5.1 Procedimiento Trefftz-Herrerammc2.geofisica.unam.mx/mdiaz/Tesis/MDV/Cap_5.pdf · y (4.3), para...

Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera

5 Método de Colocación Trefftz-Herrera

5.1 Procedimiento Trefftz-Herrera

En la sección 2.4.1 se ofreció un resumen de los resultados necesarios para aplicar la

formulación variacional del método de Trefftz-Herrera a la ecuación elíptica general de

segundo orden. A continuación realizaremos su obtención de manera sistemática para el

problema de contorno con saltos prescritos Ecs.(4.1), (4.2) y (4.3) introducido en la sección

4.2.

Para la derivación de un procedimiento Trefftz-Herrera partiremos de la Ec. (2.34) que es

su formulación variacional en términos de la información buscada

(5.1) * ˆ( ) , , ; ( )Q C K u w f g j w w< − − >=< − − > ∀ ∈ ΩH2

donde 2 2 2 21 2

ˆ ( ) ( ) ( ) ... ( )EΩ ≡ Ω ⊕ Ω ⊕ ⊕ ΩH H H H

En este caso conocemos que el adjunto formal del operador elíptico dado en (4.1) es L

* ( )w a w b w≡ −∇ ⋅ ⋅∇ − ⋅∇ +L cw (5.2)

Entonces la función bilineal vectorial ( ),u wD se expresa como:

( ) ( ),u w a u w w u buw= ⋅ ∇ − ∇ +D ; (5.3)

Lo cual resulta fácil de comprobar si verificamos que se cumple:

( ) ( )

*

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

,

w u u w

w a u bu cu u a w b w cw

w a u w bu cwu u a w ub w cuw

a w u a u w a u w a u w buw

a u w w u buw

u w

− =

= −∇ ⋅ ⋅∇ +∇⋅ + − −∇ ⋅ ⋅∇ − ⋅∇ +

= − ∇⋅ ⋅∇ + ∇⋅ + + ∇⋅ ⋅∇ + ⋅∇ −

= −∇⋅ ⋅ ∇ − ⋅∇ ⋅∇ +∇⋅ ⋅ ∇ + ⋅∇ ⋅∇ +∇⋅

= ∇ ⋅ ⋅ ∇ − ∇ +

= ∇⋅ D

L L

) (5.4)

Una manera sistemática de obtener tanto el adjunto formal como la función bilineal

vectorial

*L

( ,u wD ) se expone en [6].

43


Entonces podemos definir ( ),u wB y ( )* ,u wC , cuando las condiciones de frontera son

del tipo Dirichlet Ec.(4.2), se obtiene:

( ) ( ), nu w n a w b w u ;∂= ⋅ ⋅∇ +B (5.5)

( ) ( )* , ;u w w n a u∂= ⋅ ⋅∇C (5.6)

donde involucra los valores prescritos de frontera, que en este caso son de tipo

Dirichlet y los valores no prescritos o complementarios de frontera que son

de tipo Neumann

( ,u wB

u∂

)

)(* ,u wC

n a . u∂⋅ ⋅∇

Y correspondientemente, para las condiciones de salto prescritas en las Ecs. (4.3)

obtenemos aplicando el resultado de la Ec.(2.11) que :

( ) [ ]( ) [ ]( ).

, , nu w u w n u n a w b w w n a u≡ − ⋅ = − ⋅ ⋅∇ + + ⋅ ⋅∇DJ ; (5.7)

( ) [ ]( ) [ ]( ).

* , , ;nu w u w n u n a w b w w n a u ≡ ⋅ = ⋅ ⋅∇ + − ⋅ ⋅ DK ∇ (5.8)

donde ;nb b n= ⋅ [ ]u u u+ −= − y ( ) / 2;u u u+ −= +

Una forma conveniente de descomponer ( ),u wJ es agrupando los términos que involucran

al salto de la función en ( )0 ,u wJ y los correspondientes al salto del flujo en ( )1 ,u wJ de la

siguiente manera:

( ) ( ) ( )0 1, ,u w u w u w= +J J J , ; (5.9)

donde ( ) [ ]( ) ( ).

0 1, y ,nu w u n a w b w u w w n a u= − ⋅ ⋅∇ + = ⋅ ⋅∇J J

)

(5.10)

Y análogamente a la podemos descomponer en: (* ,u wK

44


( ) ( ) ( )0 1* , * , * , ;u w u w u w= +K K K (5.11)

( ) ( ) [ ]( ).

0 1* , y * ,nu w u n a w b w u w w n a u = ⋅ ⋅∇ + = − ⋅ ⋅∇ K K (5.12)

donde involucra el promedio de la solución u y el promedio del

flujo

(0 * ,u wK ) )(1 * ,u wK

n a respectivamente. u⋅ ⋅∇i

Observación 5.1: En el capítulo 3 se dieron los fundamentos teóricos de los procedimientos

Trefftz-Herrera que nos permiten manejar de manera sistemática y con flexibilidad la

información del problema de contorno con saltos prescritos. En particular se anticiparon

algunas variantes de cómo proceder en el caso de un problema elíptico donde la

información buscada se puede concentrar en las fronteras interiores Σ si se eligen

funciones de peso apropiadas que suministren información exclusivamente en Σ de

manera que S es la información buscada y es la información restante

que debemos eliminar. Es muy importante destacar que en dependencia de la forma en que

se elija la descomposición

SK≡ CKCR +≡

SK K K C≡ + se dará lugar a diferentes procedimientos de

Trefftz-Herrera, lo cual es uno de los aspectos más valiosos de este enfoque y abre un

mundo de posibilidades a la hora de desarrollar tanto un procedimiento numérico de

discretización como de descomposición de dominio.

A continuación veremos en términos generales dos ejemplos de procedimientos de Trefftz-

Herrera partiendo de la descomposición de . K

Procedimiento TH-1: Si

* * y * 0;SK K K C≡ ≡ (5.13)

entonces resulta un procedimiento con subdominios ajenos:

(5.14) * , , ; K u w f g j w w− < >=< − − > ∀ ∈E

45


donde y QN N⊂ ∩E C

2ˆ ( ) : * 0, ;QN w w en= ∈ Ω = ΩH L (5.15)

2ˆ ( ) : 0, ;CN w w en= ∈ Ω = ∂ΩH (5.16)

Procedimiento TH-2: Si

(5.17) 0* * y * *;S CK K K K≡ 1≡

entonces resulta un procedimiento con subdominios yuxtapuestos:

(5.18) 0 * , , ; K u w f g j w w− < >=< − − > ∀ ∈E

donde 1Q C KN N N⊂ ∩ ∩E , están definidos como en TH-1 y y QN NC

[ ] 12ˆ ( ) : 0, ;

KN w w en= ∈ Ω = ΣH (5.19)

Una simple inspección de los procedimientos arriba enunciados nos permite ver que en el

primero TH-1 se obtendrá información que involucra tanto al promedio de la solución u

como al de su derivada en las fronteras interiores Σ , mientras que en el segundo TH-2 se

obtiene información exclusivamente sobre u en Σ . Esto nos lleva a dos conclusiones:

i. que el segundo procedimiento resulta computacionalmente más eficiente puesto que

involucra menos información y por consiguiente las matrices del sistema son más

pequeñas.

ii. que en el primero obtenemos información redundante ya que resulta suficiente con

obtener el promedio de u en Σ , para obtener problemas bien planteados en cada

una de las subregiones de la partición , 1,...,i i EΩ = . Nótese que si conocemos el

46


promedio de u y el salto [ , entonces podemos conocer los valores de la solución

a cada lado de , es decir

]u

Σ

u u= +

g w

[ ]j n ⋅

w⋅

)

[ ] [ ]12 y ;u u u u+ − = − (5.20) 1

2

Por las ventajas que ofrece, en lo sucesivo nos concentraremos en el desarrollo del segundo

procedimiento TH-2, al cual llamaremos simplemente TH.

Retomando la Ec. (5.18) y definiendo los funcionales f, g y j que de acuerdo al problema

toman la forma siguiente:

, ;f w wf dΩΩ= ∫ x (5.21)

( ), u a w bw nd x∂∂Ω

= ⋅∇ + ⋅∫ (5.22) ;

(5.23) ( ), ;nw u a w b w d x w n a u d xΣ ΣΣ Σ

= − ⋅∇ + + ⋅ ⋅∇ ∫ ∫i

Entonces, sustituyendo f, g, j y la expresión de 0 * ,K u w< > en la Ec. (5.18) obtenemos:

( )

[ ]( ) ;

n n

n

u n a b w d x wf d x u n a w b w d x

u n a w b w d x w n a u d x w

Ω ∂Σ Ω ∂Ω

Σ ΣΣ Σ

− ⋅ ∇ + = − ⋅ ⋅∇ + +

+ ⋅ ⋅∇ + − ⋅ ⋅∇ ∀

∫ ∫ ∫

∫ ∫i

E (5.24)

∈

En particular, cuando los coeficientes son funciones continuas, el operador

dado en la Ec.(5.12) toma la forma

0 *( , )u wK

( ) [ ]0 * ,u w n a w u= ⋅ ⋅ ∇K ; (5.25)

ya que [ ] 0w = , es decir es continua en Σ por pertenecer a 1KN , mientras que el operador

de frontera se transforma en ( ,B u w

( ) ( ),u w n a w u ;∂= ⋅ ⋅∇B (5.26)

ya que se anula en la frontera exterior w ∂Ω por pertenecer a . CN

47


Sustituyendo las Ecs (5.25) y (5.26) en la Ec. (5.24) resulta:

[ ]

( ).

0 1 ; n

n a w ud x wf d x u n a wd x

j n a w b w d x wj d x w

Ω ∂Σ Ω ∂Ω

Σ ΣΣ Σ

− ⋅ ⋅ ∇ = − ⋅ ⋅∇ +

+ ⋅ ⋅∇ + − ∀

∫ ∫ ∫

∫ ∫ E∈ (5.27)

que es la expresión particular del procedimiento TH cuando los coeficientes son continuos.

Hasta aquí hemos ofrecido los detalles generales que caracterizan al procedimiento de

colocación Trefftz-Herrera en n dimensiones. Aún nos restaría por desarrollar la

construcción de sistemas de funciones de peso que fueran TH-completos en el sentido

expuesto en el capítulo 3 para el problema de contorno con saltos prescritos Ecs.(4.1), (4.2)

y (4.3), para lo cual, en la presente tesis, se usaran polinomios hasta cierto grado G y

mostraremos su implementación para el caso lineal y cúbico. Como hicimos con colocación

convencional nos concentraremos en la discusión del problema en dos dimensiones.

5.2 – Estrategia para la Construcción de un Sistema de Funciones de Peso

TH-Completo usando Polinomios.

Consideraremos la misma partición rectangular del dominio dada en la Fig. 4.1 del capítulo

anterior y analizaremos el caso con subregiones yuxtapuestas. Para esto asociaremos

tomaremos una subregión formada por cuatro elementos ijΩ , , , ij I II III y IVλ λΩ = , de la

descomposición de dominio asociados con su nodo central ( ),i jx y como se muestra en la

Fig.5.1a. La frontera de la subregión ijΩ es ijΩ∂ , mientras que la parte de la frontera

interior que une a los cuatro elementos de Σ ijΩ la designaremos por Σ (Fig. 5.1a) y está

constituida por cuatro segmentos numerados en forma de cruz.

ij

Entonces, en cada subregión ijΩ se construye un sistema de funciones que sean continuas

Ec.(5.19), se anulen en ∂Ω Ec.(5.16) y satisfagan la ecuación adjunta homogénea

0* =wL , Ec.(5.15). De esta manera, usando la numeración arriba introducida en ijΣ , se

pueden construir cinco grupos de funciones de peso asociadas con cada nodo . ),( ji yx

48


IΩ( ), i jx y

II

Σij

Fig. 5.1a: Subre

Estas se caracterizan (Fig. 5.

completa; se anula ijΩ (1 ,w x y)

se anula idénticamente e( , y)2w x

idénticamente en Ω ∪ y su Iij

IVijΩ

en y su soporte es IijΩ ∪ II

ijΩ IIIijΩ ∪

0w 1w

Fig. 5.1b: Soporte Grupo 0.- Este grupo está formad

cuatro fronteras interiores de la

yj).

ij

IVΩ

1

ij∂Ω

ijΩ2

IIIΩ

3

4 ij

gión ijΩ asocia

1b) por: (0iw x

idénticamente e

n IIIij

IVijΩ ∪Ω y s

soporte es IIijΩ ∪

IVijΩ .

2w

s de las funcion

o por una sola fu

Fig. 5.1b, y tom

49
ij
da con el nodo (

), jy 1= y su s

n IIij

IIIijΩ ∪Ω y s

u soporte es IijΩ ∪

IIIijΩ ; ( )x2w x4

1 ,

3w

es de peso (somb

nción la cual es

a el valor (xw0

),i jx y .

oporte es

u soporte e

IijIΩ ; (3w x

se anula i

reados).

lineal en ca

)ji y, =1, e

la subregión

s I Iij ij

VΩ ∪Ω ;

se anula , )y

dénticamente

4w

da una de las

n el nodo (xi,


Grupo 1.- La restricción al intervalo "1", de la Fig. 5.1b, es, cuanto más, un polinomio de

grado "G", el cual se anula en los extremos del intervalo "1".







Se debe destacar que la construcción de las funciones de peso hecha de la manera expuesta

no conduce directamente a un sistema de funciones linealmente independiente. Esto se debe

al hecho de que cada par de nodos vecinos comparten un mismo intervalo debido a que

nuestra partición del dominio es yuxtapuesta. Por ejemplo el intervalo es considerado "1"

por el nodo de la izquierda, mientras que es "3" según el nodo de la derecha y por lo tanto

las funciones asociadas con estos intervalos se cuentan doble.

5.3 Construcción de las Funciones de Peso usando Colocación

5.3.1 Funciones de Peso Lineales

Para el caso de funciones de peso lineales en Σ tenemos una sola función de peso definida

en la subregión Ω asociada a cada nodo interior ij ( ),i jx y , para i E1,..., 1x= − ,

, cuya expresión es: 1,..., 1yj E= −

(5.28) 4

0 0

1( , ) ( , ) ( , ); ( , ) ; ,..., .ij ij ij ij ijw x y B x y C N x y x y I IVλ λ λα λα λ

α

λ=

= + ∈Ω =∑

50


donde las funciones 0 ( , )ijB x yλ son polinomios lineales en las fronteras internas ijΣ , que se

destaca con líneas gruesas en la Fig. 5.1a, mientras que las funciones

se anulan en todo( , ); 1,...,ijN x yλα α = 4, ij ijΣ ∂Ω∪ .

La construcción de las funciones de peso se realiza de manera independiente en cada uno

de los cuatro elementos rectangulares (o cuadrantes) asociados a cada nodo interior

( ,i j )x y , los cuales constituyen su soporte. Su definición por cuadrantes o elementos es

como sigue:

Para λ= Ι (primer cuadrante): ( ) [ ]1 1, , ,i i j jx y x x y y+ + ∈ ×

IijΩ

( ), 1i j +

( ),i j ( )1,i j+

Fig. 5.2a: Soporte del prime

1

3

( , )

( , )

Iij

Iij

N x y

N x y

Para λ= II (segundo cuadran

IIijΩ

( )1,i j−

Fig. 5.2b: Soporte del segun

r cuadrante IijΩ de la función de peso lineal . 0 ( , )ijw x y

0 ( , ) 1 1 ;jI iij

x y

y yx xB x yh h

− −= − −

1 );+

(5.29)

(5.30) 1 1 2 1 1

1

1 1 4 1 11 1

( ) ( ); ( , ) ( ) ( );

( ) ( ); ( , ) ( ) (

Ii j ij i j

Ii j ij i j

H x H y N x y H x H y

H x H y N x y H x H y+

+ +

= =

= =

te): ( ) [ ]1 1, , ,i i j jx y x x y y− + ∈ ×

( ), 1i j +

( ),i j

d
o cuadrante IIijΩ de la función de peso lineal . 0 ( , )ijw x y
51


0 ( , ) 1 1 ;jII iij

x y

y yx xB x yh h

− −= − −

(5.31)

(5.32) 1 1 1 2 1 1

1

3 1 1 4 1 11 1 1

( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( );

( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( );

II IIij i j ij i j

II IIij i j ij i j

N x y H x H y N x y H x H y

N x y H x H y N x y H x H y−

− + +

= =

= =

Para λ= III (tercer cuadrante): ( ) [ ]1 1, , ,i i j jx y x x y y− − ∈ ×

IIIijΩ

( )1,i j− ( ),i j

, 1i j −

Fig. 5.2c: Soporte del tercer c

0ijB

1

3

( , )

( , )

IIIij

IIIij

N x y

N x y

=

=

Para λ= IV (cuarto cuadrante

ΩIVij

( ), 1i j −

( ),i j

Fig. 5.2d: Soporte del cuarto c

0ijB

( )

uadrante IIIijΩ de la función de peso lineal . 0 ( , )ijw x y

( , ) 1 1 ;jIII i

x y

y yx xx yh h

− −= − −

(5.33)

(5.34) 1 1 2 1 1

1 1 1

1 1 4 1 11

( ) ( ); ( , ) ( ) ( );

( ) ( ); ( , ) ( ) ( );

IIIi j ij i j

IIIi j ij i j

H x H y N x y H x H y

H x H y N x y H x H y− − −

−

=

=

): ( ) [ ]1 1, , ,i i j jx y x x y y+ − ∈ ×

( )1,i j+

uadrante IVijΩ de la función de peso lineal . 0 ( , )ijw x y

( , ) 1 1 ;jIV i

x y

y yx xx yh h

− −= − −

(5.35)

52


(5.36) 1 1 1 2 1 1

1 1

3 1 1 4 1 11

( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( );

( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( );

IV IVij i j ij i j

IV IVij i j ij i j

N x y H x H y N x y H x H y

N x y H x H y N x y H x H y− +

+

= =

= =1−

donde y -son los polinomios cúbicos de Hermite ya definidos en el capítulo

anterior, en colocación convencional.

( )1iH x ( )1

jH y

Observación 5.2: En el caso de funciones de peso lineales tenemos tantas funciones como

nodos interiores, ya que hay una función asociada a cada nodo interior0 ( , )ijw x y ( ),i jx y ,

para i E , . 1,..., 1x= − 1,..., 1yj E= −

53


Fig. 5.3: Gráfico de la función bilineal 000 ( , )IB x y

Fig. 5.4: Gráfico de la función 1 100 0 0( , ) ( ) ( )IN x y H x H y= 1

54


Una manera de construir las funciones de peso es aplicando el método de colocación. En

este caso la colocación se aplica para satisfacer la condición (5.15), es decir las funciones

de peso deben ser soluciones del operador adjunto homogéneo. Entonces resulta el sistema

de colocación:

( )0 , 0; 1,..., 4p pijw x y pλ = =*L (5.37)

Sustituyendo la expresión de las funciones de peso 0ijw λ Ec.(5.28) en la Ec. (5.37) y

evaluando en los puntos de colocación se obtiene:

(5.38) 4

* * 0

1( , ) ( , ); 1,..., 4.p p p p

ij ij ijC N x y B x y pλα λα λ

α=

=∑ L L =

donde son los coeficientes de las funciones de peso ; 1,..., 4ijCλα α = 0ijw λ .

El sistema de ecuaciones que resulta es de dimensión 4 x 4 y se resuelve para cada nodo

interior y para cada cuadrante 1,..., 1; 1,..., 1xi E j E= − = y − ,...,I IVλ = . De esta manera

se obtienen los coeficientesC correspondientes a las funciones de peso ; ijλα α =1,..., 4 0

ijw λ .

5.3.2 Funciones de Peso Cúbicas

Considerando las mismas condiciones que para el caso lineal, cuando las funciones son

cúbicas en Σ , tenemos tres funciones de peso w x asociadas con cada

nodo interior

( , ); 0,1 y 2,ij yµ µ =

( ,i j )x y en la subregión ijΩ . Las funciones ( , )ijB x yµλ satisfacen condiciones

cúbicas de frontera en que se destacan con líneas gruesas en las figuras 5.5, 5.6 y 5.7,

mientras que las funciones son las mismas del caso lineal y se anulan en

todo .

ijΣ

( ,ijN xλα )y

ijΣ ∂∪ ijΩ

Función : 0 ( , )ijw x y

I

Fig. 5.5: Soporte de la func

5

I

IV

II

II

ión de peso cúbica . 0 ( , )ijw x y

5


(5.39) 4

0 0

1( , ) ( , ) ( , ); ( , ) ; ,..., .ij ij ij ij ijw x y B x y C N x y x y I IVλ λ λα λα λ

α

λ=

= + ∈Ω =∑ donde ( ) ( )0 0 0( , ) ; ,...,ij i jB x y H x H y I IVλ λ= = (5.40)

ver Fig. 5.8 y las funciones se definen como en el caso lineal.

( , ); 1,..., 4, , , ,ijN x y I II III IVλα α λ= =


III

II

IV

I

Fig. 5.6: Soporte de la función de peso cúbica . 1 ( , )ijw x y

(5.41) 4

1 1

1( , ) ( , ) ( , ); ( , ) ; ,...,ij ij ij ij ijw x y B x y C N x y x y I IVλ λ λα λα λ

α

λ=

= + ∈Ω =∑ donde ( ) ( )1 1 0( , ) ; ,...,ij i jB x y H x H y I IVλ λ= = (5.42)




IVIII

II I

Fig. 5.7: Soporte de la función de peso cúbica . 2 ( , )ijw x y

(5.43) 4

2 2

1( , ) ( , ) ( , ); ( , ) ; ,...,ij ij ij ij ijw x y B x y C N x y x y I IVλ λ λα λα λ

α

λ=

= + ∈Ω =∑

56


donde ( ) ( )2 0 1( , ) ; ,...,ij i jB x y H x H y I IVλ λ= = (5.44)



Fig. 5.8: Gráfico de la función bicúbica ( ) ( )0 000 0 0( , )I 0B x y H x H y=


57



De modo análogo al caso lineal, las funciones de peso cúbicas

se construyen aplicando el método de colocación: ( ), ; =0,1,2; =I, II, III, IV;ijw x yµλ µ λ

( ), 0; 1,..., 4p pijw x y pµλ = =*L (5.45)

Sustituyendo la expresión de las funciones de peso Ecs.(5.39), (5.41) y (5.43) en la

Ec.(5.45) y evaluando en los puntos de colocación se obtiene:

(5.46) 4

* *

1( , ) ( , ); 1,..., 4.p p p p

ij ij ijC N x y B x y pµλα λα µλ

α=

=∑ L L =

y −

El sistema de ecuaciones que resulta es de dimensión 4 x 4 y se resuelve para cada nodo

interior y para cada cuadrante 1,..., 1; 1,..., 1xi E j E= − = ,...,I IVλ = . De esta manera

se obtienen los coeficientesC correspondientes a las funciones

de peso

; ijµλα

ijw

=1,2 y 3, 1,..., 4µ α =

µλ .

58


Observación 5.3: En el caso de funciones de peso cúbicas tenemos tres funciones

por cada nodo interior( , ); 0,1 y 2,ijw x yµ µ = ( ),i jx y para i E1,..., 1x= − , 1,..., 1yj E= − .

Además tenemos una función asociada a cada nodo frontera, exceptuando las esquinas, es

decir, , , 1 ( , )ijw x y 0,= xi E 1,..., 1yj E= −

2 ( ,ijw x

, para los nodos que pertenecen a las fronteras

izquierda y derecha, mientras que , )y 1,...,i E 1x= − , 0, yj E= asociada a los nodos

que pertenecen a las fronteras superior e inferior, de manera que todas satisfacen la

condición (5.16) de anularse en la frontera.

5.4 Sistema de Ecuaciones del Método de Colocación Trefftz-Herrera

Una vez construidas las funciones de peso, nos restaría expresar de forma apropiada el

promedio de la solución aproximada ( )ˆ , yu x , de manera que al sustituirla en la

formulación variacional nos permitiría obtener el sistema de ecuaciones algebraicas

correspondiente. Una manera de hacerlo es como se procede usualmente en elementos

finitos, usando una combinación lineal de funciones bases. Para escoger las funciones bases

tenemos una amplia libertad de elección puesto que sólo necesitamos que sean funciones

definidas en Σ . Una elección lógica, que aplicaremos en nuestra aproximación, es usar

como funciones bases a las restricciones de las funciones de peso en ( ,ijw x yν ) Σ , es decir

( ,ij )B x yν . La expresión de ( )ˆ , yu x se completa agregando los términos que satisfagan las

condiciones de frontera y de salto prescritas. Entonces, la aproximación de la solución

buscada puede escribirse como:

( ) ( )( ) ( )

( ) [ ]( )

( )1

0 02

, 0 , ,

ˆ , , ,NF

kl kl rs rs klklk l r s k l

u x y U B x y u B x y u B x yν ν σ

η ν η η∂ Σ

−

∂ Σ∈ = ∈ ∈

= + +∑ ∑ ∑ ∑ , ; (5.47)

donde η - es el conjunto de los nodos que tienen funciones de peso (base) asociadas, η∂ - es

el conjunto de todos los nodos que están en la frontera externa ∂Ω , exceptuando las

esquinas, ηΣ - es el conjunto de todos los nodos interiores que están en la frontera interna Σ

asociados al salto prescrito, σ es un signo que toma el valor según sea el lado positivo o

negativo de con respecto a la normal Σ nΣ , ( ),rs r su u x y∂ ∂= y NF es el número de

59


funciones de peso asociadas con cada nodo (para el caso de las funciones de peso lineales

NF=1, mientras que para las cúbicas NF=3).

Al sustituir la expresión (5.47) para la solución aproximada ( )ˆ , yu x y las funciones de

peso en (5.24) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ( ,ijw x yµ )

;ijkl kl ijM U Fµν ν µ= (5.48)

donde se aplica la convención para la suma, es decir que los índices repetidos están

sumados sobre sus rangos,

;ijkl kl ijM B n a w d xµν ν µ

Σ

= − ⋅ ⋅∇ ∫ (5.49)

( )

( ) [ ]( )

( ) ( )

0

,

.0 1 0

2,

;

, y , , ,

ij ij ij rs rs ijr s

ij n ij ij kl ijklk l

F w f d x u n a w d x u B n a w d x

j n a w b w d x w j d x u B n a w d x

k l i j

µ µ µ µ∂

η∂

µ µ µ µσ

η

η µ ν

∂

Σ

Ω ∂∈Ω Ω Σ

Σ Σ ΣΣ Σ∈ Σ

= − ⋅ ⋅∇ + ⋅ ⋅∇

+ ⋅ ⋅∇ + − + ⋅ ⋅∇

∈

∑∫ ∫ ∫

∑∫ ∫ ∫0,..., 1NF= −

(5.50)

En general el sistema resultante es de nueve diagonales en bloques de . Por lo que

en el caso de funciones de peso lineales la matriz del sistema (5.48) es simplemente de

nueve diagonales, ver Fig. 5.11, mientras que cuando se usan las cúbicas se obtiene una

matriz de nueve diagonales en bloques de

NF NF×

3 3× , Fig. 5.12.

En el Anexo A1 se pueden ver los detalles para el cálculo de los coeficientes de la matriz

ijklM µν y del término derecho ijF µ .

Observación 5.4: En el caso de funciones de peso lineales, el primer miembro de la

solución aproximada (5.47) se puede escribir como , mientras que para

el caso de las cúbicas tenemos que

(11

0 0

1 1,

yx EE

kl klk l

U B x y−−

= =∑ ∑

( )2

1 1 0

y yE E

kl klU B x yν ν

ν =

+∑

)

( )1 11

1 1

1 0,, ,

x

x

E

kl klk l l k E

U B x y− −−

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

60


(1

2 2

1 0,,

x

y

E

kl klk l E

U B x y−

= =

+ ∑ ∑

),k l

) , donde U es el valor de la solución aproximada en el nodo con

índices ( , es decir,

0kl

( ) 0ˆ ku x U=,k ly l , de manera análoga ( ) 1ˆ ,k l ku x x y U∂ ∂ = l ,

( ) 2ˆ ,k l klu y x y U∂ ∂ = corresponden a los valores aproximados de las derivadas en los nodos.

16

16

11

Fig. 5.11: Estructura de la Matriz de Colocación TH usando funciones de peso lineales para

una partición de elementos. El ancho de banda es 11. 5 5×

61


64

64

37

Fig. 5.12: Estructura de la Matriz de Colocación TH usando funciones de peso cúbicas para

una partición de elementos. El ancho de banda es 37. 5 5×

62


5.5 Características Numéricas de Colocación Trefftz-Herrera

Como ya se explicó en detalles en el tercer capítulo, el método de Trefftz-Herrera está

basado en la construcción de funciones de peso especializadas que nos permiten manejar

convenientemente la información deseada o buscada acerca de la solución de un problema

con valores de contorno y saltos prescritos (PCSP).

En este caso, el método de Colocación TH arriba descrito usa el método de colocación para

la construcción de estas funciones de peso que deben satisfacer la ecuación adjunta

homogénea, concentrando la información buscada en las fronteras internasΣ . Por este

motivo se considera que es un método de colocación indirecto.

Resulta interesante observar aquí que debido a las condiciones impuestas a las funciones de

peso en el procedimiento TH-2, Ecs.(5.15), (5.16) y

(5.19), éstas pertenecen a un espacio mas reducido

2ˆ ( )Q C Rw N N N∈ ⊂ ∩ ∩ ⊂ ΩHE

( )0C Ω ( espacio de funciones continuas

en ), no obstante de que la solución buscada uΩ 2ˆ ( )∈ ΩH

, en

por sí misma no pertenezca a

, cuando existan saltos prescritos [ ] 0(Ω)0C uΣ ≠ Σ . Consecuentemente las funciones

bases pertenecen también ( )0C Ω , puesto que fueron tomadas como las restricciones de las

funciones de peso en . Σ

Para la construcción de las funciones de peso se usaron polinomios en , que pueden ser

de grado arbitrario G (ver Tabla 5.1), mientras que como puntos de colocación se

aplicaron los ceros de los polinomios de Legendre como en colocación convencional.

Σ

Existe una reducción dramática de los grados de libertad respecto a colocación

convencional puesto que usando polinomios lineales en Σ , se pueden obtener algoritmos

con una sola incógnita asociada para un problema independientemente de las dimensiones

del mismo. Así mismo las matrices resultantes son de menor tamaño y mejor estructuradas.

63


Estas son nonadiagonales en bloques, ver Figs. 5.11 y 5.12. Mientras que si el operador es

simétrico y positivo definido, entonces las matrices también son simétricas y positivo

definidas. Esta última propiedad las hace adecuadas para ser invertidas usando el método

del gradiente conjugado [63,90] que posee una alta eficiencia computacional. En particular

en la implementación se usó una variante del mismo: el Gradiente BiConjugado [88]. Para

una partición con relativamente pocos elementos se pudiera usar el método de

Factorización LU [88] de manera eficiente.

Para la aproximación de las integrales Ecs. (5.49) y (5.50) se empleó el método de

cuadratura gaussiana.

El orden experimental de el error que se obtiene (ver capítulo 7), es deO h que es igual

al de colocación convencional cuando se usan polinomios cúbicos.

( 4 )

Hay que destacar que la complejidad de los algoritmos para los casos con saltos prescritos

y/o coeficientes discontinuos es la misma que para los casos sin saltos y con coeficientes

continuos. En particular, las matrices son idénticas en ejemplos con y sin saltos prescritos

debido al hecho de que los saltos sólo involucran cambios en el término derecho del

sistema global, ver Ecs. (5.48)-(5.50).

A continuación en la Tabla 5.1 se ofrece un resumen de las características numéricas más

importantes del método de colocación TH.

64


Tabla 5.1: Resumen de las características numéricas del método de colocación TH.

No. Característica

Numérica Método de Colocación Trefftz-Herrera

1 Estrategia Uso de funciones de peso especializadas que concentran la información en Σ .

2 Tipo de método de Colocación

Indirecto: la colocación se usa para construir las funciones de peso

3 Funciones bases En general pertenecen a 2ˆ ( )ΩH , en particular son ( )0C Ω .

4 Funciones de peso En general pertenecen a 2ˆ ( )ΩH , en particular son ( )0C Ω .

5 Polinomio de interpolación

Polinomios de grado arbitrario G . En 1-D: G . 2≥En 2-D y n dimensiones: G . 1≥

6 Puntos de colocación Gaussianos: ceros del polinomio de Legendre 7 Número de puntos de

colocación por elemento

( )nNP para n dimensiones, donde . 1NP G= −

8 Partición del dominio Yuxtapuesta 9 Grados de libertad

(incógnitas) asociados con cada nodo

GEn 1-D es un grado de libertad para polinomios de grado

arbitrario. 2≥En 2-D es un grado de libertad para polinomios lineales, mientras que para polinomios cúbicos es de 3 grados de libertad. Puede ser de un grado de libertad para n dimensiones.

10 Tamaño de las matrices

Para un grado de libertad son para n dimensiones, donde

NDI NDI×( )xNDI E ( )1 1yE= − ⋅ − -es el número

de nodos interiores. En 2-D, para el caso de polinomios cúbicos, es de 3 2( 2) 3 2( 2)x y x yNDI E E NDI E E+ + − × + + −

11 Tipo de Matrices En 1-D: Tridiagonal. En 2-D: Nonadiagonal en bloques de NF NF× . Cuando el operador es positivo definido y simétrico resultan matrices simétricas y positivo definidas

12 Ancho de Banda de la Matriz

En 2-D, para polinomios lineales es , mientras que para polinomios cúbicos es , usando una numeración natural de los nodos por x.

2 1xE +7xE +6

13 Métodos de Inversión de la Matriz

En 1-D: algoritmo de Thomas [88]. En 2-D: Factorización LU, Gradiente BiConjugado [88].

14 Error Estimado ˆu u

∞−

En 1-D: ( )2 2G−O h , con polinomios de grado G 2,3= .

En 2-D: ( )2O h , con polinomios lineales, G 1=

y ( )2 2GO h − , con polinomios cúbicos, 3G = .

65

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