5.1.Integral Definida
9
Ing. Luis Di Stefano Pag. 1 1. Sea f una función definida y P una partción del intervalo [0,3] Calcular: Las lineas verticales indican la partición Suma Superior Construimos la siguiente tabla: ( Recomiendo Hacerlo de esta forma) i 1 0.00 0.50 0.50 0.00 4.000 2.000 2 0.50 1.00 0.50 1.00 3.000 1.500 3 1.00 1.50 0.50 1.50 4.250 2.125 4 1.50 2.50 1.00 2.50 4.000 4.000 5 2.50 3.00 0.50 3.00 4.000 2.000 11.625 Suma Inferior i 1 0.00 0.50 0.50 0.50 2.250 1.125 2 0.50 1.00 0.50 0.50 2.250 1.125 3 1.00 1.50 0.50 1.00 3.000 1.500 3 1.50 2.50 1.00 1.50 4.000 4.000 4 2.50 3.00 0.50 2.50 4.000 2.000 9.750 4 1 ( , ) ( ). i i i s Pf x m = = ∆ ∑ 1 ( ) i x − 2 2 ( 2) 0 0.5 1 35 () 2 0.5 2 0, ,1, , ,3 2 22 4 2 3 x si x f x x si x y P si x − ≤ < == + ≤ ≤ = < ≤ ) ).( ( i i M x ∆ x i x i ∆ 1 ( ) i x − max x M i 4 1 ( , ) ( ). i i i SPf x m = = ∆ = ∑ () ( ) () 2 4 2 2 1 1 1 1 3 1 ( , ) ( ). .(0 2) . 1 2 . 2 1 (4) (4) 2 2 2 2 2 i i i SPf x M = = ∆ = − + + + + + + ∑ 1 ( ) i x − x i x i ∆ min x m i ( )( ) i x m i ∆ 5 1 ( , ) ( ). i i i s Pf x m = = ∆ = ∑ () ( ) () 2 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( ). . 2 . 2 . 1 2 1 (4) (4) 2 2 2 2 2 2 i i i sPf x m = = ∆ = + + + + + + + ∑ 4 1 ( , ) ( ). i i i SPf x M = = ∆ ∑ ( , ) ( , ) SPf sPf
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Métodos de Integración
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Ing. Luis Di Stefano Pag. 1
1. Sea f una funcin definida y P una partcin del intervalo [0,3] Calcular:
Las lineas verticales indican la particin
Suma Superior
Construimos la siguiente tabla: ( Recomiendo Hacerlo de esta forma)
i1 0.00 0.50 0.50 0.00 4.000 2.0002 0.50 1.00 0.50 1.00 3.000 1.5003 1.00 1.50 0.50 1.50 4.250 2.1254 1.50 2.50 1.00 2.50 4.000 4.0005 2.50 3.00 0.50 3.00 4.000 2.000
11.625
Suma Inferior
i1 0.00 0.50 0.50 0.50 2.250 1.1252 0.50 1.00 0.50 0.50 2.250 1.1253 1.00 1.50 0.50 1.00 3.000 1.5003 1.50 2.50 1.00 1.50 4.000 4.0004 2.50 3.00 0.50 2.50 4.000 2.000
9.750
4
1( , ) ( ).i i
is P f x m
==
1( )ix
2
2
( 2) 0 0.51 3 5( ) 2 0.5 2 0, ,1, , ,32 2 2
4 2 3
x si x
f x x si x y P
si x
-
Ing. Luis Di Stefano Pag. 2
2. Sea f una funcin definida y P una partcin del intervalo [-1,2] Calcular:
Las lineas verticales indican la particin
Suma Superior
Construimos la siguiente tabla:
i1 -1.00 -0.50 0.50 -1.00 4.000 2.0002 -0.50 0.00 0.50 -0.50 3.500 1.7503 0.00 0.50 0.50 0.00 3.000 1.5004 0.50 1.50 1.00 1.50 3.000 3.0005 1.50 2.00 0.50 2.00 3.000 1.500
9.750
Suma Inferior
i1 -1.00 -0.50 0.50 -0.50 3.500 1.7502 -0.50 0.00 0.50 0.00 3.000 1.5003 0.00 0.50 0.50 0.50 2.500 1.2504 0.50 1.50 1.00 1.00 2.000 2.0005 1.50 2.00 0.50 1.50 3.000 1.500
8.000
2
3 1 11 1 3( ) 1 1 2 1, ,0, , , 22 2 2
3 2 2
x si x
f x x si x y P
si x
+
-
Ing. Luis Di Stefano Pag. 3
3. Sea f una funcin definida y P una partcin del intervalo [-3,2] Calcular:
Representacin Grfica:
Las lineas verticales indican la particin
Suma Superior
Construimos la siguiente tabla:
i1 -3.00 -2.50 0.50 -2.50 4.0000 2.00002 -2.50 -1.00 1.50 -2.00 5.0000 7.50003 -1.00 -0.25 0.75 -1.00 2.0000 1.50004 -0.25 1.00 1.25 1.00 2.0000 2.50005 1.00 2.00 1.00 2.00 5.0000 5.0000
18.500
Suma Inferior
i1 -3.00 -2.50 0.50 -3.00 3.0000 1.50002 -2.50 -1.00 1.50 -1.00 2.0000 3.00003 -1.00 -0.25 0.75 -0.25 1.0625 0.79694 -0.25 1.00 1.25 0.00 1.0000 1.25005 1.00 2.00 1.00 1.00 2.0000 2.0000
8.547
( , ) ( , )S P f s P f
2
2 9 2 5 1( ) 3, , 1, ,1, 21 2 2 4
x si xf x y P
x si x+ = = + >
)).(( ii Mxxi xi1( )ix maxx Mi
5
1( , ) ( ).i i
iS P f x M
==
5
1( , ) ( ).i i
iS P f x M
== =
4
1( , ) ( ).i i
is P f x m
==
1( )ix xi xi minx mi ( )( )ix mi
5
1( , ) ( ).i i
is P f x m
== =
-
Ing. Luis Di Stefano Pag. 4
4. Sea f una funcin definida y P una partcin del intervalo [-1,2] Calcular:
Las lineas verticales indican la particin
Suma Superior
Construimos la siguiente tabla:
i1 -3.00 -1.50 1.50 -3.00 24.000 36.0002 -1.50 -1.00 0.50 -1.50 11.250 5.6253 -1.00 0.00 1.00 -1.00 8.000 8.0004 0.00 0.50 0.50 0.50 3.750 1.8755 0.50 1.00 0.50 1.00 4.000 2.0006 1.00 2.00 1.00 1.00 4.000 4.0007 2.00 2.50 0.50 2.50 4.000 2.0008 2.50 4.00 1.50 4.00 7.000 10.500
70.000
( , ) ( , ) ( , )RS P f s P f S P f
2
2
4 3 03 1 5( ) 3 2 0 2 3, , 1,0, ,1,2, , 42 2 2
2 1 2
x x si xf x x x si x y P
x si x
+ = + < < =
)).(( ii Mxxi xi1( )ix maxx Mi
8
1( , ) ( ).i i
iS P f x M
==
8
1( , ) ( ).i i
iS P f x M
== =8
1
2 2 2
2 2 2
( , ) ( ).
3 3(1.50)[( 3) 4( 3) 3] (0.50)[( ) 4( ) 3] (1)[( 1) 4( 1) 3]2 21 1(0.50)[ ( ) 2( ) 3] (0.50)[ (1) 2(1) 3] (1)[ (1) 2(1) 3]2 25(0.50)[2( ) 1] (1.50)[2(4) 1]2
i ii
S P f x M=
= = + + + + +
+ + + + + + + + ++ +
-
Ing. Luis Di Stefano Pag. 5
Suma Inferior
i1 -3.00 -1.50 1.50 -1.50 11.250 16.8752 -1.50 -1.00 0.50 -1.00 8.000 4.0003 -1.00 0.00 1.00 0.00 3.000 3.0004 0.00 0.50 0.50 0.00 3.000 1.5005 0.50 1.00 0.50 0.50 3.750 1.8756 1.00 2.00 1.00 2.00 3.000 3.0007 2.00 2.50 0.50 2.00 3.000 1.5008 2.50 4.00 1.50 2.50 4.000 6.000
37.750
Suma de Riemann
i1 -3.00 -1.50 1.50 -2.25 17.063 25.5942 -1.50 -1.00 0.50 -1.25 9.563 4.7813 -1.00 0.00 1.00 -0.50 5.250 5.2504 0.00 0.50 0.50 0.25 3.438 1.7195 0.50 1.00 0.50 0.75 3.938 1.9696 1.00 2.00 1.00 1.50 3.750 3.7507 2.00 2.50 0.50 2.25 3.500 1.7508 2.50 4.00 1.50 3.25 5.500 8.250
53.063
4
1( , ) ( ).i i
is P f x m
==
1( )ix xi xi minx mi ( )( )ix mi
8
1
2 2 2
2 2
( , ) ( ).
3 3(1.50)[( ) 4( ) 3] (0.50)[( 1) 4( 1) 3] (1)[(0) 4(0) 3]2 21 1(0.50)[(0) 4(0) 3] (0.50)[ ( ) 2( ) 3] (1)[2(4) 1]2 2
5(0.50)[2(4) 1] (1.50)[2( ) 1]2
i ii
s P f x m=
= = + + + + +
+ + + + + + + +
5
1( , ) ( ).i i
is P f x m
== =
41
1( , ) ( ).
2i i
R i i ii
x xS P f x w w =
+= =( ).( )i ix wxi xi1( )ix ( )f wiwi
4
1( , ) ( ).R i i
iS P f x w
== =
-
Ing. Luis Di Stefano Pag. 6
A partir de la propiedad de acotacin para integrales definidas, determinar un intervalo cerrado al cualpertenezca la integral indicada.
1. La funcin es continua en el intervalo.
2.La funcin es continua en el intervalo.
3
3
2
' 2 3
2 3
2 3 2
3
( ) ( ) ( )
( ) 3 .3 .3 .ln(3) 0 obtenemos Puntos Crticos3 (3 .ln(3)) 0 3 03 .ln(3) 0 (3 .ln(3)) 0
30 2.73ln(3)
Evaluamos la funcin en los Puntos Crticos( 2) 0.888
x
b
ax x
x x
x dx
m b a f x dx M b a
f x x xx x
x x x x
x x
f
= + =+ =
+ = + == = =
=
[ ] [ ]3
3
23
3
2
(0) 0(3) 729
( 2) 0.888(3) 729
0.888 5 3 729 5
4.444 3 3645 [ 4.444,3645]
x
x
ffm fM f
x dx
x dx I
==
= = = =
=
2
2
'2
2 2
2
( ) ( ) ( )
1. ( 2)( ) obtenemos Puntos Crticos
1. ( 2) 1. 2 1 0 0 1 0
1
x
b
ax x
x
x x x x xx
x x x
x dxe
m b a f x dx M b a
e x ef xe
e x e e xe e x e xe e e
x
+
+= + = = = =
=
-
Ing. Luis Di Stefano Pag. 7
3.
La funcin es continua en cada intervalo.
Obtenemos los puntos crticos en cada intervalo:
Evaluamos la funcin en los puntos crticos y en los puntos extremos:
2
1 1
2 2
2
2
Evaluamos la funcin en los Puntos Crticos y Extremos2 2( 2) 0 ( 2) 0
1 2 1( 1) ( 1)
2 2 4( 2)
( ) 4
20(4) (4) [0,4 ]x
f m fe
f e M f ee e
fe e
b a
x dx e I ee
+ = = = = + = = = = =+ = =
=+ =
42
2
3
4 3 0( ) ( ) 3 2 0 2
2 1 2
x x si xf x dx f x x x si x
x si x
+ = + <
-
Ing. Luis Di Stefano Pag. 8
Para cada funcin en el intervalo indicado, determinar si es aplicable el teorema de valor medio de integralesen caso afirmativo calcular el valor promedio de f(x) y los valores de x que satisfacen dicho teorema.
1.
La funcin es continua en el intervalo.
Para ubicar los puntos que satisfacen este valor, intersectamos la funcin
Solucin:
2( ) 2 3 3 Intervalo [1, 4]f x x x= + +
( )
_
4 4 43 22
11 1
_
( )
1 4 3
( ) ( ) (2 3 3) 2 3 33 2
128 2 48 3 12 3 73.503 3 2 2
( )73.50 24.503
b
a
b
a
b
a
f x dx
f x a b b ab a
x xf x dx f x dx x x dx x
f x dx
f xb a
= = = = = = + + = + + =
= + + =
= = =
_
( ) conf x f x _
2_ _
2_ _
_
_
1_
2
( )
2 3 3 24.5
2 3 21.5 0
3 9 1724
2.61341 [1,4]
4.11341 [1, 4]
f x f x
x x
x x
x
x
x
= + + = + =
+ = = =
_ _
124.5 2.61341f x x = =
-
Ing. Luis Di Stefano Pag. 9
2.
La funcin es continua en cada intervalo.
Solucin:
2
2 9 2( ) Intervalo [ 3,2]
21
x si xf x
si xx
+ = > +
( )2 2 2 2322 23
23 3 2
28 40( ) (2 9) ( 1) 9 4 13.3333 3 3xf x dx x dx x dx x x x
= + + = + + + = + = = 2
_3( ) 40 2.6667
[2 3] 15
f x dxf x
= = = +
[ ]
[ ][ ]
_
_
_
1
_
1
2_
_
_
2_
3
( )
Intervalo 3,2
2 9 2.66672.6667 9 3.16665
2
3.16665 3, 2
Intervalo 2,2
1 2.6667
2.6667 1 1.2910
1.2910 [ 2,2]
1.2910 [ 2,2]
f x f x
x
x
x
x
x
x
x
=
+ == =
=
+ = = = =+ =
_
_
2_
3
2.6667
1.2910
1.2910
f x
x
x
= ==
