5 ESTADISTICA Y PROBABILIDAD 3ºESO 2010-2011 ESTADISTICA Y... · 196 ESTADÍSTICA COLEGIO VIZCAYA...

La estadística es una parte de las Matemáticas que proporciona unconjunto de métodos que se utilizan para recopilar, resumir, clasificar,analizar e interpretar el comportamiento de una serie de datos conrespecto a una característica materia de estudio o investigación.

Los comienzos de la estadística pueden ser hallados desde el principio dela civilización, ya que se han utilizado representaciones gráficas y otrossímbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas paracontar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000a.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilardatos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos ocambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de lapoblación y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en elsiglo XXXI a.C. y en China, también existían registros numéricos similarescon anterioridad al 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuyainformación se utilizaba hacia el año 594 a.C. para cobrar impuestos.

Durante los mil años siguientes a la caída del imperio Romano se realizaronmuy pocas operaciones Estadísticas. Para el año 1532 empezaron aregistrarse en Inglaterra las defunciones debido al temor que Enrique VIItenía por la peste. Durante un brote de peste que apareció a fines de ladécada de 1500, el gobierno inglés comenzó a publicar estadísticassemanales de los decesos.

En 1662, el capitán John Graunt usó documentosque abarcaban treinta años y efectuó prediccionessobre el número de personas que morirían devarias enfermedades y sobre las proporciones denacimientos de varones y mujeres que cabríaesperar. El trabajo de Graunt fue un esfuerzoinnovador y supuso las bases del análisisestadístico actual.

ESTADÍSTICACOLEGIO VIZCAYA 193

ESTADÍSTICA COLEGIO VIZCAYA194

PPARAARA EMPEZAREMPEZAR

Se quiere hacer un estudio sobre el número de libros que lee el alumnadode 3º de ESO del Colegio Vizcaya. Se han recogido los siguientes datos:

3 4 7 8 2 1 5 0 7 2 6 3 5 4 6 3 3 5 2 3 5 4 7 6 3 3 1 5 4 3 5 4 9 5 7 4

Ayudándote el siguiente esquema realiza un estudio estadístico completo:

1. Define el problema.

2. Identifica:

- La población:

- La variable estadística:

- La muestra:

3. Recoge los datos y clasifícalos en la siguiente tabla de frecuencias:

1.

Variablexi

Frecuenciaabsoluta

ni

Frecuenciarelativa hi =ni/N

Frecuencia acumulada

Ni

xi · ni Porcentaje%

Grados parael diagramade sectores

hi · 360º

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Suma = N = 1 100% 360º

COLEGIO VIZCAYA 195

4. Representa los datos gráficamente: (Diagrama de barras, polígono de frecuencias y diagrama de sectores)

5. Calcula las medidas de centralización:

- Media aritmética: x =

- Moda: Mo =

- Mediana: Me =

6. Saca conclusiones y toma decisiones.

- Estadística: ciencia que mediante la observación de hechos recoge, clasifica yanaliza los datos para después interpretar los resultados.- Población: conjunto sobre el que se realiza la observación.- Variable estadística: Es el sobre qué nos queremos informar.- Muestra: Es una serie de personas o elementos representativos de la población. Acada persona o elemento de la muestra se le llama individuo.- Modalidad: cada una de las facetas que puede presentar la variable.- Frecuencia absoluta, ni : número de veces que se repite una modalidad.- Frecuencia relativa, hi : cociente entre la frecuencia absoluta y el número total deindividuos (hi = ni/N).- Frecuencia absoluta acumulada: la frecuencia acumulada de un dato es la sumade su frecuencia absoluta y la de los datos menores que él.- Medidas de centralización:

- Media aritmética X : es el valor que correspondería a cada modalidad si fuerantodas iguales.- Mediana, Me: es el valor que se encuentra en el centro, una vez ordenadoslos datos.- Moda, Mo: Modalidad de mayor frecuencia.

ESTADÍSTICA


PPARAARA APRENDERAPRENDER

1. VARIABLES ESTADÍSTICAS DISCRETAS Y CONTINUAS.

En la actividad que acabas de hacer la variable de estudio (nº de libros) es el resultadode hacer un recuento, es decir, sólo puede tomar ciertos valores aislados (no tiene porejemplo sentido leer 2,15 libros). A este tipo de variables se les llama variables discretas.

Sin embargo, si preguntamos a esos mismos alumnos por su altura, las respuestaspueden ser muy variadas y pueden tomar cualquier valor en un intervalo: 153 cm,187 cm, 177cm… A este tipo de variables se les llama variables continuas.

Supón ahora que medimos a los compañeros de clase y que obtenemos las siguientes longitudes en cm:

150 189 192 195 176 156 167 168 187 178 177 200 183 175 184 165 164 179 173 165 154 160 163 186 169

Como puedes observar aparecen muchos valores diferentes y en este caso la tabla de frecuencias estaríaformada por muchos valores con frecuencia absoluta igual a 1. Una tabla así no resulta útil por lo que esconveniente agrupar los datos de la variable en intervalos.

La altura menor es 150 cm y la mayor 200 cm, por lo que diremos que el rango de la variable es de:

200 - 150 = 50

Como tenemos 25 datos, vamos a agrupar los datos en intervalos, cuya amplitud será de 50 : 5 = 10.

De esta manera la tabla de frecuencias para variables continuas se construye de la siguiente forma:

Donde la marca de clase xi, es el valor medio de los extremos de los intervalos de cada clase.

Por ejemplo para el primer intervalo:

25 5=

Variablexi

Marcade

clase xi

Frecuenciaabsoluta

ni



Ni


Grados parael diagramade sectores

hi · 360º

[150,160)

[160,170)

[170,180)

[180,190)

[190,200)

155

165

175

185

195

3

8

6

5

3

0,12

0,32

0,24

0,20

0,12

3

11

17

22

25

465

1320

1050

925

585

12%

32%

24%

20%

12%

43,2º

115,2º

86,4º

72º

43,2º

Suma = N = 25 1 4345 100% 360º

1150 160x 155

2+= =

COLEGIO VIZCAYA 197

2. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS.

Si representamos los datos de la tabla anterior mediante un diagrama de sectores y un polígono defrecuencias obtenemos:

Sin embargo como la estatura es una variable discreta, no seutiliza el diagrama de barras para representar los datos, si no quela representación gráfica se realiza mediante rectángulos adosadosen lo que se denomina histograma.

Histograma

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Estatura (en

Altura alumnos de 3º de ESO

12%

32%

24%

20%

12%

[150,160)

[160,170)[170,180)[180,190)

[190,200)

Polígono de frecuencias

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

155 165 175 185 195

Estatura (en cm)

PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

En la siguiente tabla se representa el número de calzado que utilizan 100 alumnos:

Nº de calzado Nº de alumnos

[35,37) 10[37,39) 26[39,41) 34[41,43) 22[43,45) 8

a) Construye la tabla de frecuencias completa.

b) Dibuja el histograma, el polígono de frecuencias y el diagrama de sectores.

Haz la tabla completa de frecuencias que corresponde a este gráfico.

2.

3.

0

10

20

30

40

50

60

X

ESTADÍSTICA



Las puntuaciones obtenidas por 60 alumnos en un test de 100 preguntas son las siguientes:

18 23 50 57 60 62 50 83 75 48 24 36 40 10 2673 67 80 22 42 65 37 43 51 62 90 89 20 49 6576 20 30 75 44 36 72 37 89 98 63 49 38 24 3160 52 47 73 80 25 96 58 72 36 34 12 26 35 85

Organiza los datos anteriores en intervalos adecuados para construir la tablade frecuencias y dibuja el histograma.

Se ha realizado un estudio relativo a los lugares y a la frecuencia con que se contagia la gripeentre personas. Se han obtenido los siguientes resultados:

Lugar de contagio Nº de personas

Familia 26Trabajo 19Otros 15

Construye la tabla de frecuencias y representa los datos en un diagrama de barras y de sectores.

Urtzi quiere hacer un estudio sobre el número de llamadas diarias que realiza suhijo por el móvil. Los datos recogidos cada día en un mes son los siguientes:

2 3 6 0 2 2 2 3 5 1 0 1 2 3 5 1 3 2 2 6 1 2 1 5 3 1 3 2 3 2

Realiza un recuento de datos y completa la tabla de frecuencias. Representa losdatos en un diagrama de barras.

4.

5.

6.


3. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN.

Las medidas de centralización indican alrededor de qué valor tienden a situarse la mayor parte de los datosy nos permiten resumir la información de la muestra.

Las medidas de centralización más importantes son: la media aritmética ( X ), la moda (Mo), a mediana (Me)y los cuarteles (Qi).

La media aritmética X :

La media aritmética nos da información sobre un elemento típico de la población y se calcula sumando losproductos de cada dato por su frecuencia absoluta y, dividiendo todo ello entre el número total de datos:

Si la variable es continua, xi, es la marca de clase.

La Moda (Mo):

La moda es el valor de mayor frecuencia absoluta. Si estamos trabajando con intervalos, hablaremos deintervalo modal y la moda será la marca de clase. Una distribución puede tener dos o más modas, por lo que la distribución se llamará bimodal, trimodal, yen general multimodal.

=

⋅=

∑n

i ii 1

x nX

NEl símbolo (sumatorio)es la letra griega sigmamayúscula que significasuma.

∑

COLEGIO VIZCAYA 199

La Mediana (Me):

La mediana de una distribución estadística es el valor que está en el centro al ordenar los datos, es decir,el que deja por encima y por debajo de él al 50 % de las observaciones.

Los cuarteles (Qi):

Los cuartIles son los valores que dividen los datos en 4 partes iguales, es decir, en cada tramo está el 25% de los datos recogidos en el estudio.

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3

Vamos a considerar el ejemplo planteado en el primer apartado de esta unidad (pág.4) sobre la altura de ciertos individuos y, cuya tabla de frecuencias era la siguiente:

Calcula las medidas de centralización.

a) La media aritmética ( X ):

b) La Moda (Mo): Mo = 165

c) La Mediana (Me):

d) Los cuarteles (Qi):

Ejemplo:Ejemplo:

VariableAltura

Marcade

clase xi

Frecuenciaabsoluta

ni



Ni


Grados hi · 360º

[150,160)

[160,170)

[170,180)

[180,190)

[190,200)

155

165

175

185

195

3

8

6

5

3

0,12

0,32

0,24

0,20

0,12

3

11

17

22

25

465

1320

1050

925

585

12%

32%

24%

20%

12%

43,2º

115,2º

86,4º

72º

43,2ºSuma = N = 25 1 4345 100% 360º

,

n

i ii 1

x n4345X 173 8 cm

N 25=

⋅= = =

∑

: ,

mirar en tabla

25 2 12 5 Me 175↑

= → =

1

mirar en

El 25 % del total de datos (25) = 6,25 Q 165↑

→ =

2

tabla

El 50 % del total de datos (25) = 12,5 Q Me 175↑

→ = =

3

mirar en tabla

El 75 % del total de datos (25) = 18,75 Q 185↑

→ =

mirar en tabla

ESTADÍSTICA



Dada la siguiente tabla en la que se expresa el tiempo que tardan unos escolares en llegar alcolegio, completa la tabla de frecuencias, dibuja el histograma y calcula las medidas decentralización.

Tiempo (min) Nº de alumnos

[5,20) 3[20,35) 15[35,50) 24[50,65) 12[65,80) 15[80,95) 6

Calcula las medidas de centralización para las actividades 2, 3, 4, 5 y 6.

7.

8.


2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

Las medidas de dispersión permiten conocer el grado de agrupamiento, es decir, lo dispersos o centradosque están los datos alrededor de las medidas de centralización.Las medidas de dispersión más importantes son: el rango (R), la varianza (V)y la desviación típica (S).

Rango o recorrido (R):

El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor máximo y mínimo, y nos indica cuántos valores recorre la variable. Se denota con la letra R.Cuanto menor es el valor del rango de un conjunto de datos, mayor es la centralización, y por lo tanto, la representatividad de las medidas de centralización es mayor.

Varianza (V) y desviación típica (S):

La varianza de un conjunto de datos, V(x) o , es la media aritmética de los cuadrados de las diferenciasentre cada dato y la media.

Cuanto mayor es la varianza, mayor es la dispersión de datos.

El inconveniente de la varianza es que no viene expresada en las mismas unidades que la media para poderla así compararla con ella ya que la varianza está expresada en unidades al cuadrado y la media en unidades lineales.

Para poder hacer esta comparación, se define la desviación típica, S(x) o que es la raíz cuadradapositiva de la varianza.

2σ

( )( )

n n2 2

i i i i2i 1 i 1

x x n x nV x x

N N= =

⋅ ⋅ ⋅= = −

∑ ∑

σ

COLEGIO VIZCAYA 201

Continuando con el ejemplo anterior:

El rango es: R = 200 - 150 = 50

Para calcular la varianza es necesario calcular las siguientes columnas en la tabla defrecuencias:

Y la desviación típica es:

Conclusión: la altura de los alumnos se distribuye alrededor de la media X = 173,8 cm conuna desviación típica de S(x) = 12’1, es decir, la altura media de los alumnos es de173,8 cm y la mayoría de los alumnos se encuentran entre 173’8 - 12’1 = 161’7 cm y173’8 + 12’1 = 185’9 cm.

Ejemplo:Ejemplo:


Se quiere estudiar el clima de una ciudad en verano y para ello se hanrecogido las temperaturas máximas durante el mes de agosto.

25 27 30 29 28 27 25 26 29 32 30 32 28 33 34 31 29 27 28 33 35 34 33 34 31 29 28 27 28 29 27

Realiza un estudio estadístico completo.

Calcula las medidas de dispersión para las actividades 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

9.

10.

xi ni xi2 xi2 · ni155165175185195

38653

2402527225306253422538025

72075217800183750171125114075

( ) ( ), , ,2758825V x 173 8 30353 30206 44 146 5625

= − = − =

2i ix n 758825⋅ =∑

( ) , ,S x 146 56 12 1= + =

ESTADÍSTICA


CURIOSIDADES MACURIOSIDADES MATEMÁTICASTEMÁTICAS

MENTIRAS ESTADÍSTICAS.

Hay una percepción general de que el conocimiento estadístico es a veces intencionado y frecuentementemal usado, encontrando formas diferentes de interpretar los datos según quién presenta el estudio. Un dichofamoso, al parecer de Benjamín Disraelí (primer ministro del Reino Unido en el siglo XIX), afirma que:"Existen tres tipos de mentiras: mentiras simples, mentiras horribles y mentiras estadísticas".

A la hora de presentar un estudio estadístico debemos de ser claros para que los resultados obtenidos no sepuedan malinterpretar, ya que la información se puede presentar de muchas formas de modo que, aunsiendo verdadera, puede inducir a error.

A continuación vamos a ver unos ejemplos de este tipo de engaños para que aprendas a detectarlos ypuedas hacer tus propias interpretaciones.

1. Observa las siguientes gráficas que representan los ingresos de una empresa durante cinco años:

En ambas gráficas están representados los mismos valores, sin embargo la escala del eje vertical hace queparezca que el aumento de las ventas sea diferente. ¿Qué gráfico utilizaríamos si somos la competencia yqueremos dar mala imagen de la empresa objeto de estudio?

2. Observa las siguientes gráficas que reflejan la venta de ordenadores de dos empresas diferentes en un año:

En los dos diagramas se quiere representar que la empresa A vende un millón de ordenadores al año,mientras que la empresa B vende 4 millones. Sin embargo, en el diagrama de la derecha parece que lasventas de la empresa B son 16 veces mayor en lugar de 4 por representar los datos en una figura con labase aumentada.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2004 2005 2006 2007 2008

Años

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2004 2005 2006 2007 2008

Años

Ventas en millones Ventas en millones

Empresa A Empresa B Empresa A Empresa B

COLEGIO VIZCAYA 203

1. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuáles continuas.

a) Número de mascotas.b) Talla de calzado.c) Perímetro craneal.d) Color de pelo.e) El dinero gastado a la semana por tus amigos.f) La temperatura media de una localidad.g) El sexo de los habitantes de una provincia.

2. Queremos saber el número de barras de pan que se comen por hogar entre los alumnos del ColegioVizcaya. Para ello se encuesta a los 5 primeros alumnos de cada una de las 22 clases de secundariay bachiller.

a) Cuál es la población objeto de estudio?b) ¿Quiénes constituyen la muestra?c) ¿Cuál es el tamaño de la muestra?d) ¿Cuál es la variable estadística?e) ¿De qué tipo es esa variable?

3. ¿Pueden ser la varianza o la desviación típica números negativos?

4. La nota media de una clase en una determinada materia ha sido 5:

a) ¿Significa esto que todos los alumnos están aprobados o cercanos al aprobado? ¿De qué depende?

b) Qué ocurre si la desviación típica es de 0,5? ¿Y si es de 3?

5. Contesta razonadamente si estas afirmaciones son verdaderas o no.

a) La mediana está en el centro de los datos.b) La media y la mediana representan un mismo parámetro estadístico.c) La mediana siempre es igual a alguno de los datos.d) Una distribución de datos puede tener más de una media aritmética.e) Una distribución de datos puede tener más de una moda.f) La media aritmética y la moda nunca coinciden.

6. Explica en qué casos es preferible representar los datos en un diagrama de barras y cuándo espreferible utilizar un histograma.

7. En un estudio realizado a 25 individuos, explica cuál debe ser:

a) La suma de las frecuencias absolutas.b) La suma de las frecuencias relativas.c) La suma de las frecuencias porcentuales.

8. Se ha preguntado a los 720 alumnos de un instituto si están deacuerdo con tener un solo recreo para reducir su jornada lectiva.Sus respuestas se han representado en el siguiente diagrama:

¿Cuántos alumnos están de acuerdo?

9. El número de horas diarias que trabajan con el ordenador 30 personas es:

3 4 0 5 5 3 4 5 0 2 2 5 3 2 0 1 2 2 1 2 0 3 1 2 1 1 2 1 4 3

Construye la tabla de frecuencias, dibuja el diagrama de barras y calcula las medidas decentralización y dispersión.

PPARAARA ENTRENARENTRENAR

SINO

ESTADÍSTICA

114º 216º


10. El siguiente diagrama de barras refleja las calificacionesobtenidas por 40 alumnos en un examen de Matemáticas.Construye la tabla estadística correspondiente y calcula todoslos parámetros estadísticos que conozcas.

11. Se quiere estudiar la temperatura máxima de las ciudades en los meses de febrero. Haz un estudiocompleto sabiendo que las temperaturas máximas que se registraron durante el último febrero en 34ciudades fueron:

13 11 15 15 4 15 10 8 4 9 15 13 14 11 15 9 14 10 11 12 11 17 10 11 11 18 7 10 8 11 10 9 16 14

12. Las estaturas (en cm) de los componentes de un equipo de fútbol y otro de baloncesto de unaciudad están recogidas en las siguientes tablas:

BALONCESTO FÚTBOL

Estatura(cm) Nº de jugadores Estatura(cm) Nº de jugadores

[160,165) 1 [160,165) 5[165,170) 2 [165,170) 2[170,175) 2 [170,175) 2[175,180) 3 [175,180) 1[180,185) 5 [180,185) 4[185,190) 4 [185,190) 3

Calcula la media y la desviación típica en cada caso y compara los resultados obtenidos para deduciren qué equipo hay mayor dispersión con respecto a las alturas de sus componentes.

13. Se quiere hacer un estudio para medir el nivel de inteligencia de los alumnos de secundaria en unaprovincia. Para ello se seleccionan al azar 100 estudiantes a los que se les pasa una prueba deinteligencia. Realiza un estudio estadístico completo si los datos que se han recogido son lossiguientes:

7 3 2 4 5 1 8 6 1 5 3 2 4 9 8 1 0 2 4 12 5 6 5 4 7 1 3 0 5 8 6 3 4 0 10 2 5 7 40 2 1 5 6 4 3 5 2 3 9 7 3 4 3 5 7 4 6 56 1 0 5 7 8 5 2 3 10 4 6 2 1 1 2 6 7 4 54 7 6 3 5 0 2 8 2 7 8 5 2 7 1 4 6 3 5 6

14. Una agencia de viajes ha realizado una encuesta a sus clientes sobre los lugaresque eligen para pasar sus vacaciones. Los resultados son los siguientes: playa, 68;ciudad, 18; montaña, 43; casa rurales, 36. ¿Qué parámetros de centralización sepueden calcular? Razona tu respuesta.

15. Las notas que han obtenido un grupo de alumnos de 3º de ESO en las asignaturas de Inglés yMatemáticas vienen dadas en las siguientes tablas de valores:

Nota en Inglés 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota en Mate 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de alumnos 0 0 2 3 10 6 5 1 2 1Nº de alumnos 4 3 4 3 5 3 2 1 3 2

Calcula las medias y desviaciones típicas correspondientes a cada una de las materias. ¿En qué materia hay mayor dispersión?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

calificación

nº

de a

lum

nos

COLEGIO VIZCAYA 205

16. Observa los siguientes gráficos y explica de forma razonada en cuál de ellos es mayor la dispersión desus datos y, por tanto, la desviación típica. Después obtén la tabla de frecuencias, calcula ladesviación típica de cada una y comprueba tu hipótesis.

17. Para hacer un estudio sobre el número de páginas que tienen los cuentosinfantiles se ha recogido una muestra de 40 ejemplares. Haz un estudio de losdatos agrupándolos en intervalos de amplitud 5. Los datos son los siguientes:

5 6 5 22 7 11 8 12 10 8 21 20 10 10 12 6 14 20 11 15 12 12 10 5 21 13 20 11 8 12 10 8 5 12 7 20 12 15 17 7

18. Calcula la varianza y la desviación típica en los siguientes datos:

a) Número de actividades extraescolares que han realizado 30 grupos de un colegio de ESO.

Nº de actividades 0 1 2 5 7

Nº de grupos 5 10 9 4 2

b) Edades de los 30 miembros de una asociación de ajedrez.

Edad (en años) [10,25) [25,40) [40,55) [55,70)

Nº de miembros 5 1 0 9 6

19. Un empresario quiere abrir una nueva clínica veterinaria en un edificio deoficinas y para ver si es posible que tenga mucha clientela de los trabajadoresde las oficinas ha preguntado a 28 personas por el número de animalesdomésticos que tienen en su casa. Haz un estudio estadístico completo conlos datos que ha recogido:

0 2 1 0 4 2 2 3 1 2 1 3 0 00 2 1 0 2 1 1 2 2 1 3 1 0 0

20. Los precios del alquiler mensual de la vivienda de una provincia se recogen en la siguiente tabla:

Precio (€) 240 270 300 330 360 390 420

Nº de viviendas 13 33 40 36 30 16 20

a) ¿Cuál es la media de los alquileres?b) Di cuál es el precio más común.c) Obtén la mediana y los cuartiles. ¿Qué significan?d) Calcula la varianza y la desviación típica. ¿Para qué sirven estos números?

21. El color de pelo de 30 empleados de una multinacional es: (M = moreno, R = rubio, P = pelirrojo)

M R P M M M M R R P P M M M M M M P R R R P M M M M R M M M

Recoge los datos en una tabla, dibuja el diagrama de sectores y calcula las medidas de centralización.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

1 2 3 4 5

ni

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5

ESTADÍSTICA


22. Las puntuaciones de dos equipos de un concurso sobre cultura musical están representadas en lossiguientes gráficos:

a) Predice qué equipo obtuvo la mejor media y en cuál están más dispersas las puntuaciones.b) Calcula la media y la desviación típica de cada equipo para confirmar las respuestas anteriores.

23. Se quiere hacer un estudio para saber la cantidad de kilos de fruta que seconsume a la semana por la gente que acude a un mercado. Haz un estudioestadístico completo si los datos recogidos son: (agrupa los datos enintervalos de amplitud 2)

1 3 2 5 4,5 8,5 8 6 4 4 5,5 4,5 5 6 7 2,5 8,5 6 5 8,5

5 4 4 3 5,5 4 5 9 7 6 8,5 6,5 3 8 1,5 3 5 4,5 8,5 5

5 6 6 7 2,5 6,5 1,5 2 9 5

24. Se quiere saber cuántas veces van al mes al cine los jóvenes de una localidad. Para ello se le hapreguntado a un grupo de jóvenes obteniéndose los siguientes resultados:

3 2 1 3 2 4 1 4 3 2 1 5 3 6 3 5 32 5 1 3 1 2 1 4 2 6 4 2 3 3 2 4 31 5 2 1 3 2 2 3 2 5 3 1 3 4 1 3

Haz un estudio estadístico completo.

25. Se ha preguntado a 20 personas por su peso en kilogramos y se ha construido el siguiente gráfico:

Haz una tabla de frecuencias con estos datos y calcula las medidas de centralización.

26. La oficina de Información y Turismo de una localidad ha hecho un estudio sobre sus establecimientoshoteleros según el número de plazas que poseen. Los datos obtenidos fueron:

a) ¿Cuántos hoteles tienen entre 400 y 600 plazas? ¿Qué porcentaje representan?

b) ¿Cuál es el porcentaje de establecimientos que tienen entre 100 y 500 plazas?

c) ¿Qué número de plazas representa el 25 % de los hoteles?

d) ¿Cuál es el número medio de plazas que poseen los hoteles de dicha localidad.

e) ¿Qué significa el número 37 de la segunda columna? ¿Se relaciona con alguna medida de centralización?

Equipo A

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

45 50 55 60 65 70 75 80

puntuación

Equipo B

0

1

2

3

4

5

6

45 50 55 60 65 70 75 80

puntuación

5%

30%

40%

15%

10%

[40,50)

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

Plazas que poseen Nº de hoteles

[0,100) 25[100,200) 37[200,300) 12[300,400) 10[400,500) 22[500,600) 21[600,700) 13[700,800) 5[800,900) 3[900,1000) 2

COLEGIO VIZCAYA 207

27. Se ha preguntado a una muestra de personas por su grado de satisfacción sobre los serviciospúblicos de su ciudad, obteniéndose los siguientes resultados:

Respuesta Nº de personas

Muy insatisfecho 15Insatisfecho 25Normal 28Satisfecho 20Muy satisfecho 12

Haz un estudio de estos datos.

28. Al hacer una encuesta a 100 familias para saber el número de hijos que tienen, se ha obtenido: 47familias tienen 1 hijo; 32 familias, 2 hijos; 16 familias, 3 hijos y 5 familias tienen 4 hijos. Construye latabla de frecuencias correspondiente y expresa los datos mediante un diagrama de barras y unpolígono de frecuencias.

29. Las estaturas (en cm) de 28 jóvenes son:

155 178 170 165 173 168 160 166 176 169 158 170 179 161 164 156 170 171 167 151 163 158 164 174 176 164 154 157

Forma la tabla de frecuencias, dibuja el histograma y calcula las medidas de centralización ydispersión. Interpreta conjuntamente la media y la desviación típica.

30. La evolución del consumo de televisión en el estado español desde 1990 viene representada en elsiguiente diagrama:

a) ¿El tiempo dedicado a ver la televisión ha aumentado en todos los años estudiados?b) ¿En qué año se vio más la televisión? ¿Y menos?

¿Cuál es la diferencia de minutos entre esos dos años?c) ¿En qué años se vieron 210 min de televisión por persona y día?

31. Se quiere abrir una óptica en cierta población, para lo cual se ha realizado una encuesta a 2000personas para conocer el tipo de gafas que usan. Los resultados fueron:

Tipo de gafas De cerca De lejos Graduales No usa

% de personas 22 … 42 25

a) Completa el dato que falta y añade las columnas de frecuencias que faltan.b) ¿Cuántas personas llevan gafas?c) Dibuja un diagrama de sectores.

32. Se ha preguntado a 150 alumnos de un instituto por el número de veces que se conectansemanalmente a Internet. Los datos obtenidos han sido los siguientes: el 18 %, ningún día; el 12 %, 1día; el 58 %, 2 días; el 8 %, 3 días, y el 4 %, todos los días. Calcula las medidas de centralización ydispersión. Interpreta la media con la desviación típica.

160

170

180

190

200

210

220

230

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 0 1 2

año

ESTADÍSTICA

min

.


33. Se quiere estudiar el aumento comparativo entre la población reclusa de hombres y mujeres, duranteel periodo comprendido entre julio de 2002 y junio de 2003.

a) Calcula la media de ambas distribuciones.

b) Halla el rango de las dos series de datos. ¿Sirve este dato para comparar ambas poblaciones? ¿Qué parámetro de dispersión consideras más adecuado?

c) Calcula la varianza. ¿En qué unidades está?

d) Halla la desviación típica. ¿En qué unidades esta?

34. El departamento de educación de una determinada población quiere saber cuántas asignaturassuspenden sus estudiantes al final de curso. Haz un estudio completo con los datos que han recogido.

6 0 1 2 0 0 1 4 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 2 5 3 0 1 0 3

35. Los pesos (en kg) de 24 personas son:68,5 34,2 47,5 39,2 47,3 79,2 46,5 58,3 62,5 58,7 80 63,458,6 50,2 60,5 70,8 30,5 42,7 59,4 39,9 48,6 56,8 72 60

Forma la tabla de frecuencias, dibuja el histograma y calcula las medidas de centralización ydispersión. Interpreta conjuntamente la media y la desviación típica.

36. Se ha estudiado el tiempo, en horas, que tarda un antibiótico en hacerefecto sobre un tipo de bacteria, obteniéndose los siguientesresultados. Calcula las medidas de centralización y dispersión parainterpretar los datos.

37. El porcentaje de usuarios de Internet en el mundo se distribuye según los datos de la tabla. Dibuja undiagrama de sectores.

Lugar % de internautas

Asia 31,7África 1,3Latinoamérica 5,4Oriente próximo 1,4Norteamérica 31,3Europa 28,9

38. Representa la evolución de la tasa de paro en España en un polígono de frecuencias, sabiendo quelos tantos por ciento de la población activa sin empleo fueron.

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Tasa de paro 14,5 13,6 12,5 11,6 11,9 10,9

39. En un colegio 40 de los alumnos de 3º de ESO han realizado una prueba de cálculo de mental y losresultados obtenidos son los siguientes.

146 158 140 147 136 148 152 144 138 164 150 132 144 128 120 149 157 168 126 138 176 163 200 154 165 146 173 142 147 135 153 140 135 161 145 135 142 150 156 145

Agrupa los datos en intervalos de amplitud 10 y haz un estudio completo.

Reclusos varones Reclusos mujeres

36419 313036292 313136270 308536816 312236983 316736926 314637292 321937802 325737969 330438209 328838708 331039138 3368

0

2

4

6

8

10

12

14

[4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24) [24,28) [28,32)

tiempo

n i

COLEGIO VIZCAYA 209

1. Clasifica las siguientes variables estadísticas en cuantitativas o cualitativas:

a) La altura de mis compañeros de clase.b) La última película que vi en el cine.c) El peso de los chicos de 3º de ESO.d) El color del pelo.

2. Se quiere hacer un estudio estadístico en la sección de pediatría de un hospital y se quieren estudiaruna serie de variables. Indica cuáles son discretas y cuáles continuas.

a) El peso de los recién nacidos.b) El número de recién nacidos.c) La talla de los niños.d) Número de madres que dan a luz.

3. ¿Por qué la mediana se llama así?

4. Los datos recogidos de una variable son:6, 5, 3, 2, 6, 8, 5, 4

a) ¿Cuál es la mediana?b) Si añadimos los valores 1 y 9, ¿se modifica el valor de la mediana? Razona tu respuesta.

5. ¿Cuál es la diferencia entre un diagrama de barras y un histograma?

6. ¿A qué es igual la altura de las barras y de los rectángulos en los diagramas de barras y en loshistogramas respectivamente?

7. Se han convocado unas oposiciones en las que hay 50 plazas y se han presentado 200 personas. Estosson los resultados:

Notas 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de opositores 6 25 34 42 50 27 13 3

¿Con qué nota se consigue una plaza?

8. El número de refrescos que se han consumido de una máquina expendedora enun instituto durante los últimos 40 días han sido:

5 7 8 12 8 5 12 7 8 15 15 7 8 12 8 5 7 12 8 12 15 8 7 8 12 5 7 8 5 12 15 7 7 8 15 7 12 8 5 8


9. Se ha preguntado a una muestra de personas sobre el funcionamiento dela biblioteca municipal, obteniéndose los siguientes resultados:

Respuesta Muy mal Mal Normal Bien Muy bien

Nº de personas 8 10 20 8 4

Realiza un estudio del servicio que da la biblioteca.

10. Las temperaturas máximas en una ciudad durante el mes de marzo han sido:

6 10 2 2 2 5 7 10 12 15 16 17 8 1 1 2 3 7 10 5 6 8 11 13 15 16 18 17 16 15

Agrupa los datos en intervalos de amplitud 5 y haz un estudio estadístico completo.

PPARAARA APRENDER MÁSAPRENDER MÁS

ESTADÍSTICA


11. Construye una tabla de frecuencias y calcula las medidas de centralización y dispersión del gasto mediomensual en teléfono móvil de los empleados de una cierta empresa.

Gasto (en €) [0,6) [6,12) [12,18) [18,24) [24,30)

Nº de empleados 6 18 24 15 17

12. El número de hermanos que tienen los alumnos de una clase de 3º de ESO son:

1 3 0 5 0 1 1 2 0 3 0 1 2 2 0 1 9 0 3 1 0 0 1 0 2 1 3 2 0 1


13. Tenemos dos estudios estadísticos representados por los siguientes gráficos:

a) Calcula la media en ambos. ¿Cómo son? ¿En cuál de los dos es más representativa?b) Halla la moda en ambos casos. ¿Qué observas? ¿Por qué ocurre esto?

14. En una clase de 25 alumnos 2 son rumanos, 5 marroquíes, 7 bolivianos, 3 ecuatorianos y 8 sonespañoles. Representa el diagrama de barras correspondiente, el polígono de frecuencias y eldiagrama de sectores.

15. Se ha estudiado el tipo de literatura que les gusta a los alumnos de una clasey se han recogido los siguientes datos:

Tipo de literatura Novela Aventuras Ciencia-Ficción Terror

Nº de personas 10 12 8 4

Representa los datos en un diagrama de sectores y calcula la moda. ¿Se puede calcular la media y lamediana?

16. El número de horas diarias de estudio de 30 alumnos es:

3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 2 0 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3

Calcula todas las medidas de centralización y dispersión.

17. Se ha preguntado a un grupo de jóvenes sobre el número de teléfonos móviles que hay en su casa.Representa los datos gráficamente y analiza los datos:

Nº de teléfonos 0 1 2 3 4 5

Nº de personas 1 5 10 22 23 19

18. Una agencia de viajes ha preguntado a 50 de sus clientes cuántas veces han viajado al extranjero.Agrupa los datos en intervalos apropiados y haz un estudio estadístico completo. Los datos son:

0 11 3 5 2 3 6 1 10 2 6 7 0 2 3 5 1 6 7 8 9 5 8 1 5 12 0 5 7 8 1 5 9 1 0 2 9 4 6 10 2 3 10 14 0 2 11 9 3 1

19. Los deportes que prefieren un grupo de estudiantes son: 20 prefieren baloncesto; 25, fútbol; 8, natación,y 10, tenis. ¿Qué parámetros de centralización se pueden calcular para esta distribución?

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6

ni

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6

ni

COLEGIO VIZCAYA 211

20. En un bloque de edificios el número de personas por hogar es:

2 1 3 4 6 4 5 2 6 3 1 2 3 4 1 65 3 3 4 5 2 6 3 7 10 12 8 9 6 3 1


21. Completa la siguiente tabla con el resto de frecuencias. Dibuja un diagrama de sectores.

Color de ojos Frecuencia absoluta

Verdes 2Azules 6Castaños 17

22. Estas son las notas sacadas en Hizkuntza por un grupo de alumnos:

2 3 4 5 4 6 7 5 8 5 5 10 7 5 6 6 3 4 4 6 6 4 9 9 5 5 7 9 8 5

Construye la tabla de frecuencias y calcula las medidas de centralización y dispersión. Interpreta los datos.

23. Representa mediante un diagrama de barras y un diagrama de sectores las edades de 50 alumnos deun instituto:

Edad 13 14 15 16 17

Nº de alumnos 5 11 9 20 5

24. Las superficies en m2 de las viviendas de un grupo de 36 familias se han recogido a continuación:

59,4 60,6 55,3 62,4 61,9 66,8 72,1 80,5 90,4 65,8 58,9 68,6 74,5 71,592,8 60,6 75,4 85,7 89,6 74,3 61,2 85,4 63,5 66,8 84,3 94,4 71,2 65,762,4 64,3 79,8 81,3 65,9 73,4 78,6 81,4

Distribuye los datos en intervalos de amplitud 5 y haz un estudio de ellos.

25. Se ha medido la cantidad de azúcar en 40 productos de bollería y se han representado en el siguientegráfico:

Representa los datos en una tabla y calcula las medidas de centralización. Interpreta los datos.

26. El peso de 18 compañeros de clase son: 57, 65'2, 70'3, 53'4, 55'7, 67'4, 85'2, 60'9, 64'8, 77'9, 78'2, 58'4,59'2, 68'3, 75, 74'7, 81'5, 82'9. Haz un estudio de estos datos tomando intervalos de forma adecuada.

27. Un equipo de baloncesto quiere calcular la media de los puntos que ha obtenido en una temporada con29 partidos jugados. Los datos son los siguientes:

Puntos [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)

Nº de partidos 14 2 3 10

a) ¿Cuál es la media? ¿Es representativa?b) ¿Cuál es la moda? ¿Es más o menos representativa que la media?c) Calcula las medidas de dispersión. Da conclusiones.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

[0'5,1'5) [1'5,2'5) [2'5,3'5) [3'5,4'5) [4'5,5'5)

Azúcar (mg)

ESTADÍSTICA

Nºd

ebo

llos


28. La talla de calzado de los 20 alumnos de una clase es:

43 42 41 39 41 37 40 43 44 40 39 39 38 41 40 39 38 39 39 40

Representa los datos gráficamente.

29. Construye la tabla de frecuencias completa, calcula las medidas de centralización correspondientes ydibuja un diagrama de sectores.

País Extensión en miles de km2

Italia 301Portugal 92Francia 544España 506Alemania 357

30. El gasto en la cafetería de un universidad que hacen 30 alumnos, en euros, al día han sido:

3,30 2,10 1'34 3,25 2,25 4,15 0,50 2,75 3,27 4,23 5,32 2,48 3,45 6,90 5,76 3,98 6,70 1,23 0,78 6,20 2,34 4 2,10 3,30 1,20 4,80 4,50 6,70 3,20 1,90

Haz un estudio considerando intervalos de amplitud 1,5.

31. Dibuja un polígono de frecuencias que represente la evolución de donantes de riñón de un cierto país.

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Nº de donaciones 279 281 319 348 335 354 340 312

32. En una encuesta hecha a 20 personas en una clínica dental sobre las veces que se lavan los dientes aldía, las respuestas obtenidas fueron:

2 3 3 1 2 3 0 2 3 3 3 1 1 3 2 2 1 4 2 3

Estudia los datos anteriores.

33. El tiempo de conexiones a Internet de una cierta empresa se han recogido en la siguiente tabla:

Tiempo (en min) [0,15) [15,30) [30,45) [45,60) [60,75) [75,90)

Nº de conexiones 18 42 78 100 155 200

a) ¿Cuántas veces ha habido una conexión a Internet con una duración menor a 60minutos?

b) ¿Cuántas veces la duración ha sido entre 15 minutos y 30 minutos?c) ¿Cuántas veces la duración ha sido mayor a media hora?d) ¿Cuál es el porcentaje de conexiones con duración entre 75 y 90 minutos?e) Haz un estudio completo de los datos.

34. Haz un estudio estadístico completo de los siguientes resultados en Matemáticas por 40 alumnostomando intervalos de amplitud 2.

5 7 6 5 4 2 5 3 7 5 5 4 8 5 9 1 6 9 6 1 2 5 7 3 0 9 8 6 5 6 6 7 4 8 4 5 6 7 8 4

COLEGIO VIZCAYA COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 213

Los juegos de azar como los dados, la ruleta, las cartas..., parecen tenerpoca relación con el mundo de las matemáticas, pero ya desde el siglo XVIalgunos matemáticos, como Tartaglia o Cardano, se interesaron por lasleyes matemáticas bajo las que se regían este tipo de juegos, con el fin deconocer de forma científica las probabilidades de ganar. Pero fue en el sigloXV cuando matemáticos como Pascal, Fermat y Laplace establecieron lasleyes de la probabilidad de forma científica.

Una herramienta fundamental en el cálculode probabilidades es el análisiscombinatorio, que estudia las diferentesformas en las que se pueden agrupardiversos objetos, siguiendo determinadascondiciones.

El estudio de la combinatoria pone anuestra disposición unas técnicas derecuento que nos van a facilitar los cálculoscuando las agrupaciones sean muynumerosas. Laplace.

COLEGIO VIZCAYACOMBINATORIA Y PROBABILIDAD214

PPARAARA EMPEZAREMPEZAR

Ander ha visto en el parque un árbol que tiene 20 ramas; de cada una de ellas salen 15 brotes;y de cada brote salen 12 hojas. ¿Cuántas hojas tiene el árbol?

Iraide ha quedado con una amiga para hacer footing. No sabe qué ponerse. Mira en su armarioy observa que tiene cinco camisetas, tres pantalones cortos y dos pares de deportivas. ¿De cuántas formas distintas se podrá vestir?

Al lanzar dos veces un dado, ¿cuántos resultados distintos se pueden obtener?

1.

2.

3.


1. FACTORIAL DE UN NÚMERO.

Se llama factorial de un número natural n al resultado de multiplicar todos losnúmeros naturales del 1 al n.

El factorial de un número se representa por n! y se lee factorial de n o n factorial.

Por convenio se define 1! = 1 y 0! = 1.

2! = 2 · 1 = 23! = 3 · 2 · 1 = 64! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Calcula tu los siguientes números factoriales:

5! =6! =7! =

Ejemplo:Ejemplo:



Observa el ejemplo y simplifica las siguientes expresiones:

a) c)

b) d)

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) b)

4.

5.


2. VARIACIONES.

Variaciones sin repetición.

¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con las cifras 1, 2 y 3 sin que serepita ninguna?

Observa que para la primera cifra hay 3 posibilidades y para la segunda cifra hay 2posibilidades. Luego en total:

Se llaman variaciones de m elementos tomados de n en n (n m) a las distintasagrupaciones formadas por n elementos, tales que:

- Los n elementos que forman el grupo son distintos. (No hay repeticiones)- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en el

que están colocados.

El número de variaciones de m elementos tomados de n en n se denota Vm,n y secalcula:

5! 5 4 3!3!

⋅ ⋅=3!

5 4 20

15!13!2!

= ⋅ =

=

10!7!3!

5!4!3!2!6!

=

=

( )x! 110 x 2 != − ( ) ( )12 x! 5 x 1 ! x 2 !⋅ + ⋅ + = +

( )3 2 1 3! 3!Nº de formas 3 2

1 1! 3 2 !⋅ ⋅= ⋅ = = =

−

( )m,nm!V =

m - n !

Doce equipos de baloncesto participan en un campeonato escolar. ¿De cuántasmaneras podrán quedar colocados los tres equipos clasificados en la final?

- 3 equipos forman cada grupo. No hay repeticiones.- Importa el orden en la clasificación.

Entonces, hay formas.

Ejemplo:Ejemplo:

( )12,312! 12! 12 11 10 9!V 12 11 10 1320

12 - 3 ! 9! 9!⋅ ⋅ ⋅= = = = ⋅ ⋅ =

≤


Variaciones con repetición.

¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las 9 cifras significativas del sistema decimal?

Observa que para la primera cifra hay 9 posibilidades, para la segunda 9 y para la tercera otras 9. Entonces:

Nº de formas = 9·9·9 = 93 = 729

¿Y si hubiesen sido números de 4 cifras? ¿Y de 5? ¿Y de n cifras?

Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (n m) alas distintas agrupaciones formadas por n elementos, tales que:

- Los elementos que forman el grupo pueden estar repetidos.- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en el

que están colocados.

El número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n sedenota VRm,n y se calcula:

VRm,n = mn

Con los 10 primeros dígitos se quiere confeccionar números de teléfono de 7 cifras.¿Cuántos números se pueden obtener?

- 7 dígitos forman cada grupo. Hay repeticiones.- Importa el orden.

Entonces, hay VR10,7 = 107 = 10.000.000 números de teléfono posibles.

Ejemplo:Ejemplo:

≤

A las variaciones en las que se toman todos los elementos (n = m), se les suele llamarPermutaciones y entonces podemos utilizar la siguiente expresión para su cálculo:

Pm = m!

Además, si en una permutación el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces,el tercero c veces... (a + b + c + ... = m), la permutación será con repetición y se calcularáde la siguiente forma:

Observaciones:Observaciones:

= =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

a,b,c mm

a b c

P m!PP P P a!b!c!

Miren tiene 5 fotos que quiere colocar en un álbum. ¿De cuántas maneras puedecolocar las 5 fotos?

- En cualquiera de las agrupaciones están las 5 fotos y no hay repeticiones.- Importa el orden.

Entonces, hay P5 = 5! = 120 maneras de colocar las fotos.

Visto de otra forma, hay maneras.

Ejemplo:Ejemplo:

( )5,55! 5! 120V 120

5 - 5 ! 0! 1= = = =


¿De cuántas maneras podemos colocar en línea 9 bolas de las cuales 4 son blancas,3 amarillas y 2 azules?

- Las bolas blancas se repiten 4 veces, las amarillas 3 y las azules 2. (4 + 3 + 2 = 9)- Importa el orden.

Entonces hay maneras.

Ejemplo:Ejemplo:

4,3,2 99

4 3 2

P 9!P 1260P P P 4!3!2!

= = =⋅ ⋅


Calcula el valor de:

a) V9,4 = c) V12,2 =

b) V11,3 = d) V20,3 =

Comprueba las siguientes igualdades:

a) V8,5 - V8,4 = 15 · V8,3 b) V10,8 - V9,7 = 81 · V8,6

Queremos poner una clave a una caja fuerte con las letras vocales. ¿Cuántasclaves distintas se pueden formar si cada una consta de 4 letras y no serepite ninguna de ellas?

¿Cuántas matrículas se pueden hacer con 4 cifras seguidas de tres letras distintas?

El número de variaciones de n elementos, tomados de dos en dos, es 42. Calcula el número deelementos.

¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se formarán con las cinco primeras cifrassignificativas?

En una sesión numerada de un cine quedan cuatro butacas libres. ¿De cuántas formas puedenocuparlas tres personas?

6.

7.

8.

10.

9.

11.

12.


Calcula:

a) P74,3 = b) P1412,2 = c) P93,4,2 =

¿Qué vale x en la expresión P62,3,x ?

En una competición de lanzamiento de peso participan 12 atletas. ¿De cuántas maneras puedenorganizarse para realizar el lanzamiento?

En una exposición de coches se quiere poner en fila dos turismos, tres monovolúmenes ycuatro deportivos. ¿De cuántas formas podemos distribuir los coches en la exposición?

En una guardería tienen que dar de comer a 5 niños y 4 niñas. ¿De cuántas formas los puedensentar en 9 sillas distintas?

¿Cuántos son los números naturales que pueden escribirse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 sin quese repita ninguna? ¿Cuántos terminan en 5?

¿Cuántos números distintos se pueden escribir con los dígitos de cada apartado?

a) 1, 2, 2, 3, 3 b) 2, 2, 5, 5, 5 c) 3, 3, 3, 4, 4, 4

¿Cuántas permutaciones diferentes se pueden formar con las letras de la palabra VIVIR? ¿Y con las de la palabra ARMADURA?

¿Cuántas letras de seis dígitos se pueden formar en el alfabeto Morse si todas tienen que estarformadas por cuatro rayas y dos puntos?

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.



3. COMBINACIONES.

Combinaciones sin repetición.

Amaia, Beatriz, Carlos y Diego son cuatro amigos y tienen que elegir entre ellos un grupo de dos personaspara ir a una competición de tenis. ¿Cuántos grupos distintos de dos personas pueden formar?Contesta a las siguientes preguntas que te guiarán en la resolución del problema:

a) ¿Puede estar la misma persona en varias agrupaciones?

b) ¿Importa el orden dentro de cada grupo?

c) ¿Cuántas posibilidades habría si importase el orden?

d) ¿Cuántas permutaciones de 2 elementos sin repetición se pueden formar con 2 personas?

e) Volviendo a nuestro problema, en cada una de las agrupaciones que podemos tener no importa el orden (es lo mismo que un grupo lo formen Amaia y Carlos que Carlos y Amaia), por lo que sitenemos en cuenta todas las agrupaciones con repetición hay varias que se repiten. Ayúdate de las respuestas que has dado en los apartados c) y d) para resolver el problema inicial.

Se llaman combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n(n m) a las distintas agrupaciones formadas por n elementos, tales que:

- En cada grupo hay n elementos distintos.- Dos grupos son diferentes si lo son en algún elemento pero no en el orden.

(No importa el orden)

El número de combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n serepresenta por Cm,n y se calcula:

Al número que se obtiene al realizar la operación anterior se le llama número combi-

natorio de índice m y orden n y se denota con el símbolo que se lee m sobre n:

¿Cuántos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los 30 alumnos de una clase?

- En cada grupo hay 5 alumnos distintos.- Un grupo se diferencia de otro en los alumnos, no en el orden.

Entonces, hay posibles grupos.

Ejemplo:Ejemplo:

≤

( ) ( )m,n

m,nn

V m! m!C : n!P m - n ! n! m - n !

= = =

mn

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

30,5

30 30!C 142.5065 5!25!

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

m,nm m!Cn n! m - n !



Comprueba las siguientes igualdades:

a) C5,2 = C5,3 c) C7,4 = C7,3 e) C9,6 = C9,3

b) C10,6 = C10,4 d) C8,2 = C8,6 f)

Halla el valor de:

a) c) e)

b) d) f)

En una bolsa hay 12 bolas numeradas del 1 al 12. ¿De cuántas formas distintas se pueden sacar5 de esas bolas?

Una compañía de autobuses dispone de un total de 20 conductores. Si la flotaes de 15 autobuses, ¿de cuántas maneras pueden repartirse los conductorespara realizar los turnos?

¿Cuántos grupos de dos, de tres y de cuatro personas es posible formar con 9 personas?

Como respuesta a un anuncio de trabajo se presentan 12 personas para cubrir tres plazas deadministrativo. ¿Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden formar?

En cada programa de radio de una emisora intervienen 4 locutores. Si la cadena de radiodispone de 20 locutores, ¿de cuántas formas distintas se puede presentar un programa?

A una reunión acuden 30 personas. Se decide construir comisiones de seis personas paraestudiar un cierto plan. ¿Cuántas comisiones diferentes se pueden formar?

22.

23.

24.

11 114 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

32

63

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

70

74

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

93

86

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

25.

26.

27.

28.

29.



4. PAUTAS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE COMBINATORIA.

A la hora de resolver un problema de combinatoria lo más importante es saber si se trata de una variación(permutación) o de una combinación y si los elementos se pueden repetir o no. Para ello es conveniente quecuando te dispongas a resolver un problema te hagas las siguientes preguntas y consultes el cuadro resu-men que te proponemos.

1) ¿Se agrupan todos los elementos?2) ¿Importa el orden en cada agrupación?3) ¿Pueden repetirse los elementos en un grupo?

Agrupaciones ¿Puedenrepetirse?

¿Importael orden?

¿Se agrupantodos los

elementos?

Fórmula

Variaciones(permutaciones)

NO

SI

NO

SI

SINO

SI

Combinaciones NO NO NO

( )=m,n

m!Vm - n !

=mP m!

nm,nVR = m

=⋅ ⋅ ⋅

a,b,cm

m!Pa!b!c!

( )= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

m,nm m!Cn n! m - n !


Una bandera de un país está formada por tres franjas horizontales dedistinto color. ¿Cuántas banderas distintas se podrán formar con los sietecolores del arco iris?

Un jugador de quinielas tiene la corazonada de que en la próxima jornada 9 equipos ganarán encasa, 3 empatarán y 2 perderán. ¿Cuántas quinielas debe rellenar para asegurarse 14 aciertos?

Una competición de fútbol se compone de 20 equipos. ¿De cuántas formasse pueden clasificar al final del campeonato?

¿Cuántas jugadas diferentes se pueden obtener si se sacan 8 cartas de una baraja de 40 cartas?

30.

31.

32.

33.



5. TRIÁNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA.

Hemos ordenado los números combinatorios en filas de arriba a abajo según su índice, y de izquierda aderecha, según su orden. De esta manera hemos obtenido un triángulo que se conoce como triángulo dePascal o de Tartaglia.

Escribe otro triángulo a la derecha del anterior en el que aparezcan los resultados de los númeroscombinatorios. ¿Hay alguna regla que te permita averiguar el resultado de las siguientes filas sin usar elconcepto de número factorial?

6. BINOMIO DE NEWTON.

En muchas ocasiones a la hora de resolver problemas de matemáticas te has encontrado y has utilizadofrecuentemente las igualdades notables. Ahora vamos a recordar la que nos permite calcular el cuadrado deun binomio.

Si multiplicamos la expresión anterior por (a + b), obtenemos el desarrollo del cubo de un binomio:

y si volvemos a multiplicar la expresión anterior por (a + b), obtenemos la de la cuarta potencia:

En resumen:

Observa, por ejemplo, el desarrollo de :- En su desarrollo aparecen 5 términos.- Los coeficientes coinciden con la fila 5 del triángulo de Pascal.- Los exponentes de a van disminuyendo de 4 a 0.- Los exponentes de b van aumentando de 0 a 4.- En cada término la suma de los exponentes de a y b es 4.

0

01 1

0 1

2 2 2

0 1 23 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4..............................

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

........

( )2 2 2a b a 2ab b+ = + +

( )3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b+ = + + +

( )4 4 3 2 2 3 4a b a 4a b 6a b 4ab b+ = + + + +

( )( )( )

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

a b a 2ab b

a b a 3a b 3ab b

a b a 4a b 6a b 4ab b

+ = + +

+ = + + +

+ = + + + +

( )4a b+

La expresión que nos da la potencia n-ésima de un binomio cualquiera es:

A esta expresión se la conoce como Binomio de Newton.

( ) ... ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n n 0 n-1 1 n-2 2 1 n-1 0 nn n n n na b a b a b a b a b a b

0 1 2 n- 1 n

Pascal.



Desarrolla las potencias de los siguientes binomios:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

34.

( )

( )

( )

( )

( )( )

4

6

8

4

52

7

3 x

y 1

2x y

x 3y

a b

2a 3b

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

PPARAARA RECORDARRECORDAR

7. PROBABILIDAD.

Experimento aleatorio. Espacio muestral y suceso.

Cuando lanzamos un dado al aire, es imposible saber que número vamos a sacar antes de que caiga,cuando esto ocurre decimos que el experimento de lanzar un dado al aire y ver el resultado que se obtienees un experimento que depende del azar y por lo tanto se trata de un experimento aleatorio. Lo que sí sabemos es el conjunto de todos los resultados posibles que podemos obtener: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Cuando realizamos el experimento de lanzar un dado podemos pensar en:

- A = {Sacar un número par} = {2, 4, 6}- B = {Sacar un número impar} = {1, 3, 5}- C= {Sacar un múltiplo de 3} = {3, 6}- D= {Sacar un 5} = {5}- F = {Sacar un divisor de 4} = {1, 2, 4}- G= {Sacar un número mayor que 6} = { }- H= {Sacar un número menor que 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A cada uno de los subconjuntos de E se les llama sucesos o sucesos aleatorios.

Si pensamos en los sucesos A y B, son sucesos contrarios y además incompatibles, ya que no podemosobtener un número que sea par e impar a la vez. Además son equiprobables ya que tengo las mismasposibilidades de sacar un número par que impar.

Si pensamos ahora en los sucesos B y C, sí serían sucesos compatibles ya que pueden suceder a la vez sisacamos un 3.

El suceso H, es un suceso seguro, es seguro que ocurra, mientras que el suceso G es imposible queocurra.

Experimento aleatorio: es aquella situación o acontecimiento en cuya realización influye elazar y por lo tanto no se puede predecir el resultado que se va a obtener al realizarlo.

Espacio muestral: es el conjunto formado por todos los resultados posibles en unexperimento aleatorio. Se designa con la letra E.

∅

Sucesos: son los subconjuntos del espacio muestral.


Ley de Laplace.

Tipos de sucesos:

- Suceso imposible: el que nunca se verifica.- Suceso seguro: el que siempre se verifica.- Sucesos incompatibles: los que no se pueden verificar a la vez.- Sucesos compatibles: los que se pueden verificar a la vez.- Sucesos contrarios: si se verifica un suceso el otro no.- Sucesos equiprobables: los que tienen la misma posibilidad (probabilidad) de ocurrir.

Ley de Laplace: si todos los sucesos de un experimento son equiprobables:

- La probabilidad de un suceso es un número que está entre 0 y 1.- Si la probabilidad es 0, el suceso es imposible.- Si la probabilidad es 1, el suceso es seguro.- Cuanto más cerca esté la probabilidad de 1, más probable será el suceso.- Cuanto más cerca esté la probabilidad de 0, menos probable será el suceso.

= Nº de casos favorables al sucesoProbabilidad de un suceso Nº total de casos posibles

Consideremos el experimento aleatorio de lanzar un dado:

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) Escribe los siguientes sucesos.

- A = {Sacar un número impar} = {1, 3, 5}- B = {Sacar un 2} = {2}- C = {Sacar un múkltiplo de 3} = {3, 6}- D = {Sacar un 7} = { }- F = {Sacar un número de una cifra} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

c) Calcula la probabilidad de los sucesos anteriores.

-

-

-

-

-

Ejemplo:Ejemplo:

3P(A) 0'561P(B) 0'1662P(C) 0'360P(D) 066P(F) 16

= =

= =

= =

= =

= =

)

)

∅



Señala los fenómenos aleatorios.

a) El lanzamiento de un dado.b) La hora de salida del Sol.c) La duración de una enfermedad.d) La Loteria Primitiva.e) El que dentro de 30 días llueva.f) El que una piedra lanzada hacia arriba vuelva a caer.

Se lanzan al aire dos monedas. ¿Cuál es el espacio muestral que se obtiene?

Indica si los sucesos siguientes son compatibles o incompatibles cuando se extrae una cartade la baraja española.

a) Que sea un cinco y una figura.b) Que sea oros y una figura.c) Que sea impar y una figura.d) Que sea par y no sea una figura.

Se lanzan al aire dos monedas. ¿Cómo son los siguientes sucesos?

a) “Obtener sólo una cara” y “obtener sólo una cruz”.b) “No obtener cara” y “no obtener cruz”.c) “Obtener dos caras” y “no obtener dos caras”.

En una bolsa hay 30 bolas numeradas del 1 al 30. ¿Son compatibles los sucesos siguientes?

a) “Múltiplo de 5” y “múltiplo de 4”.b) “Múltiplo de 3” y “múltiplo de 7”.c) “Múltiplo de 5” y “múltiplo de 7”.d) “Múltiplo de 5” y “múltiplo de 6”.

Cita ejemplos de sucesos compatibles y de sucesos incompatibles utilizando:

a) Dos monedas. b) Tres monedas. c) Dos dados.

¿Cuál es la probabilidad de extraer el tres de copas en una baraja española?

Si elegimos al azar una ficha de dominó, ¿cuál es la probabilidad de que sea el 6 doble?

Extraemos una carta de una baraja española de 40 naipes. Halla la probabilidad de:

a) Que sea bastos. b) Que no sea ni as ni figura.

Escribimos cada una de las letras de la palabra PREMIO en un papel diferente y las ponemos enuna bolsa. Extraemos una letra al azar:

a) Describe todos los sucesos elementales de este experimento aleatorio.b) ¿Tienen todos los sucesos la misma probabilidad de ocurrir?c) Describe el suceso “obtener vocal”, y calcula su probabilidad.d) Si la palabra fuera SUERTE, ¿cómo responderías a los apartados anteriores?

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.


Los alumnos de una clase se distribuyen del siguiente modo:

Escogemos al azar a una persona de esa clase. Calcula la probabilidad de que:

a) Sea chica. b) Tenga gafas. c) Sea chica con gafas.

Halla la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire, no salga ninguna cara. Y de quesalgan dos cruces.

Asigna probabilidades a estos sucesos que se obtienen de una baraja de 40 cartas.

a) Salir un as.

b) Salir un rey.

c) Salir una sota o un caballo.

d) Salir un número inferior a 5.

e) Salir una carta que no sea espadas.

f) Salir un número mayor que 7.

g) Salir una carta que sea oros.

En una urna tenemos numeradas cuatro bolas negras y dos rojas. Si las extraemos de dos endos, ¿cuál es el espacio muestral del experimento? ¿Y si las extrajésemos de tres en tres?

¿Cómo son los sucesos “tirar un dado y sacar un 3” y “tirar un dado y sacar un número par?

En el lanzamiento de una moneda y un dado, calcula la probabilidad de:

a) Salir cara y par.b) Salir cruz y múltiplo de tres.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

Chicas ChicosCon gafas 3 6Sin gafas 12 10



8. LA COMBINATORIA Y EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES.

A continuación te proponemos una serie de problemas de cálculo de probabilidades en los que te puederesultar necesario el calculo de variaciones o combinaciones.

Problema 1: En una clase hay 22 chicos y 14 chicas y todos ellos participan en un sorteo de trespremios. Metemos los nombres de todos ellos en una bolsa y sacamos, simultáneamente, trespapeletas. Calcula la probabilidad de:

a) Que las tres sean chicas.b) Que los tres sean chicos.

Problema 2: Si lanzamos al aire una moneda 4 veces de manera consecutiva, ¿cuál es la probabili-dad de que salgan al menos dos caras? ¿Y tres cruces?

Problema 3: Se extraen cuatro cartas a la vez de una baraja de 40 cartas. Calcula las probabilidadesde los siguientes sucesos:

a) Que sean las cuatro del mismo palo.b) Que al menos salga un as.c) Que ninguna sea oros.


CURIOSIDADES MACURIOSIDADES MATEMÁTICASTEMÁTICAS

EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES Y LOS JUEGOS DE AZAR.

En la actualidad, la teoria de la probabilidad es una herramienta fundamental para la resolución denumerosas situaciones relacionadas con las ciencias de la naturaleza, las ciencias sociales o las nuevastecnologías, pero también con los juegos de azar. Antes de participar en cualquiera de estos juegos esconveniente saber cuál es la probabilidad de obtener un resultado u otro.

Cuando jugamos a la Primitiva o a la Loteria pensamos que es posible que nos toque el premio, pero enrealidad es muy poco probable, ya que por ejemplo si jugamos una apuesta a la Primitiva tenemos unaposibilidad entre casi 14 millones de que nos toque.

Pensemos ahora en otro juego que te resultará conocido. En ocasiones habrásvisto en el cine o la televisión un juego de azar que consiste en tirar dos dados ala vez y apostar por el número que saldrá sumando la cantidad obtenida en ambosdados. Y quizás también recuerdes a que número apuestan siempre los jugadores,¿lo recuerdas?. En efecto, el número es el 7, ¿pero por qué?

Fíjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas que puedes obtener allanzar dos dados y en la de la derecha el número de posibilidades que hay de obtener cada una de esassumas. Completa la columna central con las diferentes formas de obtener cada una de las sumas.

Ayudémonos de un diagrama de barras para visualizar mejor los datos obtenidos.

Como puedes ver, la probabilidad de ganar si apostamos al 7 es mayor que si apostamos a cualquier otronúmero.

Suma Maneras de obenerlas Total2 1 + 1 13 1 + 2 / 2 + 1 24 35 46 57 68 59 4

10 311 212 1

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Suma

Tota

l

COMBINATORIA Y PROBABILIDADCOLEGIO VIZCAYA 229

1. ¿Cuántas letras de 5 signos se pueden formar en el alfabeto Morse con 3 rayas y 2 puntos?

2. ¿De cuántas maneras pueden combinarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

3. En un campeonato de fútbol participan 24 equipos. ¿De cuántas maneras sepueden ocupar los tres primeros puestos?

4. ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabra PELUCA?

5. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 8 personas en un banco?

6. Un jugador de ajedrez trata de ordenar en fila, de todas las formas posibles, 3 peones blancos y 2negros. ¿Cuántas ordenaciones podrá hacer?

7. ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar con las cinco vocales de manera que no se puedanrepetir?

8. ¿De cuántas maneras se pueden repartir tres premios distintos entre cinco amigos de manera queninguno de ellos reciva dos premios?

9. Halla el valor de:

a) c) e)

b) d) f)

PPARAARA ENTRENARENTRENAR

106

123

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

114

80

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

73

63

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA230

10. Indica si las siguientes igualdades son ciertas:

a) V4,2 = 4 · V3,1 b) P4 = P5 - 4P4

11. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) V10,3 = c) VR10,3 = e) P10 =

b) P1037= d) C10,3 = f) 9! =

12. De las siguientes expresiones, di cuales son ciertas y cuáles falsas. Justifica tu respuesta:

a) d)

b) e)

c) f)

13. Lanzamos dos dados. Calcula la probabilidad de que el producto de las puntuaciones sea:

a) 5 b) 6 c) 4

14. En una hucha hay 3 monedas de dos euros, 3 de un euro, 4 de cincuenta céntimos y 2 de veintecéntimos. ¿De cuántas maneras distintas pueden sacarse, pieza por pieza, las monedas de la hucha?

15. Con 18 soldados, ¿cuántas guardas distintas, de cuatro soldados, pueden formarse?

16. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, secretario y tesorero deun club de baloncesto sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

17. Halla la probabilidad de que, al lanzar al aire dos monedas, salgan:

a) Dos caras. b) Dos cruces. c) Una cara y una cruz.

3 4 73 4 7

6 6 62 3 5

5 52 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7 86 7

7 81 1

5 00 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


18. Con una baraja de 52 cartas, ¿cuántos grupos diferentes de 5 cartas se pueden hacer?

19. En una escalada, una determinada cordada está compuesta por 5 escaladores. Teniendo en cuentaque van uno detrás de otro, ¿de cuántas formas podrán llegar a la cima?

20. ¿Cuántas apuestas hay que rellenar para acertar una quiniela de 14 resultados?

21. Si Joseba tiene en su armario 4 pantalones, 3 camisas y 4 pares de zapatos, ¿de cuántas formasdistintas se podrá vestir?

22. ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, se pueden formar con las letras de la palabra MISSISIPI?

23. Con motivo de las próximas olimpiadas, el seleccionador nacional de atletismo ha preseleccionado a12 atletas, con la intención de elegir 8 para que participen en los juegos. ¿De cuántas maneras podráhacer la selección de los atletas?

24. Desarrolla las potencias de los siguientes binomios:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

6

5

4

5

3

3

52

63

x y

x 2y

2a 3b

x y2 3

a 2b

3 2x

5x 3y

3x 2y

− =

− =

− =

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ =

− =

− =

+ =

COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA232

25. Realiza las siguientes operaciones en las que intervienen números combinatorios:

a)

b)

c)

d)

26. Con las cifras 2, 3, 5 y 6, ¿cuántos números de 8 cifras se pueden formar sabiendo que el 2 aparecetres veces, el 3 una vez y el 5 y el 6 dos veces cada uno?

27. Halla la probabilidad de que, al lanzar al aire tres monedas, salgan:

a) Tres caras. b) Dos caras y una cruz.

28. Seis amigos deciden ir a un concierto, y al llegar a la taquilla se encuentran con que sólo hay tresentradas disponibles. ¿De cuántas formas diferentes se las pueden repartir?

29. Halla la probabilidad de que, al lanzar al aire cuatro veces una moneda, salga las dos primeras vecescara y las dos últimas cruz.

30. Cuatro amigos van a organizar una fiesta de fin de curso con sus compañeros. Deciden que dos deellos se encargarán de comprar la comida y las bebidas para la fiesta. ¿Cuántas maneras distintasexisten para formar la pareja encargada de dicha misión?

5 3 42 2 1

3 61 3

42

5 32

2 064

8 83 4

10 104 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) Vx,4 = 20 Vx,2 d) Vx,2 = 210 g) V11,x = 7920b) Pn = 8 Pn-1 e) Pn = 42 Pn-2 h) Pn = 24 Vn,2c) Px = P3 - 2 Px f) 42 Px = 7 Px+1

2. ¿Cuántos resultados se obtienen al tirar tres monedas al aire?

3. En un concurso de televisión se entregan tres premios a distintas personas. ¿De cuántas formas se podrárealizar la entrega de los premios, sabiendo que en el concurso solamente participan 10 personas?

4. Con las letras de la palabra CUADRO, cuántas palabras, con o sin sentido, de seis letras se puedenformar? ¿Cuántas de ellas empiezan por D? ¿Y cuántas por CU?

5. ¿Cuántos números distintos de 7 cifras se pueden formar con las cifras del número 3221113?

6. En una carrera ciclista se han escapado seis corredores y van haciendo relevos en fila de a uno. ¿Decuántas formas pueden ir ordenados en fila?

7. Con las cifras 0, 1, 2, 3 y 4, ¿cuántos números de dos cifras se pueden formar?

8. Una urna contiene 4 bolas blancas, 3 rojas y 3 verdes. ¿De cuántas formas se pueden sacar grupos de6 bolas, con la condición de que haya al menos una de cada color en cada uno de dichos grupos?

9. ¿De cuántas formas distintas se pueden colocar seis niños para jugar al corro?

10. Considerando el lanzamiento de tres monedas, ¿cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?a) Obtener al menos dos caras.b) Obtener tres resultados iguales.c) Obtener dos resultados iguales.d) No obtener cara en ninguna moneda.

11. Si un equipo de balonmano tiene tres camisetas y dos pantalones diferentes, ¿cuántos uniformesdiferentes puede llevar?

12. De las doce preguntas de que consta una prueba de Matemáticas se debe contestar a ocho. ¿De cuántas formas podemos elegir esas ocho preguntas?

13. Con las letras de la palabra LIBRO, ¿cuántas palabras, con o sin sentido, de cuatro letras se puedenformar? ¿Cuántas de ellas empiezan por vocal? ¿Cuántas por consonante?

14. ¿Cuántos números de 6 cifras existen que estén formados por 4 doses y 2 treses?

15. Una fábrica de piruletas tiene 5 sabores distintos y quiere hacer piruletas de dossabores. ¿Cuántas podrá fabricar?

16. Con los números 4, 5, 6 y 7, ¿cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar? ¿Cuántos deellos tienen un 7 ocupando el lugar de las decenas?

17. Aitziber tiene 25 cuentas (10 rojas, 8 azules y 7 blancas) para hacerse un collar. Engarzando las 25cuentas en un hilo, ¿cuántos collares distintos podrá realizar?

18. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cruces y una cara al lanzar tres monedas al aire?

19. Un grupo de amigos y amigas se encuentran y se dan un beso para saludarse. Si se han dado en total21 besos, ¿cuántas personas había?

20. En una carrera de 500 metros participan 12 corredores. ¿De cuántas maneras pueden adjudicarse lasmedallas de oro, plata y bronce?

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COMBINATORIA Y PROBABILIDAD234

21. ¿De cuántas maneras se podrán introducir seis tarjetas postales diferentes en seis sobres de distintoscolores, suponiendo que en un sobre no puede meterse más de una tarjeta?

22. ¿De cuántas maneras se pueden colocar dos anillos diferentes en la misma mano, de modo que noestén en el mismo dedo?

23. En una clase de 25 estudiantes hay que elegir dos delegados y dos subdelegados. ¿Cuántasformaciones distintas se pueden presentar?

24. Para formar un equipo de fútbol necesitamos 11 jugadores y disponemos de 22. ¿Decuántas formas puedo elegir estos 11 jugadores, si no nos importa el lugar en quejueguen? ¿Y si dos de ellos sólo juegan de porteros?

25. Se lanzan cuatro monedas sobre la mesa. Calcula las probabilidades de los sucesos:a) Obtener cuatro caras.b) Obtener una cara y tres cruces.c) Obtener al menos una cruz.

26. Del número de teléfono de un amigo recordamos que empieza por 30 y que además tiene dos ceros, uncinco y dos nueves. ¿Cuántas llamadas telefónicas tendremos que hacer paralocalizar a nuestro amigo?

27. Resuelve las siguientes ecuaciones con números combinatorios:

a) b) c)

28. Calcula el valor de n en las siguientes igualdades:

a) Pn = 2 Pn-12 b) Pn + 24 = 5 Pn c) 3 Vn,2 · P2= Vn,3 · P3

29. En una estantería se van a colocar cinco libros de color naranja, tres de color azul y cuatro verdes. ¿Decuántas maneras pueden colocarse si los libros del mismo color son iguales?

30. Una heladería prepara copas de helados con tres bolas de helado elegidas de entre18 sabores diferentes. ¿Cuántas copas de helados distintas pueden preparar?

31. Un byte es una secuencia ordenada de ocho cifras que pueden ser ceros y unos. ¿Cuántos bytesdiferentes se pueden formar?

32. Para hacer un campeonato de ajedrez entre 12 jugadores (todos contra todos),¿cuántas partidas se deben celebrar?

33. Para celebrar el 25º aniversario del fin de carrera, un grupo de 34 personas se juntan para una comida.Al encontrarse, ¿cuántos apretones de mano se darán?

34. En un bar de zumos preparan batidos a partir de 14 clases de frutas, de las cuales se eligen5 a partes iguales y se mezclan para hacer el batido. ¿Cuántos batidos distintos se puedenpreparar?

35. De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta, se anota el resultado y se guarda la carta sindevolverla a la baraja; después se extrae otra carta y se hace lo mismo, así hasta extraer cuatro cartas.¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener, teniendo en cuenta el orden en el que sacamos lascartas?

36. Una urna contiene siete bolas de diferentes colores. Extraemos tres bolas. ¿Cuántos resultadosdistintos se pueden obtener, teniendo en cuenta el orden en el que sacamos las bolas?

37. Un chico tiene en su armario 10 pantalones y quiere elegir 6 para meterlos en la maleta para hacer unviaje. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

x x3 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x xx 1

3 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

xx 2

3⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

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5 ESTADISTICA Y PROBABILIDAD 3ºESO 2010-2011 ESTADISTICA Y... · 196 ESTADÍSTICA COLEGIO VIZCAYA...

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