5. CASOS PRCTICOS. En este captulo vamos a estudiar varios problemas simples que ayudarn a comprender las caractersticas del S.E.A. En el primer caso prctico (5.1) abordaremos el sistema formado por una viga aislada sometida a esfuerzos transversales. Este sistema se resuelve utilizando el subsistema de modos de flexin. Se realizarn varios clculos variando las condiciones de contorno, con la viga biapoyada y empotrada. Observaremos como el resultado predicho por el S.E.A. se adecua a los dos casos. Para comparar las soluciones disponemos de resultados analticos y de elementos finitos. En esta seccin tambin se han calculado respuestas variando el punto de aplicacin de la excitacin. El segundo caso prctico (5.2) corresponde al estudio de una viga sometida a esfuerzos de axiales. Observaremos el comportamiento del subsistema de modos longitudinales comparado con resultados analticos. Este subsistema tiene un mal comportamiento debido a su baja densidad modal. Tambin realizaremos una estimacin de la respuesta mediante elementos finitos. En tercer lugar trataremos una placa sometida a esfuerzos transversales (5.3). De nuevo se trata de un subsistema aislado, en este caso el de los modos de flexin de una placa, en comparacin con el resto de subsistemas, este tiene una densidad modal alta por lo que los resultados son ms ajustados a los reales. La solucin ser comparada con la estimacin mediante elementos finitos. Por ltimo se ha resuelto el problema de dos vigas acopladas a 90 (5.4) En este conjunto tomarn parte cuatro subsistemas, dos por cada viga. Podremos observar los flujos de energa que se producen entre subsistemas y el papel que los C.F.L. toman en ellos. 5.1 Caso de una viga asilada sometida a esfuerzos transversales. Vamos a comenzar con uno de los casos ms simples. En esta estructura solo existe un subsistema, el de una barra a esfuerzos transversales. En este ejemplo podremos comprobar algunas de las caractersticas del S.E.A. para ello compararemos los resultados obtenidos con una solucin analtica del problema y con velocidades calculadas mediante Ansys. Uno de los rasgos que ms controversia genera del S.E.A. es que no tiene en cuenta las condiciones de contorno de la estructura a la hora de modelar el problema. En este caso prctico vamos a poner a prueba ese resultado. Vamos a calcular las soluciones para una viga biapoyada y tambin para una viga empotrada en el extremo. Ambas son equivalentes desde el punto de vista del S.E.A. La excitacin que usaremos en ambos casos es un impulso puntual sobre la viga. Esta fuerza va a ser modelada como un white noise o ruido blanco, con una densidad espectral constante de 10000 N2.

Primero resolveremos la viga biapoyada desde un punto de vista analtico. Esto nos ayudar a comprender mejor la naturaleza del problema y nos servir de base para medir la bondad de la solucin alcanzada mediante Ansys y mediante el S.E.A. 5.1.1 Solucin analtica para una viga biapoyada sometida a un impulso transversal. A continuacin mostramos un esquema donde se expone el sistema a resolver:

La viga que hemos escogido tiene una longitud de 1m y una seccin cuadrada de 1 cm2. El material empleado es acero con una densidad de 7860 Kg/m3 y un mdulo de Young: E=2 1011N/m. La barra se encuentra apoyada en sus extremos y se somete a una fuerza en sentido transversal a una distancia de 0.9 m del origen. La fuerza tiene un espectro plano en frecuencia de valor 10000 N2. El coeficiente de amortiguamiento que vamos a utilizar es: =0.01. Una vez definido el problema vamos a resolverlo por medio de la descomposicin modal. La ecuacin del movimiento libre para esfuerzos transversales es la siguiente:

AEIc

Con

xyc

ty

=

=

:

4

42

2

2

Si utilizo separacin de variables:

xc

ixc

ixc

xc

IV

eBeBeBeBx

x

xxc

tYtY

tYxtxy

+++=

==

=

4321

22

)(

:)( modos los para Solucin

)()(

)()(

)()(),(

&&

Se necesitan cuatro condiciones de contorno para definir los modos y frecuencias naturales, en el caso de una barra biapoyada son las siguientes:

0)(0)(0)0(

0)0(

====

LL

A continuacin se muestran las frecuencias naturales y modos de vibracin analticos resultantes:

=

=

=

=

2,..., 1,i )(

2,..., 1,i 2

xLiSenx

Lic

i

i

Con esta eleccin de los modos obtenemos la siguiente masa y rigidez modal para cada una de las infinitas descomposiciones:

iii

i

Lx

xi

mk

MdxxEAm

=

== =

=

2

2

0

2/)(

donde M es la masa total de la viga. Para hallar la fuerza que excita a cada modo utilizamos la siguiente expresin:

)9.0()()(),(0

ii

Lx

xii tSenFxtxFf

=

=

==

Donde en nuestro caso F =100 N, ya que ya que se trata de un ruido blanco con un valor de la densidad espectral de 10000 N2. Esto equivale a un conjunto de infinitas fuerzas sinusoidales que actan en todas las frecuencias con una amplitud F =100 N. Por lo que cada modo ser excitado con la fuerza sinusoidal correspondiente

a su frecuencia. Por otro lado, al ser una fuerza puntual la anterior integral tan solo se evala en el punto de aplicacin de la fuerza. Ahora podemos definir las infinitas ecuaciones que gobiernan el movimiento de cada modo de vibracin:

==++ 2,..., 1,i )9.0()( iiiiiiiii tSenFYkYmYm &&&

La solucin de las amplitudes modales para las anteriores ecuaciones es la siguiente:

== 2,..., 1,i )( )9.0(

)( tdidii

ii

ietSenm

FtY

2-1 : idiCon =

Para componer la solucin total vamos a utilizar en este caso los primeros 300 modos. De esta manera obtenemos:

t)(x,yt)v(x,

)()(t)y(x,300

1i

&=

= =

xtY ii

Si queremos comparar estos resultados con los que calculemos a partir del S.E.A. debemos realizar una media de las velocidades para todos los puntos de la viga. Esto es debido a que en el S.E.A. se estiman las energas medias de los subsistemas y estas estn relacionadas con la media de las velocidades al cuadrado: E=Mv2. Ya que en la solucin la energa potencial y cintica son similares por encontrarse el sistema en resonancia. Estos clculos se han implementado utilizando el programa Matlab. En el anexo se adjuntan los cdigos que resuelven el problema. En la siguiente grfica mostramos el resultado obtenido para la media de las velocidades al cuadrado, hemos realizado un espectro en frecuencia de este resultado:

La magnitud v2 ha sido representada en decibelios referidos a 1m/seg. En la grfica se puede observar que se produce un pico en la velocidad para cada frecuencia natural. Esto es debido a que la conductancia (G) de la estructura en el punto de aplicacin de la fuerza tambin presenta estos picos. Como ya sabemos, la potencia

introducida en el sistema es proporcional a la conductancia: GFPin2

21

= Por lo que

el resultado obtenido muestra que la energa se transmite al sistema en reducidas franjas alrededor de las frecuencias de resonancia. 5.1.2 Solucin mediante Elementos Finitos para una viga biapoyada sometida a un impulso transversal. Otra fuente de soluciones que nos servir para comparar los resultados obtenidos con el S.E.A. son los Elementos Finitos. Con este mtodo podemos encontrar resultados en un abanico mucho mayor del que permiten los modos de vibracin analticos. Si bien en este caso tan simple disponemos de esta ltima solucin. En este proyecto hemos utilizado el programa comercial Ansys para la realizacin del clculo mediante el M.E.F. Una de las tipologas de anlisis que ofrece este programa es el anlisis espectral, en el programa denominado:Spectrum Analysis. Sin duda este es el tipo de clculo que mejor se adecua a los problemas que queremos resolver. En estos anlisis existe la opcin de excitar la estructura mediante lo que se denomina un P.S.D. (Power Spectral Density). Es decir, podemos excitar con fuerzas,

movimientos o velocidades aleatorias simplemente introduciendo la densidad espectral de estas. Los resultados se obtienen tambin en forma de P.S.D. Esto quiere decir que adquirimos directamente en el dominio de la frecuencia los valores cuadrados de las magnitudes que nos interesan. Todos los cdigos utilizados para el clculo de los resultados en Ansys que mostraremos a lo largo de esta memoria se encuentran en el anexo. Para el clculo de las velocidades transversales en una viga biapoyada mediante Ansys el primer paso es definir la geometra y las propiedades fsicas del material. Para ello hemos introducido las propiedades del acero citadas en la anterior seccin. Y para la definicin de la viga se han utilizado 500 elementos del tipo BEAM189 donde se ha escogido una seccin cuadrada de 1 cm2. Por ltimo se han impuesto unas condiciones de contorno de manera que se han restringido los desplazamientos transversales de los extremos permitiendo el giro de los mismos.

El segundo paso es la realizacin de un anlisis modal, en el programa se puede encontrar como:Modal Analysis". De esta manera se realiza la extraccin de los modos de vibracin que despus se van a tener en cuenta para la solucin final. En este clculo se puede emplear un tiempo considerable de computacin dependiendo del nmero de elementos que se manejan y del nmero de modos que se pretende extraer. En este caso no hay problema ya que solo hemos modelado una viga. En casos mas complejos se deber recortar tanto el nmero de elementos que componen la viga como el nmero de modos que se pretenden emplear. Hay que tener en cuenta que los modos de vibracin en altas frecuencias sern ms fiables cuanto mas elementos utilicemos para modelar la estructura. Por razones de tiempo de procesamiento no podemos elevar la cifra de elementos por encima de un cierto nivel. Por lo tanto tenemos limitado el rango de frecuencias en el cual se puede calcular la solucin de una manera fidedigna. En este caso pretendemos estimar la respuesta en una franja que va desde 1 hasta 10000 Hz, para ello hemos utilizado 500 elementos que nos proporcionan una estimacin fiable de los 100 primeros modos que captura Ansys. Se ha comprobado que la solucin calculada con 300 elementos tambin es buena. Una vez realizada la extraccin de los modos se realiza el Spectrum Analysis". En esta parte del clculo es donde definimos la fuerza que va a excitar a nuestra estructura, en este caso la viga biapoyada. Para ello definimos un P.S.D. constante de valor 10000 N2 en una banda de frecuencias que va desde 1 hasta 10000 Hz. A continuacin exponemos la grfica que nos facilita Ansys de esta fuerza:

Aplicaremos la fuerza en el nodo correspondiente a los 0.9m del origen y con direccin transversal.

Hay que decir que el sentido en el que se aplica la fuerza es irrelevante cuando estamos tratando con un P.S.D., la flecha apunta en el sentido positivo del eje (y) por defecto en el programa. Una vez realizado este paso podemos iniciar la bsqueda de la solucin. El tiempo de procesamiento tambin puede ser grande en este clculo si tratamos con sistemas ms complejos. Uno de los parmetros ms influyentes en la velocidad es el nmero de modos de vibracin que estamos usando para componer la solucin. Por ltimo extraemos un P.S.D de las velocidades transversales en 5 puntos de la viga repartidos equitativamente. El resultado es el siguiente:

Cada uno de los P.S.D. extraidos supone tiempo de clculo. Estimamos que

estos cinco resultados son suficientes para realizar una media en toda la viga. A tenor de los resultados las velocidades son de un corte similar, si bien incrementndose algo en su magnitud cuando nos acercamos al centro de la viga.

Si calculamos la media del cuadrado de las velocidades obtenemos el resultado

que compararemos con el resto de las soluciones:

5.1.3 Viga a esfuerzos transversales segn S.E.A. En las anteriores secciones hemos calculado resultados con los que poder contrastar la teora del S.E.A. para una viga a esfuerzos transversales. El problema en concreto que se ha resuelto es el de la viga biapoyada sometida a un impulso transversal. Si bien, en S.E.A. no afectan las condiciones de contorno del problema. Si utilizamos las frmulas tericas anteriormente descritas en el captulo 2 estamos resolviendo el problema para cualquier condicin de contorno y para cualquier punto de aplicacin de la fuerza. En secciones posteriores realizaremos las comprobaciones pertinentes para demostrar esta afirmacin. Para comenzar con el clculo de la viga aislada a esfuerzos transversales plantearemos el balance de energa correspondiente. En este caso la potencia introducida debe ser igual a la potencia disipada.

GFEPP indis2

21 ==

Si hacemos uso del resultado calculado para la conductancia (G) en el captulo 3:

fMMnG

41

2)(=

=

Para el clculo de la conductancia media necesitamos conocer el Espacio Intermodal ( f ) del subsistema que estamos tratando. En este caso el nico subsistema del que se compone la estructura es el de los modos transversales de una barra. Si nos fijamos en la tabla del captulo 2 encontramos la siguiente expresin:

Lcf B=

donde:

- LB fkcc 2= Es la velocidad de las ondas de flexin en la barra. - k Es el radio de giro. - /EcL = Es la velocidad de las ondas longitudinales en la barra. Con los datos de la seccin de la barra y su longitud podemos calcular el Espacio Intermodal y con l la media de la conductancia (G) para cada valor de frecuencia desde 1 a 5000 Hz. Ahora tan solo nos queda despejar le energa de la ecuacin inicial. Para el clculo tendremos en cuenta un coeficiente de amortiguamiento de valor =0.01, y el valor de la fuerza es de 10000 N2 al igual que en los problemas anteriores.

f

GFE

221

2

=

Para comparar este resultado con los calculados anteriormente vamos a convertirlo a valores de velocidad al cuadrado:

MEVVME / 22 ==

Si representamos esta respuesta para las frecuencias citadas anteriormente obtenemos:

Vamos a comparar todos los resultados calculados hasta ahora:

Como se puede observar claramente en la anterior grfica los resultados proporcionados por el S.E.A. responden a una media de los calculados mediante el mtodo analtico y los elementos finitos. Por otro lado estos dos ltimos tienen un grado de similitud elevado excepto en algunos puntos debidos a la no excitacin o no captura de algn modo en el modelo de Ansys. De todas formas el resultado hallado mediante este programa es altamente satisfactorio, lo cual justifica su uso para la comparacin con el S.E.A. en modelos ms complicados. Por otro lado debemos hacer hincapi en el mal resultado del S.E.A. para bajas frecuencias. En este caso el modelo supone la existencia de una cierta densidad modal cuando en realidad existen amplias franjas de frecuencia en las que no existe ningn modo de vibracin. Como ya se explic en una seccin anterior, el resultado presenta unos picos para los valores de las frecuencias de resonancia. En el S.E.A. no existen tales picos ya que no asigna ningn valor concreto a estas frecuencias. Este modelo supone que son valores aleatorios uniformemente distribuidos en bandas de frecuencia. Tambin hemos dicho que este resultado es vlido para cualquier punto de aplicacin de la fuerza y cualquier condicin de contorno. Esto quiere decir que los resultados del S.E.A. tienen en cuenta toda esta tipologa de problemas en los que las frecuencias naturales y los valores de las conductancias presentan desviaciones. Si bien los resultados del S.E.A. se siguen manteniendo en la media como veremos en secciones posteriores.

En la anterior grfica hemos marcado las frecuencias naturales de los modos de flexin analticos para una viga biapoyada. Se puede observar que cada pico se corresponde con un modo de vibracin excepto para alguna frecuencia natural. Esto es debido a que la aplicacin de la fuerza se ha hecho en un punto en el que no se excita ese modo.

El Statistical Energy Analysis esta diseado para trabajar en bandas de frecuencia. Una de las elecciones ms comunes, sobretodo en acstica, son las bandas de un tercio de octava. Podemos realizar el clculo para dichas bandas simplemente introduciendo las frecuencias centrales en las ecuaciones del S.E.A. Estas frecuencias, expresadas en Hertzios, son las siguientes:

{63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000 1250 1600 2000 2500 3150 4000 5000 6300 8000}

La caracterstica de estas bandas es que su ancho crece a un ritmo de 2/3 por cada banda consecutiva. De esta manera las bandas de frecuencias ms altas ocupan mayores franjas que las pequeas. Por otro lado, evaluaremos las medias correspondientes de los resultados procedentes de los modos analticos y los elementos finitos en las bandas de 1/3 de octava. Representamos el resultado obtenido en la siguiente grfica.

Podemos observar que cuando trabajamos en bandas de frecuencias se suavizan las diferencias entre el S.E.A. y los dems mtodos. Esto es normal al agruparse en cada banda un nmero de modos que contribuyen a la respuesta. Esto es bsicamente el fundamento del S.E.A. Por otro lado, normalmente las densidades modales son mayores en altas frecuencias por lo que es ah donde mejores resultados se suelen obtener para un mismo ancho de banda.

5.1.4 Viga empotrada sometida a un impulso transversal mediante Elementos Finitos. En esta seccin vamos a calcular por medio del programa Ansys una solucin para el mismo problema que hemos estudiado anteriormente pero con un cambio en las condiciones de contorno. Esta vez vamos a resolver una viga empotrada en un extremo sometida a la misma fuerza anterior. A continuacin mostramos un esquema del sistema:

Como hemos dicho volvemos a escoger la misma viga con longitud de 1m, seccin cuadrada de 1 cm2, de acero con una densidad de 7860 Kg/m3 y un mdulo de Young: E=2 1011. La barra se encuentra empotrada en uno de sus extremos y se somete a un impulso en sentido transversal a una distancia de 0.9 m del origen. La fuerza tiene un espectro plano en frecuencia de valor 10000 N2. El coeficiente de amortiguamiento que vamos a utilizar es: =0.01. Los pasos que vamos a recorrer para la resolucin en Ansys son los mismos que en el apartado 5.1.2 simplemente variando las condiciones de contorno. A continuacin mostramos el esquema que proporciona Ansys de la geometra y la carga:

Para hallar la solucin se van a emplear 500 elementos BEAM189 para modelar la viga y se van a utilizar los 100 primeros modos capturados.

De esta forma se obtienen los siguientes 5 resultados en velocidades para 5 puntos repartidos equitativamente en la viga. A continuacin mostramos una grafica del conjunto:

Si realizamos una media de los resultados obtenidos en los 5 puntos tendremos la medida del cuadrado de la velocidad con la que comparar con el resultado previsto por el S.E.A. Recordamos que dicho resultado es el calculado en la seccin 5.1.3 ya que este es vlido para todas las condiciones de contorno.

Ahora vamos a realizar una comparacin con los resultados obtenidos en una viga biapoyada calculados en la seccin 5.1.2 mediante Ansys y los resultados obtenidos con el S.E.A. para la vibracin transversal de una viga:

Como podemos observar en la anterior representacin el valor proporcionado por el S.E.A. para la vibracin transversal se mantiene en los valores medios de las soluciones para la viga empotrada y biapoyada. Esto nos saca de dudas sobre la desvinculacin de la respuesta sobre las condiciones de contorno cuando tratamos con valores medios. Algo que no podemos decir que sea cierto para bajas frecuencias. En la grfica se puede diferenciar la respuesta de una viga biapoyada de la empotrada. Los picos de resonancia se producen en frecuencias diferentes. Para bajas frecuencias se observa que la respuesta de una viga empotrada es mayor que la de una biapoyada, esto sucede en este caso en el cual la fuerza se aplica casi en un extremo. Sin embargo tambin se puede observar que la densidad modal de ambos casos es similar y la tendencia de los picos es semejante una vez superados los primeros modos. Esta tendencia es la que recoge el resultado previsto por el S.E.A., ya que como ya hemos explicado en otros captulos este solo reconoce informacin sobre la densidad modal, que es el parmetro que domina la tendencia de la Potencia Introducida. Otra de las caractersticas sorprendentes que definen al Statistical Energy Analysis es que sus predicciones no dependen del punto de aplicacin de la fuerza. Para comprobar este hecho por medio de los Elementos Finitos seguiremos haciendo uso del ejemplo de la viga empotrada. En este caso resolveremos tres problemas diferentes, cada uno para una ubicacin distinta del punto de aplicacin del impulso. Las tres diferentes posiciones se muestran en el esquema siguiente:

El problema de la viga empotrada excitada por la fuerza: F1 es el que ha sido resuelto anteriormente en donde el punto de aplicacin se encuentra a 0.9 m del origen. Ahora resolveremos de manera similar los dos problemas restantes (con F2 y F3) en los que la fuerza se aplica a 0.6 y 0.3 m respectivamente. Representamos el resultado obtenido junto con la prediccin del S.E.A. en la siguiente grfica:

A tenor de los resultados podemos concluir que la prediccin obtenida por el S.E.A. se encuentra entre los valores de los tres casos. El solucin se encuentra por encima de la media individual en alguno de los casos, y por debajo en otros. Si calculsemos la respuesta para cada uno de los infinitos posibles puntos de aplicacin de la fuerza, y realizsemos una media global, entonces el resultado se aproximara ms an al predicho por el S.E.A. Esto pone de manifiesto el carcter estadstico de este mtodo, este supone que el punto de aplicacin de la fuerza es otra variable aleatoria. Si bien las grficas demuestran que el punto de aplicacin de la fuerza no es excesivamente relevante en altas frecuencias, donde en algunos puntos se llega a igualar la respuesta. Sin embargo, en bajas frecuencias, en donde las velocidades producidas para el impulso que ms se aleja del empotramiento son mayores que las dems, la diferencia es apreciable. Para finalizar este anlisis se podra decir que el S.E.A. proporciona una amplitud de la respuesta media a todos los posibles casos de puntos de aplicacin de la fuerza y de las condiciones de contorno. Esta medida se acerca ms a la real cuando trabajamos en altas frecuencias y sobre todo en sistemas con una alta densidad modal.

5.2 Caso de una viga sometida a esfuerzos longitudinales. Dentro de los casos de sistemas aislados que vamos a estudiar este es el que peor modela el S.E.A Las barras tienen una baja densidad de los modos longitudinales y su primer pico de resonancia se encuentra para valores muy altos de la frecuencia. Se puede decir que este es el caso por excelencia en el que el S.E.A. no puede estimar una respuesta fiable. De igual manera que el S.E.A. se ve incapaz de aproximarse a la solucin real, los Elementos Finitos tampoco son una solucin coherente para este problema. Se necesita un mallado extremadamente fino para poder capturar los modos de vibracin longitudinal. Estamos hablando de frecuencias muy altas. No obstante, a pesar de la reflexin anterior, hemos decidido realizar un clculo analtico, por Elementos Finitos, y mediante el modelo del S.E.A. del siguiente problema:

Hemos escogido una viga de similares caractersticas a las utilizadas en secciones anteriores. Es decir, tiene una longitud de 1m y una seccin cuadrada de 1 cm2. El material empleado es acero con una densidad de 7860 Kg/m3 y un mdulo de Young: E=2 1011N/m. La barra se encuentra empotrada en su extremo y se somete a una fuerza en sentido longitudinal aplicada en el extremo libre. La fuerza tiene un espectro plano en frecuencia de valor 10000 N2. El coeficiente de amortiguamiento que vamos a utilizar es: =0.01.

5.2.1 Solucin analtica para una viga empotrada sometida a un impulso axial. Una vez definido el problema vamos a resolverlo por medio de la descomposicin modal. La ecuacin del movimiento libre para esfuerzos axiales es la siguiente:

Ec

Con

xuc

tu

=

=

:

2

22

2

2

En esta ecuacin (u) es el desplazamiento longitudinal de la viga y (c) es la velocidad de las ondas longitudinales en una barra.

Si utilizamos separacin de variables:

)()(

:)( modos los para Solucin

)()(

)()(

)()(),(

22

+=

=

=

=

xc

SenBx

x

xxc

tUtU

tUxtxu

&&

Se necesitan dos condiciones de contorno para definir los modos y frecuencias naturales, en el caso de una barra empotrada son las siguientes:

0)0(0)0(

==

A continuacin se muestran las frecuencias naturales y modos de vibracin analticos resultantes:

=

=

=

=

2,..., 1,i 2

)12()(

2,..., 1,i 2

)12(

xL

iSenx

Lci

i

i

Con esta eleccin de los modos obtenemos la siguiente masa y rigidez modal para cada una de las infinitas descomposiciones:

iii

i

Lx

xi

mk

MdxxEAm

=

== =

=

2

2

0

2/)(

Donde M es la masa total de la viga. Para hallar la fuerza que excita a cada modo utilizamos la siguiente expresin:

)1()()(),(0

=== =

=

LtSenFxtxFf iiLx

xii

donde en este caso de nuevo F =100 N. Ahora podemos definir las infinitas ecuaciones que gobiernan el movimiento de cada modo de vibracin:

==++ 2,..., 1,i )()( LtSenFUkUmUm iiiiiiiii &&&

La solucin de las amplitudes modales para las anteriores ecuaciones es la siguiente:

== 2,..., 1,i )()(

)( tdidii

ii

ietSenm

LFtU

2-1 : idiCon =

Para componer la solucin total vamos a utilizar en este caso los primeros 300 modos. De esta manera obtenemos:

t)(x,ut)v(x,

)()(t)u(x,300

1i

&=

==

xtU ii

Vamos a representar la solucin para u(t) en el dominio del tiempo para cuatro puntos de la barra partiendo de su punto extremo, donde se aplica el impulso:

En la grfica anterior se puede observar la propagacin de la onda axial a travs de la barra. Se comprueba que efectivamente la velocidad de propagacin (c) en este caso es de 5044 m/seg, por lo que el frente de onda tarda aproximadamente 2 10-5 seg en recorrer los 0.1 m que separan los puntos. Si queremos representar la media de velocidad en el dominio de la frecuencia de los 300 primeros modos necesitaramos un tiempo de clculo muy elevado. Hay que tener en cuenta que el modo 300 de vibracin axial tiene una frecuencia de 4.746.200 Hz. Si nos conformamos con la representacin de la velocidad media en una banda de 1 a 5000 Hz obtenemos el siguiente resultado:

Como podemos observar, solo existen dos picos de resonancia con frecuencias menores de 5000 Hz. Esto no ocurra as con las vibraciones transversales, en las cuales la primera frecuencia natural se encontraba en torno a los 100 Hz, mientras que para la misma viga, en vibraciones axiales, la primera frecuencia natural supera los 1000 Hz. 5.2.2 Solucin mediante Elementos Finitos para una viga empotrada sometida a un impulso axial. Repetimos los pasos descritos en la seccin 5.1.4 para el clculo mediante Ansys de la velocidad media en una viga empotrada. En este caso simplemente variamos la direccin y punto de aplicacin de la fuerza:

Hemos vuelto a utilizar 500 elementos del tipo BEAM189 y hemos capturado los 100 primeros modos. El resultado medio en la viga es el siguiente:

En la siguiente seccin compararemos estos resultados con los analticos y observaremos que la respuesta obtenida es extremadamente incoherente en este caso.

5.2.3 Viga a esfuerzos longitudinales segn S.E.A. Para comenzar con el clculo de la viga aislada a esfuerzos longitudinales plantearemos el balance de energa correspondiente.

GFEPP indis2

21 ==

Como ya sabemos, la conductancia responde a la siguiente frmula:

fMMnG

41

2)(=

=

Para el clculo de la conductancia media necesitamos conocer el Espacio Intermodal ( f ) del subsistema de los modos longitudinales de una barra, en la tabla del captulo 2 encontramos la siguiente expresin:

Lcf L2

= donde: - /EcL = Es la velocidad de las ondas longitudinales en la barra. Si calculamos el espacio intermodal y lo comparamos con el de la misma viga a esfuerzos transversales obtenemos la siguiente grfica:

Como podemos observar el espacio intermodal de las vibraciones axiales es mucho mayor que el de las vibraciones transversales. Esto quiere decir que las densidades modales en el segundo son mucho mayores, lo que beneficia a los resultados obtenidos mediante S.E.A. Sin embargo en este caso la densidad modal esta muy por debajo de los valores recomendados para el uso del S.E.A. Proseguiremos con el clculo despejando la energa de la ecuacin inicial. Tendremos en cuenta un coeficiente de amortiguamiento de valor =0.01, y el valor de la fuerza es de 10000 N2 al igual que en los problemas anteriores.

f

GFE

221

2

=

Para comparar este resultado con los calculados anteriormente vamos a convertirlo a valores de velocidad al cuadrado:

MEVVME / 22 ==

Si representamos la respuesta conjunta para todos los mtodos usados obtenemos la siguiente representacin:

Se puede observar que en cualquier caso la aproximacin dada por el S.E.A. y

los elementos finitos es mala. En el caso del S.E.A. esto se debe a la baja densidad modal del subsistema. Si bien, el valor de la velocidad en torno a los picos de resonancia si es ms ajustado.

Si nos fijamos en la prediccin del Ansys vemos que es aun peor. En este caso se debe a que es necesario un mallado mas fino para poder detectar los modos de vibracin longitudinal. El problema es que el tiempo de clculo se multiplica y la memoria necesaria puede superar la disponible en un ordenador personal.

En esta seccin hemos podido comprobar la importancia de la densidad modal

en el clculo mediante S.E.A. La calidad de los resultados depende en muchas ocasiones de este parmetro, convirtindose esta aplicacin en intil si no se superan unos ciertos valores mnimos. Por fortuna en la mayora de los casos reales los subsistemas tratados tienen unas caractersticas ms favorables de cara a este modelo.

5.3 Caso de una placa sometida a esfuerzos transversales. Con este caso cambiamos la tipologa del elemento que vamos a utilizar. Normalmente las placas tienen densidades modales mayores que las vigas, por lo que los resultados proporcionados por el S.E.A. son ms ajustados. Adems la placa a esfuerzos transversales tambin tiene una densidad modal mayor que a esfuerzos en su plano. Se podra decir que es el caso contrario al anterior, el de la viga a esfuerzos longitudinales, este es un caso donde tpicamente el S.E.A. proporciona buenos resultados. Para poder comparar la respuesta propuesta por el S.E.A. para este subsistema aislado vamos a realizar un clculo mediante Elementos Finitos. 5.2.1 Clculo mediante Elementos Finitos de una placa sometida a un impulso transversal. Como ya sabemos, en el S.E.A. no hace falta concretar unas condiciones de contorno para resolver el problema. Sin embargo para resolverlo mediante Ansys si. De esta manera escogemos que las condiciones de contorno de la placa van a ser de a apoyo en sus cuatro bordes. Tambin decidimos que el punto de aplicacin del impulso sea el centro de la placa. A continuacin mostramos un esquema del sistema que pretendemos resolver:

Como podemos observar se trata de un chapa de 1 m2 de rea, el espesor es de 2 mm. El material asignado es acero con las siguientes propiedades: Densidad de 7860 Kg/m3, mdulo de Young: E=2 1011 N/m y coeficiente de Poisson: =0.266. La placa se encuentra apoyada sobre sus cuatro bordes. Usaremos un coeficiente de amortiguamiento de valor =0.01. La fuerza se aplica en el punto central de la placa y en sentido transversal. Se trata de un impulso con densidad espectral de 10000 N2, al igual que en las anteriores ocasiones. El primer paso en Ansys es definir la geometra. Para modelar esta placa se han utilizado 2500 elementos del tipo SHELL63. Este nmero de elementos es mucho mayor que en el caso de las vigas por lo que el tiempo de procesamiento tambin aumenta considerablemente. La condicin de contorno se ha aplicado restringiendo el desplazamiento vertical de los nodos pertenecientes a los bordes. El segundo paso es realizar un anlisis modal para capturar los modos de vibracin. Hemos escogido la cifra de 300 modos para componer la solucin final. El nmero de modos ha aumentado con respecto a casos anteriores porque la placa tiene una densidad modal mucho mayor que las vigas y si pretendemos realizar un anlisis hasta los 5000 Hz debemos capturar un mayor nmero de modos. Esto repercute an ms en el tiempo de computacin. Por ltimo realizamos el anlisis espectral donde definimos la fuerza mediante un P.S.D. y la aplicamos en el punto correspondiente. A continuacin podemos observar una imagen proporcionada por Ansys de la geometra y la carga:

Resolvemos el problema completo y extraemos 9 velocidades de varios puntos de la placa. Los puntos han sido escogidos de manera equitativa para que la media de las amplitudes de sus velocidades se acerque lo mximo posible ala media real. No hemos realizado una extraccin de velocidades ms exhaustiva debido a que el tiempo de clculo por cada P.S.D. de velocidades que se extrae supera los 30 minutos.

Los resultados para las 9 velocidades al cuadrado se muestran a continuacin:

Como se puede observar en la anterior grfica el nmero de modos que entran en juego para una placa a esfuerzos transversales es mucho mayor que en los anteriores subsistemas estudiados. La primera frecuencia natural aparece para un valor en torno a los 10 Hz cuando en el caso de una viga ha esfuerzos longitudinales no apareca hasta superar los 1000 Hz. Podemos apreciar que la velocidad de los puntos ms alejados de los bordes es mayor en frecuencias bajas. Sin embargo a medida que aumentamos la frecuencia la amplitud de la velocidad se va igualando entre los puntos escogidos. Esto de alguna manera justifica que en el S.E.A se trabajen con valores medios de los subsistemas, ya que en altas frecuencias la diferencia entre los puntos del subsistema tiende a minimizarse. Por otra parte se puede ver en la parte derecha de la grfica una zona donde ya no existen picos de resonancia. Esto debido a que no se han capturado modos de frecuencias ms altas a pesar de que hemos extrado los 300 primeros modos. La conclusin que se puede sacar es que la densidad modal es tan alta que para llegar a calcular una respuesta vlida hasta los 5000 Hz sera necesario extraer unos 800 modos de vibracin. Esto nos llevara a unos tiempos de clculo enormes, por lo que nos conformaremos con la solucin anteriormente expuesta, la cual es totalmente vlida hasta los 2000 Hz.

Si realizamos una media de las velocidades mostradas anteriormente obtenemos el siguiente resultado, el cual compararemos con la prediccin del S.E.A.:

5.2.3 Clculo mediante S.E.A. de una placa sometida a un impulso transversal. Ahora vamos a deducir la respuesta a un impulso transversal en una placa mediante el S.E.A. Se trata de un subsistema aislado, en este caso el de los modos de flexin en una placa. Para comenzar plantearemos el sencillo balance de energa pertinente:

GFEPP indis2

21 ==

Como de costumbre usaremos la conductancia (G) hallada en el captulo 3:

fMMnG

41

2)(=

=

Para el clculo de la conductancia media necesitamos conocer el espacio intermodal ( f ) del subsistema que estamos tratando. Si nos fijamos en la tabla del capitulo 2 encontramos la siguiente expresin:

Akc

f L'2

= Donde:

- 12hk = Es el radio de giro de la placa y h es el espesor de la placa.

- )1(

' 2 =

Ec L Es la velocidad de las ondas longitudinales en una placa. Donde es

el mdulo de Poisson.

- A Es al rea de la placa. Si sustituimos los datos del material y la geometra en las anteriores ecuaciones hallaremos el espacio intermodal para una placa a esfuerzos transversales. En la siguiente grfica mostramos este resultado comparado con el de los otros dos subsistemas estudiados en secciones anteriores. Estos son la barra a esfuerzos transversales y longitudinales:

Se puede observar que existe una gran diferencia entre los valores pertenecientes a los modos de vibracin longitudinales de una barra en los cuales el espacio intermodal supera los 2500 Hz y los valores para la placa a flexin que son constantes de 6 Hz. En un lugar intermedio quedan los modos de flexin de la barra. Ahora vamos a proseguir con el clculo. Despejamos la energa de la ecuacin inicial. Usaremos un coeficiente de amortiguamiento de valor =0.01, y el valor de la fuerza es de 10000 N2 al igual que en los problemas anteriores.

f

GFE

221

2

=

Convertimos a valores de Energa a los de velocidad al cuadrado:

MEVVME / 22 ==

En la siguiente grfica mostramos el resultado hallado mediante S.E.A. y los Elementos Finitos por medio del programa Ansys:

Podemos observar que el resultado proporcionado por el S.E.A. se mantiene en los valores medios de la solucin aportada por Ansys. El error cometido es alto para bajas frecuencias pero a medida que se aumenta en este parmetro encontramos que los valores de los picos de resonancia se atenan aproximndose cada vez mas a la media predicha por el S.E.A.

En el caso de haber calculado una respuesta en Ansys con un mayor nmero de modos de vibracin hubisemos podido comparar resultados para frecuencias ms altas. De cualquier manera la tendencia es la que podemos observar en esta grfica, los valores de la amplitud de la velocidad quedan cada vez ms restringidos a una pequea franja alrededor del valor marcado por el S.E.A. Se puede concluir que para este tipo de subsistemas la respuesta es altamente satisfactoria debido a un valor alto de la densidad modal. Esto produce una disminucin del error cometido cuando se realiza un anlisis mediante S.E.A.

5.4 Caso de dos vigas unidas a 90. En este ejemplo comenzamos a tratar con sistemas ms complejos. Ya no se trata de un sistema aislado, en este conjunto se agrupan cuatro subsistemas. Dos por cada viga, uno de modos transversales y otro de modos longitudinales. Por este motivo comienzan a tomar parte los C.F.L. Coupling Loss Factor. Estos parmetros sern introducidos en las ecuaciones del S.E.A. para estimar el flujo de energa existente entre los subsistemas. Para poder juzgar la solucin proporcionada por el S.E.A antes vamos a modelar este sistema mediante Elementos Finitos. Por medio del programa Ansys vamos a hallar una solucin vlida para el contraste de nuestros resultados. 5.4.1 Clculo de dos vigas unidas a 90 mediante Elementos Finitos. Para realizar este clculo en Ansys debemos definir unas condiciones de contorno. En este caso vamos a empotrar el extremo libre de cada viga. Como ya sabemos, este dato es irrelevante para el modelo del S.E.A. Por otra parte tambin debemos escoger el punto de aplicacin de la fuerza. En este caso va a ser el punto central de la viga horizontal, la fuerza aplicada ser un impulso transversal. Sabemos que el punto de aplicacin de la fuerza no es relevante para el S.E.A., pero si lo es el subsistema en el cual se est introduciendo. En este caso la Potencia introducida se realiza en el subsistema de los modos transversales de la barra horizontal. A continuacin mostramos un esquema donde se muestra el problema concreto a resolver:

Las vigas escogidas son similares entre si y tienen las siguientes propiedades: Una longitud de 1m y seccin cuadrada de 1 cm2. Su material es acero con una densidad de 7860 Kg/m3 y un mdulo de Young: E=2 1011N/m. Cada barra se encuentra empotrada en su extremo. La viga 1 y se somete a un impulso en sentido transversal a una distancia de 0.5 m del origen. La fuerza tiene un espectro plano en frecuencia de valor 10000 N2. El coeficiente de amortiguamiento que vamos a utilizar es: =0.01. Una vez definido el problema concreto comenzamos la modelizacin en Ansys de la geometra. Este paso lo llevamos a cabo utilizando 300 elementos BEAM189 por cada viga. Las condiciones de contorno se logran restringiendo los desplazamientos de los puntos extremos de las barras. El segundo paso es el Modal Analysis" en l escogemos capturar los 200 primeros modos de vibracin que luego formarn parte de la solucin. Por ltimo, en el Spectrum Analysis" definimos la fuerza impulso mediante una tabla en la que asignamos un valor constante de 10000 N2 a la densidad espectral de la fuerza. Este impulso ser aplicado en el sentido del eje (y) en el nodo central de la viga 1. En la siguiente representacin podemos apreciar la geometra y la posicin de la carga definidas en Ansys:

Una vez definido el problema podemos resolver para hallar la respuesta en velocidades del sistema. Para realizar las medias de velocidad pertenecientes a los cuatro subsistemas que definiremos en el modelo del S.E.A. tomaremos cinco velocidades por cada uno de ellos.

De esta manera extraemos la velocidad longitudinal y transversal en cinco puntos de la viga 1. Estos son los resultados:

Si realizamos la media de los anteriores grupos de valores obtenemos las respuestas que utilizaremos para comparar las predicciones del S.E.A. en los dos subsistemas que componen la viga 1.

A continuacin mostramos los resultados medios de las amplitudes de la velocidad longitudinal y transversal en la viga 1:

Se puede observar que la respuesta ya no est exclusivamente dominada por los picos de resonancia del subsistema. Ahora existe acoplamiento entre varios subsistemas. Por este motivo se pueden apreciar altos valores de la amplitud de la velocidad que son debidos a energa que se ha transmitido desde otros subsistemas.

Un claro ejemplo de lo explicado anteriormente se puede observar en la grfica de las vibraciones longitudinales. Recordamos el problema resuelto en la seccin 5.3 de una viga sometida a un impulso longitudinal, en ese caso solo existan dos picos de resonancia antes de los 5000 Hz. Se trataba de un sistema aislado. En la grfica que se muestra ahora se pueden observar multitud de picos en la respuesta que sin duda son debidos a la transmisin de energa de otro subsistema, ya que el subsistema de vibracin longitudinal no posee modos de vibracin para esas frecuencias. Vamos a realizar la misma operacin para la viga 2. De esta manera extraemos las siguientes velocidades longitudinales en cinco puntos equidistantes:

Ahora mostramos las velocidades transversales a la barra en los mismos cinco puntos:

Si realizamos las medias pertinentes obtenemos los siguientes resultados que compararemos con las predicciones del S.E.A. para los dos subsistemas que componen la viga 2.

Se observa que la respuesta en la viga 2 es extremadamente parecida a la viga 1. Aunque no similar. Esto es debido a que hemos escogido dos vigas similares, por lo que la capacidad de almacenamiento de energa en sus modos esta igualada.

5.4.2 Clculo mediante S.E.A. de dos vigas unidas a 90. Para realizar la prediccin de la respuesta en velocidades del sistema comentado anteriormente debemos escoger los modos de vibracin que van a entrar en juego. Como excitamos al sistema con un impulso coplanario con la estructura no se van a excitar los modos de torsin de las vigas. De esta manera escogemos dos subsistemas por cada viga: Subsistemas de modos longitudinales y subsistemas de modos transversales. Esto hace un total de cuatro subsistemas. Vamos a numerarlos para facilitar el clculo y la comprensin de las matrices que se van a montar: Subsistema 1 Modos longitudinales de la viga 1. Subsistema 2 Modos transversales de la viga 1. Subsistema 3 Modos longitudinales de la viga 2. Subsistema 4 Modos transversales de la viga 2. La matriz que debemos resolver es la siguiente:

=

=

=

=

=

44

33

22

11

344

4

1334224114

44333

4

1223113

44233222

4

1112

44133122111

4

1

,4

,3

,2

,1

2

2

2

2

////

////

////

////

fE

fE

fE

fE

ffffffff

ffffffff

ffffffff

ffffffff

P

P

P

P

jj

jj

jj

jj

in

in

in

in

Para sustituir los valores correspondientes debemos calcular varios parmetros: El clculo de las densidades modales de los cuatro subsistemas se reduce al de dos. Ya que las dos vigas son similares. De esta manera los dos espacios intermodales que hay que calcular son los de los modos longitudinales y transversales para una viga de 1m de longitud y 1 cm2 de seccin de acero. Las frmulas correspondientes son las siguientes:

312ff

Lcf LL ===

42 ffLcf BT ===

Donde:

- LB fkcc 2= Es la velocidad de las ondas de flexin en la barra. - k Es el radio de giro. - /EcL = Es la velocidad de las ondas longitudinales en la barra.

El resultado para estos dos tipos de espacios intermodales es el siguiente:

Otros parmetros a calcular son el Factor de Prdida por Acoplamiento o Coupling Loss Factor para cada par de subsistemas. Por fortuna disponemos de unos resultados analticos para vigas unidas en ngulo recto enunciados por Cremer [3]. Estos son los siguientes:

fLcg

4=

En esta frmula y representan los modos de vibracin longitudinal o transversal. (L) es la longitud de la viga, y gc es la velocidad del grupo de ondas. Esta velocidad es la siguiente dependiendo de si los modos son longitudinales o transversales:

BlesTransversag

LalesLongituding

cc

cc

2,

,

=

=

Por otro lado es el Coeficiente de Transmisin entre los subsistemas y . Este responde a las siguientes ecuaciones, en donde se a ha denotado el subndice (L) para un subsistema de modos longitudinales, y el subndice (T) para transversales:

269

26958

26912

2

2

2

2

2

2

++=

+++

==

+++

=

LL

LTTL

TT

Donde ahora: L

B

cc

=

Mediante estas frmulas podemos finalmente deducir los siguientes factores de perdida por acoplamiento:

31313

1132

2

141

44132

3

2232

2

42424

2242

2

2694

26958

2

26912

2

===++

=

====++

+=

===++

+=

ff

fLc

ff

ff

fLc

ff

fLc

LLL

BTL

BTT

Podemos representar los resultados para estos factores:

Se observa que la energa transmitida entre modos de vibracin transversal en dos vigas unidas a 90 es mayor que la energa transmitida entre modos transversales y longitudinales o entre estos dos ltimos. Los Coupling Loss Factor restantes son nulos ya que suponemos que no se produce transvase de energa entre los modos de flexin y longitudinales de una misma viga. De esta manera obtenemos:

0

0

434

334

212

112

==

==

ff

ff

Por otro lado, los parmetros ii hacen alusin al coeficiente de amortiguamiento =0.01. De esta manera sustituimos los siguientes parmetros:

01.044332211 ====

Por ltimo solo nos falta evaluar la potencia introducida en cada subsistema. En este caso el nico subsistema que es excitado mediante una fuente externa es el nmero 2, el de los modos transversales de la viga 1. Haciendo uso de la frmula ya conocida para la potencia introducida en esta clase de subsistemas llegamos al siguiente vector:

{ }

=

004

121

0

2

2

fMF

Pin

Donde M es la masa de la viga 1 y 2F =10000 N2. Ahora solo nos falta resolver el sistema, algo tan sencillo como invertir la matriz. Una vez realizado este paso convertimos las energas totales en velocidades medias al cuadrado mediante la siguiente frmula. Donde la masa siempre es la misma debido a que las dos vigas son similares.:

MEVVME iii / 2

i

2 ==

En las siguientes grficas vamos a mostrar los resultados obtenidos para los 4 subsistemas que componen el conjunto. Tambin mostraremos las respuestas previstas por Ansys para compararlos:

Se observa que la solucin proporcionada por el S.E.A. comienza a ser coherente a partir de los 1000 Hz. Esto de nuevo es debido a la baja densidad modal de este subsistema, ya que el S.E.A supone la existencia de una cierta cantidad de modos por debajo de los 1000 Hz cuando en realidad no existen. Proseguimos con el segundo subsistema:

En este caso vemos que los resultados son buenos a partir de un valor de aproximadamente 50 Hz. Adems la respuesta proporcionada por los elementos finitos flucta cada vez con menos intensidad sobre el valor predicho por el S.E.A. a medida que aumentamos la frecuencia.

Ahora representamos el tercer subsistema:

El resultado es prcticamente similar al del subsistema 1. Si representamos el ltimo subsistema obtenemos:

Se puede observar que en este subsistema el resultado es bueno al igual que en el subsistema 2. Las respuestas son adems sumamente parejas entre estos dos subsistemas, aunque no iguales.

Tambin podemos mostrar los resultados para los cuatro subsistemas para bandas de frecuencia de 1/3 de octava. Simplemente evaluamos las matrices que componen el sistema de ecuaciones para las frecuencias centrales de estas bandas. En el caso de los resultados facilitados por Ansys realizamos la integral para cada ancho de banda de la respuesta y as evaluamos la media. A continuacin mostramos el resultado obtenido: SUBSISTEMA 1:

SUBSISTEMA 2:

SUBSISTEMA 3:

SUBSISTEMA 4:

Se puede observar que trabajando en bandas de frecuencias los errores disminuyen como es lgico. Es a partir de los 1000 Hz cuando se logra una mayor confluencia de los resultados volviendo a reforzar la idea de que el S.E.A. trabaja mejor en altas frecuencias. Vamos a representar las soluciones conjuntas del S.E.A. para los cuatro subsistemas:

Observamos que los subsistemas de vibracin transversal y los de vibracin longitudinal estn muy parejos entre si. Para altas frecuencias, a partir de los 1000 Hz comienzan a superar en energa los subsistemas de la viga 2. Los subsistemas de vibracin transversal tienen ms energa que los de vibracin longitudinal. Esto es debido bsicamente a que poseen un mayor nmero de modos. A medida que va descendiendo la densidad de los modos transversales se van acercando cada vez ms las energas de los subsistemas. Podemos representar los valores de las Energas modales () para los cuatro subsistemas. Estos valores nos marcarn el sentido del transvase de la energa.

Se puede comprobar que la energa modal del subsistema 2 es siempre mayor que las dems. Esto es lgico, ya que este es el subsistema en el que se aplica el impulso. Es decir, el subsistema de modos transversales de la viga 1. Por lo tanto de este subsistema fluye energa al los dos subsistemas de la viga 2. Siendo estos ltimos subsistemas los que transfieren energa al subsistema de modos longitudinales de la viga 1. A continuacin exponemos una representacin donde se muestran los flujos de energa en este problema:

Hemos utilizado la analoga hidrulica que se dio a conocer en el captulo 4 para explicar los flujos de energas. En rojo podemos ver la energa suministrada al conjunto a travs del subsistema 2. Los conductos que unen los subsistemas tienen diferentes dimetros en funcin de la capacidad de transferir energa que se le otorga a la unin. Esa capacidad es la que modela el Coupling Loss Factor. Por ello el conducto que une dos subsistemas de modos transversales (2-4) es mayor que los que unen un subsistema de modos transversales con uno longitudinal (2-3 y 4-1), a su vez estos son mayores que el conducto que une dos subsistemas de modos longitudinales (3-1). Como ya sabemos, el sentido del transvase de la energa es el del subsistema con mayor energa modal () al subsistema con menor energa modal. Este parmetro hace el papel de las alturas de los depsitos.

Los anchos de los depsitos no se han dibujado al azar, esta medida se corresponde con la densidad modal. Por ello los depsitos 2 y 4 pertenecientes a los subsistemas de modos transversales tienen un ancho mayor (N2=N4) que los depsitos pertenecientes a los subsistemas de modos longitudinales (N1=N3). Donde (N) denota el nmero de modos para una banda de frecuencia concreta. Si realizamos un anlisis final de este ejemplo que hemos resuelto en comparacin con los subsistemas aislados diremos que el acoplamiento entre subsistemas favorece a la solucin dada por el S.E.A. Esto es debido a que aumenta la variabilidad del sistema. Existen ms picos en las amplitudes de las velocidades debidos al acoplamiento. Adems estas perturbaciones se ajustan a la prediccin dada por el S.E.A.