51263047-101-Celosias-simples

5/17/2018 51263047-101-Celosias-simples - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/51263047-101-celosias-simples 1/10

Celosías simples: Método gráfico de Cremona-Maxwell

P P

1 2 3 4

D1 D2 D3

L

5 6 7 8

Datos: P = 1kN 100 kp L = 1m E = 2,1·106 kp/cm2

(1) Calcular los esfuerzos N i (P ) de cada una de las barras.(2) Dimensionar la diagonal 3-8 de acero S 275 JR, con límite elástico e = 275 MPa ymódulo de Young E = 2,058·105 MPa, usando un coeficiente de s = 1,15).(3) Calcular el desplazamiento del nudo 6.(4) Calcular el desplazamiento del nudo 2

(1) Para usar el método de Cremona-Maxwell previamente debemos numerar lasregiones:

2 3 4

9 7 5

10 8 6

1



CELOSÍAS SIMPLES

2

Con esta numeración el diagrama de Cremona-Maxwell resulta simplemente:

9 2

6 78 1 3 10

4 5

Los resultados son:

barra esfuerzo tipo

Montantes

(verticales)

2.10

9.8

7.6

4.5

– P

– P

0

0

compresión

compresión

Cordones superior

e inferior (horizontales)

2.9

3.7

5.4

– P

– P

0

compresión

compresión

6.1

8.1

10.1

+P

+P

0

tracción

tracción

Diagonales 9.10 D1

8.7 D2

6.5 D3

+ 2P

0

–

2P

tracción

compresión

(2) La diagonal entre los nudos 3 y 8 corresponde a la barra nombrada como 6.5 en eldiagrama de Cremona-Maxwell. Puesto que la barra está comprimida habrá que calcularla

teniendo en cuenta el efecto del pandeo.

(2a) Pre-dimensionado (A(0) | N i / adm | =

2 kN / 240 MPa = 5,89 mm2). Examinamosvarias tamaños de tubo estructural con el área más pequeña posible:

[cm] [cm2]

tubo 141,5 i c = 0,445 A = 0,59 = 141/0,445 317

tubo 161 i c = 0,532 A = 0,44 = 141/0,532 265

tubo 181 i c = 0,601 A = 0,53 = 141/0,601 235

tubo 201 i c = 0,673 A = 0,60 = 141/0,673 210

tubo 221 i c = 0,743 A = 0,65 = 141/0,743 190

i c : radio de giro o radio de inercia



EJEMPLO 1

3

Estas esbelteces calculadas nos permiten obtener el coeficiente:

() = 0,0002 2 – 0,0093 + 1,1084

tubo 141,5 317 317 18

tubo 161 265 265 13 tubo 181 235 235 10

tubo 201 210 210 7,5

tubo 221 190 210 6,6

0

2

4

6

8

10

12

0 50 100 150 200 250 300

esbeltez

C o e f i c i e n t e o m e g a

(2b) Comprobación de secciones [adm = e / seg 240 MPa]:

[mm2] [MPa] T N

tubo 141,5 317 18 A = 59 = ·N x / A 431 > adm

tubo 161 265 13 A = 44 = ·N x / A 417 > adm

tubo 181 235 10 A = 53 = ·N x / A 267 > adm tubo 201 210 7,5 A = 60 = ·N x / A 177 adm

tubo 221 190 6,6 A = 65 = ·N x / A 144 adm

[(T) indica si se satisface el criterio de tensión, (N) indica si se satisface el criterio deesbeltez máxima fijado por la norma: < 200]. Como puede verse la sección de tubo con

tensión más ajustada es la de 181, en caso de querer cumplir además con la norma

AE-95 deberíamos usar una sección 221.

(3) Calcularemos primero el desplazamiento en el nudo 6 (que en el diagrama deCremona corresponde a la región 1-8-9), para añadiremos una fuerza ficticia vertical F en

el nudo y usaremos el teorema de Castigliano que relaciona el potencial interno o energíapotencial elástica con el desplazamiento:



CELOSÍAS SIMPLES

4

13

1 00

13

1

2

6

0

2 i F

)F (

i

i

i i

F i i

i i

o F

elast

F

F N

E A

L,P N

E A

LF ,P N

F F

F ,P W

Los esfuerzos N i (P ,0) son naturalmente los calculados en el apartado (2), mientras quelos esfuerzos contenidos en el segundo término (el que contiene la derivada) se calculanmediante un nuevo diagrama de Cremona-Maxwell que involucra solo a F 1:

2

9 7 510 8 6

2F /3 1’ F 1’’ F /3

El diagrama de cremona correspondiente es:

8 6 1’’

9 2

57 F

1’ 10

barra Esfuerzo / F tipo

Montantes

(verticales)

2.10

9.8

7.6 2.5

–2/3

+ 1/3

+ 1/30

compresión

tracción

tracción

Cordones superior


2.9

2.7

2.5

– 2/3

– 1/3

0

compresión

compresión

1Recuérdese que por el principio de superposición si una estructura está solicitada por P 1, P 2, ..., P n , los

esfuerzos de cada una de las barras cumplen N i (P 1, P 2, ..., P n ) = a i 1P 1 + a i 2P 2 + ... + a in P n . De hecho estas a ij tienen un sentido físico interesante y están relacionados con los llamados coeficientes de influencia b mn . [larelación funcional es de hecho: b mn = a km ·a kn ].



EJEMPLO 1

5

6.1’’

8.1’’

10.1’

+ 1/3

+ 2/3

0

tracción

tracción

Diagonales 9.10 D1

8.7 D26.5 D3

+2

2/3

–

2/3

– 2/3

tracción

compresióncompresión

Si para simplificar consideramos que todas las barras tienen la misma sección [A A1 =A2 = … = A13 = 65 mm2], podemos calcular fácilmente el descenso del nodo 6:

EA

PL

EA

PL

EA

LP

EA

LP

...EA

PL

EA

PL

EA

PL

EA

PL

EA

PL

EA

PL

diagonales

erior inf cordon erior sup cordon tes tan mon

3

2672224211212

33

2220

3

2222

03

2

3

10

3

1

3

200

3

1

3

26

Substituyendo valores llegamos a que (6) = 3,9 mm.

(4) [Modo 1] Para el desplazamiento de nudo 2 se puede proceder análogamente al casoanterior colocando una fuerza ficticia F adicional el nudo 2 [Por tanto en el nudo 2tendremos aplicada una fuerza F 2 = P +F ]. Calculando un segundo diagrama de Cremonaen para el efecto adicional de F se llega a:

barra Esfuerzo / F tipo

Montantes

(verticales)

2.10

9.8

7.6

2.5

–2/3

–2/3

1/3

0

compresión

compresión

tracción

Cordones superior


2.9

3.7

3.5

–2/3

–1/3

0

compresión

compresión

6.1

8.1

10.1

+1/3

+2/3

0

tracción

tracción

Diagonales 9.10 D1

8.7 D2

6.5 D3

+2

2/3

–

2/3

–

2/3

tracción

compresión

compresión

EA

PL

EA

PL

EA

LP

EA

LP

EA

PL

EA

PL

EA

PL

EA

PL

EA

PL

EA

PL

diagonales

erior cordon erior cordon tes mon

3

26102224211222

33

2220

3

2222

...03

2

3

10

3

1

3

200

3

2

3

2

infsuptan

2



CELOSÍAS SIMPLES

6

Substituyendo valores llegamos a que (2) = 4,6 mm. Obsérvese que esto es lo que cabíaesperar ya que la barra entre los nudos 2 y 6 está comprimida por un axil N x = –P , y que

su acortamiento es 2-6 = PL / EA que de hecho coincide como cabía esperar con ladiferencia (2) – (6):

mm7,03

03

3

267

3

26106262

EA

PL

EA

PL

EA

PL

EA

PL

(4) [Modo 2] Calcularemos el desplazamiento en el nudo 2 donde hay aplicadadirectamente una fuerza usando el teorema de Castigliano, sin usar fuerzas ficticias.Ahora la dificultad es de tipo matemático ya que el potencial elástico debe ser tratadocomo una función de dos variables P 1 [fuerza vertical aplicada en el nudo 2] y P 2 [fuerzavertical aplicada en el nudo 2]; que son precisamente los valores de las dos únicasfuerzas aplicadas sobre la estructura. Pero existe la dificultad de que no conocemos laforma general de la función W elast (P 1,P 2) y por tanto previamente debemos calcularla. Para

ello basta encontrar dos diagramas de cremona uno con P 1 0 y P 2 = 0 y otro con P 1 = 0,P 2 0. Así se obtienen esfuerzos N i = a i 1·P 1 + a i 2·P 2 siendo los coeficientes2:

barra coeficientesa 1i

coeficientesa 2i

tipo[P 1>0 P 2>0]

Montantes

(verticales)

2.10

9.8

7.6

4.5

–2/3

–2/3

1/3

0

–1/3

–1/3

–1/3

0

compresión

compresión

?

Cordones superior


2.9

3.7

4.5

–2/3

–1/3

0

–1/3

–2/3

0

compresión

compresión

6.1

8.1

10.1

+1/3

+2/3

0

+2/3

+1/3

0

tracción

tracción

Diagonales 9.10 D1

8.7 D2

6.5 D3

+2

2/3

–

2/3

–

2/3

+ 2/3

+

2/3

–2

2/3

tracción

?

compresión

Con estos valores el calculo del desplazamiento 2 es como sigue:

13

121

2

1

2

1

13

1

2211

2

12

2

1

13

1

2

2211

1

2

11

21

22

,

i i i i i

P P

P P i i

i i i i

P P

P P i i

i i i

P P

P P

elast

La a a AE

P

E A

LP a a P a

E A

LP a P a

P P

P P W

Substituyendo valores, P 1 = P y P 2 = P , e incluyendo el valor de los coeficientes:

2Del primer cremona se obtienen a 11, a 12, a 13, … y del segundo se obtienen a 21, a 22, a 23, … .



EJEMPLO 1

7

EA

PL

EA

PL...

...EA

PL

EA

PL...

...EA

PL

EA

PL

diagonales erior inf cordon

erior sup cordon tes tan mon

3

2610

9

60122

9

063

9

036

9

0012

3

22

3

2

9

2

3

2

3

2

9

2

3

2

3

22

9

820

3

1

3

2

9

4

3

2

3

1

9

1

03

2

3

1

9

1

3

1

3

2

9

40

3

1

3

1

9

1

3

1

3

2

9

422

Resultado que vuelve a coincidir con el método de la fuerza ficticia.

NOTA: Obsérvese que no habría sido correcto en el cálculo de (2) tomar los valores delprimer diagrama de Cremona, computar W elast (P ) como:

13

1

2

2i

i elast

AE

P N P W [*]

y derivar esta función respecto de P . Ya que la derivada de la función definida no es lamisma [*] función que la derivada que:

P P

P P i

i elast

AE

P ,P N

P P

P ,P W

2

1

13

1

212

11 2[**]



Celosías simples: Método gráfico de Cremona-Maxwell

H

L

La figura muestra una torre de celosía plana en “K” con unafuerza horizontal. Se pide:

(1) Determinar los esfuerzos de las barras cuando lafuerza horizontal vale 100 kN.

(2) Explicar que efecto tendría sobre el diseño de la torre:

a. Cambiar el número de pisos manteniendoiguales la tipología en K y la altura total.

b. Cambiar la proporción entre el ancho y el alto.(3) Determinar los perfiles óptimos para cada tipo de

barra, usando perfiles “L”.(4) Determinar los desplazamientos en los nudos.

H = 7,50 m L = 2,00 m

(1) Usaremos el método de Cremona-Maxwell para determinar las reacciones.(1a) Cálculo de reacciones . Tomando momentos respectivamente respecto a A y B :

M A = R Bv L + FH = 0 R Bv = – F· (H / L) = –375 kN

M B = R Av L – FH = 0 R Av = +F ·(H / L) = +375 kN

Además de esas reacciones tenemos la reacción horizontal en B , R Bh = + F = 375 kN.

(1b) División por regiones y diagrama de Cremona-Maxwell:

6 4 4 3 2 65

5 9 7 7 9

88

2 12 10 3 10 1211 11

15 13 13 1514 14

18 16 16 1817 17

1 1

F 100 kN

Sobre la distribución de esfuerzos axiles entre las barras se tiene:

1) Todas las diagonales tienen el mismo valor absoluto del esfuerzo, aunque lasdiagonales de la mitad derecha están traccionadas y las de la mitad de la derechacomprimidas.



EJEMPO 2: TORRE DE CELOSÍA EN K

9

2) Una situación se da con los travesaños horizontales: todos tienen el mismo esfuerzopero la mitad están comprimidos (parte derecha) y la mitad traccionados (parte izquierda).3) Finalmente los montantes no tienen todos el mismo esfuerzo. La mitad de ellos (partederecha) están traccionados . El esfuerzo en ambos grupos se incrementa en cada piso lamisma cantidad.

barra tipo esfuerzoabsoluto

valor(n = 5)

Barras verticales

(montantes)

2.6 / 4.3

2.9 / 7.3

2.12 / 10.3

2.15 / 13.3

2.18 / 16.3

comp / trac

comp / trac

comp / trac

comp / trac

0 n F

1 n F

2 n F

3 n F

4 n F

0

75,00 kN

150,00 kN

225,00 kN

300,00 kN

Barras horizontales

(travesaños)

6.2 / 4.2

5.9 / 5.7

8.12 / 8.10

11.15 / 11.13

14.18 / 14.16

17.1

trac / comp

trac / comp

trac / comp

trac / comp

trac / comp

trac

F /2

F /2

F /2

F /2

F /2

F /2

50,00 kN

50,00 kN

50,00 kN

50,00 kN

50,00 kN

50,00 kN

Diagonales 6.5 / 4.5

9.8 / 7.8

12.11 / 10.11

15.14 / 13.14

18.17 / 16.17

comp / trac

comp / trac

comp / trac

comp / trac

comp / trac

n F

n F

n F

n F

n F

90,13 kN

90,13 kN

90,13 kN

90,13 kN

90,13 kN

Donde se han empleado el coefcientes n y n dependientes del número de pisos n :

901304

1750

1 2 ,,L

H

n n n n

(2) De los cálculos anteriores se deduce que si la forma de la celosía en cada piso yvariamos otros parámetros cambiarán el valor de los parámetros n y n , por tanto bastadiscutir, la solución en función de estos parámetros:

a) Si aumentamos el número de pisos n , los esfuerzos de los travesaños quedaríaninalterados. Los esfuerzos de las diagonales disminuirían al disminuir el valor de (siendo su valor límite 0,50).En cuanto a los montantes verticales tenemos que los montantes superioresdisminuirían su carga al disminuir n . Sin embargo, el montante más desfavorableque es el inferior aguantaría prácticamente la misma carga axial N = n F (n –1) = (1 – 1/ n )·FH / L.3

3 Si suponemos el mismo perfil para todas las barras verticales y que la sección necesaria de las diagonalesdisminuye al aumentar el número de pisos podemos ver que existe un n 0 que minimiza el peso de la

estructura: P (n ) = 2[Am H + At L + nAt L /2 + nAD (n )LD ] cumpliéndose que dP (n 0)/dn = 2[AtL + A] :::



CELOSÍAS SIMPLES

10

b) Si tratamos de optimizar el peso tenemos contando el número de barras de cada

tipo y el volumen de cada barra (Ai Li ) podemos estimar el peso de la estructuracomo:

Peso = n n D n V H D n D V n V H H H AH ALAn LnALnALAn ,,,, 22)1(22)1(

Donde Ai es el área de la barra más desfavorable de cada grupo (horizontales,verticales y diagonales). Además AH no depende del número de plantas, mientrasque las otras dos tienen la forma:

2

0,,0,,4

111

nL

H AA

n AA D n D V n V

c) Si se varía la proporción H / L el esfuerzo de los travesaños queda inalterado, perodisminuyen las reacciones necesarias en los apoyos para mantener el equilibrio ytambién disminuyen n y n , resultando unos esfuerzos menores en toda laestructura.

(3) Determinar los perfiles óptimos para cada tipo de barra, usando perfiles “L”.

(4) Usaremos para el cálculo de desplazamientos el método de Castigliano

introduciendo cuando no exista una fuerza ficticia en la dirección deseada. Empezaremoscon los desplazamiento horizontales.

Nudo 1 (n = 5, derecha). Es el nudo donde tenemos aplicados los esfuerzos por tantono necesitamos crear ninguna fuerza ficticia, basta calcular:

16

1 kN100

16

1

2

kN100

12

n

i F

i

i

i i

n

i i

i i

F

elast H

F

F N

E A

LF N

E A

LF N

F F

F W

322312

3222

222221

425

10

2

3

5

62

24

16

1322

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

212102

LH

A

L

A

L

L

H

A

H

E

F ...

A

Ln

A

Ln

A

H n n

E

F n

EA

LF ...

...LL

n

EA

F n ...

n

H

EA

F

D

/

t m

D

n

t m

n

diagonales

n

D

n

travesaños

t

tes tan mon

n

m

H

Donde se ha usado que623

231

1

2 n n n m

n

m

51263047-101-Celosias-simples

Documents

Transcript of 51263047-101-Celosias-simples