5. Funcions trigonomètriques

i periòdiques

Matemàtiques I 1r BATX

2

1. Mesura d’angles 2. Funcions trigonomètriques 3. Resolució de triangles

rectàngles 4. Llei del sinus 5. Llei del cosinus 6. Problemes topogràfics

Funcions trigonomètriques

3

1. Mesura d’angles

SISTEMA SEXAGESIMAL

Per a mesurar angles s'utilitzen com a unitats els graus ( º ), minuts ( ‘ ) i segons ( “ ) sexagesimals, de manera que una circumferència té 360é, un grau té 60' i un minut 60”. Podem expressar un angle en graus o bé en graus, minuts i segons. Per exemple:

42º 27’ 62” equival a 42.467222º 52.123611º equival a 52º 7’ 25”

Esta transformació es pot fer amb la calculadora científica, usant la tecla º ‘ “ amb la que podem transformar graus, minuts i segons en graus. Per a efectuar la transformació inversa basta polsar SHIFT º ‘ “ .

Exemple: per a fer el producte 3 23º 14’ 18” fem el següent:

de forma que: 3 23º 14’ 18” = 69º 42’ 54”

a) Efectua estes operacions entre angles, expressant el resultat en graus, minuts i segons:

1) 34º 16’ 52” + 24º 12’ 50” 2) 64º 42’ 16” – 15º 12’ 36” 3) 5 12º 34’ 46”

b) En un pentàgon l'angle A val 64º 25' i el B val 104º 35'. Quant valdran els angles C, D i E, sabent que els tres són iguals?.

RADIANS I SISTEMA CENTESIMAL

Si rodeges un bot o una llanda de conserves amb un fil i compares la longitud de la circumferència del bot amb el seu diàmetre, veuràs que la dita longitud, L, és un poquet més de tres vegades el diàmetre.

Matemàtiques I 1r BATX

4

El quocient entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre és un número un poc major que tres, té infinites xifres decimals que no formen període (és a dir, és un número

irracional) i s'anomena número .

..3.1415927.D

L La longitud de la circunfèrencia és R2DL

Un radian és un angle l'arc del qual té la mateixa longitud que el radi.

Per a esbrinar quants radians té una circumferència, calcularem el nombre de radis que conté. Així:

Una circunfèrencia té

22

R

R

R

L radians. I com que una circunfèrencia té 360º, resulta

que:

360º equivalen a 2 radians.

En l'actualitat s'utilitza també el sistema centesimal, en el que:

La circumferència completa mesura 400 graus centesimals (g)

Un grau centesimal mesura 100 minuts centesimals: 1 g = 100 m

Un minut centesimal mesura 100 segons centesimals: 1 m = 100 s.

a) Escriu en graus sexagesimals, centesimals i radians, l’àngle què formen les agulles del rellotge

quan estes assenyalen: 1) les sis en punt, 2) les cinc en punt, 3) les huit en punt.

b) Una circumferència té 10 cm de radi. Quina és la longitud de l’arc corresponent a un àngle de 30º?:

c) Calcula en rad/s la velocitat angular d’un disc què gira a 33 r.p.m. (revolucions per minut)

d) Ordena de menor a major les seguents velocitats angulars: 10 rad/s, 300º/s, 5 voltes/min, 256 g/s.

e) Un asperssor funciona amb un mecanisme què li produix un moviment de gir, d’anar i tornar, de 60º. Si el xorro d’aigua abasta 16 m, troba l’àrea A de la superfície de gespa regada.

Funcions trigonomètriques

5

f) Una correa conecta dos polees de radis r=10 cm i R=25 cm. Si la gran dona un gir complet, quin àngle expressat en graus haurà girat la xicoteta?

g) En un sprint, els ciclistes abastan una velocitat de 20 m/s. Quina és la velocitat angular de les rodes, és a dir, quánts graus gira per segon?

2. Funcions trigonométriques

RAONS TRIGONOMÈTRIQUES

En un tràngle rectàngle ABC, anomenem:

a

b

BC

AC

hipotenusa

oposat catetB sen

a

c

BC

AB

hipotenusa

contigu catetB cos

c

b

AB

AC

contigu catet

oposat catetB tan

Les funcions que assignen a cada angle x, el seu sinus, cosinus i tangent, s' anomenen funcions circulars:

x senx

FUNCIÓ SINUS

x cos x

FUNCIÓ COSINUS

x tan x

FUNCIÓ TANGENT

En la teua calculadora disposes de les tecles SIN , COS , TAN . Amb elles pots trobar els valors del sinus, cosinus i tangent d'un angle donat. Per exemple:

65º sin 0.9063077 43º sin 0.6819983 65º cos 0.4226182

43º cos 0.7313537 65º tan 2.1445069 43º tan 0.932515

Matemàtiques I 1r BATX

6

a) Amb ajuda de la teua calculadora completa la següent taula i extrau d'ella tota la informació que

pugues sobre les funcions circulars:

àngle (graus) 0 30 45 60 90 120 135 150 180

àngle (radians)

SIN

COS

TAN

b) En la calculadora pots trobar el sinus, cosinus i tangent quan l'angle està Donat en graus

sexagesimals o en radians, indistintament.

Si l'angle està expressat en graus sexagesimals, activa prèviament el mode DEG , la qual cosa s'aconseguix polsant les tecles MODE 4 . Este mode està activat per defecte.

Si l'angle està expressat en radians, has d'activar el mode RAD , la qual cosa s'aconseguix

polsant les tecles MODE 5 .

Utilitzant els modes DEG i RAD de la calculadora, troba el sinus, cosinus i tangent dels angles següents i completa la taula:

àngle (graus)

àngle (radians) 7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 2

SIN

COS

TAN

TROBANT ÁNGLES

En la teua calculadora disposes de la tecla SHIFT . Amb ella pots obtindre un angle coneguda una determinada funció circular. Així:

0’5 SHIFT SIN dona un angle amb sinus 0’5.

0’7 SHIFT COS dona un angle amb cosinus 0’7.

1’3 SHIFT TAN dona un ángle amb tangent 1’3.

Segons que la calculadora estiga en mode DEG o en mode RAD, el resultat vindrà expressat en graus o en radians.

a) Quant mesuren els angles que s'obtenen al polsar les seqüències anteriors de tecles?.

b) Sabent que senet x = 0'7, troba cos x i tan x. Expressa l'angle x en graus sexagesimals i radians.

c) Sabent que cos x = 0'62, troba senet x i tan x. Expressa l'angle x en graus sexagesimals i radians.

d) Sabent que tan x = 2, troba sen x i cos x. Expressa l'angle x en graus sexagesimals i en radians.

Funcions trigonomètriques

7

OMPLI AMB LA CALCULADORA

Completa la següent taula, utilitzant la calculadora:

X (GRAUS)

X (RADIANS)

SIN X 0’94 54

COS X 0’82 23

TAN X 3’5 1

GRÁFIQUES SINUSOIDALS

Utilitzant les taules d’exercicis anteriors, dibuixa en uns mateixos eixos de coordenades, les gràfiques de les funcions f(x)=sen x, g(x)=cos x.

a) Troba el domini i el conjunt imatge de cadascuna de les gràfiques.

b) Obtín els intervals de creixement i decreixement, i els màxims i mínims de les dites funcions.

c) Quina relació hi ha entre les dites gràfiques?

FUNCIÓ TANGENT

Utilitzant les taules d’exercicis anteriors, construix la gràfica de la funció f(x)=tan x, i indica totes les seues propietats:

a) Domini i conjunt imatge.

b) Periodicitat i assímptotes.

c) Creixement, decreixement i extrems

3. Resolució de triangles rectàngles

AMPLÀRIA D’UN RIU

Per a mesurar l'amplària d'un riu s'ha fixat un punt P de la vora oposada i s'ha mesurat l'angle que forma la visual amb la direcció del corrent que és de 32é. S'ha avançat per la vora del riu 100 metres i de nou s'ha mesurat l'angle que forma la visual del punt P amb la direcció del corrent, que és de 115é. Quina és l'amplària del riu?

PIRÀMIDE

En una piràmide regular de base quadrada el costat de la base mesura 2 cm i una aresta 3 cm. Quant mesura l'altura d'una cara? I l'altura de la piràmide? Quin angle forma una cara amb la base?

Matemàtiques I 1r BATX

8

PLANOL D’UNA CASA

El planol d'una casa és un rectangle de 10x14 m. La inclinació de la teulada és uniforme de 30º. Calcula la superfície de la teulada.

DIAGONAL D’UN CUB

Calcula l'angle que forma la diagonal d'un cub amb l'aresta contigua, i l'angle que forma la diagonal amb una cara contigua.

TETRAEDRE REGULAR

Calcula l'angle format per dos cares d'un tetraedre regular

ALTURA D’UNA TORRE

Des de dos punts en línia recta amb el peu d'una torre es veu l'extrem d'esta amb angles d'inclinació de 38º i 20º. La distància entre estos punts és de 30 metres. Troba l'altura de la torre.

ELEVACIÓ I DEPRESSIÓ

Anomenem àngle d’elevació o àngle de depressió d’un punt a l’àngle format per la visual al punt amb el pla horitzontal què passa per l’ull de l’observador.

a. Des d'un far situat a 50 m sobre el nivell del mar s'observa un barco davall un angle de depressió de 34º. A quina distància del far es troba el barco?

b. L'angle d'elevació de l'extrem d'una torre, observat des d'un punt del sòl situat a 30 m del peu

de la torre és de 40º. Calcula l'altura de la dita torre.

c. Des d'un avió que vola a 950 m d'altura s'observa un helicòpter, que està a 200 m d'altura, davall un angle de depressió de 28º. A quina distància es troben ambdós aparells?

d. Des del pal d'un barco, situat a 24 m sobre el nivell del mar, un mariner observa que l'angle

d'elevació fins a l'extrem superior d'un far és de 7º i que l'angle de depressió a la base del mateix és de 10º. Calcula l'altura de l'extrem superior del far sobre el nivell del mar.

Funcions trigonomètriques

9

ALTURA D’UN GLOBUS

Des d'un avió a 1000 m d'altura es veu un globus captiu i el seu amarrament davall els angles de depressió de 20º i 50º. Calcula l'altura del globus.

PENTÁGONO REGULAR

El costat d'un pentàgon regular és 10 m. Calcula el radi de la circumferència circumscrita. Quina és l'àrea de tal pentàgon?

ÀREA OMBREJADA

Calcula l'àrea de la zona ombrejada de la figura

DOS CIRCUMFERÈNCIES

Dos circumferències de radis 6 i 8 cm, respectivament, tenen els seus centres a 20 cm de distància. Calcula l'angle que determina la recta que unix els seus centres amb una tangent exterior comú.

Matemàtiques I 1r BATX

10

4. Llei del sinus

TEOREMA DEL SINUS

Considera el triangle ABC. L'altura corresponent al vèrtex C dividix al triangle en dos triangles rectangles AHC i CHB. En cada un de tals triangles es verifica:

Asin bhb

hAsin Bsin ah

a

h Bsin

Igualant els dos valors de h, tenim: Bsin aA sin b . O bé: Bsin

b

Asin

a (1). Si

tracem l'altura corresponent al vèrtex B, obtenim: Csin

c

Asin

a (2)

De (1) i (2) deduïm: Csin

c

Bsin

b

Asin

a

Expressió coneguda amb el nom de LLEI DEL SINUS

Calcula els costats i els angles que falten en els dos triangles:

PLA INCLINAT

Al caure un cos de pes 30 kg. per un pla inclinat 30é, podem descompondre el pes P com a suma de dos forces T i N. Quin és el mòdul d'estes forces?

Funcions trigonomètriques

11

ZEPELIN

Dos amics observen un zepelin que es troba en el seu mateix pla vertical. Si la distància entre ambdós és de 300 m. i l'angle d'elevació de cada un d'ells al globus és de 43º i 57º respectivament, calcula a quina distància es troba el zepelin de cada observador. A quina altura estarà el globus del sòl?

ARBRE MISTERIÓS

Des de dos punts diferents A i B, situats a 420 m. s'observa la base d'un arbre X, situat a l'altra vora d'un riu, baix angles de 52º i 47º, respectivament. A quina distància es troba l'arbre d'ambdós punts?

CIRCUMFERÈNCIA CIRCUMSCRITA

Considerem el triangle ABC i dibuixem la seua circumferència circumscrita. Des del vèrtex B

es traça el diàmetre BD de la dita circumferència. En ABC: Csin

c

Bsin

b

Asin

a

Però A=D perquè ambdós comprenen el mateix arc BC. Per tant, sin A = sin D (1)

En el triangle rectangle BCD: 90ºsin

d

Asin

a

Sent d el diàmetre de la circumferència.

De (1): d1

d

Asin

a

La relació constant entre costats i angles del triangle ABC, és igual al diàmetre de la circumferència circumscrita al triangle.

Calcula el diàmetre de la circumferència circumscrita a un triangle isòsceles la base del qual mesura 10 m. i l'angle oposat 40º

5. Llei del cosinus

TEOREMA DEL COSINUS

En la figura adjunta, traça l'altura del triangle ABC, des del vèrtex B:

Matemàtiques I 1r BATX

12

Pel teorema de Pitàgores, es verifica: 222 DCha ;

222 ADch . Per tant:

2222 DCADca

Ara bé, CD = b – AD, per tant: ADb2ADbADbDC 2222

I substituint ADb2cba 222

Esta expressió se sol escriure, tenint en compte que AD = c cosa, de la manera següent:

A cosbc2cba 222

I s'anomena "Teorema del cosinus". Què succeïx en el cas particular en què A=90º?

Sean los vectores OA=(5, 30º) y OB=(15, 110º). ¿Qué distancia hay entre A y B?

VAIXELLS 1

Des d'un far es mesuren les distàncies de diferents barcos al far. Un vaixell B es troba a 3 km. del far i a 30º en direcció NE. Un vaixell C es troba a 6 km. del far i a 70º en direcció NE. Quina distància hi ha del barco B al C?

VAIXELLS 2

Un vaixell s'allunya del seu observador en terra amb una velocitat de 30 km/h en direcció 30º E; un altre s'allunya del mateix observador a la velocitat de 20 km/h en direcció 75º E. Quina és la velocitat (rapidesa) del segon respecte del primer? I la del primer respecte del segon?

ARROSEGANT

Dos hòmens estan estirant un cos per mitjà de cordes. El primer ho fa amb una força F1=(30 N, 40º) i el segon amb la força F2=(50 N, -60º). Troba la intensitat de la resultant d'estes dos forces.

Funcions trigonomètriques

13

REMOLC

Desitgem remolcar un barco en direcció E amb dos barcos iguals, disposats simètricament respecte al E (veure figura adjunta). La intensitat de la força que desenvolupa cada un dels remolcadors és de 100000 N. Presa per a X diversos valors (per exemple, 20º, 30º, 40º, 70º) i calcula en cada cas la força resultant.

EQUILIBRI

Dos forces F1 i F2, d'intensitats 20 N i 5 N respectivament, actuen sobre el mateix cos, formant entre elles un angle de 60º. Quin valor ha de tindre una tercera força per a establir l'equilibri?

NAVEGACIÓ

Un barco navega amb una velocitat de 50 km/h i 30º de direcció. Travessa una forta corrent marina de 10 km/h i direcció - 30º. En quina direcció i amb quina velocitat es mourà el barco al passar el corrent? (En navegació els angles es mesuren a partir de la direcció Nord i en el sentit de les agulles del rellotge)

DOS AEROPLANS

Un aeroplà part d'un lloc a les 8 del matí a una velocitat de 200 km/h i rumb NE. Un altre part del mateix lloc mitjana hora després amb velocitat de 250 km/h i rumb SSO. A quina distància es troben a les nou?

UN PROBLEMA DIFÍCIL

Un automòbil viatja per una carretera rectilínia en direcció NO. En un moment donat es veuen dos torres alineades amb el cotxe en direcció 20º E. Després de 3 km de marxa es veu la primera torre exactament al E i la segona al NE del cotxe. Calcula la distància entre les torres.

UN ALTRE PROBLEMA DIFÍCIL

Un barco navega en direcció NO a 15 milles per hora. Un submarí situat 100 milles al E inicia la seua persecució a 30 milles per hora. Calcula el rumb que ha de prendre el submarí i el temps que tardarà a donar-li abast.

Matemàtiques I 1r BATX

14

6. Problemes topogràfics

AMPLÀRIA D'UN ESTANY

Es desitja calcular l'amplària AB de l'estany de la figura. Per a això, des d'un punt C es prenen les mesures següents: AC=220 m, BC=315 m, <ACB=48º. Quina longitud té l'estany?

DOS SATÈL.LITS

En un observatori astronòmic s'aconseguixen les següents dades en un instant determinat: la distància des de l'observatori a dos satèl·lits a i B és de 580 km i 420 km respectivament i l'angle que formen els senyals rebuts és de 37é. A quina distància es troben entre si tals satèl·lits?

ESQUIADOR 1

Un esquiador divisa dos estacions a i B, sent la primera accessible i la segona inaccessible. Per a trobar la distància entre a i B, tria dos punts de la vall C i D distants 300 m, des d'on pot divisar les estacions i realitza els mesuraments següents: AC=480 m, <BCD=33º, <BDC=65º, <ACB=22º. Quina és la distància que separa a de B?

ESQUIADOR 2

Un esquiador divisa dos estacions inaccessibles. Tria altres dos punts de la vall P i Q distants 200 m des d'on pot divisar les estacions i realitza els mesuraments següents: <APB=40º, <AQB=50º, <QPA=37º, <AQB=35º. Per a obtindre la distància AB seguix els passos següents:

a. Calcula la distància AQ

b. Calcula la distància BQ

c. Finalment, calcula la distància AB.

Funcions trigonomètriques

15

DOS PUNTS INACCESSIBLES

Es desitja conéixer la distància entre dos punts a i B, inaccessibles per a l'observador, ja que hi ha un va riure que li separa d'ells. En la seua vora l'observador tria dos punts C i D a 500 m de distància i amb un teodolit calcula els angles següents: <ADB=27º, <BCD=51º, <ADC=42º, <ACD=78º. Calcula la distància AB.

ÁREA D’UN TRIANGLE

Calcula l'àrea dels triangles següents: