4SEMINARIO

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I SEMINARIO Nº 04

GEOMETRÍA ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES, TRIANGULARES Y CUADRANGULARES 01. Indicar el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. A toda región poligonal

corresponde un único número real positivo, denominado área de la región poligonal.

II. El área de una región cuadrada, cuyo lado tiene longitud , es igual a . 2

III. Si dos triángulos son congruentes, entonces las regiones triangulares determinadas por ellas, tienen la misma área.

A) VVV B) FFF C) VVF D) FFV E) VFV

02. Indicar el valor de verdad o falsedad

de las siguientes proposiciones: I. Si una región poligonal es la

unión de dos regiones poligonales, entonces su área es la suma de las áreas de dichas regiones.

II. Si dos regiones triangulares son equivalentes, entonces sus triángulos correspondientes son congruentes.

III. A toda región poligonal le corresponde un número no negativo único.

A) FFV B) FVV C) VVV D) VFF E) FFF

03. Demuestre que el área de una región rectangular es igual al producto de la base por su altura.

04. Calcule el área de una región

pentagonal convexa ABCDE, sabiendo que BD = 6 u, AB = BC, CD = DE, los ángulos ABC y CDE son rectos.

A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24

05. En la figura, ABCD es un cuadrado y BE ED 6 2 u+ = . Halle el área (en u2) de la región cuadrangular ABED.

A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26

06. En un rectángulo ABCD, P y Q son

puntos de BC y AD , tal que PQ contiene al punto de intersección de las diagonales y el triángulo APQ es equilátero. Si BC = 9 u, entonces el área de la región rectangular ABCD (en u2) es A) 27 3 B) 54 C) 27 5 D) 27 6 E) 27 8

07. En un cuadrado ABCD, se prolonga

los lados opuestos AB y CD en los puntos M y N respectivamente, tal que BM = 3 u y DN = 4 u. Si MN = 13 u, halle el área (en u2) de la región cuadrada. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 25

08. En un cuadrado ABCD, la longitud de su lado es 10 cm; P, Q, R y S son los puntos medios de AB , BC, CD y AD . Si PC interseca a BS en M, PC interseca a DQ en N, AR interseca a DQ en T y AR interseca a BS en W, halle el área de la región MNTW (en cm2).

B C

A D

E

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -


A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

09. En la figura, ABCD es un cuadrado

cuyo centro es O. Si la longitud de su lado es 6 u, calcule el área de la región sombreada (en u2).

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18

10. Si los lados de un triángulo miden en 3 m, 7 m y 10 m. Halle la

longitud de la menor altura (en m).

A) 20010

B) 10110

C) 21010

D) 2019

E) 2 21011

11. Los lados de un triángulo miden 13 u,

14 u y 15 u. Hallar el radio de la circunferencia circunscrita.

A) 6518

B) 6514

C) 6512

D) 659

E) 658

12. Hallar el área de un triángulo

equilátero en función del inradio r.

A) 23 3r4

B) 23 3r

2 C) 23r

D) 22 3r E) 23 3r 13. Hallar el área de una región triangular

en función de sus exradios ra, rb y rc, y del inradio r.

A) a b cr r r r B) a b cr r r r C) b a cr r r r

D) a br 2rr r E) a b cr r r r

14. Los lados de un triángulo, ABC, miden a, b, c; su altura BH mide 16 u. Si se cumple que a encontrar el inradio de dicho triángulo (en u).

+ c = 3 b,

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

B C

15. En un triángulo ABC, AB = 3 u, BC = 6 u y AC = 5 u, el punto E es el excentro relativo a BC . Hallar el área de la región del cuadrilátero ABEC (en u2). A) 14 B) 2 14 C) 3 14 D) 5 14 E) 8 14

A D

O

16. En un triángulo ABC, m B . Si r y ra son los valores del inradio y del exradio relativo al lado

AC 53∠ =

BC , entonces el área de la región triangular es A) r . ra B) 2r . ra C) 3r . ra

D) ar . r2

E) a3 r . r2

17. Si los lados de un triángulo son a, b y

c, entonces el producto del radio de la circunferencia circunscrita por el radio de la circunferencia inscrita, en función de a, b y c es

A) abca b c+ −

B) 2abca b c+ +

C) ( )abc

3 a b c+ + D) ( )

abc2 a b c+ +

E) ( )2abc

3 a b c+ +

18. En un triángulo ABC, se ubica el

punto interior F, tal que FD es perpendicular a AB y FE perpendicular a BC . Si (AB) (BC) = 150 cm2, AC = 12 cm, DE = 4 cm y



BF = 6 m, entonces el área de la región triangular ABC (en cm2) es A) 40 B) 44 C) 48 D) 50 E) 56

19. En un triángulo ABC, se trazan la

mediana CM y la bisectriz BD . Si { }BD CM 0∩ = , AB = 13 u, BC = 15 u

y AC = 14 u, entonces el área (en u2) de la región triangular BOM es

A) 54613

B) 54643

C) 8443

D) 53613

E) 50657

20. En una región triangular de perímetro

30 u y área 110 u2, calcule la longitud del exradio relativo al lado que mide 4 u. A) 8,0 B) 8,75 C) 9,0 D) 9,5 E) 10,0

21. En un triángulo ABC, AB = BC, el

punto F pertenece a AC y la circunferencia exinscrita del triángulo ABF es relativa al lado AF , que es congruente con la circunferencia inscrita en el triángulo FBC. Si la longitud del radio es igual a r, entonces la altura AH del triángulo ABC es A) 2r B) 3r C) 4r D) 5r E) 6r

22. En un triángulo rectángulo ABC, I es el incentro y E es el excentro relativo al cateto BC . La circunferencia inscrita en el triángulo es tangente a los lados AB y AC en los puntos M y N respectivamente. Si el área de la región triangular, MBE mide 56 u2, entonces el área (en u2) de la región triangular INC es A) 28 B) 36 C) 56 D) 58 E) 63

23. AB y AO son semicircunferencias tal que O es el punto medio de AB ; la cuerda AQ intersecta a AO en M. Sea H en OB tal que Q 90 . Si (AM) (MH) (QH) = 120 u3 y AB = 10 u, entonces el área de la región triangular MQH (es u2) es

m BH∠ =

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 24

24. Demuestre que en todo triángulo rectángulo, el área de su región es igual al producto del inradio con el exradio mayor e igual al producto de los exradios relativos a los catetos.

25. En un triángulo ABC, inscrito en una

circunferencia, el producto de longitudes de las 3 alturas relativas es 80 cm3 y el circunradio mide 5 cm. Calcule el área (en cm2) de la región triangular ABC. A) 5 2 B) 6 5 C) 7 2 D) 8 3 E) 10 2

26. Los lados de un triángulo ABC, miden

AB = 12 u, BC = 14 u y AC = 10 u. Si I es el incentro, calcular el área de la región triangular AIC (en u2).

A) 20 63

B) 10 63

C) 5 6

D) 20 6 E) 10 6

27. En un triángulo ABC, AB = c, BC = a, AC = b. Si R es el circunradio y r el inradio del triángulo. Calcule rR.

A) abca b c+ +

B) ( )abc

2 a b c+ +

C) 2abca b c+ +

D) a b cabc+ +

E) ( )2 a b c

abc+ +



RELACIÓN DE ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES Y CUADRANGULARES 28. En un triángulo ABC, se inscribe el

paralelogramo AEFH, E en AB, F en BC y H en AC . Si el área de las regiones triangulares EBF y HFC miden 25 u2 y 16 u2 respectivamente, entonces el área del paralelogramo (en u2) es A) 26 B) 30 C) 36 D) 40 E) 44

29. En la figura mostrada el área de la

región triangular BOF = 9 m2, el área de la región triangular AOD = 16 m2, entonces el área del paralelogramo ABCD (en m2) es

A) 18 B) 20 C) 25 D) 50 E) 56

30. En un paralelogramo ABCD, se ubica

el punto medio P del lado BC ; los segmentos AP y BD se intersectan en Q. Entonces, la relación entre las áreas de la región triangular QCD y la región paralelográmica ABCD es A) 1 : 6 B) 1 : 5 C) 1 : 4 D) 1 : 3 E) 1 : 2

31. En un paralelogramo ABCD, se ubica

M en AB , tal que AM MB≅ . Si { }BD CM O∩ = , AD = 10 u y la altura

BH del paralelogramo ABCD mide 6 u, calcule el área (en u2) de la región trapezoidal AOCD. A) 20 B) 28 C) 30 D) 40 E) 42

32. En un paralelogramo ABCD, se ubican los puntos medios F y E en los lados AB y BC respectivamente. Luego { }CF AE G ,∩ = { }ED CF H .∩ = Si el área de la región limitada por ABCD es S, entonces el área de la región triangular GEH es

A) S60

B) S50

C) S40

D) S30

E) S20

33. En un cuadrado ABCD, se ubican los

puntos T, P en BC y en la prolongación de AD, respectivamente, tal que { }CD TP Q∩ = . Si SΔABT = 5 cm2, SΔTCQ = 4 cm2 y CD = DP, entonces SΔCQP (en cm2) es A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

34. Encontrar el área (en u2) de la región

triangular ACD, en función de las áreas de las regiones triangulares ABC y ADE. SΔABC = 4u2, SΔADE = 6 u2.

A) 6 B) 2 6 C) 3 6 D) 4 6 E) 5 6

35. Dado el triángulo ABC, en AB se

ubican los puntos P y R respectivamente, de manera que AR = RB, AP < BP. En BC se ubica el punto Q de manera que RQ es paralelo a CP . Si las áreas de las regiones PBQ y APQC son a y b

A D

B CF

O

A B

C

D

E

α α α



respectivamente, entonces es correcto

A) 2a b3

= B) a = 2b C) a = b

D) 1a b4

= E) a = 3b

36. En un triángulo ABC las alturas CF y

AG se intersectan en O. Si las áreas de las regiones triangulares FBG, FOG y AOC son S1, S2 y S3 respectivamente, entonces el área de la región triangular ABC es

A) 2 3

1

S SS

B) 1

2

S SS+ 3 C) 1 2

3

S SS

D) 1

3

S SS+ 2 E) 1 3

2

S SS

37. Sea el triángulo ABC recto en B. Se

traza la ceviana AD , tal que , AD = 2 u y

AC = 7 u. Hallar la relación de las áreas de las regiones triangulares ABD y ADC.

m DAC 2m BAD∠ = ∠

A) 17

B) 16

C) 15

D) 14

E) 13

38. En un trapezoide asimétrico ABCD,

las diagonales AC y BD son perpendiculares; las mediatrices de AB y CD se intersectan en P y las regiones triangulares ABP y CDP son equivalentes. Demuestre que ABCD es inscriptible.

39. Se trazan tres rectas paralelas L1, L2

y L3. Si A, B y C están en L1, L2 y L3 respectivamente y ABC es un triángulo equilátero. Calcule el área de la región ABC, si la distancia entre L1 y L2, L2 y L3 son a y b respectivamente (a > b).

A) ( )2 23 a b ab3

+ +

B) ( )2 23 a b ab12

+ +

C) ( )2 23 a b ab4

+ +

D) ( )2 23 a b ab8

+ +

E) ( )2 23 a b ab5

+ +

40. Sean a, b y c las longitudes de los

lados de un triángulo, R es el circunradio y r el inradio. Demostrar que ( ) ( ) ( )b c a a c b a b c 2r

abc R+ − + − + −

= .

41. En un triángulo ABC, las alturas

miden ha, hb y hc. Se ubica un punto E exterior relativo a BC , desde el cuál se trazan distancias a los lados AB , BC y AC que miden respectivamente. Demostrar que

a b c, y

b c a

b c a1

h h h+ − = .

42. Dado un triángulo ABC, de lados

AB = 51 u, BC = 77 u y AC = 40 u, se prolongan los lados en el mismo sentido y en una longitud igual a cada lado. Determine el área (en u3) de la región triangular cuyos vértices son los extremos de las prolongaciones. A) 5 452 B) 5 856 C) 6 254 D) 6 468 E) 6 768

43. En un triángulo equilátero ABC, de

60 u de lado, se ubica sobre el lado AC el punto D, tal que AD = 40 u y sobre el lado AB otro punto E. Si ED divide al triángulo dado ABC en dos regiones equivalentes, entonces la longitud de AE (en u) es



A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

44. Dado el triángulo ABC, se inscribe una circunferencia cuyo radio mide r; se traza una circunferencia exinscrita relativa al lado BC cuyo radio mide ra. Calcule la longitud de la altura relativa al lado BC.

A) a

a

rrr r+

B) a

a

2rrr r+

C) a

a

2rrr r−

D) a

a

rrr r−

E) arr

45. En un triángulo isósceles ABC,

AB = BC = 30 u. Si M es punto medio de BC , y desde allí se traza una perpendicular a BC que intersecta a

AB en E, tal que AE 1EB 5

= , entonces el

área de la región triangular ABC (en u2) es A) 300 B) 320 C) 340 D) 360 E) 380

46. En un triángulo acutángulo ABC, las prolongaciones de las alturas AE, BF y CD interceptan a la circunferencia circunscrita al triángulo, en los puntos N, Q y M. Si AC = 12 u y BF = 20 u, calcule el área de la región AMBNCQ (u2). A) 200 B) 240 C) 280 D) 300 E) 320

47. En la figura adjunta, A es punto de tangencia y ABD es un triángulo equilátero. Si BF = 2 u y DF = 4 u. Halle el área de la región sombrada (en u2).

A) 7 2 B) 8 3 C) 9 2 D) 9 3 E) 10 3

48. Las longitudes de los tres lados de un

triángulo son 13 u, 14 u y 15 u. Calcular la longitud del circunradio (en u). A) 7,75 B) 8 C) 8,125 D) 8,75 E) 8,9

49. En un triángulo las alturas miden 12 cm, 15 cm y 20 cm, entonces la longitud (en cm.) del radio de la circunferencia inscrita en dicho triángulo es A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

50. El perímetro de un triángulo es 2p y el radio de la circunferencia circunscrita es R. Calcule el área de la región triangular cuyos vértices son sus excentros. A) 2pR B) pR C) 3pR

D) 4pR E) 3 pR2

51. Dada una región triangular ABC de

34 u2 de área, se trazan las cevianas CE y BQ que se interceptan en F. Siendo AE = 3EB, QC = 4AQ, hallar el área de la región triangular EBF (en u2).

A) 12

B) 1 C) 32

D) 2u E) 52

D

B F

C

52. La circunferencia exinscrita a un triángulo ABC es tangente a BC en P y a la prolongación de AB en Q. Si AC = 2BQ, entonces la razón de las áreas de las regiones triangulares ABP y CBQ es

A



A) 12

B) 1 C) 23

D) 14

E) 23

53. En la figura, AB = 5 u, AC = 7 u,

BC = 8 u. Hallar el área de la región triangular MON (en u2).

A) 15 36

B) 5 3 C) 15 37

D) 15 38

E) 6 3

54. Sean M, N y Q los puntos medios de

los lados de un triángulo acutángulo, ABC, de circuncentro O; en las prolongaciones de OM, ON y OQ se ubican los puntos E, F y G respectivamente, tal que EM = 2MO, FN = 2NO y GQ = 2QO. La razón de las áreas de las regiones triangulares ABC y EFG es

A) 23

B) 13

C) 49

D) 56

E) 512

55. En el cuadrante de círculo AOB (OA y

OB son radios) se ubica el punto P ( )P AB .∈ Si AP = 6 y PB 2 2= , calcule el área de la región cuadrangular OAPB (en u2). A) 20 B) 21 C) 23 D) 24 E) 25

56. Dado el cuadrilátero ABCD, convexo en AB , BC, CD y AD se ubican los puntos medios P, Q, R y S respectivamente, { }AQ PS E∩ = ,

{ }AR PS∩ = F . Si las áreas de las regiones de PQE, QCR, RSF y AEF son a, b, c y d respectivamente, entonces es verdadero A) b + d = a + c. B) ac = bd. C) a – c = b – d. D) b + 2d = a + 2c.

E) ac bda c b d

=+ +

.

57. Un cuadrilátero ABCD, inscrito en una

circunferencia. Si AB = 3 cm, 5 cm,BC = CD = 7 cm y BD = 8 cm,

entonces el área de la región cuadrilátera es (m2) A) 12 2 B) 16 3 C) 18 2 D) 20 3 E) 30

58. En un trapezoide asimétrico ABCD,

se ubica el punto E en AD , tal que AB // CE y BE // CD. Si las áreas de las regiones triangulares ABE y CED son 25 u2 y 4 u2 respectivamente, entonces el área (en u2) de la región trapezoidal ABCD es A) 36 B) 39 C) 42 D) 45 E) 48

59. En la figura, ABCD es un rectángulo,

M y N son puntos medios de AB y AD . Si BC = 2AB, calcule la relación entre las áreas de las regiones cuadrangulares EFGN y ABCD.

B M

A N C

O D


A

B C

D

E

F M

N

G


A) 548

B) 316

C) 925

D) 311

E) 415

60. En la figura adjunta, ABCD es un

cuadrado (AD = PD). Si el área del triángulo ABQ es 5 m2 y el área del triángulo QCT es 4 m2, hallar el área (en m2) del triángulo TPD.

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

61. El área de una región triangular es 90 u2. Hallar el área de la región trapecial que determina una paralela a un lado, trazada por el baricentro. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 75

62. En la figura, M y N son puntos de tangencia, E es un excentro. Demostrar que el área (MBNE) = área (ABC)

63. En la figura ABCD es un trapecio, MN es la base media, siendo el área (AMND) = W y el área (MBCN) = V. Hallar el área de la región triangular BPD.

A) W V2− B) W – V

C) W V4+ D) W V

3+

E) W V2+

64. En una circunferencia de centro O y

diámetro AB (AB = 2R), se ubica M en la prolongación de AB , tal que MO = 2R. Trazamos las tangentes MC y MD , calcule el área de región cuadrilátera ACMD.

A) 23 R 34

B) 23 R 35

C)22R 33

D) 22R 3 E) 23R 32

ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES

65. En el gráfico adjunto, hallar el área de la región sombreada en función de R.

B C

M NP

A D

A

B C

P

T

Q

D

B

A C

E

M N

R

R

O1

O2

L

M

k

T



A) ( )2R3

2+ π B) ( )

2R2 34

− π

C) ( )2R3 3

2− π D) ( )

2R3 23

− π

E) ( )2R4 3

5− π

66. Demostrar que el área sombreada es

( )LS R r . 2+⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ 67. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide

a. Halle el área de la región limitada por las circunferencias inscritas y circunscrita al cuadrado.

A) 2a

16π B)

2a12π C)

2a8π

D) 2a

6π E)

2a4π

68. En un triángulo rectángulo ABC, recto

en B, la altura BE (E en AC ) y la bisectriz AF (F en BC ) se intersectan en el punto Q. Si BQ = 2, QE = 1, entonces el área de la región triangular QBF es A) 3 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1

69. En un triángulo rectángulo ABC, se

trazan interiormente dos semicircunferencias con diámetros contenidos en los lados AB y BC (extremo común en B) tangentes a la hipotenusa AC en los puntos M y N

respectivamente. Si AB=3 u, BC=4 u, entonces el área de la región MBN (en u2) es

A) 1211

B) 12 C) 7

11 5

D) 125

E) 5 3

70. Una corona circular está limitada por

las circunferencias cuyos radios miden r y 2r. La corona circular es equivalente a un sector circular cuyo radio mide 3r, calcule la medida del ángulo de sector circular. A) 75 B) 90 C) 120 D) 145 E) 150

R r

S

L71. Sobre el lado AC de un triángulo

equilátero ABC, se encuentra el centro O de una semicircunferencia de diámetro contenido en AC, tangente a los lados AB y BC en los puntos P y Q. Con centro en B se traza el arco EOF ( )BC .∈ Si AB = a, entonces el área de la región poligonal mixta limitada por

E AB y F∈

PQ , QF, FOE y EP es

A) (23a 1

16)π − B) ( )3a

23

16π −

C) ( )23a 2 3

16π − D) ( )

23a 3 316

π −

E) ( )23a 3

16π −

72. Sean C1, C2 y C3 circunferencias

concéntricas, la cuerda CD de C2 es tangente a C1 y la cuerda AB de C3 es tangente a C2. Si AB = 8 u y CD = 6 u, entonces el área de la corona determinada por C1 y C3 es A) 20π B) 25 C) 32π π D) 36π E) 42 π



73. En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado; T, E, P y F son puntos de tangencia. Si el área de la región triangular AQD es 18 u2, calcular el área de la corona circular.

A) B) 10 C) 129π π π D) 18 E) 21 π π

74. El perímetro de un pentágono regular

es 20 u. Calcule el área (en u2) de la corona circular, determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita al pentágono regular. A) B) 32π π C) 4π D) E) 10 6π π

75. Sea a la longitud del lado del triángulo

equilátero ABC. M, N y P son puntos medios de los lados y centros de las semicircunferencias de la figura mostrada. Calcule el área de la región sombreada.

A) 2a 324

π B) 2a

24π C)

2a36π

D) 2a 348

π E) 2a

48π

76. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si dos círculos son equivalentes,

entonces son congruentes. II. Si una región paralelográmica es

equivalente a una región cuadrangular, entonces tiene igual longitud de altura.

III. Si un cuadrado y una circunferencia, tienen cada uno de ellos un área de km2, entonces son equivalentes.

A) VFF B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF

A D P

T

B C

Q

E

F

77. En un círculo de radio 4 u, se trazan 2 radios OA y OB que subtienden un arco de longitud 6 u, entonces el área de la región circular AOB (en u2) es A) 6 B) 9 C) 12 D) 18 E) 24

78. En un hexágono regular, ABCDEF,

inscrito en una circunferencia de centro O y de radio R, sobre AB, BD , DE y EA se construyen exteriormente cuatro semicircunferencias. Entonces la relación entre la suma de las áreas de las cuatro lúnulas, comprendidas entre la circunferencia de centro O de las semicircunferencias referidas y el área del hexágono es

A) 32

B) 23

C) 13

D) 34

E) 35

A C

B

N P

M

79. En un triángulo rectángulo isósceles

ABC, cuyo cateto mide a “u”, con el vértice A del ángulo recto como centro, se describe un cuadrante de circunferencia de radio a. Se describe una semicircunferencia, exterior al triángulo, con BC por diámetro y las dos circunferencias, cuyos diámetros son AB y AC , que pasan por D



( )

A B

C

D

O

D BC∈ , entonces la suma de las áreas de la lámina, de la región triangular curvilínea BCD y de la región encerrada por los arcos AD es

ón triangular curvilínea BCD y de la región encerrada por los arcos AD es

A) A) 2a

4π B) ( )

2a 28

π + C) (2a 24

)π−

D) 2a

8π E)

2a3π

80. Las circunferencias de centros O1 y

O2 son secantes. Si CE 6 2 u= , AB y CD son diámetros, entonces el área (en u2) del círculo de centro O2 es

A) B) 24 C) 3020π π π D) E) 36 32π π

81. Dado el triángulo ABC, recto en B,

AB = 15 u, BC = 20 u. Con centros en A y C se trazan arcos de circunferencia con radios AB y CB que interceptan al lado AC en P y Q respectivamente. Calcule el área (en u2) del triángulo mixto QBP. A) 80,24 160π −B) 75 130π −C) 74,24 150π −D) 74,5 120π −E) 84,26 180π −

82. En la figura, AB es perpendicular a CD , y AO = 2 u. Calcule la suma de las áreas (en u2) de los sectores AOD y BOC.

A) π B) 2 C) 2,5π π D) 3π E) 3 ,5π

83. En la figura adjunta, OAB es un

cuadrante. Si OA = OB = 9 u, halle el área (en u2) del círculo de centro en O1.

A) 2π B) 3 C) 4π π D) 5π E) 6 π

84. Hallar el área de la región

sombreada.

A) 2R

2 B)

2R4

π C) R2

D) 2R

3π E)

2R2

π

A B

C

D

E

O1

O2

F

60º A

O B

O1

A B

R'

C

O

R



ELEMENTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO 85. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Tres puntos no colineales

cualesquiera, pertenecen a un plano.

II. Una recta y un punto determinan un plano.

III. Dos rectas que no se interceptan son paralelas.

A) VVF B) VFV C) VFF D) VVV E) FFF

86. Si una recta es perpendicular a tres

rectas dadas, entonces: A) las tres rectas tienen que ser

paralelas. B) las tres rectas tienen que estar en

un mismo plano que contenga a la perpendicular.

C) por las tres rectas pueden pasar planos paralelos entre sí.

D) por las tres rectas no pueden pasar planos paralelos entre sí.

E) las tres rectas son perpendiculares entre sí.

87. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Dos rectas perpendiculares al

mismo plano son paralelas entre sí.

II. Por un punto de un plano sólo se puede trazar una recta perpendicular al plano.

III. Todas las rectas paralelas entre sí son coplanares.

A) VVF B) FFF C) VVV D) FVV E) VFF


siguientes proposiciones: I. Dos rectas cruzadas determinan

un plano. II. Todos los planos paralelos a un

plano dado son paralelos entre sí.

III. Por un punto del plano, se puede trazar sólo una recta perpendicular al plano.

A) VVV B) FFV C) FFF D) FVV E) VFF


siguientes proposiciones: I. Todo plano paralelo a una recta

L1 es paralelo a cualquier plano que contiene a la recta L1.

II. Todo plano que contiene a una de dos rectas cruzadas es siempre paralelo a la otra recta.

III. Si un plano H es paralelo a una recta L1, entonces será paralelo a otra recta perpendicular a L1.

A) FVF B) FFV C) FFF D) VVF E) VFV


siguientes proposiciones: I. Sea el plano P y la recta L, A L∈

y B L∈ . Siendo las proyecciones ortogonales de estos puntos sobre el plano P, los puntos C y D respectivamente, si AC BD≅ , entonces L // P.

II. Si dos rectas no son paralelas, ni se interceptan, entonces dichas rectas son cruzadas.

III. Se ubican cuatro puntos cualesquiera no coplanares en el espacio. Entonces, existe un punto que equidista de estos cuatro puntos datos.

A) VVV B) FFV C) FVV D) FFF E) VFV

91. Sean las semicircunferencias AMB y

AQB contenidas en planos diferentes. Si la proyección ortogonal de M, sobre el plano que contiene a la otra semicircunferencia es un punto H de AQ , mAM mMB= , y AB = 4 u, entonces la longitud de

mAQ 120=MH

(en u) es



A) 2 6 B) 2 23

C) 2 63

D) 2 33

E) 2 3

92. AB y PR se cruzan en el espacio,

AP = 9 cm. y BR = 6 cm. respectiva-mente. Halle la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y PR , sabiendo que es el mayor entero posible (en cm.). A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

93. Dos segmentos AB y CD se cruzan y

son ortogonales, demuestre que BC2 – AC2 = BD2 – AD2.

94. Indicar el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Desde un punto exterior a una

recta se pueden trazar infinitas rectas perpendiculares a dicha recta.

II. Si una recta es perpendicular a un plano, entonces será perpendicular a todas las rectas que están contenidas en dicho plano.

III. Si una recta es paralela a una recta contenida por un plano, entonces dicha recta es paralela a dicho plano.

A) FVF B) FVV C) VFV D) VVF E) VVV

95. La recta oblicua AB forma un ángulo

que mide 45 con un plano P y es igual a la medida del ángulo entre la proyección de dicha oblicua y la recta AC, contenida en el plano P. Calcule la medida del ángulo BAC. A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 90

96. Un segmento AB, cuya longitud es igual a , tiene sus extremos en dos planos perpendiculares entre sí y forman con uno de ellos un ángulo de 30º y con el otro plano un ángulo de 45º. La distancia entre las proyecciones de los extremos del segmento dado, en la línea de intersección de los planos es

A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E)

97. Por el vértice A de un plano ABC se

traza una perpendicular AD al plano del triángulo, luego por el vértice A se trazan las perpendiculares, AM a BD , y AN a CD , entonces el cuadrilátero BMNC es A) Equiángulo B) Inscriptible C) Circunscriptible D) Un trapecio E) Un trapezoide

98. Dadas dos rectas cruzadas AB y CD,

y un punto M exterior a ellas. I. Por M puede trazarse una recta

MP paralela a . ABII. Por M puede trazarse una recta

perpendicular por CD . III. Para alguna posición de M y de

las rectas AB y , se puede trazar por M una recta paralela a la recta AB y perpendicular a la recta CD.

CD

De las proposiciones anteriores son verdaderas: A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) II y III E) Todas



99. Se dan dos planos paralelos P y Q. Una recta AB, perpendicular al plano Q en el punto B, intercepta al plano P en el punto C. Se ubican los puntos D y E del plano P, tales que EB AC≅ y AD ED≅ . Demuestre que el EBD∠ es agudo.

100. Un rectángulo ABCD y un cuadrado

ABEF están contenidos en dos planos perpendiculares. Si AE AD,≅ entonces la medida del ángulo que forman la recta CF y el plano ABCD es A) 30 B) 36 C) 45 D) 53 E) 60

101. En el plano H se dibuja el triángulo

ABC recto en B. Se ubica el punto S exterior al plano H tal que SA SB SC≅ ≅ . Si la distancia del punto S al plano H es de 24 u y AB = 14 u, entonces la medida del ángulo diedro cuya arista es la recta BC es

A) 1 6tg7

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

B) 1 24tg7

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

C) 1 12tg7

− ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ D) 45

E) 60

102. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El plano determinado por un

ángulo plano de un ángulo diedro es perpendicular a su arista.

II. Todo ángulo diedro es un conjunto convexo.

III. Existe un punto que no pertenece a un ángulo diedro que equidista de sus caras y de su arista.

A) FFV B) VVF C) VFV D) VFF E) VVV

103. Por el vértice C de un cuadrado ABCD se traza CE , perpendicular al plano P que contiene al cuadrado ABCD, de manera que DC = CE. Por B se traza la perpendicular BF perpendicular a P, E y F en el mismo

semiespacio, ABBF .2

= Calcular la

medida del ángulo diedro que forma el plano de FDE con P.

A) 2arc tg3

B) 5arc tg2

C) 3arc tg3

D) 7arc tg2

E) 1arc tg3

104. ABCD es una región cuadrada, que

determina con un plano P un ángulo diedro de 30º. Si AB está contenido en el plano, calcular la longitud de la diagonal del rectángulo que resulta al proyectar ABCD sobre el plano, siendo AB = a.

A) a 75

B) a 74

C) a 73

D) a 72

E) a 7

105. Se tiene un hexágono regular

ABCDEF; sobre un plano P paralelo al plano del hexágono se proyectan todos sus vértices determinando A 'B 'C'D'E 'F ' . Si la distancia entre el plano P y el plano del hexágono regular es igual a la longitud del lado del hexágono, entonces la medida del ángulo diedro C – AF - C ' es

A) 1arc tan2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

B) arc tan (2)

C) 1arc tan3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

D) arc tan (3)

E) 1arc tan3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠



106. Sea BD perpendicular a un plano H que contiene al triángulo ABC. Si AB = 15 u, AC = 14 u, BC = 13 u y BD = 12 u, entonces la medida del ángulo diedro de arista AC es A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

107. Dos planos contienen a rectángulos

congruentes ABCD y AFED. Si BC 4 2 u= , AF = 4 u y m CAE 60, entonces la medida del ángulo diedro de arista AD es

∠ =

A) 45 B) 60 C) 90 D) 120 E) 150

108. Se tiene un ángulo diedro

determinado por los planos P y Q de arista XZ. Desde un punto R exterior al ángulo diedro se trazan los rayos RS perpendicular al plano P y RT perpendicular al plano Q. Entonces de las siguientes proposiciones: I. El plano RST es perpendicular a

las caras del ángulo diedro. II. El plano RST no es perpendicular

a las caras del ángulo diedro. II. La recta XZ no es perpendicular

al plano RST. Son verdaderas A) sólo I B) solo I, II y III C) solo II y III D) sólo II E) solo I y III

109. En las caras P y Q de un ángulo diedro recto, se ubican los puntos A y B. El segmento AB forman las caras P y Q ángulos que miden 37 y 30 respectivamente. Si AB = 10 u, entonces la menor distancia entre la recta AB y la arista del ángulo diedro es

A) 20 6161

B) 30 6161

C) 16 6161

D) 18 6161

E) 10 6161

110. Se tiene un triángulo rectángulo

isósceles AOB cuyo cateto mide ( )2 3 m. Se traza una perpendicular

−

OM al plano determinado por el triángulo AOB. Si la medida del ángulo diedro determinado por las regiones triangulares AOB y AMB es 75, entonces la longitud (en m) de OM es

A) 22

B) 32

C) 2

D) 3 E) 2

111. En un plano P se dibuja un triángulo rectángulo isósceles AOB ( )AO OB≅ . Por el vértice O se traza la perpendicular OC al plano P tal que AB = 2OC. Entonces, la medida del ángulo diedro AB es A) 15 B) 20 C) 30 D) 45 E) 60


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