4.S12-Extremos e Intervalos de Crecimiento y decrecimiento:

7/23/2019 4.S12-Extremos e Intervalos de Crecimiento y decrecimiento:

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CURSO: CLCULO I - INGENIERA

Tema :

Extremos e Intervalos de Crecimiento y decrecimiento:

1. En las siguientes funciones determine los intervalos de crecimiento, los valores mximos y mnimos

relativos.

a) 21 4y x x

Solucin:

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

i.

Hallamos los valores crticos de la funcin:

Derivando la funcin tenemos: 42' xy

Igualamos a cero la derivada:

042

0'

x

y

2 x

Por lo tanto, la funcin tiene un solo punto crtico 2x .

j.

Aplicamos el criterio de la primera derivada:

Para eso completamos la siguiente tabla que nos dar los intervalos de crecimiento y

decrecimiento:

Intervalo 2; ;2

Valor de prueba 3x 0x

Signo de )(' xf 02)3(' f 04)0(' f

Conclusin La funcin crece La funcin decrece

Por lo tanto:

1.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son 2;

y ;2 respectivamente.

2.

La funcin alcanza un mximo en 2x .

b) 2

3y x x

Solucin:


i.


Derivando la funcin tenemos: xxy 63' 2


Funciones creciente y decreciente. Valores mximos y mnimos locales de una

funcin.


2/7

023

063

0'

2

xx

xx

y

20 xx

Por lo tanto, la funcin tiene dos puntos crticos 20 xx .

j.



decrecimiento:

Intervalo 0; 2;0 ;2

Valor de prueba 1x 1x 3x

Signo de )(' xf 09)1(' f 03)1(' f 09)3(' f

Conclusin La funcin crece La funcin decrece La funcin crece

Por lo tanto:

1.

Los intervalos de crecimiento son ;20;

; y el intervalo de decrecimiento es

2;0 .

2.

La funcin alcanza un mximo en 0x , y un mnimo en 2x .

c) 4 23 6y x x

Solucin:


i.


Derivando la funcin tenemos: xxy 1212' 3


01112012120'

3

xxx

xxy

110 xxx

Por lo tanto, la funcin tiene tres puntos crticos 110 xxx .

j.



decrecimiento:

Intervalo 1; 0;1 1;0

;1

Valor de prueba 2x 5.0x 5.0x

2x

Signo de )(' xf 0)2(' f 0)5.0(' f 0)5.0(' f

0)2(' f

Conclusin La funcin decrece La funcin crece La funcin decrece La funcin crece

Por lo tanto:


3/7

1.

Los intervalos de crecimiento son ;10;1


1;01; .

2.

La funcin alcanza un mximo en 0x , y un mnimo en 11 xx .

d) 5 33 20y x x

Solucin:


i.


Derivando la funcin tenemos:24 6015' xxy


02215

06015

0'

2

24

xxx

xx

y

220 xxx

Por lo tanto, la funcin tiene tres puntos crticos 20 xxx 2 .

j.



decrecimiento:


;2


3x

Signo de )(' xf 0)3(' f 0)1(' f 0)1(' f

0)3(' f

Conclusin La funcin crece La funcin decrece La funcin decrece La funcin crece

Por lo tanto:

1.

Los intervalos de crecimiento son ;22;


2;00;2 .

2.


2. En las siguientes funciones los intervalos de crecimiento, los valores mximos y mnimos relativos.

a)1

22

x

xy

Solucin:


i.


Derivando la funcin tenemos:

222

1

12'

x

xy

de lo anterior podemos ver que la derivada de la funcin nunca ser igual a cero. Por otro

lado, los puntos donde la derivada de la funcin no est definida son 11 xx :


j.



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decrecimiento:

Intervalo 1; 1;1 ;1


Signo de )(' xf 0)2(' f 0)0(' f 0)2(' f

Conclusin La funcin decrece La funcin decrece La funcin decrece

Por lo tanto:

1.

Los intervalos de decrecimiento son ;11;11; .

2.

La funcin no tiene extremos relativos, es decir, no tiene mximos ni mnimos.

b)2

4

4

xy

x

Solucin:


i.


Derivando la funcin tenemos: 222

444'

xxy


04

44

0'

22

2

x

x

y

22 xx


j.



decrecimiento:

Intervalo 2; 2;2 ;2


Signo de )(' xf 0)3(' f 0)0(' f 0)3(' f

Conclusin La funcin decrece La funcin crece La funcin decrece

Por lo tanto:

1.

Los intervalos de decrecimiento son

;22;

; y el intervalo de crecimiento es

2;2 .

2.


c)2

29

xy

x

Solucin:



5/7

i.



22 918

'

x

xy


0

9

18

0'

22

x

x

y

0 x

Adems, los puntos donde la derivada de la funcin no est definida son 33 xx .


j.



decrecimiento:


;3


4x

Signo de )(' xf 0)4(' f 0)1(' f 0)1(' f

0)3(' f

Conclusin La funcin decrece La funcin decrece La funcin crece La funcin crece

Por lo tanto:

1.

Los intervalos de decrecimiento son ;33;0

; y los intervalo de crecimiento son

0;33; .

2.

La funcin alcanza un mnimo en 0x .

d)

2

4 12

2

xy

x

Solucin:


i.



3244

'

x

xy


0

2

44

0'

3

x

x

y

4 x

Adems, el punto donde la derivada de la funcin no est definida es 2x


j.



decrecimiento:


6/7

Intervalo 2; 4;2 ;4


Signo de )(' xf 0)0(' f 0)3(' f 0)5(' f

Conclusin La funcin decrece La funcin crece La funcin decrece

Por lo tanto:

1.

Los intervalos de decrecimiento son

;42;

; y el intervalo de crecimiento es

4;2 .

2.


e)2 3 2

1

x xy

x

Solucin:


i.



2

2

1

1

'

x

x

y


01

21

0'

2

2

x

x

y

1212 xx

Adems, el punto donde la derivada de la funcin no est definida es 1x


j.



decrecimiento:

Intervalo 12; 1;12 12;1

;12


4x

Signo de )(' xf 0)4(' f 0)2(' f 0)0(' f

0)4(' f

Conclusin La funcin crece La funcin decrece La funcin decrece La funcin crece

Por lo tanto:

3.

Los intervalos de decrecimiento son ;1212;

; y los intervalos de

crecimiento son 12;11;12 .

4.

La funcin alcanza un mximo en 12 x , y un mnimo en 12 x .


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3. Determinar a y b, tal que: baxxxf 232)( presente en su grfica un extremo relativo en

(1,-2).

Solucin:

Hagamos lo siguiente:

a) Evaluando la funcin en el puntos 2;1 tenemos:

ba 22

4 ba

b) Hallando los puntos crticos:

Derivando la funcin e igualando a cero tenemos:

032026 2

axx

axx

de lo cual tenemos que lo puntos crticos son3

0 a

xx

. Ahora, como los posibles

extremos relativos son los puntos crticos, tenemos que:

3

13

a

a

Reemplazando este valor en la ecuacin 4 ba

tenemos: 1b

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