4to Secundaria

P - �

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2005 Secundaria

Cuarto año Ptema

�. La suma de 6 términos de una progresión geométrica es a+b, mientras que la suma del tercer y cuarto término es b. Indique una relación entre los números racionales a y b para que el cuadrado de la razón sea racional.

A) a

b

+2

4 es cuadrado perfecto

B) a

b

−2


C) a+b=1D) a=b2

E) a

b

−2


2. En una progresión aritmética, la suma de los cuatro primeros términos es –15 y la relación del segundo al tercero es 3. ¿Cuántos términos se deben sumar de esta progresión para que sea cero?

A) 7 B) 11 C) 9D) 6 E) 10

3. Dada la progresión aritmética de doce términos 2

3• • • • • • • •x a b c d... ... ... . Si a, b, c y d son los

únicos números enteros, calcule la menor razón.

A) 2 B) 3/2 C) 1/6D) 2/3 E) 5/6

4. Si x, y, z están en progresión aritmética de razón r, halle la razón de la progresión formada por las áreas de las regiones en términos de x y r.

A) 3r2+x B) 3r2+3x C) 3r2+3xrD) x+3r E) x+3r2

5. En una progresión geométrica, el término de lugar p es q, mientras que el término de lugar q es p. ¿Cuál es el término de lugar n?

A) q

p

p n

q pp q

− +

− +−

1

1 B) q

p

p q n

n qp q

− +

− +−

1 C) q

p

p q

n qp q

1

1

− −

− +−

D) q

p

n p

n qp q

−

−− E)

q

p

n q

n pp q

−

−−

6. Sea

a

a

a

a

1

2

3

4

2

21

2

5

2

1

6

8

3

1

24

=

= +

= +

= +

M

halle ann

1002

100 1−=∑ !

A) 5 B) 7 C) 2D) 8 E) 10

7. En una granja de conejos, durante 6 meses, la reproducción se llevó a cabo de la siguiente manera.

1er mes 2do mes 3er mes ...

Nº de nacimientos (2n)2 (2n+2)2 (2n+4)2 ...Nº de conejos

vendidos(2n–1)2 (2n+1)2 (2n+3)2 ...

Si al cabo de los seis meses en la granja quedaron 150 conejos, ¿cuántos conejos nacieron en el quinto mes?

A) 100 B) 81 C) 19D) 256 E) 169

8. Sean a y b raíces de la ecuación x2– 3x+A=0 y c y d las raíces de la ecuación x2–12x+B=0. Si a, b, c y d forman, en ese orden, una progresión geométrica creciente, halle A+B.

A) 18 B) 34 C) 66D) –346 E) 27

P - 2


9. Dada la progresión geométrica de términos positivos

a:b:c:..., tal que b2=a6. Indique el cuarto término de

dicha progresión, si además los términos b – a; b+2a

y c – b se encuentran en progresión geométrica.

A) 32 B) 62 C) 64

D) 100 E) 128

�0. Los números a1, a2, ..., an forman una progresión

geométrica.

Si S a a a Ta a an

n= + + + = + + +1 2

1 2

1 1 1... ; ... ,

halle a1.a2. ...an en términos de y T.

A) T

S

n

2 B) S

T

n n

+( )12 C) T

S

n

D) S

T

n

2 E) T

S

n

n

2

��. En una recta se ubican los puntos consecutivos

A, B, C y D. Si ACAB AD= +

2 y AD=4, calcule el

valor entero de CD.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 1/2 E) 1/3

�2. En el gráfico, el triángulo PQR es isósceles. Calcule

x+y.

A) 200º B) 220º C) 240º

D) 260º E) 250º

�3. Dado un triángulo equilátero ABC, se traza la

altura AH y luego se ubica el punto P en BH.

Si mPAB=15º y la distancia de H hacia AP es 1,

calcule PC.

A) 4 6

3 B) 2 6 C) 3 7

D) 4 5 E) 3 6

�4. En el gráfico, a+q=180º. Calcule x.

A) 40º B) 100º/3 C) 30º

D) 33º E) 110º/3

�5. Del gráfico, AD=DC=BC. Calcule a.

A) 20º B) 15º C) 10º

D) 12º E) 36º

�6. En el gráfico,L Lsr sr1 2// ; AB=CD y las regiones

sombreadas son congruentes. Calcule QDAP

.

A) 2/3 B) 2 33

C) 32

D) 4 33

E) 4/3

�7. En el triángulo ACM, se ubica E en la región interior

y B en la región interior del triángulo AEC, tal que

ABC y AMC son suplementarios. Luego, se ubica

F en AM, tal que la prolongación de FE interseca a

MC en D. Si AB=AF; BC=CD y DE=EF, calcule

mAEC.

A) 60º B) 75º C) 90º

D) 120º E) 106º

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�8. En el gráfico, AM=ME y (AB)2+(DE)2=10. Calcule

HM.

A) 10 B) 5 C) 2,5

D) 102

E) 5

�9. Una recta contiene el centro de un cuadrado. Si la

suma de cuadrados de las distancias de los vértices a

dicha recta es 50, determine la longitud del lado del

cuadrado.

A) 10 B) 20 C) 5

D) 5 2 E) 10 2

20. En un cuadrado ABCD, se traza interiormente

el triángulo rectángulo AMD (recto en M), tal que

mMAD=30º. Si numéricamente en la región

cuadrada se cumple que su perímetro es igual a su

área, calcule la distancia de M hacia BC.

A) 2 B) 2 3− C) 4 3−

D) 2 2 3( )− E) 2 3 1( )−

2�. En un cuadrilátero ABCD, se cumple que

mABC=mBCD=120º y AD=BC+CD . Calcule

mADC.

A) 45º B) 90º C) 30º

D) 60º E) 75º

22. En un cuadrilátero ABCD, M y N son puntos medios

de AB y CD, respectivamente. Si para todo punto L

de AD y Q de BC, MLNQ es un paralelogramo, ¿qué

tipo de cuadrilátero es ABCD?

A) paralelogramo

B) trapezoide

C) trapecio

D) cuadrilátero inscriptible

E) cuadrilátero circunscriptible

23. Indique el valor de verdad de las siguientes

proposiciones.

I. El cuadrado es el único polígono regular que

tiene sus diagonales congruentes.

II. Si un polígono equiángulo está inscrito en una

circunferencia, entonces dicho polígono es

regular.

III. Si dos triángulos presentan un lado común, el

ángulo opuesto a dicho lado respectivamente de

igual medida y las medianas relativas a dichos

lados de igual longitud, entonces los triángulos

son congruentes.

A) FVF B) VFV C) FFV

D) FFF E) VFF

24. Del gráfico, P y T son puntos de tangencia.

Si m y mPQT AP¼ »= =160 50º º, halle x.

A) 120º B) 150º C) 100º

D) 135º E) 130º

25. En el triángulo ABC, se inscribe la circunferencia

de centro O que es tangente a AC en P. Luego, se

ubica N en PC y M en la prolongación de AO, tal

que mAMN=1/2(mACB) y mABC=mMNC.

Calcule mABC.

A) 30º B) 45º C) 60º

D) 75º E) 90º

26. En el gráfico, m mAC BD» »= = 100º. Calcule x.

A) 50º B) 60º C) 70º

D) 80º E) 90º

P - 4


27. En el gráfico, P; Q; S y T son puntos de tangencia.

Si AP=17 y MQ=5, calcule el radio de la

circunferencia inscrita en el triángulo ABT.

A) 1 B) 2 C) 1,5

D) 2,5 E) 3

28. Dadas las semicircunferencias de diámetros CA

y CH (H en AC), se ubica M en AC» , tal que CM

corta a la otra semicircunferencia en N, y se traza NB

perpendicular a CA (B en CH). Si mMHC=90º;

CB=5 y BH=2, calcule AH.

A) 2 B) 2,4 C) 2,6

D) 2,8 E) 3

29. En el gráfico, T es punto de tangencia. Si R(HT)=9,

calcule (AB)(TP).

A) 3 B) 18 C) 9

D) 6 E) 9 2

30. En el gráfico, B es punto de tangencia. Si AB=8,

CD=2 y NC=3, calcule MD.

A) 33 B) 22 C) 6

D) 5 2 E) 4 2

3�. En el gráfico, C es punto de tangencia. Si OA=3(AB),

calcule M TTC

.

A) 1/3 B) 1/4 C) 1/6

D) 1/8 E) 1/9

32. Según el gráfico, P; T y Q son puntos de tangencia.

Si 2(QH)=3(HO) y PL=6, calcule LT.

A) 3 B) 6 C) 4

D) 7 E) 5

33. En el gráfico, P; M; Q y T son puntos de tangencia.

Si AP=4(AB)=4, calcule QT.

A) 5 B) 5 2 C) 3 2

D) 6 E) 2 3

P - 5


34. En el gráfico, T es punto de tangencia y

mPCA+m TM=90º. Si AB=a y TP=b, calcule R.

A) a b+2

B) ab C) 2ab

D) a b2 2+ E) 2 ab

35. En un trapecio ABCD (AD//BC), se cumple que

(CD)2– (AB)2=(AD)2–(BC)2. Calcule mABC+mBAC.

A) 60º B) 75 C) 90º

D) 120º E) 150º

36. En el gráfico, A y Q son puntos de tangencia y el

triángulo ABC es equilátero. Calcule PQ en función

de a y b.

A) a2 – 2ab B) a2 – ab C) 2(a2 – a2)

D) a2 – b2 E) b2 – ab

37. Según el gráfico, A; P; T; D y E son puntos de

tangencia. Si AB=BC; TC=3 y TP=2, calcule el

área de la región triangular ABC.

A) 16 3 B) 25 C) 25 3

D) 36 E) 36 3

38. En un triángulo rectángulo BMC recto en M, se traza

exteriormente el cuadrado BCDA y se ubica Q en AD,

tal que MQ ∩ BC =P. Si las regiones cuadrangulares

ABPQ y PCDQ son equivalentes, calcule mBMP.

A) 30º B) 15º C) 45º

D) 60º E) 75º

39. En un cuadrilátero inscrito ABCD, se ubica M en

CD, tal que la región cuadrangular ABCM y la región

triangular ADM son isoperimétricas y equivalentes.

Si m AD=120º y m BC=50º, calcule m CD.

A) 60º B) 70º C) 120º

D) 90º E) 80º

40. Desde un punto P exterior a una circunferencia

se trazan las tangentes PA y PB (A y B puntos de

tangencia). Si el área de la región triangular mixtilínea

es igual al área circular, calcule la razón de AB y el

radio del círculo.

A) 1 B) 1/2 C) pD) p/2 E) p/4

Domingo, 23 de octubre 2005

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