 33,5 1122,253 25,0 625,09 25,0 625,0

Total 136

Rangos

4 13.134 8.384 6.254 6.25

16

WEEDS0139Total

YIELDN

Rangopromedio

Estadísticos de contrastea,b

5.5733

.134

Chi-cuadradoglSig. asintót.

YIELD

Prueba de Kruskal-Wallisa.

Variable de agrupación: WEEDSb.

La diferencia con el cálculo de SPSS se debe a la corrección por empates. Esta corrección hace que la aproximación de Ji cuadrado sea más precisa. Es importante hacerla si hay muchos empates.

Podemos comparar este test no paramétrico con su equivalente paramétrico:

4444N =

WEEDS

9310

YIEL

D

180

170

160

150

140

130

ANOVA

YIELD

340.667 3 113.556 1.735 .213785.542 12 65.462

1126.209 15

Inter-gruposIntra-gruposTotal

Suma decuadrados gl

Mediacuadrática F Sig.

Vemos que llegamos a la misma conclusión, es decir que las malezas no afectan significativamente la producción de maíz.

¿Ustedes qué creen?

Ejercicio:Se tienen datos del contenido en calorías y sodio de 3 tipos de vienesas: cerdo, mixtas, y de ave.

171720N =

TIPOS

avemixtocarne

CAL

OR

IAS

220

200

180

160

140

120

100

80

60

Descriptivos

CALORIAS

20 155.80 25.220 5.639 144.00 167.60 90 19017 158.71 25.236 6.121 145.73 171.68 107 19517 122.47 25.483 6.181 109.37 135.57 86 17054 146.22 29.696 4.041 138.12 154.33 86 195

carnemixtoaveTotal

N MediaDesviación

típica Error típico Límite inferiorLímite

superior

Intervalo de confianza parala media al 95%

Mínimo Máximo

Prueba de homogeneidad de varianzas

CALORIAS

.301 2 51 .741

Estadísticode Levene gl1 gl2 Sig.

ANOVA

CALORIAS

14074.369 2 7037.184 10.987 .00032664.965 51 640.49046739.333 53

Inter-gruposIntra-gruposTotal

Suma decuadrados gl

Mediacuadrática F Sig.

CALORIAS

HSD de Tukeya,b

17 122.4720 155.8017 158.71

1.000 .937

TIPOSavecarnemixtoSig.

N 1 2

Subconjunto para alfa= .05

Se muestran las medias para los grupos en los subconjuntoshomogéneos.

Usa el tamaño muestral de la media armónica =17.895.

a.

Los tamaños de los grupos no son iguales. Se utilizarála media armónica de los tamaños de los grupos. Losniveles de error de tipo I no están garantizados.

b.

¿Cómo hacemos el análisis no paramétrico?

Rangos

20 32.8317 33.5317 15.2154

TIPOScarnemixtoaveTotal

CALORIASN

Rangopromedio

Estadísticos de contrastea,b

15.1792

.001

Chi-cuadradoglSig. asintót.

CALORIAS

Prueba de Kruskal-Wallisa.

Variable de agrupación: TIPOSb.

¿Qué informamos a los consumidores de vienesas?

RANK of CALORIAS

HSD de Tukeya,b

17 15.20620 32.82517 33.529

1.000 .987

TIPOSavecarnemixtoSig.

N 1 2

Subconjunto para alfa= .05

Se muestran las medias para los grupos en los subconjuntoshomogéneos.

Usa el tamaño muestral de la media armónica =17.895.

a.

Los tamaños de los grupos no son iguales. Se utilizarála media armónica de los tamaños de los grupos. Losniveles de error de tipo I no están garantizados.

b.

Lo que hicimos fue calcular los rangos de la variable respuesta (calorías) y luego analizamos paramétricamente la nueva variable. Esta propuesta no es absolutamente convencional y fue publicada por:

Conover, W. Iman, R. (1981) Rank transformation as a bridge between parametric and non parametric studies. The American Statistican, 35: 124-133.

Fisher, L. Van Belle, G. En Biostatistics, Wiley (1993 ) proponen rutinariamente hacer tanto el análisis paramétrico como su equivalente no paramétrico (cuando existe) y si las conclusiones son divergentes investigar el motivo.

Correlación por rangos de Spearman*

Hasta ahora hemos analizado la correlación mediante el coeficiente de correlación lineal r de Pearson, sin embargo existen otros coeficientes de correlación útiles, particularmente el coeficiente de correlación por rangos de Spearman (rs). El uso de este coeficiente es apropiado cuando la escala de medida de las variables de interés no es cuantitativa sino que es ordinal.

La r de Spearman es en realidad el coeficiente de correlación lineal r de Pearson, aplicado a los datos que satisfacen los requisitos de una escala ordinal. La ecuación más sencilla para el cálculo de r s cuando no existen empates, o existen pocos, con respecto al número de pares de datos (x, y) es:

Donde: es el rango del i-ésimo dato X y es el rango del i-ésimo dato Y.

Se puede mostrar que si los datos no tienen empates, la r de Pearson se reduce algebraicamente a la ecuación anterior.

Ejemplo: Suponga que una gran corporación está interesada en calificar a un grupo de 12 aspirantes a gerentes según su capacidad de liderazgo. Se contrata a dos psicólogos para realizar el trabajo. Como resultado de sus exámenes y entrevistas, cada uno de los psicólogos, de manera independiente, han clasificado a los aspirantes según su capacidad de liderazgo. Los rangos van de 1 a 12, donde 1 representa el nivel máximo de liderazgo. Los datos aparecen en la tabla. ¿Cuál es la correlación entre las clasificaciones de los dos psicólogos?

SujetoOrden de

Psicólogo 1Orden de

Psicólogo 2 Diferencias1 6 5 1 12 5 3 2 43 7 4 3 94 10 8 2 45 2 1 1 16 3 6 -3 97 9 10 -1 18 1 2 -1 19 11 9 2 4

10 4 7 -3 911 8 11 -3 912 12 12 0 0

52

Comparemos con la salida de SPSS:

* Spearman, C. (1904) "The proof and measurement of association between two things", American Journal of Psychology, 15: 72-101.

Correlaciones

1.000 .818**

. .00112 12

.818** 1.000

.001 .12 12

Coeficiente decorrelaciónSig. (bilateral)NCoeficiente decorrelaciónSig. (bilateral)N

PSI1

PSI2

Rho de SpearmanPSI1 PSI2

La correlación es significativa al nivel 0,01 (bilateral).**.

Correlaciones

1 .818**. .001

12 12.818** 1.001 .

12 12

Correlación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)N

PSI1

PSI2

PSI1 PSI2

La correlación es significativa al nivel 0,01(bilateral).

**.

PSI2

14121086420

PSI1

14

12

10

8

6

4

2

0

En este caso los dos coeficientes de correlación son iguales, pero tenemos argumentos a favor de usar un método no paramétrico.