5 Placas Elasticas

PLACAS ELSTICAS

SCARLET MONTILLA

Elementos Finitos

Qu debe saberse sobre un modelo estructural?

a) Cul es la unidad bsica estructural y como identificarla?

b) Cmo se representa el movimiento de la estructura?

c) Cmo se representa la deformacin de la estructura?

d) Cmo se representan la fuerzas externas?

e) Cmo se representa la distribucin de las fuerzas externas entre los elementos estructurales?

f) Cules son las ecuaciones que permiten calcular todas las variables anteriores? Qu limitaciones tienen?

g) Cules son los datos del problema?

Unidad bsica estructural en placas: elemento

diferencial de placa

e

dydx

ea) El comportamiento en el espesor de la placa es conocido

b) El comportamiento en la superficie de la placa es desconocido y debe determinarse

Identificacin de un elemento diferencial de placa

Y

X

Z

(x,y,0)

Teora de Slidos Teora de placas de Mindlin

Var

iab

les

cin

em

tic

asD

efo

rmac

ion

es

Des

pla

zam

ien

tos

UB

E

e

dydx

e

YZ

Hiptesis fundamental de la Teora de Placas de Mindlin:

wz

wy

qx

Campo de desplazamientos generalizados:{w(x,y)}t=(wx,wy,wz), {q(x,y)}t=(qx,qy,0)

),(),(),,( yxzyxzyxu yx qw

),(),(),,( yxzyxzyxv xy qw

Relacin entre desplazamientos:

),(),,( yxzyxw zw

Y

Z

wz

wy

qx

V


Var

iab

les

cin

em

tic

asD

efo

rmac

ion

es

Des

pla

zam

ien

tos

UB

E

e

dydx

e

)),(),,((}{ yxvyxuU t

U

Y

Z

{w}t=(wx(x,y),wy(x,y),wz(x,y))

{q(x,y)}t=(qx(x,y),qy(x,y),0)

Deformaciones en placas Mindlin en notacin matricial:

yz

xzxy

x

y

yx

y

x

zx

yz

xy

zz

yy

xx

x

yxy

y

x

z

xy

y

x

qw

qwqq

q

q

ww

w

w

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0}{

}{}{}{}{ AAAn z

Matriz de deformaciones del EDS

Matriz de deformaciones axiales del EDP

Matriz de curvaturas del EDP

Matriz de deformaciones

angulares del EDP

Ecuaciones cinemticas en la teora de placas de Mindlin:

xy

y

x

yx

y

x

n

xy

n

yy

n

xx

n

ww

w

w

}{

xy

y

x

xy

x

y

xy

yy

xx

qq

q

q

}{

yz

xz

zx

yz

x

y

qw

qw

}{

Deformaciones generalizadas en las placas: curvaturas {}

{}t=(xx,yy,xy)

yy xx xy

Deformaciones generalizadas en las placas: deformaciones angulares, {} {} t=(xz,yz)

yz xz

Deformaciones generalizadas en las placas: deformaciones axiales {n}

{n}t=(nxx,n

yy,n

xy)

nyy nxxnxy


Var

iab

les

cin

em

tic

asD

efo

rmac

ion

es

Des

pla

zam

ien

tos

UB

E

e

dydx

e

)),(),,((}{ yxvyxuU t

U

Y

Z



)),(),,(),,((}{ yxyxyx yxt

{(xy)}t=(xx,yy,xy) {(xy)} t=(xz,yz)

{n(xy)}t=(nxx,n

yy,n

xy)

dQ

dqd

zP

dM

Contorno c

dQ

dP

Fuerzas externas:

Fuerzas distribuidas por unidad de superficie en el rea de la placa

Fuerzas distribuidas por unidad de longitud en el contorno de la placa

Fuerzas concentradas

Momentos distribuidos por unidad de longitud sobre el contorno de la placa

dq

dQ

dP

dM


Var

iab

les

est

tica

sEs

fuer

zos

Fue

rzas

ext

ern

as

U

BE

e

dydx

e

Fuerzas de volumenFuerzas de superficie

Fuerzas por unidad de superficie, por unidad de longitud, concentradas.Momentos por unidad de longitud

Nxx

Nyy NxyNyx

2/

2/),(

e

exxxx dzyxN

Tensor de flujo axial:

2/

2/),(

e

eyyyy dzyxN

2/

2/),(

e

exyxy dzyxN

MxxMyy

2/

2/),(

e

exxxx dzzyxM

Tensor de flujo de momentos:

Mxy

Myx

2/

2/),(

e

eyyyy dzzyxM

2/

2/),(

e

exyxy dzzyxM

2/

2/),(

e

exzxz dzyxV

Tensor de flujo cortante:

2/

2/),(

e

eyzyz dzyxV Vxz

Vyz


Var

iab

les

est

tica

sEs

fuer

zos

Fue

rzas

ext

ern

as

U

BE

e

dydx

e

Fuerzas de volumenFuerzas de superficie

Fuerzas por unidad de superficie, por unidad de longitud, concentradas.Momentos por unidad de longitud

xx

yy

)),(),,(),,((}{ YXYXYX xyyyxxt

xy

{M(xy)}t=(Mxx,Myy,Mxy), {V(x,y)}t=(Vxz,Vyz),

{N(x,y)}t=(Nxx,Nyy,Nxy)

Variables cinemticas Variables estticas

Campo desplazamientosCampos de fuerzas externas de

volumen y de superficie

Campo de deformaciones Campo de esfuerzos

Ecuaciones

a) Ecuaciones cinemticas (EC)

b) Ley de comportamiento (LC)

c) Ecuaciones de equilibrio o teorema de trabajos virtuales (EQ)

EC EQ

LC

Ecuaciones cinemticas en la teora de placas de Mindlin:

xy

y

x

yx

y

x

n

xy

n

yy

n

xx

n

ww

w

w

}{

xy

y

x

xy

x

y

xy

yy

xx

qq

q

q

}{

yz

xz

zx

yz

x

y

qw

qw

}{

Teorema de los trabajos virtuales: **int extTT

A

t

n

tt dANVMT }]{}{}{}{}{}[{ ****int

}{)}({}]{}{}{}[{}]{}[{ ***** dtiA C

dttt

ext PxdcMqdAqT

wqww

Fuerzas por unidad de superficie,Fuerzas por unidad de longitud,Fuerzas concentradas.Momentos por unidad de longitud

yy

Myy

xy

Mxy

}]{H[}M{ M

100

01

01

)1(12

Ee]H[

2

3

M

Ley de comportamiento

yz xz

Vyz Vxz


}]{H[}V{ v

10

01

)1(2

Ee]H[

2V

nyy n

xy

Nyy Nyx

}]{H[}N{ nN

2

100

01

01

1

Ee]H[

2N


Slidos placas

Unidad Bsica Estructural EDS EDP

Desplazamientos u(x,y), v(x,y)

Deformaciones

Esfuerzos

Conexiones entre teoras

Relaciones entre desplazamientos

)),(),,(),,((}{ yxyxyx yxt

Relaciones entre deformaciones

)),(),,(),,((}{ YXYXYX xyyyxxt



{(xy)}t=(xx,yy,xy){(xy)} t=(xz,yz)

{n(xy)}t=(nxx,n

yy,n

xy)

{M(xy)}t=(Mxx,Myy,Mxy)

{V(x,y)}t=(Vxz,Vyz)

{N(x,y)}t=(Nxx,Nyy,Nxy)

),(),(),,( yxzyxzyxu yx qw

),(),(),,( yxzyxzyxv xy qw

),(),,( yxzyxw zw

}{}{}{}{ AAAn z

XZ

Otras teoras de placas: Placas de Kirchoff {w}t=(wx,wy,wz)

wz

wx

qy yz

x

wq

xz

y

wq

Deformaciones generalizadas en las placas: {}

yy xx xy

Deformaciones generalizadas en las placas: {}, {}= 0

xz 0 yz 0

Deformaciones generalizadas en las placas: {}, {n}t

yy xx xy

EL ELEMENTO SHELL

SAP 2000

ELEMENTO SHELL

El elemento SHELL es usado para modelar comportamiento de cscara, placa y membrana en estructuras planas y tridimensionales. El elemento/objeto SHELL es un tipo de objeto de rea.

Dependiendo de las propiedades de la seccin que se le asignen al rea, el objeto puede ser usado para modelar comportamiento de esfuerzo/deformacin plana y de slidos axisimtricos.

El elemento SHELL es una formulacin de 3 o 4 nodos que combina comportamiento separado de membrana y flexin de placas. El elemento de 4 nodos no tiene que ser plano.

El comportamiento de membrana usa una formulacin isoparamtricaque incluye componentes de rigidez traslacional en el plano y de rigidez rotacional en direccin perpendicular al plano del elemento.

ELEMENTO SHELL

El comportamiento de flexin de placa incluye componentes de rigidez en dos direcciones, fuera del plano y rotacional y una componente de rigidez traslacional en direccin normal al plano del elemento. Por defecto se usa una formulacin de placa delgada (Kirchoff) que desprecia la deformacin cortante transversal. Opcionalmente se puede escoger una placa gruesa (Mindlin/Reissner) que incluye los efectos de la deformacin transversal por cortante.

Entre las estructuras que pueden modelarse con este elemento se incluyen:

Cscaras tridimensionales, como tanques y domos.

Placas, como losas de piso y techo

Estructuras de membrana, como muros de cortante

ELEMENTO SHELL

Para cada elemento SHELL en la estructura, se puede escoger modelar comportamiento de membrana, placa o cscara. Se recomienda usar el comportamiento total de cascarn a menos que la estructura sea plana y est adecuadamente restringida.

Cada elemento SHELL tiene su propio sistema de coordenadas locales para definir las propiedades del material y cargas y para la interpretacin de los resultados. Cada elemento puede ser cargado por gravedad o con cargas distribuidas en cualquier direccin.

Para calcular la rigidez de los elementos SHELL se usa una formulacin variable, de integracin numrica de 4 a 8 puntos. Las fuerzas, momentos y esfuerzos internos, en el sistema de coordenadas local del elemento, son evaluadas por integracin de Gauss en 2 x 2 puntos y extrapolados a las juntas del elemento.

ELEMENTO SHELL

Un error aproximado en los esfuerzos en los elementos puede estimarse de la diferencia de los valores calculados en los diferentes elementos unidos a una junta comn. Esto dar una indicacin de la precisin de una dada aproximacin de elementos finitos y puede ser usada como la base para la seleccin de una nueva y ms precisa malla de elementos finitos.

Cada elemento puede tener cualquiera de las siguientes formas:

o Cuadrilateral, definido por cuatro juntas, j1, j2, j3 y j4.

o Triangular, definido por tres juntas, j1, j2 y j3.

La formulacin cuadrilateral es la ms exacta de las dos. El elemento triangular se recomienda solamente para transiciones. La formulacin de rigideces del elemento de tres nodos es razonable, sin embargo la recuperacin de los esfuerzos es pobre.

Membrana en el plano

Bending fuera del plano se recomienda usar el mismo valor para ambos

ELEMENTO CUADRILATERAL

ELEMENTO TRIANGULAR

Uso del Elemento Cuadrilateral

ELEMENTO SHELL

Conectividad

Las ubicaciones de las juntas deben escogerse para satisfacer las siguientes condiciones geomtricas:

El ngulo interno en cada esquina debe ser menor de 180. Los mejores resultados para un elemento cuadrilateral se obtendrn cuando estos ngulos estn cercanos a 90 o al menos en el rango de 45 a 135.

La relacin de aspecto de un elemento no debe ser muy grande. Para el tringulo, sta es la relacin del lado mas largo al mas corto. Para el cuadriltero es la relacin de la distancia mayor entre los puntos medios de lados opuestos a la distancia ms corta. Los mejores resultados se obtienen para relaciones de aspecto cercanas a la unidad, o al menos menor de 4. La relacin de aspecto no debe exceder 10.

ELEMENTO SHELL

Conectividad

Para el elemento cuadrilateral, las cuatro juntas no tienen que ser coplanares. El programa toma en cuenta una pequea cantidad de distorsin. El ngulo entre las perpendiculares en las esquinas da una medida del grado de distorsin. La normal en una esquina es perpendicular a los dos lados que llegan a esa esquina. Los mejores resultados se obtienen si el ngulo ms grande entre cualquier par de esquinas es menor de 30. Este ngulo no debeexceder de 45.

Estas condiciones se cumplen con un refinamiento adecuado de la malla.

ELEMENTO SHELL

Condiciones de Borde

Se le puede asignar condiciones de borde automticas a cualquier elemento SHELL. Cuando se asignan condiciones de borde a cualquier elemento SHELL, el programa automticamente conecta todas las juntas que estn en el borde del elemento a las juntas de esquina adyacentes del elemento.

Las condiciones de borde se pueden usar para conectar mallas en elementos SHELL que estn mal unidas (desajustadas), pero tambin conecta cualquier elemento que tenga una junta en el borde del cascarn a ese cascarn. Esto incluye vigas, columnas, juntas restringidas, links, etc.

La figura muestra un ejemplo de dos mallas mal unidas, una conectada con condiciones de borde y la otra no. En la malla conectada, a la derecha, se asignaron condiciones de borde a todos los elementos, aunque solo era necesario hacerlo para los elementos en la transicin. Esto tiene poco efecto en el rendimiento y ninguno en el resultado

Sin Condiciones de

Borde

Con Condiciones de

Borde en todos los

elementos

Conexin de Mallas usando Condiciones de Borde

ELEMENTO SHELL

Condiciones de Borde

La ventaja de usar Condiciones de Borde en lugar de las transiciones en la malla mostradas anteriormente, es que las Condiciones de Borde no requieren la creacin de elementos distorsionados. Esto puede mejorar la exactitud de los resultados. Sin embargo, es importante entender que para cualquier transicin el efecto de la malla ms gruesa se propaga hacia la malla ms fina en una distancia que est en el orden del tamao del elemento ms grande, ya que est gobernado por el efecto de Saint Venant. Por esta razn es necesario asegurarse de crear las transiciones de malla lo bastante separadas de la reas donde se necesita resultados de esfuerzos detallados.

ELEMENTO SHELL

Grados de Libertad

El elemento SHELL siempre activa seis grados de libertad en cada una de sus juntas. Cuando el elemento se usa como slo membrana se deben asegurar proveer restricciones u otros apoyos para los grados de libertad de traslacin perpendicular y rotaciones por flexin. Cuando el elemento es usado solamente como placa se debe proveer restricciones para los grados de libertad de traslaciones en el plano y rotacin respecto a la normal.

Se recomienda el uso del comportamiento de cscara (shell) para todas las estructuras tridimensionales (membrana + placa).

ELEMENTO SHELL

Sistema de Coordenadas Locales

Cada elemento SHELL tiene su propio sistema de coordenadas locales, el cual es usado para definir propiedades de los materiales, cargas y resultados. Los ejes de este sistema local se denotan como 1, 2 y 3. Los primeros dos ejes estn contenidos en el plano del elemento en una orientacin especificada por el usuario, y el tercero es normal al plano.

Es importante entender claramente la definicin del sistema de coordenadas locales del elemento 1-2-3 y su relacin con el sistema de coordenadas globales X-Y-Z. Ambos sistemas son sistemas cartesianos. Es importante definir sistemas de coordenadas locales que simplifiquen la entrada de datos y la interpretacin de resultados.

En la mayora de las estructuras la definicin del sistema de coordenadas local es simple, usando la orientacin por defecto o el ngulo de coordenadas del elemento SHELL.

ELEMENTO SHELL


El eje 3 local siempre es normal al plano del elemento SHELL. Este eje se dirige hacia fuera cuando j1-j2-j3 tiene sentido antihorario. Para elementos cuadrilaterales, el plano del elemento se define por los vectores que conectan los puntos medios de los dos pares de lados opuestos.

La orientacin por defecto de los ejes locales 1 y 2, se determinan por la relacin entre el eje local 3 y el eje global Z:

El plano local 3-2 es paralelo al eje Z, es decir vertical.

El eje local 2 tiene un sentido hacia arriba (+Z), a menos que el elemento sea horizontal, en cuyo caso el eje local 2 es horizontal paralelo a la direccin +Y global

El eje local 1 siempre es horizontal, es decir, est contenido en el plano X-Y.

ELEMENTO SHELL


Se considera que el elemento es horizontal si el seno del ngulo entre el eje local 3 y el eje global Z es menor que 10-3.

El eje local 2 tiene el mismo ngulo con el eje vertical como el eje local 3con el plano horizontal.

El ngulo de coordenadas del elemento SHELL, ang, se usa para definir la orientacin de elementos que difiera de la orientacin por defecto. Es el ngulo de rotacin de los ejes 1 y 2 respecto a la direccin positiva del eje local 3. La rotacin para un valor positivo de ang, es antihoraria cuando el eje local 3 apunta hacia fuera.

Para elementos horizontales, ang es el ngulo entre el eje local 2 y el eje +Y horizontal. En cualquier otro caso, ang es el ngulo entre el eje local 2 y el plano vertical que contiene el eje local 3.

ELEMENTO SHELL

Propiedades de la Seccin Tipos

Una seccin SHELL es un conjunto de propiedades de materiales y geomtricas que describen la seccin transversal de uno o mas elementos SHELL. Las propiedades de los elementos SHELL son del tipo de propiedad de seccin de rea. Las secciones se definen independientemente de los elementos, y son asignadas a los objetos.

Cuando se define una seccin de rea, se puede escoger entre tres tipos de elementos bsicos:

Shell, con grados de libertad traslacionales y rotacionales, capaz de soportar fuerzas y momentos.

Plane (stress or strain), un , soporta cargas slido bidimensional , con grados de libertad traslacionalespero no momentos..

Asolid, slido axisimtrico con grados de libertad traslacionales , soporta fuerzas pero no momentos.

ELEMENTO SHELL

Tipos de Seccin

Para secciones Shell, se puede escoger uno de los siguientes subtipos de comportamiento:

Membrane, puro comportamiento de membrana. Solo soporta fuerzas en el plano y momento alrededor del eje normal. Material homogneo lineal.

Plate, puro comportamiento de placa. Slo soporta momentos flectores y fuerza transversal. Material homogneo. Permite formulaciones de placa delgada o gruesa

Shell, comportamiento total de cascarn, una combinacin de los comportamientos de membrana y placa. Soporta todas las fuerzas y momentos. Material homogneo. Permite formulaciones de placa delgada o gruesa

Layered, mltiples capas, cada una con diferente material, espesor y ubicacin. Proporciona comportamiento completo de cascarn. Soporta todas las fuerzas y momentos.

Generalmente se recomienda utilizar el comportamiento completo de cascarn, a menos que la estructura completa sea plana y est adecuadamente restringida.

TIPO CASCARN

TIPO PLACA

TIPO MEMBRANA

ELEMENTO SHELL

Espesor

Cada seccin SHELL tiene un espesor constante de membrana y un espesor constante para flexin. El espesor de la membrana, th, se usa para calcular:

Las rigideces de membrana para secciones shell y membrane.

El volumen del elemento para calcular la masa y el peso propio del elemento

El espesor para flexin, thb, se usa para calcular

La rigidez a flexin de placa para secciones shell y plate

Normalmente, estos dos espesores son iguales. Sin embargo para algunas aplicaciones, como modelar superficies corrugadas, los comportamientos de membrana y flexin de placa no pueden se representados adecuadamente con un material homogneo de espesor constante.

ELEMENTO SHELL

Formulacin del Espesor

Hay disponibles dos formulaciones para el espesor, que determinan si las deformaciones transversales por corte son incluidas en el comportamiento de flexin de placas en elementos plate o shell.

La formulacin de placa gruesa (Mindlin/Reissner), que incluye los efectos de la deformacin transversal por cortante.

La formulacin de placa delgada (Kirchoff), que desprecia la deformacin transversal por cortante.

Las deformaciones por cortante tienden a ser importantes cuando el espesor es mayor que un dcimo a un quinto de la luz. Tambin pueden ser significativas en las cercanas de concentraciones de esfuerzos de flexin, como cuando ocurren cambios sbitos de espesor o condiciones de apoyo, y cerca de agujeros y esquinas reentrantes.

ELEMENTO SHELL

ELEMENTO SHELL

ngulo del Material

ELEMENTO SHELL

Masa

En un anlisis dinmico, la masa de la estructura se usa para calcular fuerzas inerciales. La masa contribuida por los elementos SHELL se concentra en las juntas del elemento. No se consideran efectos inerciales dentro del elemento.

La masa total del elemento es igual a la integral sobre el plano del elemento de la densidad de masa, m, multiplicada por el espesor, th. La masa total es distribuida a las juntas de una manera que es proporcional a los trminos diagonales de la matriz consistente de masas. La masa total se aplica a cada uno de los grados de libertad traslacionales, UX, UY y UZ. No se calculan momentos de inercia de masa a los grados de libertad rotacionales.

ELEMENTO SHELL

Modificadores de Propiedades

Se pueden especificar factores de escala para modificar las propiedades calculadas de la seccin. Estas pueden ser usadas, por ejemplo, para tomar en cuenta el agrietamiento del concreto, fabricacin corrugada u ortotrpica, u otros factores no fcilmente descritos en los valores de geometra y propiedades del material.

Rigidez de membrana correspondiente a la fuerza F11



Rigidez de flexin de placa correspondiente al momento M11



Rigidez cortante de placa correspondiente a la fuerza V12

Rigidez cortante de placa correspondiente a la fuerza V13

Masa

Peso

ELEMENTO SHELL

Modificadores de Propiedades

Se dispone de modificadores individuales para los siguientes diez trminos:

ELEMENTO SHELL

Cargas de Peso Propio

Las cargas de peso propio pueden aplicarse en cualquier caso de carga para activar el peso propio de todos los elementos del modelo. Para un

elemento SHELL, el peso propio es una fuerza uniformemente distribuida sobre el plano del elemento. La magnitud del peso propio es igual al peso unitario, w, multiplicado por el espesor, th, para secciones homogneas.

El peso propio siempre acta hacia abajo, en la direccin global Z. El peso propio puede escalarse por un factor que aplica a la estructura completa.

ELEMENTO SHELL

Cargas Uniformes

ELEMENTO SHELL

Cargas de Presin de Superficie

Las cargas de presin de superficie se usan para aplicar presiones externas en cualquiera de las seis caras del elemento SHELL. La definicin de estas caras se muestra en la figura. Presiones positivas se dirigen hacia el interior del elemento.

ELEMENTO SHELL

Resultados. Fuerzas Internas y Esfuerzos

Los esfuerzos en los elementos SHELL, son las fuerzas por unidad de rea que actan dentro del volumen del elemento para resistir las cargas. Estos esfuerzos son:

Esfuerzos directos en el plano, S11 y S22.

Esfuerzo cortante en el plano, S12.

Esfuerzos cortantes transversales, S13 y S23.

Esfuerzo directo transversal, S33 (siempre asumido como cero).

Se asume que los tres esfuerzos en el plano son constantes o varan linealmente a travs del espesor del elemento.

Se asume que los dos esfuerzos transversales de corte son constante a travs de su espesor. La distribucin de esfuerzo cortante es parablica, siendo cero en las superficies superior e inferior y tomando un mximo o mnimo en el centro del elemento.

ELEMENTO SHELL


Las fuerzas internas del elemento, llamadas tambin Resultantes de esfuerzos, son las fuerzas y momentos que resultan de integrar los esfuerzos sobre el espesor del elemento. Estas fuerzas internas son:

Fuerzas internas de membrana, F11 y F22,

Fuerza cortante de membrana, F12,

Momentos de flexin de placa, M11 y M22,

Momento torsor de placa, M12,

Fuerzas cortantes transversales de placa, V13 y V23.

Es importante hacer notar que estas resultantes de esfuerzos son fuerzas y momentos por unidad de longitud en el plano. Ellos estn presentes en cada punto de la superficie media del elemento.

Las convenciones de signos para los esfuerzos y fuerzas internas se muestran en la siguiente figura.

ELEMENTO SHELL


Las fuerzas internas del elemento SHELL son las fuerzas y momentos que resultan de integrar los esfuerzos sobre el espesor del elemento. Estas fuerzas son:

Fuerzas directas de membrana:

th

2th11 11 3

2

th

2th22 22 3

2

F dx

F dx

ELEMENTO SHELL


Fuerzas Cortantes de Membrana

th

2th12 12 3

2

F dx

Momentos de Flexin de Placa:

thb

2thb11 11 3

2

thb

2thb22 22 3

2

M t dx

M t dx

ELEMENTO SHELL


Momento de alabeo

thb

2thb12 12 3

2

M t dx

Fuerzas Cortantes Transversales

thb

2thb13 13 3

2

thb

2thb23 23 3

2

V dx

V dx

donde x3 representa el espesor medido desde la superficie media del elemento

ELEMENTO SHELL


Estas resultantes de esfuerzos son fuerzas y momentos por unidad de longitud en el plano. Ellas estn presentes en cada punto de la superficie media del elemento.

Las fuerzas cortantes transversales se calculan de los momentos usando las ecuaciones de equilibrio:

11 1213

1 2

12 2223

1 2

dM dMV

dx dx

dM dMV

dx dx

donde x1 y x2 son las coordenadas en el plano paralelas a los ejes locales 1y 2.

ELEMENTO SHELL


Las fuerzas internas positivas corresponden a un estado de esfuerzos positivos que es constante a travs del espesor. Momentos internos positivos corresponden a un estado de esfuerzo que vara linealmente a travs del espesor y es positivo en la parte inferior. Por lo tanto:

11 1111 33

22 2222 33

12 1212 33

F 12Mx

th thb

F 12Mx

th thb

F 12Mx

th thb

1313

2323

33

V

thb

V

thb

0

Los esfuerzos cortantes transversales anteriores son valores promedio. La distribucin de esfuerzo cortante real es parablica, siendo cero en la parte superior e inferior del elemento y tomando un valor mximo o mnimo en la superficie media.

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