5 UD5 Potencias RaÃces Logaritmos

Matemáticas académicas. 4º ESO

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TEMA 5. POTENCIAS Y RAÍCES. LOGARITMOS.

5.1. Potencias. 5.2. Radicales. 5.3. Racionalización. 5.4. Notación científica. 5.5. Interés simple e interés compuesto. 5.6. Logaritmos. 5.7. Propiedades de los logaritmos.

5. 1. Potencias. 5.1.1. Propiedades de las potencias:

5.1.2. Identidades notables.


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5.2. Radicales. 5.2.1 Radicales. Un radical es la raíz indicada de un número.

√8 = 2 quiere decir que 2 = 8

5.2.2. Propiedades de los radicales.

RADICANDO ÍNDICE Nº RAÍCES REALES

EJEMPLO

𝑎 > 0 PAR 2 √25 = ±5 ya que 5 = 25 y (−5) = 25

IMPAR 1 √27 = 3 ya que 3 = 27

𝑎 < 0 PAR 0 √−25 no existe

IMPAR 1 √−27 = −3 ya que (−3) = −27

𝑎 = 0 PAR 1 √0 = 0

IMPAR 1 √0 = 0


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5.2.3. Extraer e introducir factores en un radical.

5.3. Racionalización de denominadores. Racionalizar es escribir una fracción equivalente que no tenga raíces en el denominador.

5.4. Notación científica.


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Ejemplos: 1. Uso de notación científica: a) 15 000 000 000 b) 0,00034 c) 0,123 2. Operaciones con notación científica:

𝑎) 4 ∙ (10 )

2 ∙ 10

𝑏) 8 ∙ 10

3 ∙ 10

c) 3,3 ∙ 10 ∙ 4,5 ∙ 10

5.5. Interés simple e interés compuesto. 5.5.1 Aumentos o disminuciones porcentuales.


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5.5.2. Interés simple. El interés simple, i, es el beneficio que origina una cantidad de dinero, denominada capital inicial, C0,en un tiempo, t, a un interés (rédito) del r%. Beneficio obtenido en un periodo = 𝑟% 𝑑𝑒 𝐶 El interés es simple cuando los beneficios obtenidos se retiran al final de cada período de tiempo. Por tanto el capital final: 𝐶 = 𝐶 + 𝑖

Los intereses se calculan:


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5.5.3. Interés compuesto.

Interés simple Capital inicial: 𝐶 = 1000€ Interés simple anual: r = 2% Tiempo: t = 3 años 𝐶 = 𝐶 + 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 Los intereses totales se calculan al final de los 3 años:

𝑖 =𝐶 ∙ 𝑟 ∙ 𝑡

100=

1000 ∙ 2 ∙ 3

100= 60

𝐶 = 1000 + 60 = 1060€

Interés compuesto

Capital inicial: 𝐶 = 1000€ Interés simple anual: r = 2% Tiempo: t = 3 años Los interese se recalculan cada año: Primer año: 𝐶 = 1000 + 2%𝑑𝑒 1000 = 1000 + 20 =1020 Segundo año:

𝐶 = 1020 + 2%𝑑𝑒 1020 = 1020 + 20,4= 1040,4

Tercer año:

𝐶 = 1040,4 + 2%𝑑𝑒 1040,4= 1040,4 + 20,81= 1061,21

Usando la fórmula se calcula directamente:

𝐶 = 𝐶 1 +𝑟

100

𝐶 = 1000 1 +2

100= 1000(1 + 0,02)

= 1000 ∙ 1,02 = 1061,21


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5. 6. Logaritmos. El logaritmo en base a de un número p es el exponente m al que hay que elevar la base para obtener el número p

log 𝑝 = 𝑚 ⟺ 𝑎 = 𝑝 La base cumple: 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 Ejemplo 1. log 8 = 𝑝 ⟹ 2 = 8 si dos potencias tienen igual base significa que los exponentes son iguales ⟹ 2 = 8 = 2 ⟹ 𝑝 = 3 Ejemplo 2. Usando la definición y utilizando la igualdad entre potencias calcular los siguientes logaritmos:

a) log 128 = 𝑥 ⟹ 2 = 128 = 2 ⟹ 𝑥 = 7 ⟹ log 128 = 7 (descomponiendo en factores de base 2 el número 128 obtenemos la potencia de base 2)

b) log 81 = 𝑥 ⟹ 3 = 81 = 3 ⟹ 𝑥 = 4 ⟹ log 81 = 4 c) log 125 = 𝑥 ⟹ 5 = 125 = 5 ⟹ 𝑥 = 3 ⟹ log 125 = 3

El logaritmo en base 10 se llama logaritmo decimal y no se escribe la base

log 𝑝 = 𝑚 ⟺ 10 = 𝑝 log 100000 = 𝑥 ⟹ 10 = 100000 = 10 ⟹ 𝑥 = 5 ⟹ log 100000 = 5

log 0,001 = 𝑥 ⟹ 10 = 0,001 = 𝑒𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡í𝑓𝑖𝑐𝑎 = 10 ⟹ 𝑥 = −3 ⟹ log 0,001 = −3

En la calculadora log es el logaritmo decimal. El logaritmo en base e se llama logaritmo neperiano y se escribe

ln 𝑝 = 𝑚 ⟺ 𝑒 = 𝑝 El número e es un número irracional e = 2,718281828… En la calculadora ln es el logaritmo neperiano. No existe el logaritmo de cero ni de números negativos (en cualquier base). log −4 = 𝑥 ⟹ 2 ≠ −4 log 0 = 𝑥 ⟹ 3 ≠ 0


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Ejemplo 3. Calcula los siguientes logaritmos utilizando la definición:

a) log 27 d) log

b) log 625 e) log

c) log 343 f) log

Solución:

Ejemplo 3. Calcula “x” utilizando la definición de logaritmo: a) log 𝑥 = 2 c) log 𝑥 = −2 e) log 𝑥 = 3 g) log 𝑥 = 0,4 b) log 𝑥 = −1 d) log 𝑥 = 0 f) log 𝑥 = 1,5 h) log 𝑥 = −1

Solución:

Ejemplo 4. Calcula la base de los siguientes logaritmos:

a) log 64 = 6 d) log = −3

b) log 125 = 3 e) log = −2

c) log 729 = 3 f) log = 2

Solución:


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5. 7. Propiedades de los logaritmos. Solo existen los logaritmos de los números positivos (y ≠ 0) 1) log 1 = 0 ⟹ 𝑎 = 1 2) log 𝑎 = 1 ⟹ 𝑎 = 𝑎 log 2 = 1 ; log 10 = 1 ; ln 𝑒 = 1 3) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos: log (𝐴 ∙ 𝐵) = log 𝐴 + log 𝐵 4) El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los logaritmos: log (𝐴/𝐵) = log 𝐴 − log 𝐵 5) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base: log 𝐴 = n ∙ log 𝐴 6) Uso de la calculadora (cambio de base).

log 𝐴 = 𝑥 ⟹ 𝑥 =log 𝐴

log 𝑎

Ejemplo 1. log 5 = 𝑥 ⟹ 3 = 5 y no lo podemos calcular usando la definición, pero si con el cambio de base y la calculadora:

log 5 = 𝑥 ⟹ 𝑥 =log 5

log 3= 1,46497 … ≅ 1,46

Ejemplo 2. También usamos este método cuando la incógnita está en el exponente:

4 = 5 Tomamos logaritmos en ambos miembros de la ecuación:

log 4 = log 5


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Usando las propiedades de los logaritmos y despejando x:

𝑥 ∙ log 4 = log 5 ⟹ 𝑥 =log 5

log 4≅ 1,16

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