4.Pauta_1_PS_FMM_002_2011_-_02_
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Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas MATEM ´ ATICAS - FMM 002 2 do Semestre, 2011 PAUTA PRIMERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 23 de Septiembre de 2011 1. Simplifique al m´ aximo la siguiente expresi´ on: 25a 2 - 4b 2 25a 2 - 20ab +4b 2 : 5a +2b 5a - 2b Sol: 25a 2 - 4b 2 25a 2 - 20ab +4b 2 : 5a +2b 5a - 2b (5a - 2b)(5a +2b) (5a - 2b) 2 · 5a - 2b 5a +2b =1 2. Si a = 1 2 y b = 1 3 . Calcular el valor num´ erico de: a b + b a 2(a + b) ab Sol: Si a = 1 2 y b = 1 3 reemplazamos en la expresi´ on y se obtiene: 1 2 1 3 + 1 3 1 2 2( 1 2 + 1 3 ) 1 2 · 1 3 = 1 2 · 3 1 + 1 3 · 2 1 1+ 2 3 1 6 = 3 2 + 2 3 5 3 1 6 = 9+4 6 5 3 · 6 1 = 13 6 30 3 = 13 60 3. La expresi´ on x 4 + kx 3 + x + k toma el valor 63 cuando x = 2. ¿Cu´ al es el valor de la expresi´ on cuando x = 1? Sol: Si reemplazamos x = 2 en x 4 + kx 3 + x + k se obtiene el valor de k 2 4 + k · 2 3 +2+ k = 63 16 + 8k +2+ k = 63 9k = 45 k =5 Por lo tanto la expresi´ on queda x 4 +5x 3 + x + 5 Reemplazamos ahora x =1 1 4 +5 · 1 3 + 1 + 5 = 12
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Universidad Andres BelloDepartamento de Matematicas
MATEMATICAS - FMM 0022do Semestre, 2011
PAUTA PRIMERA PRUEBA SOLEMNEViernes 23 de Septiembre de 2011
1. Simplifique al maximo la siguiente expresion:
25a2 − 4b2
25a2 − 20ab + 4b2:5a + 2b
5a − 2b
Sol:
25a2 − 4b2
25a2 − 20ab + 4b2:5a + 2b
5a − 2b
(5a − 2b)(5a + 2b)(5a − 2b)2
· 5a − 2b
5a + 2b= 1
2. Si a =12
y b =13. Calcular el valor numerico de:
a
b+
b
a2(a + b)
ab
Sol:
Si a = 12 y b = 1
3 reemplazamos en la expresion y se obtiene:
1213
+
1312
2(12
+13)
12· 13
=
12· 31
+13· 21
1 +23
16
=
32
+23
5316
=
9 + 46
53· 61
=
136303
=1360
3. La expresion x4 + kx3 +x+ k toma el valor 63 cuando x = 2. ¿Cual es el valor de la expresion cuandox = 1?
Sol:
Si reemplazamos x = 2 en x4 + kx3 + x + k se obtiene el valor de k
24 + k · 23 + 2 + k = 63
16 + 8k + 2 + k = 63
9k = 45
k = 5
Por lo tanto la expresion queda x4 + 5x3 + x + 5 Reemplazamos ahora x = 1
14 + 5 · 13 + 1 + 5 = 12
4. Las ganancias de una inversion hecha por 4 personas seran repartidas de la siguiente forma: el 35% delas ganancias seran entregadas a Pedro, el 25% de las ganacias mas $800 de las ganacias a Rodrigo, el15% de las ganancias a Lucas y los $1200 restantes a Javier. ¿Cuanto dinero recibio Lucas?
Sol:
Sea x la ganancia, por lo que se tiene que la suma de los montos que reciben debe ser igual a x
0, 35x + 0, 25x + 800 + 0, 15x + 1200 = x
0, 75x + 2000 = x
2000 = 0.25x
x = 8000
Por lo tanto Lucas recibe 0, 15 · 800 = 1200
5. (a) Si log 3 = 0.5 ; log 5 = 0.7, calcule el valor de log(45).Sol:
log(45) = log 9 + log 5 = 2 log 3 + log 5 = 2 · 0.5 + 0.7 = 1.7
(b) Encuentre el valor de
4−1 − 45
1 + 2−1
3
Sol:
4−1 − 45
1 + 2−1
3
=
14 − 4
51 + 1
2
3
=
−154 · 512
=
−3412
= −32
