5. ODEC (Segundo básico) MATEMATICAS

5/12/2018 5. ODEC (Segundo b sico) MATEMATICAS - slidepdf.com

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Ministerio de EducaciónDirección General de Currículo

ORIENTACIONES PARA ELDESARROLLO CURRICULAR

MATEMÁTICAS

Nivel Medio Ciclo Básico: Segundo Grado



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MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Licenciado Dennis Alonzo Mazariegos Ministro de Educación

M.Sc. Roberto Monroy Rivas Viceministro Administrativo de Educación

Licenciado Miguel Ángel Franco Viceministro de Diseño y Verificación de la Calidad Educativa

Licenciada Marta Juana López Batzin de Zapeta Viceministra Técnica

M.A. Jorge Manuel Raymundo Velásquez Viceministro de Educación Bilingüe Intercultural

Licenciado Daniel Domingo López Director General de Currículo - DIGECUR -

Licenciado Enrique Cortez Sic Director de la Dirección General de Gestión de la Calidad -DIGECADE-

M.A. Oscar René Saquil Bol Director General de Educación Bilingüe Intercultural -DIGEBI-

Licenciado José Fernando Pineda Ocaña Subdirector de Diseño y Desarrollo Curricular

M.A. Mariela Ruedas de García Subdirectora de Evaluación Curricular

Licenciado Carlos Alfonso López Alonzo Jefe de Departamento - Nivel de Educación Media - Ciclo Básico, DIGECUR

Licda. Tania María Robles F.Especialista del Área de Matemáticas

DIGECURDirección General de Currículo

Ministerio de Educación6ª. Calle 1-87 Zona 10, 01010

Teléfono: (502) 24119595www.mineduc.gob.gt / www.mineduc.edu.gt



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Presentación

El Ministerio de Educación, por medio de la Dirección General deCurrículo presenta a la comunidad educativa del Nivel Medio CicloBásico: Segundo grado, las Orientaciones para el DesarrolloCurricular, como herramienta para apoyar a los y las docentes paraorientar el proceso de obtención de aprendizaje por parte de los y lasalumnas, al mismo tiempo tiene como función principal dar respuestaa los acuerdos y compromisos establecidos en el marco de laReforma Educativa.

Las Orientaciones para el Desarrollo Curricular –ODEC-, contienendiversas actividades que van dirigidas al y la docente para orientar eldesarrollo del proceso de obtención de aprendizajes por parte de las ylos jóvenes. Las actividades que en este documento se sugierenestán estrechamente vinculadas con las competencias, indicadores de

logro y el desarrollo de los contenidos procedimentales, declarativos yactitudinales que se registran el Currículo Nacional Base del CicloBásico: Segundo Grado. Las actividades que se contemplan en estedocumento no son absolutas y únicas, son ejemplos y sugerenciasque se le presentan al o a la agente educativo para que de estamanera se continúe utilizando la creatividad de introducir actividadescontextualizadas en los diferentes ámbitos educativos, tomando encuenta las características, las necesidades y los intereses de los y las jóvenes en la actualidad, de manera que el aprendizaje seasignificativo para los y las estudiantes.

Las Orientaciones para el Desarrollo Curricular que se presentan acontinuación están destinadas para ser utilizadas en el desarrollo delárea de Matemáticas con los y las estudiantes del Nivel Medio CicloBásico: Segundo grado específicamente, se encuentra estructuradaen el siguiente orden: las competencias de grado con sus respectivoscontenidos procedimentales, declarativos y actitudinales, indicadoresde logro de las competencias establecidas, y las actividades que sesugieren.

Después del desarrollo de las actividades, se considera pertinenteaplicar una evaluación, por lo que se sugieren algunos instrumentosque pueden utilizarse para la aplicación de la autoevaluación,coevaluación y la heteroevaluación, estos instrumentos también sonsugerencias que pueden ser complementadas o readecuadas deacuerdo a las necesidades y características de las y los estudiantes,para poder apreciar el logro de las competencias por medio de losindicadores de logro.

Estimadas y estimados docentes hacemos entrega de estedocumento para que ustedes lo tomen como una herramienta conprocedimientos metodológicos que los conduzca en la realización desus tareas docentes, por lo que se espera que sea un elemento útil y

que les pueda servir de base para el desarrollo de su creatividad.



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Tabla de contenidos

Créditos 2

Presentación 3

Área de Matemáticas 7

Competencia número 2 9

Contenidos 9

Indicadores de logro 10

Actividades sugeridas para la competencia número 2 10

Evaluación 18

Glosario 20

Bibliografía 20

Competencia número 5 21

Contenidos 21

Indicadores de logro 21

Actividades sugeridas para la competencia número 5 21

Evaluación 26

Glosario 28

Bibliografía 29



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Área de Matemáticas

Descriptor

En la actualidad, la definición de las matemáticas va más allá de lasciencias de los números (aritmética) y el análisis de formas (geometría). Eluso de símbolos (álgebra y teoría de conjuntos), el estudio del cambio(cálculo) y de la incertidumbre (estadística y probabilidad), el análisis de lasformas de razonamiento (lógica matemática) y las consideraciones acercade los enfoques matemáticos en diferentes grupos culturales(etnomatemática), son objeto de estudio de las Matemáticascontemporáneas.

Tampoco es deseable considerar a las Matemáticas aisladas de latecnología variada que el presente ofrece. Tanto para estudiar la ciencia

como para mejorarla o utilizarla, la tecnología de ordenadores, la Internet,la telecomunicación, los medios audiovisuales, la calculadora (desde laaritmética hasta la científica y la gráfica) y otros instrumentos (ábacos,instrumentos de medición y dibujo, entre otros) deberán volverse de usocomún en las aulas para fortalecer el aprendizaje y abrir a las y losestudiantes oportunidades de trabajo, comunicación y aprovechamiento deltiempo.

La ciencia matemática actual reconoce y valora la presencia de losmétodos y las visiones matemáticas en los diferentes Pueblos y gruposculturales, pasados y presentes. Por lo tanto, el Currículo favorecerá laintegración de los diferentes elementos culturales con el conocimiento

práctico.Por último será importante considerar las Matemáticas como integradorasde saberes, enfoques, métodos y aún de valores y actitudes para que suaporte al Currículo sea significativo.

Por tanto, orientar el desarrollo del pensamiento analítico y reflexivo,mediante la integración de la búsqueda de patrones y relaciones; lainterpretación y el uso de un lenguaje particular, simbólico, abstracto; elestudio y representación de figuras; la argumentación lógica y lademostración; la formulación y aplicación de modelos variados (aritméticos,geométricos, trigonométricos y algebraicos), así como proporcionar

herramientas útiles para recolectar, presentar y leer información, analizarlay utilizarla para resolver problemas prácticos de la vida cotidiana, sonpropósitos del área de Matemáticas.

Poner en práctica el método científico para hacer conjeturas, crear,investigar, cuestionar, comunicar ideas y resultados, utilizando esquemas,gráficos y tablas e interpretar información en diferentes fuentes paracompartir, analizar, tomar decisiones y emitir juicios, propiciar situacionesque estimulen la lectura, escritura y operatividad con cantidades escritasen diferentes sistemas y bases de numeración, valorando los aportes delas Matemáticas provenientes de diferentes culturas, también sonintenciones del área curricular de Matemáticas.



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Área de Matemáticas

Consolida el nivel de desarrollo de las capacidades físico deportivo y practica conseguridad.

ContenidosProcedimentales Declarativos Actitudinales

Utilización de conectivoslógicos.

Elaboración de tablas deverdad.

Relación de la lógica formal enla vida cotidiana.

Proposiciones simples.

Proposiciones compuestas.

Tautología, contingencia ycontradicción.

Esfuerzo por utilizar símbolos ylenguaje matemático en surepresentación de información.

Descripción de conjuntos yrelaciones.

Conjuntos y relaciones

Graficación de relaciones y defunciones lineales.

Cálculo de constantes paravariación directa e inversa.

Resolución de problemasrelacionados con la variacióndirecta e inversa.

Tipos de relaciones

Gráficas de relaciones yfunciones lineales.

Variación directa e inversa.

Perseverancia en la búsquedade patrones y relaciones.

Determinación de la variabledependiente e independientede una función lineal.

Graficación de la función lineale inversa en el planocartesiano.

Relación de la función lineal yla variación directa.

Lectura de funciones linealesen contextos no matemáticos.

Función linealVariable independiente yvariable dependiente

Función lineal y variacióndirecta

Función inversa.

Representación de ecuaciones

e inecuaciones lineales en elplano cartesiano.

Representación en la rectanumérica de intervalos abiertosy cerrados.

Uso de fórmulas científicas:despeje de fórmulas

Planteamiento de ecuaciones einecuaciones lineales pararepresentar información.

Uso de ecuaciones e

inecuaciones lineales pararesolver problemas.

Ecuaciones e inecuaciones de

primer grado.

Intervalo abierto e intervalocerrado para representar lassoluciones de lasdesigualdades lineales.

Valoración del uso de lenguajematemático para representar información, relaciones ypatrones del entorno y de laciencia.

Com etencia No. 2



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Utiliza elementos de lógica para representar información.

Realiza gráficas en el plano cartesiano (relaciones, funciones).

Clasifica funciones.

Resuelve ecuaciones e inecuaciones de primer grado.

Actividad 1: “Hoy me dijeron que soy una persona que razono bien”

Se le sugiere solicitar un día antes, a algunos y algunas estudiantes que lleven el díade la actividad letras hechas con material de deshecho, por ejemplo: hacer una letra p yuna letra q con el cartón de una caja de alimentos (pidamos en total por lo menos unas5 letras de cada una), y a otros y otras estudiantes solicitemos símbolos de losconectivos lógicos ( ~ ). También solicitemos que lleven algunos periódicos parabuscar algunas expresiones.

El día de la actividad iniciemos con algunas preguntas tales como: ¿Qué entienden por lógica?, ¿Podrían decir a qué nos referimos cuando decimos que es un razonamientocorrecto o un buen razonamiento?, Si nos dicen que no somos estudiantes ,entonces ¿qué respuesta daríamos para negar ésta expresión?, ¿Podrían dar un

ejemplo de proposición simple?, ¿Podrían mencionar algunos conectivos lógicos queconozcan? y otras relacionadas con el tema. Podemos aportar un nuevo conocimientoen las y los estudiantes por ejemplo: “George Boole (1815 – 1864) matemático inglés de origen humilde, fue quien agregó la lógica al dominio del álgebra creando así la lógica simbólica y el álgebra de Boole o álgebra Booleana como algunos le llaman a ésta”.

Para ordenar las ideas presentadas por las y los estudiantes, podemos agregar:

LÓGICA

La lógica se ocupa delos productos mentalesconsiderados en sí mismos, de las correctas r elaciones entreconceptos, juicios yrazonamientos.

Se interesa por laestructura o forma del

pensamiento, sin tomar en cuenta su contenido,por eso decimos que la

lógica es una cienciaformal.

Como elpensamiento se

expresa en unlenguaje, en estesentido tambiénla lógica estudia

el lenguaje.

Indicadores de Logro



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Nuestra forma de comunicarnos y de expresarnos puede dar lugar a que surjaninterpretaciones inadecuadas del enunciado emitido, es por ello que ejercitarnoshaciendo uso apropiado del lenguaje a través de ciertos formalismos, esa es la mejor manera de entender la estructura o forma del pensamiento.

La lógica es también relevante en las cienciascomputacionales, y es constantemente empleadaen ella. La lógica proposicional puede pensarsecomo una "lógica" de ciertos tipos simples decircuitos de conmutación.

La lógica formal se ocupa, justamente, de determinar que es lo que hace que un argumento sea bueno o no lo sea.Iniciada por los griegos hace 25 siglos, esta ciencia ha tenido un proceso

de desarrollo (como cualquiera de las disciplinas científicas) por el que en nuestros díasaparece como una ciencia rigurosa, con un lenguaje técnico elaborado y preciso, puesla utilización que hace del simbolismo le permite evitar las confusiones y ambigüedades

del lenguaje natural. A la lógica formal , en su actual estado de desarrollo se le conocecomo lógica simbólica o lógica matemática , nombres que hacen alusión a su usosistemático del simbolismo y al parecido de sus procedimientos con los de lamatemática (de la cual, sin embargo, no es una rama o disciplina). Podemos decir que,el lenguaje que usa el matemático para desarrollar su teoría, es el lenguaje lógico.

Organicemos grupos de cuatro a cinco estudiantes máximo y un estudiante por grupo copiará el cuadro que se presenta a continuación:

Se solicitará que cada integrante del grupo elabore individualmente dos ejemplos paracada columna. Seguidamente, cada equipo analizará el trabajo de sus integrantes yseleccionarán cinco ejemplos para escribirlos en cada columna del cuadro de grupo,escogiendo un ejemplo de cada columna para presentarlo al pleno.

Recordatorio :

Decimos que Proposición es toda expresión que tiene sentido mediantela cual se afirma o se niega algo que puede ser verdadero o falso.Asimismo, dada una proposición, a veces es necesario construir otraproposición que sea su negación . Cuando una expresión carece desentido, decimos que no es proposición.

Considerando que una proposición compuesta contiene la combinaciónde dos o más proposiciones simples, unidas mediante uno o más de losconectivos u operadores lógicos, observemos el siguiente cuadro:

Se diceque… “Toda ciencia tiene un lenguaje bien hecho… la lógica es lenguaje perfecto de ella”.

Tiemposugerido: 3períodos declase de 40minutoscada uno.Materiales:periódicos, 2o 3 hojas depapel bondpor equipo,goma ytijeras.

Proposición verdadera Proposición falsa No es proposición 1.2.3.4.5.

1.2.3.4.5.

1.2.3.4.5.



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Símbolos Lógicos (Conectivos Lógicos)

símbolo nombre se lee sentido~ negación no Si p es verdadera, entonces ~ p es falsa; y

a la inversa

conjunción y Si p es verdadera y q también, entonces pq es verdadera; en los demás casos p qes falsa.

disyunción o Si p es falsa y q es falsa, entonces p q esfalsa; en los demás casos p q esverdadera.

implicación Si…entonces Si p es verdadera y q falsa, entonces p qes falsa; en los demás casos p q esverdadera.

doble implicación …sí y solo sí… Si p es verdadera y q es verdadera,entonces p q es verdadera; lo mismo quesi p es falso y q es falso. En los demáscasos, p q es falso.

Cuando nos comunicamos con las personas de nuestro entorno, utilizamos enunciadoso expresiones como:

1. San Andrés Xecúl es un municipio de Totonicapán cuyo clima es frío.2. El nombre del Tejar, Chimaltenango proviene por la producción de ladrillo y teja

en este departamento.3. El volcán de Ipala está coronado por una laguna que ocupa el antiguo cráter

que es de forma circular.4. ¡Qué hermosa mujer!5. ¿Cuántos años tienes?6. 1/3 + 2/3 = 17. Dos veces cinco es menor que 7.8. No es cierto que en Guatemala existan 21 idiomas

mayas.9. En Izabal hay población garífuna.10. La imagen del Obispo Francisco Marroquín está en los billetes de un quetzal.

Solicitemos a cada grupo:

a) Que analice las expresiones anteriores y otras que consideremos pertinenteagregar a la lista.

b) Que analicen cuáles sí son proposiciones y les asignen el valor de verdad acada una de ellas.

c) Con base en las proposiciones determinadas anteriormente y el cuadro desímbolos lógicos, construya dos proposiciones compuestas para cada símbolológico (recuerde que puede seleccionar cualquier proposición). Ejemplo:

a: Ninguna mujer ha sido Presidente de la República de Guatemala.

b: El Dengue es una enfermedad viral infectocontagiosa.



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Utilizando los conectivos con las proposiciones a y b, tenemos:

Símbolo Sentido~

negación

~ a : No es cierto que ninguna mujer ha sido Presidente de la República de Guatemala.

~ b : No es cierto que el Dengue es una enfermedad viral infectocontagiosa.

conjunción a b: Ninguna mujer ha sido Presidente de la República de Guatemala y el Dengue esuna enfermedad viral infectocontagiosa.

disyunción

a b: Ninguna mujer ha sido Presidente de la República de Guatemala o el Dengue esuna enfermedad viral infectocontagiosa.

implicación

a b: Si ninguna mujer ha sido Presidente de la República de Guatemala entonces el Dengue es una enfermedad viral infectocontagiosa.

dobleimplicación

a b: Ninguna mujer ha sido Presidente de la República de Guatemala si y solo sí el Dengue es una enfermedad viral infectocontagiosa.

¡Reto!... Asumiendo que la proposición a es verdadera: Ninguna mujer ha sidoPresidente de la República de Guatemala. (V) y que b: El Dengue es una enfermedadviral infectocontagiosa, es falsa; y con base en el cuadro sobre Símbolos Lógicos,organicemos cuatro o seis equipos de estudiantes.

Que cada equipo construya dos proposiciones compuestas. Determinen si las proposiciones compuestas construidas son una

Tautología, Contradicción o Contingencia. Se reunirán los representantes de cada equipo para realizar una

eliminatoria y dejar finalmente 3 equipos para ver quienes puedendeterminar el grado de verdad de las proposiciones puestas comoretos… piensen y organícense!!!!!!!, pueden utilizar el siguientecuadro para llevar el registro:

Registro de la cantidad de respuestascorrectas

Equipo

PROPOSICIÓN I(5 Puntos) PROPOSICIÓN II(5 Puntos) TOTAL/10

1

2

3

4

5

6

Podemos concluir haciendo una puesta en común describiendo los pasos y métodosque siguieron las y los estudiantes y vamos verificando los resultados.

Tautología>

todas laspremisas sonverdaderas.Contradicción>

Todas suspremisas sonfalsas.Contingencia>

Algunas de suspremisas sonverdaderas yotras son falsas.



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Actividad 2: “En el espacio vectorial”

Iniciamos un conversatorio con las y los estudiantes para considerar los conocimientosque tienen sobre relaciones y funciones lineales , realizando las preguntas siguientes y

anotándolas en el pizarrón: ¿Qué es un par ordenado? ¿Qué significa productoescalar? ¿Cuál es la diferencia entre una función y una relación? ¿Cómo localizamosuna pareja ordenada en un plano Cartesiano? Y otras más…

Enriqueciendo su conocimiento…

Con frecuencia cuando nos referimos a funciones lineales, lo asociamosincorrectamente con rectas o planos. Sin embargo, es importante aclarar que unafunción lineal es una aplicación entre dos espacios vectoriales que presenta la sumade vectores y el producto por una escalar. Las relaciones lineales son larepresentación gráfica que presenta los principios básicos para entender y de algunaforma dimensionar lo que es la física mecánica. Las relaciones pueden ser abordadas

con el tema de ecuaciones de la recta ( componente fundamental de la geometría abase de planos y puntos).

Dado que el concepto de función se refiere a una relación de dependencia entrevariables que ocurren en la vida cotidiana tal como observamos en los aspectos físicos,económicos, sociales, académicos, y otros; entonces concluimos en que estasexpresiones simbólicas que conforman una función, pueden ser un buen recurso paraprever los cambios en la naturaleza y en fenómenos sociales. A través de ciertosmodelos matemáticos, podemos predecir fenómenos sociales y naturales, ya que lasfunciones constituyen un tipo especial de relaciones y correspondencias. Por ejemplo:podemos mencionar que el peso de una persona está en función de los hábitosalimenticios de ésta. Otro ejemplo que podemos mencionar es el recopilar datos sobre

la frecuencia en que pasan los buses todo en función del tiempo, como pensar cuantosbuses pasan cada cinco minutos por cierta parada y establecer el tiempo de llegada adeterminado lugar.

Para comprenderlo de una mejor manera…..

I. Seleccionemos algunos modelos matemáticos, como por ejemplo:

a) Para determinar la distancia dada una velocidad constante, consideremos:d = (v) (t); donde d está en función de t

b) Para determinar la cantidad de quetzales que obtendremos al cambiar ciertacantidad de dólares, consideremos: Q = (8)($) ; donde Q está en función de $ y 8 la constante para determinar el cambio.

c) Para determinar la gráfica de una recta que pasa por el origen, tenemos:y = k x ; donde y está en función de x y k es la constante.

II. Formemos cinco o seis equipos de estudiantes distribuyendo a cada equipofunciones como las anteriores, o mejor aún, que lleven previamente algunosmodelos matemáticos que podamos establecer con claridad que contenganvariables dependientes e independientes. Pueden buscar en el periódicofunciones sobre aspectos económicos, observar gráficas y determinar el

comportamiento manifestado.



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III. Una vez seleccionadas las funciones, solicitemos que cada equipo realice lastabulaciones para cada una de ellas y así determinando los pares ordenados,construyan las gráficas correspondientes. Por ejemplo, siendo Q = (8)($),entonces, f($) = (8)($) , tabulemos de la siguiente manera:

f($) = (8)($) $10.00 $20.00 $30.00 $40.00 $50.00 f($)

IV. Solicitemos a cada grupo que expliquen las gráficas y describanel comportamiento observado y el patrón que la define.

V. Podemos concluir haciendo una presentación al pleno,

seleccionando la función que prefieran y explicando las conclusiones a las quellegaron en consenso.

¡Reto!... Podemos complementar la actividad, construyendo con las y los estudiantes,relaciones y funciones. Procuremos que esta construcción la realicemos con ejemplossobre situaciones o acontecimientos de su entorno.

Tiemposugerido: 4períodos declase de 40minutos cadauno.Materiales:

periódicos,revistas quecontengangráficas,informaciónsobre cambiosde moneda uotros aspectoseconómicos,papelógrafos,yesos decolores omarcadores.

Formemos equipos de 3 a 4integrantes cada uno y pensemoscinco situaciones de la vida en las quepodamos establecer su relación ycorrespondencia o bien cual es lafunción en la que podemos determinar cierto suceso…analicémoslas ycompartámoslas con otro equipo paradeterminar si son razonables.

N

S

OE



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Actividad 3: “¿Encontraste la edad de Diofanto?”

Recordemos con las y los estudiantes las propiedades o reglas de las ecuacionesespecialmente las de primer grado a través de una lluvia de ideas, por ejemplo: ¿Quéentendemos por agrupar términos semejantes?, ¿A qué nos referimos cuando decimos

que vamos a reducir los términos en una expresión?, ¿Qué son los miembros de unaigualdad?, ¿Quién quiere escribir en el pizarrón dos ecuaciones que seanequivalentes?, ¿Para qué nos sirve comprobar el resultado en la ecuación dada? yotras preguntas relacionadas el tema. Escribamos en una hoja, cartulina o cualquier otro material (como en un pedazo de cartón de alguna caja de alimentos), lasrespuestas de las y los estudiantes que mejor expresen propiedades y reglas que rigenlas ecuaciones, con el propósito de tenerlas presente para una mejor comprensión.

Para que entendamos un problema debemos tomar en cuenta tres pasosbásicos:

1. Entender lo que se lee (traducir del lenguaje matemático allenguaje usual y viceversa).

2. Captar en la medida de lo posible, las relaciones entre lascondiciones dadas en los enunciados.

3. Percibir matemáticamente lo establecido en cada enunciado.

¿Sabías que un matemático griego llamado Diofanto (último geómetraimportante en la matemática griega) se llevó la matemática hasta sutumba? Se dice que los años de vida de este matemático griego se pudodeterminar gracias al epitafio que tiene su tumba, en el que su vidaaparece fraccionada y cada fracción corresponde a una parte del total

de su edad. Como inicialmente se desconoce la edad al fallecer, se dice que el fallecióa la edad x , entonces en el epitafio dice así:

“ Esta tumba contiene a Diofanto, Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida.Añadiendo un doceavo , sus mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió el fuego nupcial después del séptimo , y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. Pero ¡ay! niño desgraciado, en la mitad de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Cuatro años después llegó al término de su vida.”

Ahora: ¡Manos a la obra! Determinemos ¿Cuántos años vivió este ilustre matemático griego? Para ello construye el modelo matemático que le corresponde desde el inicio del epitafio.

Completemos el cuadro para que te facilite la construcción de éste modelo (ecuación).Formemos para ello grupos de tres o 4 estudiantes, estableciendo cierta cantidad de minutos para solucionarlo y compartan con el pleno la solución del epitafio….

Edad de Diofanto Describiendo matemáticamente cada parte de su vida:

1ª. parte 2ª. parte 3ª. parte 4ª. parte 5ª. parte 6ª. parte Edad total

X_

2 x

Tiemposugerido: 2períodos declase de 40

minutos cadauno.Materiales:hoja, cartulinao cualquier otro materialcomo unpedazo decartón dealguna caja dealimentos ocualquier producto.



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Verifiquemos: En el proceso algorítmico para la solución de ecuaciones (como en estecaso) podemos evidenciar la correcta solución por la pertinencia en la aplicación de laspropiedades.

Podemos realizar modelos matemáticos que nos ayudan de una forma más precisa a

determinar soluciones sobre situaciones que enfrentamos día a día. Aprendamos autilizarlos aplicándolos en algunos acontecimientos de nuestra vida y podremosapreciar así que con datos más precisos podemos llegar a utilizar los recursosapropiadamente sin desperdiciar o sin tener excedentes o faltantes, pues debemosaprender a maximizar nuestros recursos y ahorrarnos tiempo, dinero, materiales uotros.

Se te presenta una información recopilada de un centro de pintura, te sugerimos formar equipos para determinar la cantidad de galones de pintura que deben adquirir parapintar el interior y exterior de tu salón de clases u otro ambiente que deseen calcular.

Recuerden que es importante considerar, en la medida de lo posible, la cantidad exactade pintura a aplicar.

TIPO A: pintura de primera calidad TIPO B: pintura de regular calidad TIPO C: pintura de baja calidad no recomendable para exteriores

Clasificación de la pinturasegún su rendimiento y calidad

Tipo A B C

Rendimiento de laPintura

(en metros cuadrados)40 38 30

Pasos a seguir:

1. Selecciona el área a pintar.2. Determina en metros cuadrados el área de cada pared tanto del interior como

del exterior.3. Según la pared (interior o exterior) selecciona el tipo de pintura a aplicar.4. Busca los modelos matemáticos (ecuaciones) que te ayuden a determinar la

cantidad exacta de pintura a emplear.5. Presenta el consumo de galones a tus compañeros en clase describiendo paso

a paso el camino que seguiste para llegar a esa conclusión.

Finalmente, realiza un cálculo para pintar un área de tu casa o de cualquier lugar en tucomunidad al que te gustaría dar un mejor aspecto y presenta el proyecto por escrito eilustrado con el cálculo de galones a utilizar. Recuerda ser lo mas exacto posible para

que no desperdicies recursos.¡Manos a pintar!



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Evaluación

Después de haber realizado todas las actividades sugeridas y otras que las o losdocentes diseñen, debemos realizar la evaluación, para verificar si las y los estudianteshan logrado los aprendizajes. Recordemos que la Competencia 2 dice: Utiliza modelos

matemáticos, relaciones, funciones y ecuaciones en la representación y comunicación de resultados.

La autoevaluación y la coevaluación deben considerarse como actividades sencillas,que impliquen bajo costo y que se emplee poco tiempo en su realización. Ambasevidencian la participación (característica general de la Evaluación de los Aprendizajes)de las y los estudiantes en las diferentes actividades para alcanzar la o lascompetencias seleccionadas. Para verificar el alcance de la Competencia 2,realizaremos el instrumento de evaluación en función de lo establecido en losindicadores de logro seleccionados.

Sugerencias de Autoevaluación, Coevaluación y Heteroevaluación para el indicador de logro: 2.4. Resuelve ecuaciones e inecuaciones de primer grado.

Autoevaluación

La autoevaluación, como parte del proceso evaluativo, refleja el accionar de las y losestudiantes en cada actividad para alcanzar la competencia.

Sugerencia de Autoevaluación para la Actividad 3: Realice la actividad “El Dado

Preguntón”. Éste consiste en:

Elaborar un dado forrado con papel de colores En cada cara del dado escribir las siguientes preguntas:

1. ¿Qué pasos se siguieron en la solución de situaciones en que seaplicaron las propiedades para la resolución de ecuaciones?

2. ¿Por qué están seguros de los pasos que siguieron al resolver lasecuaciones?

3. ¿Podrías explicar si existe otro camino para resolver las ecuaciones?4. ¿Qué dificultades encontraron en la resolución de estos modelos

matemáticos?5. ¿Cuál fue la solución que le dieron a esa dificultad?

Coevaluación

Sugerencia de Coevaluación para la Actividad 4: Realice la actividad “El Cartel delEquipo”.

Éste consiste en:

Elaborar un cartel usando el siguiente modelo:



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Aspectos a evaluar

Nombre/número del

Equipo

Respetaronlos turnos

Realizaronla menor cantidad

de errores

durantetoda laactividad

Secoordinaronbien todos

los

integrantesdel equipo

Contribuciónen la

elaboración delcuadro de

proposiciones

Respetaronla opinión

de losintegrantes

del equipo

Obtuvieronla mayor

cantidad derespuestas

correctasen elcuadro de

registro

Sesiguierontodos los

pasos

necesarios

Equipo 1

Equipo 2

Equipo 3

Equipo 4

Podemos forrar el cartel y colocarlo en algún lugar del aula.

Si lo forramos, entonces se puede escribir con marcador de pizarrón, o en casocontrario, que cada equipo seleccione un nombre y que haga un rotulo pequeñocon el nombre escogido y lo pegue sobre el cartel.

Que cada integrante tenga una estrella de papel u otra figura y califiquen eltrabajo de equipo pegando en el aspecto que considere más relevantecolocarla.

Comenten la evaluación.

Heteroevaluación

Posterior a la Autoevaluación y Coevaluación, viene la toma de decisiones y momentode comunicar resultados a través de una Heteroevaluación que puede abarcar lainformación obtenida e cada una de las actividades propuestas, o dependiendo de lamagnitud de alguna actividad, puede realizarse al finalizar esta gran actividad.

Sugerencia de Heteroevaluación: Realice una “Escala de Rango” para evaluación deuna resolución de problemas, y la aplica en forma individual:

Aspectos a Evaluar 1 2 3 4 5

Pregunta por otras soluciones

Presenta más de una solución

Se incorpora adecuadamenteal trabajo en equipo

Si recibe una respuestaincorrecta, la usa para crear una discusión

Coloque otras alternativas aevaluar………..

1 = nunca 2 = raramente 3= algunas veces 4= casi siempre 5= siempre



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GLOSARIO

1. Constante: es una cantidad que guarda un valor fijo al establecer una relacióngeneral entre variables.

2. Conversatorio: es una herramienta que estimula el intercambio de experienciasen un ambiente informal y divertido. La preparación que requieren losparticipantes en mínima.

3. Escala de rango: es un instrumento que permite registrar el grado, de acuerdocon una escala determinada, en el cual un comportamiento, una habilidad o unaactitud determinada, es desarrollada por el o la estudiante.

4. Epitafio: inscripción dedicada al difunto que se pone sobre su sepulcro.

5. Lluvia de ideas: es una herramienta de trabajo grupal que facilita el surgimientode nuevas ideas sobre un tema o problema determinado. La lluvia de ideas esuna técnica de grupo para generar ideas originales en un ambiente relajado.

6. Reto: es un desafío o también puede ser una provocación. Bien entendido esinvitar una persona a competir con otra en cualquier forma.

7. Variable Independiente: dada la regla de correspondencia, d=(v)(t), los valoresque tome la variable t pueden elegirse arbitrariamente. Entonces decimos que t

es independiente.

8. Variable Dependiente: dada la regla de correspondencia, d = (v)(t), los valoresde d son obtenidos a partir de los correspondientes valores de t, aplicando laregla de correspondencia que los relaciona, donde d es la variabledependiente.

BIBLIOGRAFIA

1. Arnaz, José Antonio. Iniciación a la Lógica Simbólica. Editorial Trillas. México.1980.

2. Ministerio de Educación. Currículum Nacional Base Primer Grado Nivel Medio – Ciclo Básico. Área de Matemática. Guatemala. 2009.

3. The New Encyclopae dia Britannica, Macropae dia. Encyclopae dia Británica.4. Turner, William. Catholic Encyclopedia: ARISTOTLE , Encyclopedia Prees, Inc.

Electronic version, 1996.

E-GRAFÍA

1. "http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Introducci%C3%B3n _a_la_l%C3%B3gica_formal "

2. http://www.monografias.com/trabajos42/numeros-racionales/numeros-racionales.shtml



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Traduce información que obtiene de su entorno a lenguaje lógico simbólico.

Contenidos

Procedimentales Declarativos Actitudinales

Cálculo de la probabilidad deocurrencia de eventos simplesy compuestos.

Eventos simples ycompuestos.

Eventos al azar.

Probabilidad de ocurrencia deeventos.

Demostración de interés por aplicar el análisisprobabilístico en la toma dedecisiones en eventos de lavida cotidiana.

Calcula la probabilidad de la ocurrencia de eventos compuestos.

Actividad 1: “Dicen que todo es probable”

Se le sugiere solicitar con anticipación, a las y los estudiantes, que lleven el día de laactividad, estadísticas (resultados deportivos de su establecimiento, resultados degoles de mundiales, de juegos olímpicos, informes de calificaciones de otros años,gráficas o tablas de economía, del clima, frecuencia de sismos en Guatemala o enAmérica, entre otros) que encuentren en cualquiera de las fuentes, tales como:

Periódicos, revistas, Internet, registros del establecimiento, de empresas oinstituciones. También solicitemos que algunos estudiantes lleven un periódico parabuscar más información en clase.

El día de la actividad iniciemos con algunas preguntas tales como: ¿Cuál es elpropósito de la Estadística?, ¿A qué nos referimos cuando decimos que en Estadísticase recopilan, clasifican y describen datos?, ¿Cómo podemos determinar la probabilidadde que ocurra un evento?, ¿Qué medidas de tendencia central conocen? y otraspreguntas relacionadas con el tema.

Competencia No. 5

Indicadores de Lo ro

Podemos relacionar la Teoría de Conjuntos con las probabilidades, pues vemos que“El diagrama de Venn ayuda a visualizar un experimento. Se representa por undiagrama rectangular representando el espacio muestral S y que contiene los

eventos simples marcados por E1, E2,……, E6. Como un evento A es una colecciónde eventos simples, los puntos muestrales de ese evento se localizan en el interior del evento A ( E2, E3, E6). La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto C que

está formado por los elementos de A, de B o de ambos.”

Lo describimos como: A U B = C {x / x, A, x, B o x, a ambos}



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Indiquemos a las y los estudiantes, que elaboren un fichero con materialde desecho como: cajas de alimentos, de materiales escolares, caja dezapatos, o armarlo con pedazos de cartones, con su propia creatividad,incentivándolos a no gastar dinero en ello y realizarlo únicamente con lo

que tengan en casa o lo que puedan conseguir en su comunidad.Tendrán que guardar en él, todos los descubrimientos, problemas queresolverán, esquemas, diagramas, imágenes, entre otros, parafinalmente presentar la información por medio de una presentación a suscompañeros y compañeras.

Recordatorio: toda la información que encontremos, debemos ordenarlasegún el sistema posicional al que corresponda, lleva siempre una jerarquía en los casos que sea necesario.

Invitemos a las y los estudiantes a formar equipos de 4 ó 5 máximo y que determinenun coordinador para que reparta la investigación entre los integrantes y descubran lasnociones básicas que iniciaron Pascal y Fermat y que posteriormente fueronformalizadas. Realicemos un esquema, preferiblemente un mapa mental con las

respuestas a las siguientes preguntas:

¿Sabías que…la

PROBABILIDAD

es también utilizada como

una medida de

riesgo?

Tiemposugerido: 5períodos declase de 40

minutos cadauno.Materiales:periódicos,revistas,libretas denotasescolares,monedas, 2 o 3hojas de papelbond por equipo, goma,tijeras ymaterial de

desecho.

Algo de Historia…..

En el s. XVII los juegos de azar eran laprincipal diversión de la alta sociedadfrancesa. Antoine Gombard, CaballeroDe Meré, un experto jugador, planteó aPascal dos problemas sobre apuestas.En 1654, Pascal y Pierre de Fermat(1601-1665) mantuvieron abundantecorrespondencia sobre ambos

problemas. Las soluciones que entrelos dos encontraron sentaron las basesdel Cálculo de Probabilidades y laTeoría de Juegos, dos ramas de lasMatemáticas con grandes aplicaciones.

Para ordenar las ideas presentadas por las y losestudiantes, podemos agregar que:

Es difícil poder obtener la información más relevante de unadeterminada población en su totalidad y podemos decir que

en muchos casos no es posible obtenerla. Por elloutilizamos una muestra para estimar la informaciónnecesaria para la toma de decisiones.

Muestra n → inferencia → Población



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¿Qué es un experimento aleatorio?

¿Qué es un suceso aleatorio?

¿Qué entiendes por el espacio muestral?

¿Qué son sucesos equiprobables?

¿Qué es la probabilidad en tus propias palabras?

¿Qué es una inferencia?

¿En qué consiste la regla de Laplace?

Puedes utilizar esquemas semejantes al que te sugerimos, pero tu creatividad es muyvaliosa en este proceso. Recuerda sustituir el espacio escribiendo cada pregunta y loque se te solicita que respondas…

De la información recolectada por las y los estudiantes en diferentes medios,seleccionemos la información más sobresaliente y elaboremos inferencias con base enlos hallazgos, seguidamente compartamos con el grupo las conclusiones. Debemosestar atentos a las observaciones que los demás nos planteen… ¡así ganaremosmás…conocimiento!!

Actividad 2: “Les llaman sucesos, les llaman eventos.”

Trabajemos en equipos de 4 ó 5 integrantes. Sabemos que podemosobtener datos por: observación de eventos incontrolados por la naturaleza,o por experimentación controlada en un laboratorio. Del proceso de unexperimento podemos obtener una medición.

Con los periódicos que solicitamos lleven a la clase, busquemos eventos osucesos naturales que identifiquemos por observación. Seleccionemoseventos cuya observación no tenga que ser numérica.

Realizaremos en consenso la selección de seis eventos, los colocaremosen un cartel como el que se muestra a continuación y complementaremos

la descripción.

Tiemposugerido: 3

períodos declase de 40minutoscada uno.Materiales:periódicos,dados,monedas, 2o 3 hojas depapel bondpor equipo,goma ytijeras.



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Ahora realicemos experimentos tales como registrar la puntuación obtenida en unaevaluación de Matemáticas, el lanzamiento de una moneda cierta cantidad de veces (laque establezcan en el equipo), medir la cantidad de lluvia caída cierta cantidad de días(podemos determinar esta medición, si hay alguna tormenta en la comunidad en estemomento) realicemos a las y los estudiantes preguntas como: ¿Cuántas veces sepuede repetir un experimento? ¿Podemos decir que ésta es una población deobservaciones? Y otras preguntas que se consideren pertinentes. Para elloconstruyamos una tabla semejante a la anterior.

Y finalmente, dado que un experimento produce uno y sólo uno de los eventos simples,realicemos el siguiente experimento representando una enumeración completa detodos los eventos simples asociados a este mismo experimento.

Experimento: Lanzamiento de un dado. Realiza una tabla donde registres desde E1,E2,…,E6, e indica cual es la probabilidad de obtener un “1”, la probabilidad de obtener un “2”.. y así hasta obtener la probabilidad de un seis.

Lado Frecuencia Probabilidad12345

6Total

Podemos realizar el experimento de dos eventos simples como el lanzamiento de dosmonedas. Anotemos lo que sucede con cada uno de los lanzamientos y anotemos loque sucede en un cuadro semejante al siguiente:

Evento Moneda 1 Moneda 2E1E2E3

E4

Registro de la cantidad de eventos encontrados por observación

No. deevento

Evento Descripción de la observación

1

2

3

4

5

6



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Reto: con el equipo de trabajo, construyamos un modelo matemático para representar este experimento.

Podemos concluir haciendo una puesta en común describiendo los pasos y métodosque siguieron las y los estudiantes. También describiendo lo que expresamos en elmapa mental y lo investigado por cada equipo.

Actividad 3: ¡GANÉ LA LOTERÍA!

Continuemos con los mismos equipos que hemos estado trabajando y con losmateriales solicitados desde un inicio. Iniciemos con una lluvia de ideas en relación altema de la actividad y lo que conocemos al respecto.

Pensemos en una compañía guatemalteca como los “restaurantes de pollo frito”. Si la empresa desea introducir un nuevo producto almercado, sería absurdo pretender que toda la poblaciónpruebe el producto. En este caso, se da a probar el

producto a una muestra de consumidores y con base alos resultados de esa muestra se decide si el producto seelabora o no. Ahora bien, como los resultados obtenidosa partir de una muestra difieren de los resultados que seobtendrían si se observara la población total o universo,

existe un riesgo al tomar la decisión. Es en este caso que se utiliza laPROBABILIDAD como una medida de riesgo.

Observemos el cuadro siguiente en el que se presentan dos ejemplosdonde podemos comparar el propósito de los juegos de azar en nuestropaís.

Juegos de Azar en Guatemala

Lotería Santa Lucía Casinos en Guatemala

Lotería Santa Lucía fue fundada por iniciativade la Doctora Honoris Causa Elisa Molina deStahl, mediante Decreto No. 577, de fecha 19de julio de 1,956. Gracias a los ingresos quegenera la venta de billetes de Lotería SantaLucía, se hace posible el funcionamiento delos programas y servicios que brinda elBenemérito Comité Pro Ciegos y Sordos deGuatemala.

De acuerdo con el Artículo 477 del CódigoPenal los juegos de los casinos son ilícitos:“Los banqueros, administradores,empresarios, gerentes o encargados y losdueños de casas de juegos de suerte, envite

o azar, serán sancionados con prisión ymulta”.

El Decreto 106 del Código Civil estableceque los casinos son ilegales por no regirse alsistema de boletería que utilizan las rifas oloterías. No obstante, la proliferación de lasdenominadas “videoloterías”, que muchas soncasinos, ha hecho que se pueda acceder a juegos de azar como Black Jack, Póquer,Ruleta y Baccarat con impunidad y sinningún control.

Busquemos

dentro de los

hallazgos de la

Matemática

Mesoamericana,

eventos de los

que podamos

realizar ciertos

pronósticos.

Tiempo

sugerido: 3períodos declase de 40minutos cadauno.Materiales:Código Penal,Código Civil,periódicos,dados,monedas, 2 o 3hojas de papelbond por equipo, goma ytijeras.



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Investiga las bases legales (decretos o artículos) que allí se mencionan ydiscutan en cada equipo si esas bases legales efectivamente justifican lo queallí se plantea.

Busca en el periódico un listado donde aparezcan los números de la loteríapremiados. A) Con tu equipo vean cuál es la probabilidad de que gane unapersona el premio mayor. B) Si compramos dos números de la lotería, ¿Cuál esla probabilidad de ganar dos premios en un mismo sorteo? ¿Qué probabilidadtendremos de ganar la lotería si compramos los diez números iguales?

Finalmente realicen un conversatorio del trabajo realizado.

Evaluación

Después de haber realizado todas las actividades sugeridas y otras que las o losdocentes diseñen, debemos realizar la evaluación para verificar si las y los estudianteshan logrado los aprendizajes. Recordemos que la Competencia 5 “Traduce informaciónque obtiene de su entorno a lenguaje lógico simbólico.”

La autoevaluación y la coevaluación deben considerarse como actividades sencillas,que impliquen bajo costo y que se emplee poco tiempo en su realización. Ambasevidencian la participación (característica general de la Evaluación de los Aprendizajes)de las y los estudiantes en las diferentes actividades para alcanzar la o lascompetencias seleccionadas. Para verificar el alcance de la Competencia 5,realizaremos el instrumento de evaluación en función de lo establecido en el indicador de logro seleccionado.

Sugerencias de Autoevaluación, Coevaluación y Heteroevaluación.

Autoevaluación

Sugerencia de Autoevaluación para la Actividad 3: Realice la actividad “El DadoPreguntón”. Éste consiste en:

Elaborar un dado forrado con papel de colores En cada cara del dado escribir las siguientes preguntas:

1. ¿Qué pasos se siguieron en la recolección de información?2. ¿Cuales pasos se siguieron para determinar probabilidades?3. ¿Por qué están seguros de los pasos que siguieron al resolver las

situaciones planteadas?4. ¿Existe otro camino para resolverlas?5. ¿Qué dificultades encontraron en determinar estos modelos matemáticos?6. ¿Cuál fue la solución que le dieron a esa dificultad?

Coevaluación

Sugerencia de Coevaluación para la Actividad 4: Realice la actividad “El Cartel delEquipo”. Éste consiste en:

Elaborar un cartel usando el siguiente modelo:



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Podemos forrar el cartel y colocarlo en algún lugar del aula.

Si lo forramos, entonces se puede escribir con marcador de pizarrón, o en casocontrario que cada equipo haga un rotulo pequeño con su nombre y lo peguesobre el cartel.

Que cada integrante tenga una estrella de papel u otra figura y califiquen eltrabajo de equipo pegando en el aspecto que considere más relevantecolocarla.

Comenten la evaluación.

Heteroevaluación

Posterior a la Autoevaluación y Coevaluación, viene la toma de decisiones y elmomento de comunicar resultados a través de una Heteroevaluación, que puedeabarcar la información obtenida e cada una de las actividades propuestas, odependiendo de la magnitud de alguna actividad, puede realizarse al finalizar esta granactividad.

Sugerencia de Heteroevaluación: Realice una “Escala de Rango” para evaluación deuna resolución de problemas:

Aspectos a Evaluar 1 2 3 4 5

Pregunta por otras soluciones

Presenta más de una solución

Se incorpora adecuadamenteal trabajo en equipo

Si recibe una respuestaincorrecta, la usa para crear una discusión

Coloque otras alternativas a

evaluar………..

1 = nunca 2 = raramente 3= algunas veces 4= casi siempre 5= siempre

Aspectos a evaluar Nombre/númerodel Equipo

R e s p e t a r o n l o s

t u r n o s

R e a l i z a r o n l a m e n o r

c a n t i d a d

d e e r r o r e s

d u r a n t e t o d a l a

a c t i v i d a d

S e c o o r d

i n a r o n b i e n

t o d o s l o s

i n t e g r a n t e s

d e l e q u i p

o

C o n t r i b u c i ó n e n l a

e l a b o r a c

i ó n d e l

c u a d r o d

e

p r o b a b i l i d a d e s

R e s p e t a r o n l a

o p i n i ó n d

e l o s

i n t e g r a n t

e s d e l

e q u i p o

O b t u v i e r o n l a m a y o r

c a n t i d a d

d e

r e s p u e s t

a s c o r r e c t a s

e n e l c u a

d r o d e

r e g i s t r o .

S e s i g u i e

r o n t o d o s

l o s p a s o s

n e c e s a r i o s .

Equipo 1

Equipo 2

Equipo 3

Equipo 4



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GLOSARIO

1. Conversatorio: es una herramienta que estimula el intercambio de experienciasen un ambiente informal y divertido. La preparación que requieren losparticipantes en mínima.

2. Escala de rango: es un instrumento que permite registrar el grado, de acuerdocon una escala determinada, en el cual un comportamiento, una habilidad o unaactitud determinada, es desarrollada por el o la estudiante.

3. Lluvia de ideas: es una herramienta de trabajo grupal que facilita el surgimientode nuevas ideas sobre un tema o problema determinado. La lluvia de ideas esuna técnica de grupo para generar ideas originales en un ambiente relajado.

4. Reto: es un desafío o también puede ser una provocación. Bien entendido esinvitar una persona a competir con otra en cualquier forma.

5. Evento: un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir,un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimentoaleatorio.

6. Evento Simple: Cada uno de los posibles resultados de un experimento y queno se puede descomponer. En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de losposibles números en la cara del dado es un evento simple.

7. Evento Compuesto: son eventos compuestos si se componen de dos o máseventos simples.

8. Probabilidad: En un proceso aleatorio, razón entre el número de casosfavorables y el número de casos posibles. Verosimilitud o fundada apariencia deverdad. Cualidad de probable, que puede suceder.

9. Casino: es un centro en que se realizan apuestas, aunque estadísticamente sepierden en favor del propio casino. Los casinos son lugares que estánconcebidos expresamente para inducir a la gente a visitarlos y apostar asiduamente, de forma que pierdan dinero.

10. Inferencia: deducción de una cosa a partir de otra.

11. Deducción: Inferir. Obtener conclusiones de un conocimiento previo.

12. Estimar: evaluar, calcular, dar valor.

13. Ocurrencia: Encuentro, suceso casual, ocasión o coyuntura. Idea inesperada,pensamiento, dicho agudo u original que ocurre a la imaginación.

14. Análisis: Distinción y separación de las partes de un todo hasta llegar aconocer sus principios o elementos. Parte de las matemáticas basada en losconceptos de límite, convergencia y continuidad, que dan origen a diversasramas: cálculo diferencial e integral, teoría de funciones y otros. Métodoestadístico usado para cuantificar la importancia de cada uno de los factoresactuantes en un fenómeno.



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E-GRAFÍA

1. http://es.wikipedia.org/wiki/Absolutismo

2. http://es.wikipedia.org/wiki/Luis_XIV

3. http://www.laguia2000.com/francia/el-estado-absolutista-de-luis-xiv

4. http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3550

5. http://club.telepolis.com/ildearanda/combina/DiagramaArbol.html

6. http://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/pascal.htm

7. http://www.depi.itchihuahua.edu.mx/mirror/itch/academic/industrial/sabaticorita/_ private/09Digramas%20de%20arbol.htm

8. http://www.elperiodico.com.gt/es/20090112/investigacion/86021

9. http://www.vitutor.com/pro/2/a_15.html

10. http://www.unex.es/~fan/cuantica/mc%2010/Web/Tales/ferm.html

11. http://www.unex.es/~fan/cuantica/mc%2010/Web/Tales/pasc.html

5. ODEC (Segundo básico) MATEMATICAS

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